1. Trotters Produkt–Formel

Quantenchaos (Guhr) — ¨ Ubung 13

1. Trotters Produkt–Formel

Es seien T und V selbstadjungierte Operatoren. Beweisen Sie Trotters Produkt Formel

N→∞ lim [exp(iλ(T + V )/N ] ^N = lim

N→∞ [exp(iλT /N ) exp(iλV /N )] ^N . (a) Beweisen Sie zun¨ achst, dass

exp(iλ(T +V )/N ) = exp(−iλT /N ) exp(−iλV /N )+O(λ ² /N ² ) ist. Wie lautet der erste Korrekturterm?

(b) Zeigen Sie nun, dass die Differenz

[exp(iλ(T + V )/N ] ^N −[exp(iλT /N) exp(iλV /N)] ^N

im Limes N → ∞ verschwindet. Benutzen Sie hierbei, dass die Operato- ren exp(iλT ), exp(iλV ), exp(iλ(T + V )) von oben beschr¨ ankt sind.

2. Kreisbilliard

Berechnen Sie den fluktuierenden Anteil der Energieniveaudichte ρ e _sk (E) eines Kreisbilliards mit Radius eins mit Hilfe der semiklassischen Spurformel von Berry und Tabor

ρ e _sk (E) =

√ 2π

~ X

r

1 2 p

T r (−detQ _r ) cos

S _r (E)

~

− ν _r π 2 + π

4

,

wobei

Q _r =

" _∂

H

∂ ~ J ∂ ~ J

∂H

∂ ~ J

∂H

∂ ~ J 0

# .

(a) Was sind die Wirkungsvariablen I ₁ und I ₂ ? Die beiden Wirkungsvariablen stehen ¨ uber die Relation I 1 = g(E, I 2 ) in Beziehung. Bestimmen Sie g.

(b) Berechnen Sie detQ r mit Hilfe der Funktion g(E, I 2 ), ohne H nach I 1 und I ₂ aufzul¨ osen.

(c) Klassifizieren Sie die periodischen Bahnen nach der Anzahl der Wand- ber¨ uhrungen und nach Anzahl der Windungen w¨ ahrend einer Periode.

(d) Berechnen Sie die L¨ ange der Bahn als Funktion der Wandber¨ uhrungen und der Windungen.

(e) Bestimmen Sie schließlich die Wirkung und die Umlaufdauer der Orbits.