1. a)
= = = = =
= = = = =
= = = = =
Da ist das Dreieck gleichschenklig.
b)
= = =
D a , und ist das Dreieck weder gleichschenklig noch gleichseitig.
c)
Da ist das Dreieck gleichseitig.
d)
Vermischte Aufgaben
Aufgaben Lösungen PLUS
Da ist das Dreieck gleichschenklig.
e)
= = =
Da ist das Dreieck gleichschenklig.
f)
Da = ist das Dreieck gleichseitig.
2. a)
= = =
Da stehen und senkrecht aufeinander und bei ist ein rechter Winkel.
b) , ,
= = =
Da stehen und senkrecht aufeinander und bei ist ein rechter Winkel.
c)
= = =
Da hat das Dreieck keinen rechten Winkel.
d)
= = =
Da stehen und senkrecht aufeinander und bei ist ein rechter Winkel.
3. a)
= = = = =
b)
= =
4.a)
=
= = =
b)
= =
5.a)
b)
= =
6.
, ,
Nachweisen, dass rechtwinklig ist
1. Schritt: Aufstellen der Vektoren, die die Seiten des Dreiecks beschreiben 1. Schritt: Aufstellen der Vektoren, die die Seiten des Dreiecks beschreiben
2. Schritt: Überprüfen auf rechte Winkel 2. Schritt: Überprüfen auf rechte Winkel
= = =
= = =
= = =
3. Schritt: Bestimmung der Hypotenuse 3. Schritt: Bestimmung der Hypotenuse Die Hypotenuse ist die Längste Seite des Dreiecks
=
= =
= =
Somit ist die Hypotenuse.
4. Schritt: Bestimmung Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks 4. Schritt: Bestimmung Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks
FE
Bestimmung der Punkte und
Da in der -Fläche liegen sollen, gilt für sie . Es müssen zwei Bedingungen gelten:
(Bedingung für rechtwinklig) und
= (Bedingung für gleichschenklig)
Bedingung für rechtwinklig Bedingung für rechtwinklig
= =
Vollständige Lösung anzeigen
Aus folgt
Bedingung für gleichschenklig Bedingung für gleichschenklig
= = =
mit folgt
= =
wird genau dann , wenn ist.
Dies ist für und der Fall.
Somit gibt es zwei mögliche Punkte , die die Bedingungen erfüllen.
und .
7.
a) , ,
Bestimmen der Vektoren, die die Seiten des Dreiecks beschreiben:
= =
= =
= =
Damit das Dreieck gleichschenklig ist müssen zwei Seiten gleich lang sein.
=
=
=
Somit sind und gleich lang und damit ist das Dreieck gleichschenklig.
b)Bestimmung eines Punktes
Für gilt zum Beispiel: .
= =
Es sind weitere Lösungen für den Punkt D möglich.
8.
Gegeben sind die Punkte , , .
Bestimmung einer Koordinatengleichung von
Da , und in der Ebene liegen bestimmt man über die Punkte zwei Spannvektoren der Ebene.
= =
= =
Mit als Stützvektor ergibt sich die Parameterform von mit
: =
Für die Koordinatenform von braucht man einen Normalenvektor von
Berechnung eines Normalenvektors von mit dem Kreuzprodukt (Formel s. Skript)
= = =
Vollständige Lösung anzeigen Vorläufige Koordinatengleichung von
:
Einsetzen des Punktes liefert :
Berechnung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte) Für den Schnittpunkte mit der -Achse gilt und
Für den Schnittpunkte mit der -Achse gilt und
Für den Schnittpunkte mit der -Achse gilt und
Nachweis, dass das Dreieck gleichschenklig ist Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei Seiten gleich lang sind.
Damit gilt = = . Das Dreieck ist somit gleichschenklig.
Nachweis, dass das Dreieck rechtwinklig ist
Zeige, dass zwei der drei Dreiecksseiten einen rechten Winkel einschließen. Dies ist der Fall, wenn ihr SkalarproduktSkalarprodukt den Wert Null annimmt.
Behauptung: Die Vektoren und schließen im Punkt einen rechten Winkel ein.
=
Das Dreieck ist somit rechtwinklig.
9.a)
Die Punkte , und bilden ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Die Vektoren, die die Seiten dieses Dreiecks beschreiben lauten
= = =
Es gilt
=
= = =6 \left|\overrightarrow{AD}\right|$
Der Punkt soll nun die drei Punkte zu einem Quadrat ergänzen.
Es muss gelten
= = =
b)
Der Mittelpunkt des Quadrates ist der Mittelpunkt der Strecke
= = =
Berechnung der Punkte Berechnung der Punkte und und
Die Punkte und haben den Abstand LE zu der Ebene , in der das Quadrat liegt.
Bestimmung einer Koordinatengleichung von :
Vollständige Lösung anzeigen
Wählt man so ergibt sich und (eingesetzt in Ⅰ).
Es ergibt sich die vorläufige Koordinatenform von mit : . Setzt man den Punkt der auf liegt in die Koordinatengleichung ein, so ergibt sich
:
Ein Normaleneinheitsvektor (Länge LE) der Ebene ist:
= =
Für eine Pyramide mit dem Quadrat als Grundfläche und der Höhe ergeben sich somit als mögliche Pyramidenspitzen
= = =
= = =
10.Um die Spitze der Pyramide zu berechnen, sollten die folgenden Schritte gemacht werden:
Die drei Eckpunkte der quadratischen Grundfläche werden mit einem vierten Punkt zu einem Quadrat ergänzt.
ergibt sich dabei aus einer Vektorkette der anderen Punkte.
Der Diagonalenschnittpunkt dieses Quadrates wird ebenfalls mit einer Vektorkette bestimmt.
Von der Ebene wird der Normalenvektor gebildet und daraus der Normaleneinheitsvektor (Vektor mit derselben Richtung, aber einer Länge von genau 1) gebildet.
Mithilfe des Normaleneinheitsvektors wird vom Punkt aus drei Schritte nach oben gegangen. Durch diese Vektorkette ergeben sich letztlich die Koordinaten der Pyramidenspitze .
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ