Mathematik Beispiel für einen schulinternen Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe

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Beispiel für einen schulinternen Lehrplan

zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe

Mathematik

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Inhalt

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1 Die Fachgruppe Mathematik am Städtischen

Gymnasium Laurentianum 2

2 Entscheidungen zum Unterricht 5

2.1 Unterrichtsvorhaben 5

2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben 7

2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben 20

2.2 Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen

Arbeit 85

2.3 Grundsätze der Leistungsbewertung und

Leistungsrückmeldung 87

2.4 Lehr- und Lernmittel 91

3 Entscheidungen zu fach- und

unterrichtsübergreifenden Fragen 92

4 Qualitätssicherung und Evaluation 92

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1 Die Fachgruppe Mathematik am Städtischen Gymnasium Laurentianum

Das Gymnasium Laurentianum ist eines von zwei öffentlichen Gymnasien der Stadt Arnsberg, wobei es zwei weitere Gymnasien in privater Trägerschaft gibt.

Es liegt im Zentrum Arnsbergs und hat eine heterogene Schülerschaft, was den sozialen und ethnischen Hintergrund betrifft, da der Einzugsbereich sehr groß ist.

Das Gymnasium Laurentianum ist in der Sekundarstufe I i.d.R. vierzügig und wird als Offene-Ganztagsschule geführt.

In die Einführungsphase der Sekundarstufe II wurden in den letzten Jahren re- gelmäßig etwa zehn bis 20 Schülerinnen und Schüler neu aufgenommen und in M, D und E auf die parallelen Klassen gleichmäßig verteilt.

In der Regel werden in der Einführungsphase vier parallele Klassen eingerichtet, aus denen sich in der Q-Phase die Leistungs- und Grundkurse entwickeln.

Der Unterricht findet im 45-Minuten-Takt statt, die Kursblockung sieht möglichst für Grundkurse eine, für Leistungskurse zwei Doppelstunden vor.

Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ihren Begabungen und Neigungen entsprechend individuell zu fördern und ihnen Ori- entierung für ihren weiteren Lebensweg zu bieten, fühlt sich die Fachgruppe Ma- thematik in besonderer Weise verpflichtet:

Durch ein fachliches Förderprogramm werden v.a. neu zugegangene Schülerin- nen und Schüler mit Übergangs- und Lernschwierigkeiten intensiv unterstützt.

Schülerinnen und Schüler aller Klassen- und Jahrgangsstufen werden zur Teil- nahme an den vielfältigen Wettbewerben im Fach Mathematik angehalten und, wo erforderlich, begleitet.

Für den Fachunterricht aller Stufen besteht Konsens darüber, dass wo immer möglich mathematische Fachinhalte mit Lebensweltbezug vermittelt werden. Für die Sekundarstufe I gibt es dazu Absprachen mit anderen Fachgruppen, wie z. B.

Geographie, Politik und Biologie. Besonders eng ist die Zusammenarbeit mit der Fachgruppe Physik, was deshalb leicht fällt, da sie eine echte Teilmenge der Fachgruppe Mathematik darstellt.

In der Sekundarstufe II kann verlässlich darauf aufgebaut werden, dass die Ver- wendung von Kontexten im Mathematikunterricht bekannt ist.

In der Sekundarstufe I wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner ab Klasse 7 verwendet, dynamische Geometrie-Software und Tabellenkalkulation werden an geeigneten Stellen im Unterricht genutzt, der Umgang mit ihnen eingeübt. Dazu stehen in der Schule drei PC-Unterrichtsräume zur Verfügung. In der Sekundar- stufe II kann deshalb davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und

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Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge ver- traut sind.

Der grafikfähige Taschenrechner wird in der Jahrgangstufe 9 eingeführt.

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2 Entscheidungen zum Unterricht

2.1 Unterrichtsvorhaben

Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan besitzt den Anspruch, sämtliche im Kernlehrplan angeführten Kompetenzen abzudecken. Dies entspricht der Verpflichtung jeder Lehrkraft, Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu ermöglichen, so dass alle Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt werden können.

Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Übersichts- und der Konkretisierungsebene.

Im „Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben“ (Kapitel 2.1.1) wird die Verteilung der Unterrichtsvorhaben dargestellt. Sie ist laut Beschluss der Fachkonferenz ver- bindlich für die Unterrichtsvorhaben I, II und III der Einführungsphase und für die Unterrichtsphasen der Qualifikationsphase. Die zeitliche Abfolge der Unterrichts- vorhaben IV bis VI der Einführungsphase ist jeweils auf die Vorgaben zur Ver- gleichsklausur abzustimmen.

Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen schnellen Überblick über die Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu den einzelnen Jahr- gangsstufen sowie den im Kernlehrplan genannten Kompetenzen, Inhaltsfeldern und inhaltlichen Schwerpunkten zu verschaffen. Um Klarheit für die Lehrkräfte herzustellen und die Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in der Kategorie

„Kompetenzen“ an dieser Stelle nur die übergeordneten Kompetenzerwartungen ausgewiesen, während die konkretisierten Kompetenzerwartungen erst auf der Ebene konkretisierter Unterrichtsvorhaben Berücksichtigung finden. Der ausge- wiesene Zeitbedarf versteht sich als grobe Orientierungsgröße, die nach Bedarf über- oder unterschritten werden kann. Um Spielraum für Vertiefungen, individuelle Förderung, besondere Schülerinteressen oder aktuelle Themen zu erhalten, wurden im Rahmen dieses schulinternen Lehrplans ca. 75 Prozent der Bruttoun- terrichtszeit verplant.

Während der Fachkonferenzbeschluss zum „Übersichtsraster Unterrichtsvorha- ben“ zur Gewährleistung vergleichbarer Standards sowie zur Absicherung von Kurswechslern und Lehrkraftwechseln für alle Mitglieder der Fachkonferenz Bin- dekraft entfalten soll, besitzt die Ausweisung „konkretisierter Unterrichtsvorha- ben“ (Kapitel 2.1.2) empfehlenden Charakter. Referendarinnen und Referenda- ren sowie neuen Kolleginnen und Kollegen dienen diese vor allem zur standard- bezogenen Orientierung in der neuen Schule, aber auch zur Verdeutlichung von unterrichtsbezogenen fachgruppeninternen Absprachen zu didaktisch-

methodischen Zugängen, fächerübergreifenden Kooperationen, Lernmitteln und -orten sowie vorgesehenen Leistungsüberprüfungen, die im Einzelnen auch den Kapiteln 2.2 bis 2.4 zu entnehmen sind. Begründete Abweichungen von den vor-

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geschlagenen Vorgehensweisen bezüglich der konkretisierten Unterrichtsvorha- ben sind im Rahmen der pädagogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit mög- lich. Sicherzustellen bleibt allerdings auch hier, dass im Rahmen der Umsetzung der Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- und inhaltsbezogenen Kompe- tenzen des Kernlehrplans Berücksichtigung finden. Dies ist durch entsprechende Kommunikation innerhalb der Fachkonferenz zu gewährleisten.

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7 2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben

Einführungsphase Unterrichtsvorhaben I:

Thema:

Beschreibung der Eigenschaften von Funkti- onen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)

Zentrale Kompetenzen:

 Modellieren

 Werkzeuge nutzen

Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A)

Inhaltlicher Schwerpunkt:

 Grundlegende Eigenschaften von Po- tenz-, Exponential- und Sinusfunktio- nen

Zeitbedarf: etwa 15 Std.

Unterrichtsvorhaben II:

Thema:

Von der durchschnittlichen über die lokale Änderungsrate hin zu Ableitungen ganzratio- naler Funktionen (E-A2)

 Argumentieren

 Problemlösen

 Grundverständnis des Ableitungsbe- griffs

Unterrichtsvorhaben III:

Thema:

Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funkti- onen (E-A3)

 Problemlösen

 Argumentieren

 Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen

Unterrichtsvorhaben IV:

Thema:

Den Zufall im Griff – Modellierung von Zu- fallsprozessen (E-S1)

 Modellieren

 Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S)

 Mehrstufige Zufallsexperimente

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Einführungsphase Fortsetzung Unterrichtsvorhaben V:

Thema:

Testergebnisse richtig interpretieren – Um- gang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E- S2)

 Modellieren

 Kommunizieren Inhaltsfeld: Stochastik (S)

 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Unterrichtsvorhaben VI:

Thema:

Koordinatisierung des Raumes/ Vektoren (E-G)

 Modellieren

 Kommunizieren

 Problemlösen

Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Li- neare Algebra (G)

 Koordinatisierung des Raumes

 Vektoren und Vektoroperationen Zeitbedarf: etwa 9 Std.

Summe Einführungsphase: 84 Stunden

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9 Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS

Unterrichtsvorhaben Q1-I :

Thema: Räume vermessen – mit dem Ska- larprodukt Polygone und Polyeder untersu- chen (Q-GK-G4)

 Problemlösen

 Skalarprodukt

Zeitbedarf: 9 Std

Unterrichtsvorhaben Q1-II:

Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1)

 Modellieren

 Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden)

Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-III:

Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung von geometrischen Problemen (Q- GK-G2)

 Problemlösen

Inhaltliche Schwerpunkte:

 Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Ebenen)

 Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-IV:

Thema: Eine Sache der Logik und der Be- griffe: Untersuchung von Lagebeziehungen (Q-GK-G3)

 Argumentieren

 Kommunizieren

 Lagebeziehungen

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Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS (Fortsetzung) Unterrichtsvorhaben Q1-V :

Thema:

Funktionen beschreiben Formen – Modellie- ren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2)

 Modellieren

Inhaltsfelder:

Funktionen und Analysis (A) Lineare Algebra (G)

 Funktionen als mathematische Modelle

Unterrichtsvorhaben Q1-VI:

Thema:

Optimierungsprobleme (Q-GK-A1)

 Modellieren

 Problemlösen

Inhaltsfeld:

Funktionen und Analysis (A)

Unterrichtsvorhaben Q1-VII:

Thema: Von der Änderungsrate zum Be- stand (Q-GK-A3)

 Kommunizieren

 Grundverständnis des Integralbegriffs Zeitbedarf: 9 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-VIII:

Thema: Von der Randfunktion zur Integral- funktion (Q-GK-A4)

 Argumentieren

 Integralrechnung Zeitbedarf: 12 Std.

Summe Qualifikationsphase (Q1) – GRUNDKURS 78 Stunden

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11 Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS

Unterrichtsvorhaben Q2-I:

Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen (Q- GK-A5)

 Problemlösen

 Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: 9 Std.

Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen- tialfunktionen (Q-GK-A6)

 Modellieren

 Fortführung der Differentialrechnung

Thema: Von stochastischen Modellen, Zu- fallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-GK-S1)

 Modellieren

Inhaltsfeld: Stochastik (S)

 Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits- verteilungen

Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulliexpe- rimente und Binomialverteilung

(Q-GK-S2)

 Modellieren

 Binomialverteilung Zeitbedarf: 9 Std.

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12

Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS Fortsetzung Unterrichtsvorhaben Q2-V:

Thema: Modellieren mit Binomialverteilun- gen (Q-GK-S3)

 Modellieren

 Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S)

Unterrichtsvorhaben Q2-VI :

Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q-GK-S4)

 Modellieren

 Stochastische Prozesse Zeitbedarf: 9 Std.

Summe Qualifikationsphase (Q2) – GRUNDKURS: 54 Stunden

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13 Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS

Unterrichtsvorhaben Q1-I:

Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1)

 Modellieren

 Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden)

Thema: Die Welt vermessen – das Skalar- produkt und seine ersten Anwendungen (Q- LK-G2)

 Problemlösen

 Skalarprodukt

Zeitbedarf: 10Std.

Thema: Ebenen als Lösungsmengen von linearen Gleichungen und ihre Beschreibung durch Parameter (Q-LK-G3)

 Argumentieren

 Kommunizieren

 Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Ebenen)

Thema: Lagebeziehungen und Abstands- probleme bei geradlinig bewegten Objekten (Q-LK-G4)

 Argumentieren

 Kommunizieren

 Lagebeziehungen und Abstände (von Geraden)

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Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS Fortsetzung Unterrichtsvorhaben Q1-V:

Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q- LK-G5)

 Problemlösen

 Lagebeziehung und Abstände (von Ebenen)

Thema: Strategieentwicklung bei geometri- schen Problemsituationen und Beweisaufga- ben (Q-LK-G6)

 Modellieren

 Problemlösen

 Verknüpfung aller Kompetenzen

Thema:

Funktionen beschreiben Formen – Modellie- ren von Sachsituationen mit Funktionen (Q- LK-A2)

 Modellieren

Inhaltsfelder:

Funktionen und Analysis (A) Lineare Algebra (G)

Thema:

Optimierungsprobleme (Q-LK-A1)

 Modellieren

 Problemlösen

Inhaltsfeld:

Funktionen und Analysis (A)

 Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: 20 Std.

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15 Unterrichtsvorhaben Q1-IX

Thema: Von der Änderungsrate zum Be- stand (Q-LK-A3)

 Kommunizieren

 Grundverständnis des Integralbegriffs Zeitbedarf: 10 Std.

Unterrichtsvorhaben Q1-X:

Thema: Von der Randfunktion zur Integral- funktion (Q-LK-A4)

 Argumentieren

Summe Qualifikationsphase (Q1) – LEISTUNGSKURS 130 Stunden

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Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS Unterrichtsvorhaben Q2-I:

Thema: Natürlich: Exponentialfunktionen und Logarithmus (Q-LK-A5)

 Problemlösen

Unterrichtsvorhaben Q2-II

Thema: Modellieren (nicht nur) mit Exponen- tialfunktionen (Q-LK-A6)

 Modellieren

Thema: Von stochastischen Modellen, Zu- fallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-LK-S1)

 Modellieren

 Kenngrößen von Wahrscheinlichkeits- verteilungen

Thema: Treffer oder nicht? – Bernoulliexpe- rimente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2)

 Modellieren

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17 Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS Fortsetzung Unterrichtsvorhaben Q2-V:

Thema: Untersuchung charakteristischer Größen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3)

 Problemlösen

 Binomialverteilung

Zeitbedarf: 5 Std

Thema: Ist die Glocke normal? (Q-LK-S4)

 Modellieren

 Problemlösen

 Normalverteilung

Thema: Signifikant und relevant? – Testen von Hypothesen (Q-LK-S5)

 Modellieren

 Kommunizieren

 Testen von Hypothesen Zeitbedarf: 10 Std.

Thema: Von Übergängen und Prozessen (Q- LK-S6)

 Modellieren

 Stochastische Prozesse Zeitbedarf: 10 Std

Summe Qualifikationsphase (Q2) – LEISTUNGSKURS: 90 Stunden

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Übersicht über die Unterrichtsvorhaben

E-Phase

Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl

I E-A1 15

II E-A2 18

III E-A3 18

IV E-G 9

V E-S1 12

VI E-S2 12

Summe: 84

Q1 Grundkurse

I Q-GK-G4 9

II Q-GK-G1 9

III Q-GK-G2 9

IV Q-GK-G3 6

V Q-GK-A2 15

VI Q-GK-A1 9

VII Q-GK-A3 9

VIII Q-GK-A4 12

Summe: 78

Q2 Grundkurse

I Q-GK-A5 9

II Q-GK-A6 12

III Q-GK-S1 6

IV Q-GK-S2 9

V Q-GK-S3 9

VI Q-GK-S4 9

Summe: 54

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19 Q1 Leistungskurse

Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl

I Q-LK-G1 10

II Q-LK-G2 10

III Q-LK-G3 10

IV Q-LK-G4 10

V Q-LK-G5 10

VI Q-LK-G6 10

VII Q-LK-A2 20

VIII Q-LK-A1 20

IX Q-LK-A3 10

X Q-LK-A4 20

Summe: 130

Q2 Leistungskurse

I Q-LK-A5 20

II Q-LK-A6 20

III Q-LK-S1 5

IV Q-LK-S2 10

V Q-LK-S3 5

VI Q-LK-S4 10

VII Q-LK-S5 10

VIII Q-LK-S6 10

Summe: 90

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2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Vorhabenbezogene Konkretisierung:

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Einführungsphase Funktionen und Analysis (A)

Thema: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (E-A1)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Die Schülerinnen und Schüler

 beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen

 beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Ex- ponentialfunktionen

 wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktio- nen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parame- ter

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte):

Modellieren

 erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)

 übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)

Werkzeuge nutzen

 nutzen grafikfähige Taschenrechner

 verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum

… Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle

… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

Algebraische Rechentechniken werden grundsätzlich parallel wiederholt und geübt (eventuell ergänzt durch differenzierende, individuelle Zusatz- angebote aus Aufgabensammlungen). Dem oft erhöhten Angleichungs- und Förderbedarf von Schulformwechslern kann ebenfalls neben geziel- ten individuellen Angeboten durch die Zuweisung zum Vertiefungskurs Rechnung getragen werden.

Hilfreich kann es sein, dabei die Kompetenzen der Mitschülerinnen und Mitschüler (z. B. durch Kurzvorträge) zu nutzen.

Ein besonderes Augenmerk muss in diesem Unterrichtsvorhaben auf die Einführung in die elementaren Bedienkompetenzen der verwendeten Software und des GTR gerichtet werden.

Als Kontext für die Beschäftigung mit Wachstumsprozessen können zu- nächst Ansparmodelle (insbesondere lineare und exponentielle) betrachtet werden. Für kontinuierliche Prozesse und den Übergang zu Exponen- tialfunktionen werden verschiedene Kontexte (z. B. Bakterienwachstum, Abkühlung) untersucht.

Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SI bezüglich der Transformatio- nen von quadratischen Funktionen und Parabeln erfolgt ein systemati- sches Erkunden mithilfe des GTR als Zugang zur Transformation anderer Funktionstypen.

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Thema: Von der durchschnittlichen über die lokale Änderungsrate hin zu Ableitungen ganzrationaler Funktionen (E-A2)

Zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

 berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext

 erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenz- wertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate

 deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten

 deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangen- tensteigung

 beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungs- funktion)

 leiten Funktionen graphisch ab

 begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem- punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen

 nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Expo- nenten

 wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an

Argumentieren (Vermuten) Die Schülerinnen und Schüler

 stellen Vermutungen auf

 unterstützen Vermutungen beispielgebunden

 präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück- sichtigung der logischen Struktur

Für den Einstieg werden Beispiele zu durchschnittlichen Änderungsraten in unterschiedlichen Sachzusammenhängen (z. B. Bewegungen, Zu- und Abflüsse, Höhenprofil, Temperaturmessung, Aktienkurse, Entwicklung regenerativer Energien, Wirk- oder Schadstoffkonzentration, Wachstum, Kosten- und Ertragsentwicklung) empfohlen.

Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Än- derungsrate wird zum Beispiel die vermeintliche Diskrepanz zwischen der Durchschnittsgeschwindigkeit bei einer längeren Fahrt und der durch ein Messgerät ermittelten Momentangeschwindigkeit genutzt.

Neben zeitabhängigen Vorgängen soll auch ein geometrischer Kontext betrachtet werden.

Im Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten und dem Begründen der Eigenschaften eines Funktionsgraphen sollen die Schülerinnen und Schüler in besonderer Weise zum Vermuten, Begründen und Präzisieren ihrer Aussagen angehalten werden. Hier ist auch der Ort, den Begriff des Extrempunktes und des Wendepunktes einzuführen.

Am Ende des Unterrichtsvorhabens wird die Frage aufgeworfen, ob mehr als numerische und qualitative Untersuchungen in der Differentialrech- nung möglich sind. Für eine quadratische Funktion wird der Grenzüber- gang bei der „h-Methode“ oder der „x-Methode“ exemplarisch durchge- führt.

Empfehlung: Durch entdeckendes Lernen vermuten die Lernenden eine Formel für die Ableitung einer beliebigen quadratischen Funktion. Dabei vermuten sie auch das Grundprinzip der Linearität (ggf. auch des Verhal- tens bei Verschiebungen in x-Richtung). Durch Analyse des Rechenwe- ges werden die Vermutungen bestätigt.

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 überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen)

Problemlösen

 analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden)

 erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) Werkzeuge nutzen

… Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle

… grafischen Messen von Steigungen

 nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun- den und Recherchieren, Berechnen und Darstellen

Um die Ableitungsregel für höhere Potenzen zu vermuten, nutzen die Schüler den GTR und die Möglichkeit, Werte der Ableitungsfunktionen näherungsweise zu tabellieren und zu plotten. Eine Beweisidee kann optional erarbeitet werden. Der Unterricht erweitert besonders Kompetenzen aus dem Bereich des Vermutens.

Die Motivation zur Beschäftigung mit Polynomfunktionen soll durch eine Optimierungsaufgabe geweckt werden. Die verschiedenen Möglichkeiten, eine Schachtel aus einem DIN-A4-Blatt herzustellen, führen insbesondere auf Polynomfunktionen vom Grad 3. Hier können sich alle bislang erarbei- teten Regeln bewähren.

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Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A3)

 begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem- punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen

 nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Ex- ponenten

 wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an

 lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurück- führen lassen, ohne digitale Hilfsmittel

 verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkri- terium zur Bestimmung von Extrempunkten

 unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich

 verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigen- schaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathemati- schen Problemen

 nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion

Problemlösen

 analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden)

 erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden)

 wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Prob- lemlösung aus (Lösen)

 nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf

Ganzrationale Funktionen dritten Grades werden Gegenstand einer quali- tativen Erkundung mit dem GTR, wobei Parameter gezielt variiert werden.

Bei der Klassifizierung der Formen können die Begriffe aus Unterrichts- vorhaben II (Thema E-A2) eingesetzt werden. Zusätzlich werden die Symmetrie zum Ursprung und das Globalverhalten untersucht. Die Vortei- le einer Darstellung mithilfe von Linearfaktoren und die Bedeutung der Vielfachheit einer Nullstelle werden hier thematisiert.

Für ganzrationale Funktionen werden die Zusammenhänge zwischen den Extrempunkten der Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Be- trachtung von Monotonieintervallen und der vier möglichen Vorzeichen- wechsel an den Nullstellen der Ableitung untersucht. Hier ist auch der Ort, den Begriff des Extrempunktes (lokal vs. global) zu präzisieren.

Darüber hinaus soll hier auch die Änderung der Änderung thematisiert werden und die Kriterien des Wendepunktes erarbeitet werden.

Die Schülerinnen und Schüler üben damit, vorstellungsbezogen zu argumentieren. Die Untersuchungen auf Symmetrien und Globalverhalten werden fortgesetzt.

Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zusammenhang mit der Null- stellenbestimmung wird durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Üben von Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR gegeben.

Neben den Fällen, in denen das Kriterium der zweiten Ableitung angewendet wird, werden die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in denen das Vorzeichenwechselkriterium angewendet werden muss oder sie mit den Eigenschaften des Graphen oder Terms argumentieren kön- nen.

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25 Bekanntes) (Lösen)

Argumentieren

 überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen)

 präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück- sichtigung der logischen Struktur (Vermuten)

 nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumen- te für Begründungen (Begründen)

 berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinrei- chende Bedingung, Folgerungen […]) (Begründen)

 erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beur- teilen)

… Lösen von Gleichungen

… zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

Beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen sollen auch Tangenten- und können Normalengleichungen bestimmt werden.

Ein kurzes Wiederaufgreifen des graphischen Ableitens am Beispiel der Sinusfunktion führt zur Entdeckung, dass die Kosinusfunktion deren Ablei- tung ist.

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Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)

Thema: Koordinatisierung des Raumes/ Vektoren (E-G)

 wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum

 stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koor- dinatensystem dar

 deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren

 stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vekto- ren dar

 berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras

 addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität

 weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach

Problemlösen

 entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)

 setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen)

 wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Pro- blemlösung aus (Lösen)

Ausgangspunkt ist eine Vergewisserung der den Schülerinnen und Schü- lern bereits bekannten Koordinatisierungen.

An geeigneten, nicht zu komplexen geometrischen Modellen wird den Schülerinnen und Schülern der Zusammenhang zwischen Schrägbildern und der Kombination aus Grund-, Auf- und Seitenriss wieder ins Ge- dächtnis gerufen, um ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu verbessern.

Mithilfe einer DGS werden unterschiedliche Möglichkeiten, ein Schrägbild zu zeichnen, untersucht und hinsichtlich ihrer Wirkung beurteilt.

Durch Operieren mit Verschiebungspfeilen werden einfache geometrische Problemstellungen gelöst: Beschreibung von Diagonalen (insbesondere zur Charakterisierung von Viereckstypen), Auffinden von Mittelpunkten (ggf. auch Schwerpunkten), Untersuchung auf Parallelität.

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27 Modellieren

 erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Kommunizieren (Produzieren)

 wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus

 wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen

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Einführungsphase Stochastik (S)

Thema: Den Zufall im Griff – Modellierung von Zufallsprozessen (E-S1)

 deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente

 simulieren Zufallsexperimente

 verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen

 stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungs- wertbetrachtungen durch

 beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahr- scheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln

Modellieren

 treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea- len Situation vor (Strukturieren)

 erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Werkzeuge nutzen

… Generieren von Zufallszahlen

… Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Beim Einstieg ist eine Beschränkung auf Beispiele aus dem Bereich Glücksspiele zu vermeiden. Einen geeigneten Kontext bietet die Methode der Zufallsantworten bei sensitiven Umfragen.

Zur Modellierung von Wirklichkeit werden durchgängig Simulationen – auch unter Verwendung von digitalen Werkzeugen (GTR, Tabellenkalku- lation) – geplant und durchgeführt (Zufallsgenerator).

Das Urnenmodell wird auch verwendet, um grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der Rei- henfolge zu thematisieren.

Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert werden im Kontext von Glücksspielen erarbeitet und können durch zu- nehmende Komplexität der Spielsituationen vertieft werden.

Digitale Werkzeuge werden zur Visualisierung von Wahrscheinlichkeits- verteilungen (Histogramme) und zur Entlastung von händischem Rechnen verwendet.

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… Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

… Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert)

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Thema: Testergebnisse richtig interpretieren – Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (E-S2)

 modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vier- oder Mehrfeldertafeln

 bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten

 prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit

 bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlich- keiten

Modellieren

 erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)

 beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validie- ren)

Kommunizieren

 erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten […] (Rezipieren)

 wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Pro- duzieren)

Als Einstiegskontext zur Erarbeitung des fachlichen Inhaltes könnte das HIV-Testverfahren dienen, eine Möglichkeit zur Vertiefung böte dann die Betrachtung eines Diagnosetests zu einer häufiger auftretenden Erkran- kung (z. B. Grippe).

Um die Übertragbarkeit des Verfahrens zu sichern, sollen insgesamt min- destens zwei Beispiele aus unterschiedlichen Kontexten betrachtet werden.

Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen werden parallel Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet.

Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen verschiedenen Darstel- lungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln können und diese zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Ast- wahrscheinlichkeiten nutzen können.

Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge ist die Unterscheidung von Wahrscheinlichkeiten des Typs P(A∩B) von bedingten Wahrschein- lichkeiten – auch sprachlich – von besonderer Bedeutung.

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Q-Phase Grundkurs Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)

Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1)

 stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar

 interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext

Prozessbezogene Kompetenzen:

Modellieren

 treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer rea- len Situation vor (Strukturieren)

 erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)

 beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren)

 verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Vali- dieren)

Lineare Bewegungen werden z. B. im Kontext von Flugbahnen (Kondens- streifen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektor beschrieben und optional dynamisch mit DGS dargestellt. Dabei sollten Modellierungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Flugobjekte, Flugebenen) einbezogen werden.

Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit zu variieren. In jedem Fall soll der Unterschied zwischen einer Geraden als Punktmenge (z. B. die Flugbahn) und einer Parametrisierung dieser Punktmenge als Funktion (von der Parametermenge in den Raum) her- ausgearbeitet werden.

Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geometrische Frage aufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist.

Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Paramet- risierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Punktproben sowie die Berechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen sollen auch hilfsmittelfrei durchgeführt werden. Die Darstellung in räumlichen Koor- dinatensystemen sollte hinreichend geübt werden.

Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Gebäuden in Paral- lel- und Zentralprojektion auf eine der Grundebenen berechnet und zeich- nerisch dargestellt werden. Der Einsatz der DGS bietet hier die zusätzli- che Möglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden kann.

Inhaltlich schließt die Behandlung von Schrägbildern an das Thema E-G1 an.

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 nutzen Geodreiecke […] geometrische Modelle und Dynamische- Geometrie-Software

… grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden

… Darstellen von Objekten im Raum

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Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung von geometrischen Problemen (Q-GK-G2)

 stellen Ebenen in Parameterform dar

 untersuchen Lagebeziehungen […] zwischen Geraden und Ebenen

 berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext

 stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar

 beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

 interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen

Prozessbezogene Kompetenzen:

Problemlösen

 wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen (Erkun- den)

 entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen)

 wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen (Lösen)

 nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...] Darstellungs- wechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallun- terscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, […]) (Lösen)

 führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus (Lösen)

 vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren)

 beurteilen und optimieren Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und

Als Einstiegskontext für die Parametrisierung einer Ebene kann eine Dachkonstruktion mit Sparren und Querlatten dienen. Diese bildet ein schiefwinkliges Koordinatensystem in der Ebene. Damit wird die Idee der Koordinatisierung aus dem Thema E-G2 wieder aufgegriffen.

Wenn genügend Zeit zur Verfügung steht, können durch Einschränkung des Definitionsbereichs Parallelogramme und Dreiecke beschrieben und auch anspruchsvollere Modellierungsaufgaben gestellt werden, die über die Kompetenzerwartungen des KLP hinausgehen.

In diesem Unterrichtsvorhaben werden Problemlösekompetenzen erwor- ben, indem sich heuristische Strategien bewusst gemacht werden (eine planerische Skizze anfertigen, die gegebenen geometrischen Objekte abstrakt beschreiben, geometrische Hilfsobjekte einführen, bekannte Verfahren zielgerichtet einsetzen und in komplexeren Abläufen kombinie- ren und unterschiedliche Lösungswege kriteriengestützt vergleichen).

Punktproben sowie die Berechnung von Spurgeraden in den Grundebe- nen und von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen führen zunächst noch zu einfachen Gleichungssystemen. Die Achsenabschnitte erlauben eine Darstellung in einem räumlichen Koordinatensystem.

Die Untersuchung von z.B. Schattenwürfen eines Mastes auf eine Dach- fläche motiviert zu der systematischen Auseinandersetzung mit linearen Gleichungssystemen, mit der Matrix-Vektor-Schreibweise und mit dem Gauß-Verfahren.

Die Lösungsmengen werden mit dem GTR bestimmt, zentrale Werk- zeugkompetenz in diesem Unterrichtsvorhaben ist die Interpretation des angezeigten Lösungsvektors bzw. der reduzierten Matrix. Die Vernetzung

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Effizienz (Reflektieren)

 analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern (Reflektieren) Werkzeuge nutzen

… Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen

der geometrischen Vorstellung (Lagebeziehung) und der algebraischen Formalisierung sollte stets deutlich werden.