1.3 Endliche Temperaturen 1.2 Verhalten nahe T=0, Fermi-Druck 1.1 Fermi-Verteilung 1. Fermigase

1. Fermigase

1.1 Fermi-Verteilung

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermi-Druck 1.3 Endliche Temperaturen

1

1.1 Fermi-Verteilung

Pauli-Verbot:

Es darf nie mehr als ein Fermion den gleichen

Einteilchenzustand annehmen (unter Berücksichtigung des Spins)

Besetzungszahl der Einteilchenzustände:

Ein-Teilchen Hamiltonoperator:

1.1 Fermi-Verteilung

1

( )

0

( , , ) ^{i i}

i

n

G K i i

n i

Z T V  n e ^{    } n



 

  







 

 

( , , ) l n _{G K} l n 1 e x p ( _i )

i

J T V    k T Z   k T



, ,

( 



 _ J T V N

( )

1

i 1 i

i i

N e ^{   }

 





Fermi-Dirac Verteilungsfunktion:

Die mittlere Zahl der Teilchen im Zustand ε_i bei Temperatur T und chemischem Potential μ

1.1 Fermi-Verteilung

1.1 Fermi-Verteilung

5

Kasten mit Volumen V (periodische Randbedingungen) 

1 / 3 1 / 3 1 / 3

2 , 2 , 2

x x y y z z

k V   n k V   n k V   n

Ableitung der Zustandsgleichung für ideales Fermi-Gas:

2 2

2

, ,

( , , ) l n 1

x y z

k m B

n n n

J T V k T e

 



 

   

 

 

 

    

 

 



 

 

( , , ) l n _{G K} l n 1 e x p ( _i )

i

J T V    k T Z   k T



Mit:

Für große V:

1.1 Fermi-Verteilung

Rotationssymmetrie des Hamiltonoperators ^





Änderung der Integrationsvariablen k  :



 



 



 

 





 m d

dk k

m k

dk k m d

2 / 3

2 2

2

2 2

2 1 2

;  



3 / 2

2 2

, 0

2

( ) m i t ( ) ( 2 1 )

k 4

V m

D d D s



   



  

    

 

 

Zustandsdichte des idealen Gases:

Zahl der Einteilchenzustände im Intervall [ε,ε+dε]

Berücksichtigt Spin

1.1 Fermi-Verteilung

3 / 2

2 2

( ) 2 2 4

V m

D  



 

  

 

 

3 / 2 3 / 2

2 2

0

2 2

( , , ) 2

4 3 e x p ( ) 1

V m

J T V d 

 

   

  

   

 

 



 

3 / 2 1 / 2

2 2

0

2

( , , ) 2

4 e x p ( ) 1

V m

N _ J T V d 

 

   

  

     

 

 



 

3 / 2 3 / 2

2 2

0

2

( ) 2

4 e x p ( ) 1

V m

H E d N d 

   

   

  

    

 

 

 

 Zustandsgleichung: pV 2 E



Spin ½ Fermionen, z.B.: Elektronen

Partielle Integration

1.1 Fermi-Verteilung

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck:

1) T  0:

( )

1

( )

i 1 i

e ^{  }

 

   

•

1/2

0

T = 0

 (T=0) = _F



N i



1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

direkte Konsequenz des Pauliprinzips: alle Einteilchenzustände bis zur Energie _F sind einfach besetzt

• alle Zustände einfach besetzt für unbesetzt für

( 0 , )

i T N

   

( 0 , )

i T N

   

• ^{ (T  0 , N )  } _F („Fermienergie“)

•

• positiv   (T  0, N )

Vergleiche ideales klassisches Gas: μ negativ

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

2

k F 1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

Beispiel: Pauli-Spin Paramagnetismus

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

Graphene: Monoatomare Kohlenstoffschicht

Bandstruktur:

Lineare Dispersion

“Zweidimensionales” Material

Kontrolle der Fermi-Energie über Spannung am back gate

Q  e N  C V b g

Plattenkondensator:

Q

Q

V b g

~ F

E h v k

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

2 2

2

,

( , , ) l n 1

x y

k m B

n n

J T V k T e

 



 

   

 

 

 

   

 

 



 

 

 

2 2 l n 1

2

B

A

k T  k d k e ^{  }



 

  

F

2 F

F 0 F

1 1

( 0 , , ) 2 d

2 2

E

A A

N J T V E

v v

   

 

       

2 F F

1 1 1

b g 2 C

V E

e A ^  v

F b g

E  V

Leitfähigkeit [e2 /h]

1.2 Verhalten nahe T=0, Fermidruck

T₁ T₂> T₁

1

1/2

0

T = 0

kT

2) T  0:

•

•

auf  0 ab ^{( )}

1

1

i 1

e ^{   }

 

N i





1.3 Endliche Temperaturen:

1.3 Endliche Temperaturen

Sommerfeld Entwicklung:

  ²   ²  





0 0

1

( ) d ( ) d

1 6

g g k T g O k T

e



  

     



    





1.3 Endliche Temperaturen

1.3 Endliche Temperaturen

1.3 Endliche Temperaturen

2) T  :

•

•

Quantenstatistischer Wert für Fermionen und Bosonen konvergiert zum klassischen Wert für das ideale Gas

3 3

1 1 1

l n l n

k l a s s i s c h

T T

V

k T k T

N n

 

 

   

         

 









T μ

ε

0

1.3 Endliche Temperaturen

1.3 Endliche Temperaturen

1.3 Endliche Temperaturen