9
ISBN 978-3-12-733093-9
Lambacher Schweizer
Mathematik für Gymnasien
Lösungsheft
1. Auflage 1 5 4 3 2 1 | 2025 24 23 22 21 Alle Drucke dieser Auflage sind unverändert und können im Unterricht nebeneinander verwendet werden.
Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr des Druckes.
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© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2021. Alle Rechte vorbehalten. www.klett.de
Das vorliegende Material dient ausschließlich gemäß § 60b UrhG dem Einsatz im Unterricht an Schulen.
Autorinnen und Autoren: Manfred Baum, Martin Bellstedt, Johannes Biburger, Boris Boor, Dr. Dieter Brandt, Heidi Buck (†), Gunnar Demuth, Dr. Detlef Dornieden, Christina Drüke-Noe, Prof. Rolf Dürr, Harald Eisfeld, Prof. Hans Freudigmann, Inga Giersemehl, Dieter Greulich, Prof. Dr.
Heiko Harborth, Dr. Frieder Haug, Manfred Herbst, Edmund Herd, Prof. Dr. Stephan Hußmann, Anke Frantzke, Thomas Jörgens, Klaus-Peter Jungmann, Thorsten Jürgensen-Engl, Karen Kaps, Christine Kestler, Andreas König, Prof. Dr. Timo Leuders, Prof. Dr. Detlef Lind, Dr. Klaus Linde, Judith Lohmann, Prof. Dr. Hinrich Lorenzen, Dr. Johannes Novotný, Prof. Dr. Reinhard Oldenburg, Rolf Reimer, Dr. Günther Reinelt, Kathrin Richter, Dr. Wolfgang Riemer, Rüdiger Sandmann, Dr. Torsten Schatz, Hartmut Schermuly (†), Reinhard Schmitt-Hartmann, Michael Schmitz, Ulrich Schönbach, Caroline Seibold, Raphaela Sonntag, Heike Spielmans, Andrea Stühler, Barbara Sy, Thomas Thiessen, Oliver Thomsen, Rainer Topp, Dr. Peter Zimmermann
Entstanden in Zusammenarbeit mit dem Projektteam des Verlages.
Gestaltung: Petra Michel, Amberg
Titelbild: Mauritius Images, Mittenwald (Alamy/Angelo Cavalli), U1.1; Mauritius Images, Mittenwald (masterfile), U1.2 Satz: imprint, Zusmarshausen
Druck: Plump Druck & Medien GmbH, Rheinbreitbach Printed in Germany
ISBN 978-3-12-733093-9 Quellennachweis
By Josell7 - File:Babylonian_numerals.jpg, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9862983, siehe *3, 12.3; imprint, Zusmarshausen, 3.1; 3.2; 3.3; 4.1; 4.2; 4.3; 4.4; 4.5; 4.6; 4.7; 4.8; 4.9; 5.1; 5.2; 5.3; 5.4; 5.5; 5.6; 5.7; 5.8; 5.9; 6.1; 9.1; 9.2; 10.1; 10.2; 11.1; 11.2; 11.3; 12.1;
12.2; 13.1; 13.2; 13.3; 13.4; 13.5; 13.6; 14.1; 14.2; 14.3; 14.4; 14.5; 14.6; 14.7; 14.8; 15.1; 15.2; 15.3; 15.4; 16.1; 16.2; 16.3; 16.4; 16.5; 16.6; 17.1; 17.2; 17.3; 17.4;
17.5; 18.1; 18.2; 19.1; 19.2; 19.3; 19.4; 19.5; 19.6; 20.1; 21.1; 21.2; 21.3; 21.4; 21.5; 22.1; 22.2; 22.3; 22.4; 22.5; 23.1; 23.2; 24.2; 24.3; 24.4; 26.1; 26.2; 26.3;
26.4; 26.5; 26.6; 28.1; 28.2; 28.3; 28.4; 28.5; 28.6; 28.7; 29.1; 29.2; 30.1; 30.2; 30.3; 30.4; 31.1; 32.1; 32.2; 32.3; 32.4; 32.5; 32.6; 32.7; 32.8; 33.1; 33.2;
33.3; 38.1; 38.2; 41.1; 42.1; 46.1; 46.2; 46.3; 46.4; 47.1; 47.2; 48.1; 50.1; 51.1; 51.2; 51.3; 51.4; 52.1; 52.2; 52.3; 52.4; 53.1; 53.2; 53.3; 55.1; 55.2; 55.3; 55.4;
55.5; 56.1; 59.1; 59.2; 59.3; 59.4; 59.5; 59.6; 60.1; 60.2; 60.3; 61.1; 61.2; 61.3; 62.2; 62.3; 63.2; 63.3; 63.4; 64.2; 64.3; 64.4; 65.1; 65.2; 66.1; 66.2; 66.3;
67.1; 67.2; 68.1; 68.2; 68.3; 68.4; 68.5; 68.6; 73.1; 73.2; 73.3; 73.4; 73.5; 73.6; 73.7; 73.8; 73.9; 75.1; 77.1; 77.2; 77.3; 77.4; 77.5; 77.6; 77.7; 77.8; 77.9; 78.1;
78.2; 78.3; 78.4; 78.5; 78.6; 79.1; 79.2; 79.3; 80.1; 80.2; 80.3; 80.4; 81.1; 81.2; 81.3; 81.4; 81.5; 82.1; 82.2; 82.3; 82.4; 82.5; 83.1; 83.2; 83.3; 83.4; 84.1; 85.1;
85.2; 86.1; 86.2; 86.3; 86.4; 87.1; 87.2; 87.3; 87.4; 88.1; 88.2; 88.3; 88.4; 89.1; 90.1; 90.2; 90.3; 90.4; 90.5; 91.1; 91.2; 91.3; 91.4; 91.5; 91.6; 92.1; 92.2; 92.3;
92.4; 92.5; 92.6; 92.7; 92.8; 93.1; 93.2; 93.3; 93.4; 94.1; 94.2; 94.3; 94.4; 94.5; 95.1; 96.1; 96.2; 97.1; 97.2; 97.3; 97.4; 97.5; 98.1; 100.1; 100.2; 101.1; 101.2;
101.3; 104.1; 104.2; 105.1; 106.1; 106.2; 107.1; 108.1; 108.2; 108.3; 109.1; Malz, Anja, Taunusstein, 106.3; Mauritius Images, Mittenwald (Alamy/Angelo Cavalli), U1.1; Mauritius Images, Mittenwald (masterfile), U1.2; ShutterStock.com RF, New York (Petrenko Andriy), 24.1; Tiffany, Berlin, 58.1; 62.1;
63.1; 63.5; 64.1; 101.4; Uwe Alfer, Kråksmåla, Alsterbro,
*3 Lizenzbestimmungen zu CC-BY-SA-4.0 siehe: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode
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Lösungen
Bayern
Lambacher Schweizer
Mathematik für Gymnasien
Ernst Klett Verlag
Stuttgart ⋅ Leipzig ⋅ Dortmund bearbeitet von
Johannes Biburger Manfred Herbst Christine Kestler Dr. Klaus Linde Dieter Müller Katja Rasch Charlotte Seibold Martin Weber
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Inhalt
I Reelle Zahlen L 1
1 Quadratwurzeln L 1
2 Reelle Zahlen L 2
3 Der Heron-Algorithmus L 4
4 Rechnen mit Quadratwurzeln L 6
5 Termumformungen L 8
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen L 9
Exkursion: Zur Geschichte der irrationalen Zahlen L 12
II Quadratische Funktionen und Gleichungen L 13
1 Erkennen quadratischer Funktionen und Gleichungen L 13
2 Verschiebung der Normalparabel entlang der Achsen L 15
3 Allgemeine Verschiebung von Normal parabeln L 20
4 Enge und weite Parabeln L 24
5 Allgemeine quadratische Funktionen und Gleichungen L 25
6 Darstellungsformen quadratischer Funktionen L 31
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen L 33
Exkursion: Der Satz von Vieta L 36
III Quadratische Funktionen in Anwendungen L 37
1 Gleichungssysteme und Parabeln durch drei Punkte L 37
2 Funktionsterme von Parabeln bestimmen L 39
3 Extremwertaufgaben L 42
4 Schnittpunkte von Funktionsgraphen L 43
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen L 47
Exkursion: Ausgleichskurven L 50
IV Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse L 52
1 Mengendiagramme und Vierfeldertafeln L 52
2 Vierfeldertafeln und Wahrscheinlichkeiten L 54
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen L 56
Exkursion: Mehrfeldertafeln L 57
V Ähnlichkeit und Strahlensatz L 58
1 Ähnliche Figuren L 58
2 Eigenschaften ähnlicher Figuren L 59
3 Strahlensatz bei der V-Figur L 60
4 Strahlensatz bei der X-Figur L 61
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen L 63
Exkursion: Der Jakobsstab L 64
VI Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und n-te Wurzel L 65
1 Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten L 65
2 n-te Wurzeln L 67
3 Potenzen mit rationalen Exponenten L 70
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen L 72
Exkursion: Die Kepler’schen Gesetze L 76
VII Satz des Pythagoras L 77
1 Der Satz des Pythagoras L 77
2 Der Kehrsatz zum Satz des Pythagoras L 79
3 Berechnungen an Figuren und Körpern L 81
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen L 84
Exkursion: Der Goldene Schnitt L 88
VIII Trigonometrie L 90
1 Sinus, Kosinus und Tangens L 90
2 Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken L 93
3 Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens L 95
4 Sinus und Kosinus am Einheitskreis L 97
5 Der Sinussatz L 99
6 Der Kosinussatz L 102
Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen L 104
Exkursion: Pyramiden, Astronomie und die Sinustafeln von Bürgi L 107
c) Es wurde quadriert statt radiziert.
√ _
1_4 = 1_2d) Es wurde zweimal statt einmal radiziert.
√
_
(− 121)2 = 121
10a) 0,16 + 0,4 = 0,56 b) 0,25 ⋅ 0,1 = 0,025 c) − 0,7 ⋅ 0,6 = − 0,42 d) 0,8 ⋅ 0,2 = 0,16 e) 3_2 ⋅ 12 = 18 f) 3_4 − 3 = − 2 _41 g) 0,05 ⋅ _195 = 0,19 h) _31 + _149 = _179 = 1 8_9 11a) 169 b) 169
c) − 169 d) √
_
169 12
a) (1) √
_
96 cm2∶6 = √
_
16 cm2 = 4 cm
(2) √
_
864 mm2∶6 = √
_
144 mm2 = 12 mm
(3) √
_
6 cm2∶6 = √
_
1 cm2 = 1 cm
(4) √
_
150 cm2∶6 = √
_
25 cm2 = 5 cm
(5) √
_
1014 m2∶6 = √
_
169 m2 = 13 m
(6) √
_
294 mm2∶6 = √
_
49 mm2 = 7 mm b) k =
√ _
O_6 , da O = 6 ⋅ k 213 225 → 2,25 , da √
_
2,25 = 1,5 3240 → 3,240 , da √
_
3,240 = 1,8 0 000 400 → 0,000 400 , da √
_
0,000 400 = 0,02 100 000 → 10 000,0 , da √
_
10 000,0 = 100 1 600 000 → 1600,000 , da √
_
1600,000 = 40 1210 → 1,210 , da √
_
1,210 = 1,1
14a) 103 = 1000 b) 32 = 9 c) 7 d) a 4 e) Beim Wurzelziehen halbiert sich der Exponent.
15a) Jana zerlegt die Quadratzahlen in Primfaktoren. An- schließend sortiert sie die Primfaktoren so, dass zwei Produkte mit gleichem Wert entstehen. Beim Radizie- ren berechnet Jana den Wert von einem der beiden Produkte.
b) (1) 400 = 2 ⋅ 200 = 2 ⋅ 2 ⋅ 100 = … = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5
= (2 ⋅ 2 ⋅ 5) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 5) Also √
_
400 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 (2) 1024 = 2 ⋅ 512 = 2 ⋅ 2 ⋅ 256 = …
= (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) Also √
_
1024 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 (3) 5625 = 5 ⋅ 1125 = 5 ⋅ 5 ⋅ 225 = …
= 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 3 = (3 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5 ⋅ 5) Also √
_
5625 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75
I Reelle Zahlen
1 Quadratwurzeln
Seite 6
Einstiegsaufgabe
Emily kann mit 8 ⋅ 8 = 64 Kärtchen das größte Quadrat legen. (Das sind dann 32 Pärchen.) Sie muss also 16 Kärt- chen aus dem Spiel nehmen.
Seite 7
1 1 → G ; 2 → C ; 3 → A ; 4 → B ; 5 → E ; 6 → D
2a) √
_
36 = 6 b) √
_
− 169 existiert nicht c) √
_
0, 16 = 0, 4 d) √
_
(− 20)2 = 20 e) − √
_
0, 01 = − 0, 1 f) √
_
121 = 11 g)
√ _
_41 = _21 h) √_
0, 0009 = 0, 03 i) −
√ _
_10081 = − _109 j) √_
− 10 000 existiert nicht k)
√ _
44_11 = √_
4 = 2 l) −
√ _
_491 = − _713a) 51 b) 0,92 c) 122
d) 2,9 e) 7,4 f) 21
4
a)
√ _
6 _41 =√ _
_254 = 5_2 = 2 _21 b)√ _
1 _79 =√ _
16_9 = _43 = 1 _13 c)√ _
3 _3613 =√ _
_12136 = _116 = 1 _56 d)√ _
1 _14425 =√ _
169_144 = 13_12 = 1 _121 e) −√ _
5 _161 = −√ _
81_16 = − _94 = − 2 1_4 f)√ _
2 _2349 =√ _
_12149 = 11_7 = 1 4_7 5A | √_
1 = 1 ; √
_
0, 01 = 0,1 ; √
_
0, 0001 = 0,01 B | √
_
144 = 12 ; √
_
14 400 = 120 ; √
_
1 440 000 = 1200 C | √
_
400 = 20 ; √
_
4 = 2 ; √
_
0, 04 = 0, 2 D | √
_
36 = 6 ; √
_
0, 36 = 0, 6 ; √
_
0, 0036 = 0, 06 E | √
_
169 = 13 ; √
_
1, 69 = 1, 3 ; √
_
0, 0169 = 0,13 6a) 12 mm b) 1 km = 1000 m c) 350 m
d) 17 m e) 1,6 m f) 2,5 cm
Seite 8
7a) Die Dezimalstellen wurden nicht beachtet.
√
_
0,09 = 0,3
b) Da der Radikand negativ ist, kann die Wurzel nicht berechnet werden.
√
_
− 16 existiert nicht.
L 2
I Reelle ZahlenSchülerbuchseiten 8 – 12
21a) a = √
___________
4 cm ⋅ 16 cm = √
_
64 c m 2 = 8 cm b) a = √
_____________
2,5 cm ⋅ 1,6 cm = √
_
4 c m 2 = 2 cm c) a = √
_____________
0,5 ⋅ 8 cm ⋅ 4 cm = √
_
16 c m 2 = 4 cm d) a = √
_______________
0,5 ⋅ 0,6 m ⋅ 1,2 m = √
_
0,36 m 2 = 0,6 m 22a)
● ●
= 2;■ ■
= 1 b)● ●
= 3;■ ■
= 8c)
● ●
= 8;▲ ▲
= 9;■ ■
= 7 d)▲ ▲
= 4;● ●
= 0;■ ■
= 7 26a) √_
121 = 11 ; √
_
2116 = 46 ; √
_
625 = 25 ; 5 ⋅ √
_
169 = 65 b) individuelle Lösung
27a) Jede gerade natürliche Zahl kann man als 2 n (n ∈ ℕ) schreiben. Damit ist die Quadratzahl einer geraden natürlichen Zahl durch (2 n) 2 = 4 n 2 gegeben und da- mit ein Vielfaches von 4, also durch 4 teilbar.
b) Jede ungerade natürliche Zahl kann man als 2 n + 1 (n ∈ ℕ) schreiben. Damit ist das Quadrat aus einer ungeraden natürlichen Zahl durch
(2 n + 1) 2 = 4 n 2 + 4 n + 1 = 4 ( n 2 + n) + 1 gegeben und damit ein Vielfaches von 4 plus 1. Wenn man also das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl durch 4 teilt, so bleibt der Rest 1.
2 Reelle Zahlen
Seite 10 Einstiegsaufgabe
Der angezeigte Wert 2,828 427 125 ist nur ein guter Nähe- rungswert von √
_
8 . Quadriert man 2,828 427 125 beispiels- weise mit einem Tabellenkalkulationsprogramm, das auf 10 Stellen nach dem Komma genau ist, so erhält man als Näherung von 2,828 427 125 2 den Wert 8,000 000 001 4 und nicht exakt 8.
Seite 12 1
Die Zahl
ist … − _34 √_
121 4, 1 ̅ − 1,6 _ 34 (√_
15 ) 2 √_ 3 √_
10 − √_
5
natürlich nein ja nein nein ja nein nein nein
ganz nein ja nein nein ja nein nein nein
rational ja ja ja ja ja nein nein nein
reell ja ja ja ja ja ja ja ja
2a) 9; 10 b) 20; 21 c) 16; 17
d) 25; 26 e) 31; 32 f) 9; 10
(4) 1296 = 2 ⋅ 648 = 2 ⋅ 2 ⋅ 324 = …
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
= (2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3) Also √
_
1296 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36
(5) 1225 = 5 ⋅ 245 = 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 = (5 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 7) Also √
_
1225 = 5 ⋅ 7 = 35
(6) 2025 = 5 ⋅ 405 = 5 ⋅ 5 ⋅ 81 = 5 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
= (3 ⋅ 3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 3 ⋅ 5) Also √
_
2025 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 45
c) Wäre die Wurzel aus einer Primzahl eine natürliche Zahl, so wäre diese Zahl Teiler der Primzahl. Das ist aber nicht möglich, da jede Primzahl nur 1 und sich selbst als Teiler besitzt.
16a) (1) Die Aussage ist falsch, da die Wurzel aus einer Zahl, die kleiner oder gleich 1 ist, nicht kleiner als die Zahl selbst ist.
Gegenbeispiel: √
_
0,25 = 0,5 und 0,5 > 0,25 Korrektur der Aussage:
„Die Wurzel einer Zahl, die größer als 1 ist, ist immer kleiner als die Zahl selbst.“
(2) Die Aussage ist falsch.
Gegenbeispiel: Betrachte die Zahl − 7 . Es ist (− 7)2 = 49 und √
_
49 = 7 . b) Da √
_
(a − 2)2 eine nichtnegative Zahl ist, muss gelten a − 2 ≥ 0 und damit a ≥ 2 .
Seite 9 17 √
_
3,61 = 1,9 ; 1, 9 2 = (− 1,9) 2 = 3,61
Das Quadrat der Zahlen 1,9 und − 1,9 ist 3,61.
18a) x 1 = 18 und x 2 = − 18 b) y 1 = 0,3 und y 2 = − 0,3 c) z 2 = 25 ; z 1 = 5 und z 2 = − 5 d) y 2 = _256169 ; y 1 = 13_16 und y 2 = − _1316 e) keine Lösung
f) z 2 = 2,25 ; z 1 = 1,5 und z 2 = − 1,5
(Anmerkung: Fehler im ersten Druck der ersten Auflage des Schülerbuches. Richtig muss es heißen:
z 2 + 3 = 5,25)
g) x 2 = − 1 ; keine Lösung
h) x 2 = 12 100 ; x 1 = 110 und x 2 = − 110 19
√
_
(− 17) 2 = √
_
289 = 17
Die Quadratwurzel ist als nichtnegative Zahl definiert, daher ist die Lösung von Marc falsch. Die richtige Lösung ist 17.
(Wenn die Wurzel in einer quadratischen Gleichung auf- taucht, also x 2 = √
_
(− 17) 2 = √
_
289 , dann müssen für die Lösung von x die positive und die negative Lösung be- rücksichtigt werden. Dann gilt x 1 = 17 und x 2 = − 17 .) 20Mögliche Regel: Man kann von den angegebenen Wur- zeln diejenigen im Kopf bestimmen, bei denen der Radi- kand eine gerade Anzahl von Dezimalstellen hat.
3Anja hat nicht recht. Begründung: √
_
3 ist eine positive Zahl. Multipliziert man aber √
_
3 mit (– 1), so entsteht die negative Zahl − √
_
3 . 4a) √
_
2 ∈ ℚ falsch; √
_
4 ∈ ℝ richtig; 0 ∈ ℤ richtig;
√
_
11 ∈ ℝ \ ℚ richtig; 3_4 ∈ ℤ falsch; 8_2 ∈ ℕ richtig;
√ _
8_2 ∈ ℤ richtig; − 6_4 ∈ ℚ − richtig; 2 ∈ ℚ 0+ richtig;− √
_
3 ∈ ℝ richtig b) individuelle Lösung c) individuelle Lösung
Seite 13
6 Bei der Gegenzahl ändert sich nur das Vorzeichen einer Zahl, nicht aber seine Darstellung als Dezimalbruch. Ist der Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch, dann ist dies auch der Dezimalbruch der Gegenzahl.
7a) Bei der Zahl 0,303 003 000 300 003… wird zwischen zwei aufeinanderfolgende 3-en jeweils eine 0 mehr eingefügt.
Bei der Zahl 0,030 330 333 033 330… wird zwischen zwei aufeinanderfolgenden 0-en jeweils eine 3 mehr eingefügt.
b) Addiert man die beiden Zahlen, so erhält man 0,333 333 333 333 33… also 0, _
3 und somit eine ratio- nale Zahl.
8a) Zwischen 0 und 1 liegt keine weitere ganze Zahl auf der Zahlengeraden. Folglich liegen die ganzen Zahlen nicht dicht auf der Zahlengeraden.
b) Wenn zwei unterschiedliche rationale Zahlen a und b vorgegeben sind, dann liegt das arithmetische Mit- tel 1_2 (a + b) zwischen diesen beiden Zahlen auf der Zahlengeraden. Somit kann man immer zu zwei rati- onalen Zahlen eine weitere rationale Zahl finden, die
zwischen den beiden Zahlen liegt. Somit liegen die rationalen Zahlen dicht auf der Zahlengeraden.
9a) Die Zahl − √
_
18 wird durch P festgelegt.
b)
0 1 √_2 2 3 4 5 6 7
√_8
√__32
10siehe Tabelle unten
11Im Beweis für die Irrationalität von √
_
2 wird benötigt, dass √
_
2 keine natürliche Zahl ist. Dies muss für den wei- teren Beweis vorausgesetzt werden. Dies ist aber bei √
_
4
nicht gegeben da √
_
4 = 2 eine natürliche Zahl ist. Folg- lich kann die Argumentation des Beweises von √
_
2 nicht für √
_
4 übernommen werden.
12a) Aussage ist wahr, da es bereits unendlich viele natürli- che Zahlen gibt, die auch rationale Zahlen sind.
b) Aussage ist wahr, da es unendlich viele positive Zah- len gibt, z. B. die Primzahlen, die keine Quadratzahlen sind und deren Wurzeln folglich irrationale Zahlen sind.
14zugehörige Zahlengeraden siehe unten a) 5_9 = 0, _
5 ; Intervalle: [0; 1]; [0,5; 0,6]; [0,55; 0,56]
b) – √
_
15 ≈ – 3,8730; Intervalle: [– 4; – 3]; [– 3,9; – 3,8];
[– 3,88; – 3,87]
Die Zahl … ist eine
natürliche Zahl … ist eine
ganze Zahl … ist eine
rationale Zahl … ist eine
irrationale Zahl … ist eine reelle Zahl
a) gibt es nicht nein ja nein nein ja
b) ja, z. B. √_
2 nein nein nein ja ja
c) ja, z. B. – 1 nein ja ja ja ja
d) ja, z. B. 0,5 nein nein ja nein ja
e) gibt es nicht ja ja ja nein nein
Tabelle zu Seite 13, Aufgabe 10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Grafik zu Seite 13, Aufgabe 14 a)
–4 –3,9 –3,8 –3,7 –3,6 –3,5 –3,4 –3,3 –3,2 –3,1 –3
Grafik zu Seite 13, Aufgabe 14 b)
L 4
I Reelle ZahlenSchülerbuchseiten 13 – 16
zugehörige Zahlengeraden siehe unten
c) 0,4444…; Intervalle: [0; 1]; [0,4; 0,5]; [0,44; 0,45]
d) – 2 2_3 = – 2, _
6 ; Intervalle: [– 3; – 2]; [– 2,7; – 2,6];
[– 2,67; – 2,66]
e) 4, _
3 ; Intervalle: [4; 5]; [4,3; 4,4]; [4,33; 4,34]
f) √
_
0,09 = 0,3; Intervalle: [0; 1]; [0,2; 0,4]; [0,29; 0,31]
3 Der Heron-Algorithmus
Seite 14 Einstiegsaufgabe
a) Die Rechtecke haben den Flächeninhalt A = a 1 ⋅ b 1 = 7 ⋅ 3 = 21 .
Da A = a 2 ⋅ b 2 = 21 und a 2 = 5 folgt b 2 = _215 = 4,2 . b) Man darf a1 nur um weniger als 4 kürzen, um einem
Quadrat näherzukommen. Würde man a1 um 4 kürzen, so hätte man wieder Seitenlängen 3 und 7. Würde man a1 um mehr als 4 kürzen, dann wäre eine Seite des entstehenden Rechtecks kleiner als 3 und die an- dere folglich größer als 5.
Seite 16
1a) 1. Schritt: x1 = 1; 2. Schritt: x 2 = _12 (1 + 6_1 ) = 3,5 ; 3. Schritt: x 3 = 1_2 (3,5 + _3,56 ) ≈ 2,607
b) x1 = 1 x2 = 5,5 x3 ≈ 3,659
c) x1 = 1 x2 = 0,7 x3 ≈ 0,636
d) x1 = 1 x2 = 0,6 x 3 = _157 ≈ 0,467
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Grafik zu Seite 13, Aufgabe 14 c)
–3 –2,9 –2,8 –2,7 –2,6 –2,5 –2,4 –2,3 –2,2 –2,1 –2
Grafik zu Seite 13, Aufgabe 14 d)
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5
Grafik zu Seite 13, Aufgabe 14 e)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Grafik zu Seite 13, Aufgabe 14 f)
2a) x1 = 3; y1 = 9 b) x1 = 3; y1 = 5 x2 = 6; y2 = 4,5 x2 = 4; y2 = 3,75 x3 = 5,25; y3 ≈ 5,1429 x3 = 3,875; y3 ≈ 3,8710
c) x1 = 3; y1 = 4 d) x1 = 3; y1 = 1,5 x2 = 3,5; y2 ≈ 3,4286 x2 = 2,25; y2 = 2 x3 ≈ 3,4643 y3 ≈ 3,4639 x3 = 2,125; y3 ≈ 2,1176
3Wenn √
_
a mit a > 0 und x1 = 1 ist, dann kann die Zahl x 2 = _12 (1 + _a1 ) unabhängig vom Wert von a gebildet wer- den. Dabei entsteht wiederum eine positive Zahl x2, die wiederum iteriert werden kann.
4a)
1 2 3
A Schritt Nr.
n Flächeninhalt a 1
=A2+1
13
=B2
1
=(C2+D2)/2
=B2/C2
=B3/C3
B C D
Seitenlänge
xn Seitenlänge
yn
Die Tabellenbefehle entsprechend in den Zeilen fort- setzen.
4 5 6 7 1 2 3
A Schritt Nr.
n Flächeninhalt a 1
2 3 4 5 6
13 13 13 13 13 13
1,000000000 7,000000000 4,428571429 3,682027650 3,606345489 3,605551363
13,000000000 1,857142857 2,935483871 3,530663329 3,604757236 3,605551188
B C D
Seitenlänge
xn Seitenlänge yn
b)
5 6 7 8 1 2 3 4
A
1 2 3 4 5 6
30 30 30 30 30 30
1,000000000 15,500000000
8,717741935 6,079500015 5,507058168 5,477306379
30,000000000 1,935483871 3,441258094 4,934616321 5,447554590 5,477144772
B C D
7 30 5,477225576 5,477225574
Schritt Nr.
n Flächeninhalt
a Seitenlänge
xn Seitenlänge yn
c)
5 6 7 8 1 2 3 4
A
1 2 3 4 5 6
1000 1000 1000 1000 1000 1000
1,000000000 500,500000000 251,249000999 127,614558163
67,725327361 41,245426075
1000,000000000 1,998001998 3,980115328 7,836096558 24,245112614 9
7 1000 32,745269344
10
8 1000 31,642015869 31,603549033
11
9 1000 31,622782451 31,622770753
14,765524789
31,622776602
B C D
10 1000 31,622776602
30,538762393 Schritt Nr.
n Flächeninhalt
a Seitenlänge
xn Seitenlänge yn
d)
5 6 7 8 1 2 3 4
A
1 2 3 4 5 6
3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300
1,000000000 1650,500000000
826,249697061 415,121823544 211,535648600 113,567928022
3300,000000000 1,9993994123
3,993950027 7,949473655 29,057499397 9
7 71,312713709
10
8 58,793886114 56,128285067
11
9 57,461085590 57,430171499
15,600207444
57,445624386
B C D
12
10 57,445628545
46,275058518
57,445626465
11 57,445626465
Schritt Nr.
n Flächeninhalt
a Seitenlänge
xn Seitenlänge yn
5
1 2 3
A Schritt Nr.
n Flächeninhalt a 1
=A2+1
7
=B2
5
=(C2+D2)/2
=B2/C2
=B3/C3
B C D
Seitenlänge
xn Seitenlänge yn
Die Tabellenbefehle entsprechend in den Zeilen fort- setzen.
Startwert 5:
5 6 1 2 3 4
A
1 2 3 4 5
7 7 7 7 7
5,000000000 3,200000000 2,693750000 2,646178944 2,645751346
1,400000000 2,187500000 2,598607889 2,645323747 2,645751277
B C D
Schritt Nr.
n Flächeninhalt
a Seitenlänge
xn Seitenlänge yn
Mit dem Startwert 5 erreicht man im 5. Schritt eine Ge- nauigkeit von mindestens 5 Stellen nach dem Komma.
Startwert 50:
5 6 7 8 1 2 3 4
A
1 2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7 7 7 7
50,000000000 25,070000000 12,674609095 6,613447186 3,835948353 2,830395220
0,140000000 0,279218189 0,552285277 1,058449520 2,473152848 9
7 2,651774034
10
8 2,645758150 2,645744472
9 2,645751311 2,645751311
1,824842087
B C D
2,639742267 Schritt Nr.
n Flächeninhalt
a Seitenlänge
xn Seitenlänge yn
Mit dem Startwert 50 erreicht man erst im 9. Schritt eine Genauigkeit von mindestens 5 Stellen nach dem Komma.
6
1 2
A
1 11 3 =B2/C2
B C D E
=(C2-WURZEL(B2)) /WURZEL(B2) 3 =A2+1 =B$2 =(C2+D2)/2 =B3/C3 =(C3-WURZEL(B3))
/WURZEL(B3) Prozentuale Abweichung Schritt Nr.
n Flächen
inhalt a Seitenlänge
xn Seitenlänge yn
1 2 3
A B C D E
4 5
Prozentuale Abweichung Schritt Nr.
n Flächen
inhalt a Seitenlänge
xn Seitenlänge yn 1
2 3 4
11 11 11 11
3,000000000 3,333333333 3,316666667 3,316624791
3,666666667 3,300000000 3,316582915 3,316624790
– 9,5465966%
0,5037815%
0,0012626%
0,0000000%
Seite 17
8Tinas Behauptung ist falsch. Bei beiden Startwerten benötigt man die gleiche Anzahl an Schritten, um zur gewünschten Genauigkeit zu kommen. Dies liegt daran, dass beim Startwert 1 die andere Seitenlänge des zuge- hörigen Rechtecks 10 ist und beim Startwert 10 ist die andere Seitenlänge des zugehörigen Rechtecks 1. Man startet also bei beiden Startwerten mit dem gleichen Rechteck.
L 6
I Reelle ZahlenSchülerbuchseiten 17 – 20
9
a) x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Anz. Schritte 8 7 6 6 5 5 4 4 5 5 5 6 6 6 6 (Tabellenbefehle analog zu Aufgabe 5)
b) Man nimmt als Startwert die natürliche Zahl, deren Quadrat dem gegebenen Radikanden am nächsten kommt. Bei keinem anderen ganzzahligen Startwert ist das zugehörige Rechteck einem Quadrat näher.
10
Nach dem 3. Schritt sind die ersten zwei Stellen nach dem Komma stabil, da diese Stellen bei x3 als auch bei y3 übereinstimmen.
11
Ist x 1 eine rationale Zahl, so ist auch x 2 = _21 ( x 1 + _ x 3
1 ) eine rationale Zahl, da der Quotient zweier rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl ist und ebenso die Summe zweier rationaler Zahlen. Da in allen folgenden Schritten jeweils nur Quotienten und Summen rationaler Zahlen gebildet werden, sind alle x n rationale Zahlen.
12a) Bestimmung der x-Koordinate des Schnittpunkts:
3
_x = x also 3 = x 2 und somit ist x = √
_
3 eine Lösung der Gleichung.
b)
1 2 3 S 4 5 6
y
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
Näherungswert: x ≈ 2,65
14Bei der auf Seite 10 durchgeführten Intervallschachte- lung hat das erste Intervall die Länge 1, das zweite die Länge 0,1, das dritte die Länge 0,01 usw.. Folglich werden die Intervallgrenzen und damit die Näherungen von √
_
2
pro Schritt um jeweils eine Dezimale genauer.
Heron-Algorithmus: Von Schritt 1 nach Schritt 2 bleibt nur die Zahl vor dem Komma konstant.
Von Schritt 2 nach Schritt 3 erhält man √
_
2 bereits auf 2 Dezimalen nach dem Komma genau.
Von Schritt 3 nach Schritt 4 erhält man √
_
2 bereits auf 5 Dezimalen nach dem Komma genau.
Von Schritt 4 nach Schritt 5 erhält man √
_
2 bereits auf 11 Dezimalen nach dem Komma genau.
Somit ist das Heron-Verfahren effizienter als die Intervall- schachtelung.
4 Rechnen mit Quadratwurzeln
Seite 18 Einstiegsaufgabe Die 1. Aussage ist richtig.
Die 2. Aussage ist falsch. Gegenbeispiel:
√
_
9 + √
_
16 = 3 + 4 = 7 ; √
_
9 + 16 = √
_
25 = 5 ≠ 7 . Die 3. Aussage ist falsch. Gegenbeispiel:
√
_
(− 1) 2 = √
_
1 = 1 ≠ − 1 . Seite 19
1
a) 4 b) 10 c) 12 d) 2
e) 3 f) 8 g) 10,5 h) 11 |x|
i) 6 |b| j) 18 k) 8 x 2 l) 0,25 |x|
2Die Behauptung ist falsch, da − √
_
1 eine negative Zahl ist.
Seite 20 3a) √
_
3 ⋅ √
_
48 = √
_
3 ⋅ 48 = √
_
144 = 12 b) √
_
3 ⋅ √
_
2 ⋅ √
_
54 = √
_
3 ⋅ 2 ⋅ 54 = √
_
324 = 18 c) − 3 + √
_
180 ÷ √
_
5 = − 3 + √
_
180÷5 = − 3 + √
_
36 = − 3 + 6 = 3 d) √
_
3 a ⋅ √
_
3 a = √
_
3 a ⋅ 3 a = √
_
9 a² = 3 a e) (√
_
16 x ) 2 = 16 x f) √
_
r ⋅ √
_
r 3 = √
_
r ⋅ r 3 = √
_
r 4 = r² g) √
_
3 u² ÷ √
_
27 u² =
√ ____
_27 u²3 u² =√ _
_ 19 = 1_ 3 h) √_24 u³ __
√ _
6 u =
√ ____
24 u³_6 u = √_
4 u² = 2 u i) √
_18 x _√_
2 x³ =
√ ___
18 x_2 x³ =√ __
_x²9 = 3_x j) 8 √_
5 + 2 √
_
5 = (8 + 2) √
_
5 = 10 √
_
5
k) 5 √
_
2 − 8 √
_
2 = (5 − 8) √
_
2 = − 3 √
_
2
l) √
_
10 − 7 √
_
10 = (1 − 7) √
_
10 = − 6 √
_
10 4
a) 3 ⋅ 10 2 b) 3 ⋅ 10 3 c) 3 ⋅ 10 − 2 d) 5 3 e) 4 ⋅ 10 4 f) 4 ⋅ 10 − 3 g) 4 m 2 h) 8 n 3 5
√
_
10 2 n = √
_
10 n ⋅ 10 n = 10 n √
_
10 8 = 10 4 ; √
_
10 − 4 = 10 − 2 ;
√ _
_ 10 14 = 10 − 2 6 A = d 1 ⋅ d 2 = √_
2 ⋅ √
_
18 = √
_
36 = 6 7a) − 2 √
_
6 b) 0,7 √
_
2 c) − √ _ 3
_6 d) |a|
e) a, a ≥ 0 f) |1 − c| g) d 4 h) 32 |x|
8(L); √
_
2 ⋅ 5 √
_
2 = 10 (A);
10∶ √
_
10 = √
_
10 (N); √
_
10 + 2 √
_
10 = 3 √
_
10 (O);
3 √
_
10 ⋅ √
_
5 = 15 √
_
2 (I); 15 √
_
2 ∶3 √
_
6 = _53 √
_
3 (T);
5 _3 √
_
3 ⋅ √
_
3 = 5 (A); 5∶2 √
_
5 = √ _ 5 _2 (R);
√ _ 5 _
2 + _12 √
_
5 = √
_
5 (R); √
_
5 ⋅ 3 √
_
5 = 15 (I)
Lösungswort: IRRATIONAL (entlang des Weges rückwärts lesen)
9
1)
√ _
_ a 18 = a − 4 | K 2) √_
(− 16) 2 − 3 = 13 | R 3)
√ _
_356 ∶√ _
10_21 = 0,6 | O 4)√ _
( − 4_9 a ) (− a) = 2∶3 | K 5) − √_
49 a 2 b 2 = − 7 |a b| | O 6)
(
√_
4 a 2
)
2 ⋅ 3 = 12 ⋅ a ⋅ a | D 7) √_
(a − b) 2 = |b − a| | I 8) √
_
(− 10) − 6 = 0,001 | L 10a) √
_
18 b) √
_
12 c) √
_
1000 d) √
_
2
e) √
_
8 f) √
_
4 a g) √
_
9 x y h) √
_
0,25 a Seite 21
13a) 2 √
_
6 b) 4 √
_
3 c) 5 √
_
2
d) 11 √
_
10 e) 5 √
_
5 f) 12 √
_
2
g) 20 √
_
5 h) 2 √
_
x i) |a| √
_
2
j) 3 |u| √
_
2 k) u v √
_
u v l) 2 |v| w √
_
5 w m) 100 √
_
10 n) 7 z 2 √
_
2 z o) _23 √
_
2
p) _a2 √
_
a
14individuelle Lösung
15a) A 1 = 981 cm 2 ; Länge der Diagonale d 1 = √
_
2 ⋅ 981 cm ≈ 44,3 cm
A 2 = 436 cm 2 ; Länge der Diagonale d 2 = √
_
2 ⋅ 436 cm ≈ 29,5 cm
A 3 = 109 cm 2 ; Länge der Diagonale d 3 = √
_
2 ⋅ 109 cm ≈ 14,8 cm 14 d 3 + 7 d 2 + 3 d 1
≈ 14 ⋅ 14,8 cm + 7 ⋅ 29,5 cm + 3 ⋅ 44,3 cm
= 546,6 cm = 5,466 m
(Beim Rechnen ohne Näherungen erhält man 5,463 m.)
Der Weg der Ameise ist etwa 5,46 m lang.
b) individuelle Lösung 16a) √
_
8 + √
_
2 = 2 √
_
2 + √
_
2 = 3 √
_
2
b) √
_
20 x − √
_
45 x = 2 √
_
5 x − 3 √
_
5 x = − √
_
5 x
c) √
_
12 a³ − √
_
3 a 3 = 2 a √
_
3 a − a √
_
3 a = a √
_
3 a d) √
_
0,75 − √
_
0,03 = √
_
0,25 ⋅ 3 − √
_
0,01 ⋅ 3 = (√
_
0,25 − √
_
0,01 ) √
_
3 = (0,5 − 0,1) √
_
3 = 0,4 √
_
3
e) √
_
2 + √
_
8 − √
_
32 = √
_
2 + 2 √
_
2 − 4 √
_
2 = − √
_
2
f)
√ _
_12 − 3√ _
_21 = − 2√ _
1_2 = −√ _
4_2 = − √_
2
g) √
_
225 − 81 = √
_
144 = 12
h) √
_
− a ⋅
(− 8 a − a) = √
_
− a ⋅ (− 9 a) = √
_
9 a 2 = 3
|
a|
i)
√ __
5 _13 ⋅ √_
12 =
√ _____
16_3 ⋅ 12 = √_
16 ⋅ 4 = 4 ⋅ 2 = 8 j) √
_21,6
__√_
2,16 ⋅ √_
2,5 =
√ ______
__2,16 ⋅ 2,521,6 =√ __
_2,510 = √_
4 = 2 k) √
_
x² y − x √
_
y + √
_
x = x √
_
y − x √
_
y + √
_
x = √
_
x
l) √
_
c d ⋅ √
_
c 2 d ÷d = √ _c d ⋅ c 2 d __d = √
_c ⋅ c 2 d 2 __d = c d √
_ c _d = c √
_
c
17a) U R = 2 ⋅ (45 m + 9 m) = 108 m, A R = A Q = 9 m ⋅ 45 m = 405 m 2 , U Q = √
_
405 m ⋅ 4 ≈ 80,5 m
Es bleiben etwa 27,5 m übrig, das sind etwa 25,5 % der ursprünglichen Zaunlänge. (Eine genauere Rechnung führt auf 25,4644 %.)
b) Das alte Grundstück hat den Umfang 12 b und die Flä- che 5 b 2 ; das quadratische Grundstück hat dann eine Seitenlänge von √
_
5 b. Der Quotient 12 b − 4 √ _ 5 b __ 12 b gibt an, wie viel Prozent der Zaunlänge übrigbleibt.
12 b − 4 √ _ 5 b
__ 12 b = 12 − 4 √ _ 5
__ 12 ≈ 0,254 644 ≈ 25,5 %
Die Prozentzahl ist also unabhängig von b und beträgt immer etwa 25,5 %.
18a) √
_
9 x 3 b) √
_
x y c) √
_
9 d) √
_
9 x Seite 22
19A |
√ _
x 2 y 3 = |x| y √
_
y
B | 7 √
_
5 ⋅ 2 √
_
5 = 14 ⋅ 5 = 70 C | √
_
98 = √
_
2 ⋅ 49 = 7 √
_
2
D | 3 √
_
7 + 3 √
_
10 = 3
(
√_
7 + √
_
10
)
E |√ _
(x + y) 2 =
|
x + y|
20Die Rechnung beim Taschenrechner wird folgender
-
maßen durchgeführt:
3 √
_
2 + √
_
27 − √
_
50 = 3 √
_
2 + 3 √
_
3 − 5 √
_
2 = 3 √
_
3 − 2 √
_
2
21a) − 6 b) − 7 c)
(
√_
a − √
_
c
)
⋅ b 22 ∶individuelle Lösung, zum Beispiel:
a) √
_
18 ⋅ √
_
2 ; √
__
3 ⋅ √
__
12 b) √
_
8 ∶ √
_
2 ; √
__
20 ∶ √
__
5 c) 2 ⋅ √
_
3
