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12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12 Lagebeziehungen Gerade – Gerade 08
Richtungsvektoren parallel (d. h. Vielfache voneinander)?
ja nein
Aufpunkt der einen Geraden Geraden gleichsetzen in die andere einsetzen
liegt drauf liegt nicht drauf eindeutige L¨osung Widerspruch identisch echt parallel schneiden sich windschief Beispiele:
g
1: X ~ =
1 2 1
+λ
1
1 4 3
g
2: X ~ =
4 4 8
+λ
2
2 3 5
g
3: X ~ =
0,8
−0,8 0
+λ
3
−0,4
−0,6
−1
λ
1, λ
2, λ
3∈ IR.
Lagebeziehung von g
1und g
2:
Die Richtungsvektoren sind nicht parallel. Falls nicht schon geschehen, m¨ussen vor dem Gleich- setzen die Parameter verschiedene Bezeichnungen erhalten.
I 1 + λ
1= 4 + 2λ
2| · (−4) II 2 + 4λ
1= 4 + 3λ
2| III 1 + 3λ
1= 8 + 5λ
2Aus zwei Gleichungen (z. B. I und II) λ
1und λ
2berechnen:
−2 = −12 − 5λ
2; λ
2= −2 in I: λ
1= −1
Probe mit der dritten (noch nicht verwendeten) Gleichung: −2 = −2 (stimmt).
Die Geraden schneiden sich.
Schnittpunkt: λ
1in g
1einsetzen (oder λ
2in g
2):
S(0| − 2| − 2).
Lagebeziehung von g
2und g
3:
Die Richtungsvektoren sind parallel, denn
2 3 5
= −0,2
−0,4
−0,6
−1
. Aufpunkt von g
3(0,8| − 0,8|0) in g
2einsetzen:
0,8
−0,8 0
=
4 4 8
2 3 5
, also 0,8 = 4 + 2λ
2, also λ
2= −1,6
−0,8 = 4 + 3λ
2, Probe stimmt 0 = 8 + 5λ
2, Probe stimmt.
Also sind g
2und g
3identische Gera- den.
Schnittwinkel sich schneidender Geraden
Wenn sich zwei Geraden schneiden, so berechnet sich der Schnittwinkel aus den Richtungs- vektoren ~ u
1und ~ u
2mit
cos ϕ = |~ u
1◦ ~ u
2|
|~ u
1| · |~ u
2| Beispiel:
F¨ur obige Geraden g
1, g
2ist cos ϕ =
√ 1·2+4·3+3·5 1+16+9·√4+9+25
