12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12

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12. Klasse TOP 10 Mathematik 12 Gesamtes Grundwissen mit ¨ Ubungen G

Grundwissen Mathematik 12. Klasse: Die 10 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite!

Zum Wiederholen kann man die ¨Ubungen des Kompakt- ¨Uberblicks verwenden.

12/1 Integration G U¨ L

12/2 Wendepunkte, Integralfunktionen G U¨ L 12/3 Erwartungswert, Binomialverteilung G U¨ L

12/4 Testen von Hypothesen G U¨ L

12/5 Geradengleichungen G U¨ L

12/6 Ebenengleichungen G U¨ L

12/7 Normalenform und HNF von Ebenen G U¨ L 12/8 Lagebeziehung Gerade – Gerade G U¨ L 12/9 Lagebeziehung Gerade – Ebene G U¨ L 12/10 Lagebeziehung Ebene – Ebene G U¨ L 12/K Kompakt- Überblick zum Grundwissen G U¨ L G=Grundwissen, Ü= Übungen, L=Lösungen

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CCBY-SA:www.strobl-f.de/grund121.pdf

12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12

Integration 01

6

-x y

f A

a b

A=

b

R

a

f(x)dxkann veranschaulicht werden als Fl¨ache unter dem Graphen von f zwischen x = a und x = b, genauer:

als Flächenbilanz, wobei Flächen oberhalb derx-Achse positiv zählen, unterhalb derx-Achse negativ.

- 6

x y

+

−

Fl¨achen zwischen zwei Kurven:

”Oberkurve minus Unterkurve“:A=^R^b

a

(f(x)−g(x))dx

6

-x y

A

a b

”Oberkurve“

”Unterkurve“

f g

Näherungsweise können Flächen auch durch Zerlegung in Streifen und die entsprechende Summe der Streifenflächen berechnet werden (→ueb121.pdf, Aufgabe 1).

Zur Berechnung vonA =^R^b

a

f(x)dx:

Zuerst besorgt man sich eineStammfunktionF, d. h. eine Funktion, deren AbleitungF⁰(x) den Integranden f ergibt (weitere Hinweise →grund112.pdf, grund117.pdf, grund118.pdf und siehe unten; Hauptsatz und Begriff

”Integralfunktion“ →grund122.pdf).

Beispiel:f(x) =x²−10; dann istF(x) = ^x₃³ −10x(Kontrolle durch Differenzieren!) Nun wertet man die Stammfunktion aus durch Einsetzen

”Obergrenze minus Untergrenze“:

b

Z

a

f(x)dx= [F(x)]^b_a =F(b)−F(a).

Beispiel (Klammern setzen, Vorzeichen beachten!):

3

R

−1

(x²−10)dx=^h^x₃³ −10xⁱ³

−1 = ³₃³−10·3−^h⁽⁻¹⁾₃ ³ −10·(−1)ⁱ= 9−30 +¹₃−10 =−⁹²₃ Merke Stammfunktionen:

f(x) 1 x x² xⁿ f¨urn6=−1 1

x =x⁻¹ ^N_N⁰_(x)^(x) v⁰(x)e^v(x) sinx F(x) x x²

2 x³

3

xⁿ⁺¹

n+ 1 ln|x| ln|N(x)| e^v(x) −cosx Tricks:

• Ausdr¨ucke von der Sorte _x¹3 oder√

xkann man alsx⁻³bzw.x¹² schreiben und mit der xⁿ-Formel die Stammfunktion−¹₂x⁻² =−_2x¹2 bzw. ²₃x³² finden.

• Bei Br¨uchen mit einfachem Nenner ist es manchmal g¨unstig, sie

”auseinanderzuzie- hen“, z. B. beif(x) = ^3x⁴^+2x_x2²^+x = ^3x_x2⁴ +^2x_x2² +_x^x2 = 3x²+ 2 + ¹_x.

Also Stammfunktion:F(x) =x³+ 2x+ ln|x|.

• In Pr¨ufungsaufgaben steht die Stammfunktion manchmal schon da und man muss durch Differenzieren (→grund116.pdf) lediglich nachweisen, dass es tats¨achlich eine Stammfunktion ist.

Manchmal hat man in vorhergehenden Aufgaben Umformungen gemacht, die das In- tegrieren wesentlich erleichtern.

Beispiel:f(x) = ^x_x+1²⁻⁴ = (x²−4) : (x+ 1) =x−1− _x+1³ (Polynomdivision!) Also Stammfunktion:F(x) = ^x₂² −x−3 ln|x+ 1|.

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BY-SA:www.strobl-f.de/grund122.pdf

12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12 Wendepunkte, Integralfunktionen 02

Kr ¨ummung und Wendepunkte f⁰⁰(x)bilden,f⁰⁰(x) = 0.

Vorzeichenbereiche von f⁰⁰ ermitteln (→ grund107.pdf, dabei ggf. auch Definitionsl¨ucken markieren)

Krümmung:f⁰⁰>0: Graph ist in diesem Bereich linksgekrümmt;f⁰⁰<0: rechtsgekrümmt.

Dazwischen bei f⁰⁰(x) = 0: Flachpunkt; bei Vorzeichenwechsel von f⁰⁰ sogar Wende- punkt; wenn zus¨atzlich zum Vorzeichenwechsel dortf⁰(x) = 0:Terrassenpunkt.

Diey-Koordinate dieser Punkte ermittelt man durch Einsetzen inf(x).

Beispiel:f(x) = ₁₀₀¹ (x+ 3)(x²−9)(x²+ 9) = ₁₀₀¹ (x⁵+ 3x⁴−81x−243) f⁰(x) = ₁₀₀¹ (5x⁴+ 12x³−81)

f⁰⁰(x) = ₁₀₀¹ (20x³ + 36x²)

f⁰⁰(x) = 0: ₁₀₀¹ x²(20x+ 36) = 0;x_1/2 = 0;x₃ =−1,8.

f⁰⁰<0 f⁰⁰>0 f⁰⁰ >0

rechts- links- linksgekr¨ummt WP(−1,8|y) FLAP(0|0)

−1,8 0

mity =f(−1,8)≈ −0,85

-x

6

y

0 1

1 f

WPr

rFLAP Maxr

Unter einerWendetangenteversteht man die Tangente im Wendepunkt.

Kriterium f ¨ur Extrema(→grund113.pdf) mit Hilfe der zweiten Ableitungf⁰⁰:

Bekanntlich genügt f⁰(x) = 0 noch nicht für das Vorliegen eines Extremums, sondern es muss noch ein Vorzeichenwechsel (VZW) von f⁰ vorliegen. Alternativ zur Vorzeichenbe- trachtung kann man die in Frage kommendenx-Werte in f⁰⁰(x)einsetzen. Ist dann an einer solchen Stellef⁰⁰(x) >0, so ist dort der Graph linksgekrümmt, d. h. es handelt sich um ein Minimum, beif⁰⁰(x)<0entsprechend um ein Maximum.

Ist an einer solchen Stelle f⁰⁰(x) = 0, so muss man doch die Vorzeichenbereiche untersu- chen.

In obigem Beispielf(x) = ₁₀₀¹ (x+ 3)(x²−9)(x²+ 9)ist f⁰(−3) = ₁₀₀¹ (5·(−3)⁴+ 12·(−3)³−81) = 0und

f⁰⁰(−3) = ₁₀₀¹ (20·(−3)³+ 36·(−3)²) = −2,16<0und daherx=−3eine Maximalstelle.

Integralfunktion

Bei fester unterer Grenzeaund variabler oberer Grenzexerh¨alt man durchI(x) =

x

R

a

f(t)dt eine Integralfunktion.

Beispiel: Eine Integralfunktion zuf(t) = ¹₄t+ 3ist z. B. (beia=−4) gegeben durch I(x) =

x

R

−4

(¹₄t+ 3)dt =^h¹₈t²+ 3tⁱ^x

−4 = ¹₈x²+ 3x−(¹₈ ·(−4)²+ 3·(−4)) = ¹₈x²+ 3x+ 10.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion, d. h.I⁰(x) = f(x).

In obigem Beispiel mitI(x) = ¹₈x²+ 3x+ 10istI⁰(x) = ¹₄x+ 3 =f(x).

Die Begriffe Integralfunktion und Stammfunktion sind jedoch verschieden: Eine Integral- funktion hat stets mindestens eine Nullstelle (n¨amlich untere Grenzex = a), eine Stamm- funktion muss jedoch diese Eigenschaft nicht haben.

Zusammenh¨ange zwischen Eigenschaften einer StammfunktionF undf =F⁰ Eig. der Stammfkt.F Formaler Zusammenhang Eig. vonf an einer Stellex F hat Extremum F⁰(x) = f(x) = 0mit VZW f hat Nullstelle mit VZW F hat Wendepunkt F⁰⁰(x) =f⁰(x) = 0mit VZW f hat Extremum

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12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12 Erwartungswert, Binomialverteilung 03

Zufallsvariablenordnen jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu.

Zum Beispiel beim zweimaligen W¨urfeln dem Ergebnis(3; 6)die Anzahl der 2er, hierX((3; 6)) = 0.

DieWahrscheinlichkeitsverteilunggibt an, mit welcher WahrscheinlichkeitP(X =a)die jeweiligen Werteaauftreten.

Zum Beispiel beim zweimaligen W¨urfeln f¨ur die AnzahlXder 2er: a 0 1 2

P(X=a) ²⁵₃₆ ¹⁰₃₆ ₃₆¹

Der Erwartungswert µ = E(X) gibt einen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ge- wichteten Mittelwert an:µ=E(X) =^P

a a·P(X =a).

DieVarianzσ² =V(X)und dieStreuung (Standardabweichung)σ =^qV(x)sind Maße f¨ur die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert:σ²=V(X) =^P

a(a−µ)²·P(X=a).

In obigem Beispiel:µ=E(X) = 0·P(X = 0) + 1·P(X = 1) + 2·P(X = 2) =¹₃,

σ²=V(X) = (0−¹₃)²·²⁵₃₆+ (1−¹₃)²· ¹⁰₃₆+ (2−¹₃)²· ₃₆¹ =₁₈⁵.

Wichtig zum Verständnis der Formeln für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ist der Binomialkoeffizient, der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, ausnObjekten eine Teil- menge vonk Stück (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) auszuwählen:

n k

!

= n!

k!(n−k)!

Taschenrechner: nCr-Taste.

Zum Beispiel Lotto 6 aus 49:

49 6

= _{43! 6!}^49! = 13 983 816

Hypergeometrische Verteilung: Urnenexperiment Ziehen ohne Zur ¨ucklegen

P(A) = S s

! N −S n−s

!

N n

! N Kugeln, davon

Sschwarze (

”Treffer“) N −Sweiße (

”Niete“)

@@R

n-mal ohne Zur¨ucklegen

EreignisA:

sschwarze n−sweiße Binomialverteilung: Urnenexperiment Ziehen mit Zur ¨ucklegen

Ein Bernoulli-Experiment (zwei Versuchsausgänge: Treffer und Niete, Trefferwahrschein- lichkeitp) wirdn-mal unabhängig durchgeführt (Bernoulli-Kette der Längenzum Parameter p). Die Wahrscheinlichkeit, genaukTreffer zu erhalten, ist dann

B(n;p;k) = n k

!

p^k(1−p)^n−k

(Binomialverteilung→Stochastik-Tafel). ”Treffer“ mit W.p

”Niete“ mit W.q= 1−p

@@R

n-mal mit Zur¨ucklegen EreignisA:

GenaukTreffer Die Wahrscheinlichkeit,h¨ochstensk Treffer zu erhalten, ist

B(n;p; 0) +B(n;p; 1) +. . .+B(n;p;k) =

k

X

i=0

B(n;p;i) (Verteilungsfunktion→Stochastik-Tafel)

Beispiel 1: Bei einer bestimmten Telefon-Gesellschaft kommen 96 % aller Telefongespr¨ache beim ersten

W¨ahlen zustande. Jemand muss 10 Gespr¨ache erledigen. Treffer:

”kommt durch“,p= 0,96,n= 10.

BetrachteA:

”kommt genau einmal nicht durch“,B:

”kommt mindestens achtmal durch“.

A: d. h. genau 9 Treffer:P(A) =B(10; 0,96; 9) = ¹⁰₉

·0,96⁹·0,04 = 0,27701(oder Tafel).

B: KomplementB:

”h¨ochstens sieben Treffer“.P(B) =Pn=10,p=0,96(k≥8) = 1−Pn=10,p=0,96(k≤7) =

1−0,00621 = 0,99379(Tafel)

Beispiel 2:Wie oft muss das Experiment durchgef¨uhrt werden, um mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit

mindestens einmalnicht durchzukommen, wenn die W. hierf¨ur 0,04 betr¨agt?

Hier notiert man einen Ansatz (

”Soll gelten:P_n=?,p=0,04(k ≥ 1) ≥ 0,90“), geht zum Komplement ¨uber

(”P_n=?,p=0,04(k= 0)≤1−0,90, d. h.0,96ⁿ ≤0,10“) und l¨ost die entstehende Exponentialgleichung durch

beidseitiges Logarithmieren (

”nln 0,96≤ln 0,10, d. h.n≥^{ln 0,10}_{ln 0,96} ≈56,4, alson≥57“).

F¨ur binomialverteilte Zufallsvariablen giltµ=E(X) =npundσ² =npq =np(1−p).

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12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12

Testen von Hypothesen 04

Beispiel:

Eine Telefongesellschaft behauptet, in (mindestens) 97 % der Fälle eine freie Leitung bieten zu können. Es werden 200 Testanrufe durchgeführt. Bei welchem Versuchsausgang kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit (Testniveau) von 5 % (

”95 % Sicherheit“) von einer unwahren Aussage sprechen?

Einseitiger Test:

Treffer: Freie Leitung. Trefferw.punbekannt. Bernoullikette der L¨angen= 200.

NullhypotheseH0:p≥0,97 AlternativeH₁:p <0,97(

”Die Telefongesellschaft l¨ugt“) Ein Test besteht in der Angabe einerEntscheidungsregel(ER).

ER:H₀ ablehnen, falls Trefferzahlk ≤k0.

H1 H0

0,97 k0 k0+ 1

H0ablehnen H0nicht ablehnen

Liegt das Versuchsergebnis im Ablehnungsbereich, so wird H₀ verworfen (

”signifikante“

Entscheidung f¨urH₁); andernfalls kann manH₀nicht verwerfen.

Beim Entscheidungsverfahren k¨onnenFehlerauftreten:

Entscheidung H₀nicht abgelehnt H₀abgelehnt Realit¨at

H₀ :p≥0,97 Richtiges Urteil α-Fehler(Fehler 1. Art)

Schwerer Irrtum (Zu Unrecht Vorwurf der L¨uge)

H₁ :p < 0,97 β-Fehler (Fehler 2. Art) Richtiges Urteil

Irrtum (zugunsten der Tel.ges.)

Die ER wird so festgelegt, dass der α-Fehler (H0 abgelehnt, obwohl wahr) kleiner als die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit ist:

Pn=200, p=0,97

| {z }

. . . obwohlH0wahr

( k≤k₀

| {z }

H0abgelehnt . . .

)≤0,05

Mit dem Stochastik-Tafelwerk folgtk₀ = 189.

Die ER lautet also:H₀ ablehnen, falls Trefferzahlk≤189

Der β-Fehler hängt davon ab, welchesp tatsächlich vorliegt. Ist z. B. p = 0,95, so ist der β-Fehler (die Telefongesellschaft für gut zu halten, obwohl sie es nicht ist):

Pn=200, p=0,95(

”H₀ nicht abgelehnt“) = Pn=200, p=0,95(k ≥k₀+ 1) =

= 1−Pn=200, p=0,95(k≤189) = 1−0,41693≈0,58 Die Wahl der Nullhypothese hängt von der Interessenlage ab, d. h. welchen Fehler man als α-Fehler unter Kontrolle haben möchte. Im Zweifelsfall hat in Prüfungen der Angabentext Vorrang; sonst wählt man als H₀ das, was man mit Sicherheit ablehnen möchte, und als AlternativeH₁ das, was man beweisen möchte.

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12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12

Geradengleichungen 05

Punkt-Richtungs-Form

Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor A) auf der Geraden und einen Richtungsvektor~ ~u:

X~ =A~+λ~u, λ ∈IR.

(Interpretation: Die Gerade besteht aus allen Punkten(x1|x2|x3), deren Orts-

vektorX~ =

x1

x2

x3

!

mit einer ZahlλalsA~+λ~udarstellbar ist)

*

Z Z Z Z Z Z }

O A

g

~ u A~

r

Zwei-Punkte-Form

Gerade durch die Punkte A und B: Dann kann man z. B. A als Aufpunkt und−→

AB=B~ −A~als Richtungsvektor w¨ahlen:

X~ =A~+λ(B~ −A),~ λ∈IR.

*

B A −→

r AB

r

Beispiel:

GeradegdurchA(2|6| −1)undB(−1|0|2):

g:X~ =



 2 6

−1



+λ





−1−

0−

2−

2 6 (−1)



=



 2 6

−1



+λ





−3

−6 3



, λ∈IR.

Als Richtungsvektor kann auch ein Vielfa-

ches gew¨ahlt werden, also z. B.: g:X~ =



 2 6

−1



+λ⁰



 1 2

−1



, λ⁰∈IR.

Als Aufpunkt kann jeder andere Punkt auf der Geraden gew¨ahlt werden.

Lagebeziehung PunktP – Geradeg

ObP aufg liegt, wird durch Einsetzen des Punktes in die Geradengleichung entschieden.

Beispiel:

g:X~ =



 2 6

−1



+λ



 1 2

−1



, λ∈IR.

• P(5|12| −4)liegt aufg, denn:



 5 12

−4



=



 2 6

−1



+λ



 1 2

−1





⇒λ= 3 Probe: passt!

Probe: passt!

• Q(1|4|3)liegt nicht aufg(siehe ueb125.pdf, Aufgabe 1)

LotfußpunktF eines PunktesP auf eine Geradeg; Abstand PunktP – Geradeg

C

C CCW rP

F

g

F als allgemeinen Geradenpunkt aufstellen;−→

P F⊥~u, wobei~uder Richtungsvektor der Geraden ist.

Der Abstand der Punktes P von der Geradeng ist dann der Abstand vonP undF.

Beispiel:

P(1| −1|4),g:X~ =





 7 2

−2





+λ





 2 1

−5





.

Ansatz: Allgemeiner GeradenpunktF(7 + 2λ|2 +λ| −2−5λ).

−−→ P F⊥~u:







7 + 2λ−1 2 +λ−(−1)

−2−5λ−4





◦





 2 1

−5





 = 0. (6 + 2λ)·2 + (3 +λ) + (−6−5λ)·(−5) = 0.

45 + 30λ= 0.λ=−1,5. Einsetzen in Ansatz f¨urF liefert LotfußpunktF(4|0,5|5,5).

Abstand des PunktesP von der Geradeng:

d(P, g) =P F =





 3 1,5 1,5







=√

9 + 2,25 + 2,25 =√

13,5≈3,67.

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12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12

Ebenengleichungen 06

Parameterform

Ebenen sind gegeben durch einen AufpunktA(mit OrtsvektorA)~ auf der Ebene und zwei Richtungsvektoren~uund~v:

X~ =A~+λ~u+µ~v, λ, µ∈IR;

~

u und ~v müssen linear unabhängig sein (d. h. müssen in verschiedene Richtungen zeigen, dürfen nicht Vielfache voneinander sein).¹

(Interpretation: Analog zu Geradengleichungen→grund125.pdf)

A A A A A A K

-

0

~a A

E

~ u

~v

r r

Fälle, in denen die Ebene E durch andere Stücke gegeben ist, führt man (eventuell mittels einer Skizze) auf die obige Punkt-Richtungs-Form zurück:

• Edurch 3 PunkteA,B,Cgegeben:

AufpunktA, Richtungsvektoren−→

AB=B~ −A~ und−→

AC =C~ −A.~

• Edurch Geradeg :X~ =A~+λ~uund PunktP /∈g gegeben:

AufpunktA, Richtungsvektoren~uund−→

AP =P~ −A.~

• Edurch sich schneidende Geradeng :X~ =A~+λ~uundh:X~ =B~ +µ~vgegeben:

AufpunktA, Richtungsvektoren~uund~v.

• Edurch echt parallele Geradeng :X~ =A~+λ~uundh:X~ =B~ +µ~v gegeben:

AufpunktA, Richtungsvektoren~uund−→

AB=B~ −A.~ Beispiel:

Durch die echt parallelen Geraden g :X~ =







2 6

−1





+λ







1 2

−1





, h:X~ =







1 4 3





+λ







−2

−4 2







ist die Ebene E :X~ =







2 6

−1





+λ







1 2

−1





+µ







−1

−2 4







gegeben.

* 6 r r

E

g

h A

B

~ u

~ v

Parameterfreie Form (Koordinatenform, Normalenform)

→grund127.pdf Normalenform Lagebeziehung Punkt – Ebene

Ob ein Punkt auf einer Ebenen liegt, wird durch Einsetzen des Punktes in die Ebenenglei- chung entschieden. Dies geht besonders bequem mit der Normalenform.²

1Zwei linear abh¨angige Vektoren~aund~b, bei denen ein Vektor sich als einλ-faches des anderen darstellen

l¨asst, heißen auch kollinear. Drei linear abh¨angige Vektoren liegen in einer Ebene und heißen auch komplanar.

2Mit der Parameterform ist dies analog zu Geraden→grund125.pdf m¨oglich; dann muss man nach Einset-

zen des Punktes aus zwei Gleichungenλundµbestimmen und die Probe in der dritten Gleichung machen.

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12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12 Normalenform und HNF von Ebenen 07

Normalenform (Koordinatenform, parameterfreie Form)

Eine Ebene kann gegeben sind durch einen AufpunktAund einen auf der Ebene senkrecht stehenden Normalvektor~n und ist dann die Menge aller Punkte X mit~n◦−−→

AX = 0, d. h.

~n◦(X~ −A) = 0, d. h. (nach Ausf¨uhrung des Skalarprodukts)~ n1(x1−a1) +n2(x2−a2) + n₃(x₃−a_x) = 0bzw.

n₁x₁+n₂x₂+n₃x₃−d= 0.

Bestimmung der Normalenform aus der ParameterformX~ =A~+λ~u+µ~v

Der Normalvektor ~n steht senkrecht auf den Richtungsvektoren~u und ~v, also~n = ~u×~v (→grund114.pdf), wobei man auch ein Vielfaches als Normalvektor verwenden kann. Da- nach macht man den Ansatz n₁x₁ + n₂x₂ +n₃x₃ = d und erh¨alt d durch Einsetzen des AufpunktsA.

Beispiel:

E :~x=





 1 2 1





+λ





 1 4 3





+µ





 2 3 5





. ~n=





 1 4 3





×





 2 3 5





=







4·5−3·3 3·2−5·1 1·3−4·2





=





 11

1

−5





. Ansatz11x₁+x₂−5x₃ =d.A(1|2|1)einsetzen:d= 11 + 2−5 = 8. Also:

E : 11x1 +x2−5x3 = 8.

Interpretation: Die Ebene besteht aus allen PunktenX(x1, x2, x3), f¨ur die diese Gleichung gilt. Durch Einset-

zen von Punktkoordinaten kann man also pr¨ufen, ob ein gegebener Punkt auf der Ebene liegt.

Besondere Lage: Istd= 0, so liegt der Ursprung(0|0|0)auf der Ebene.

Istn1 = 0(z. B.F : 2x2−x3 =−2), so ist die Ebene parallel zurx1-Achse.

Lotvektor und Lotfußpunkt

Die Koeffizienten in der Normalenform bilden einen Lotvektor zur Ebene.

In den obigen Beispielen sind~nE =



 11

1

−5



bzw.~nF =



 0 2

−1



Normalenvektoren (also Vektoren, die

auf der Ebene senkrecht stehen).

Um den Lotfußpunkt eines PunktesP auf einer EbeneE zu finden, stellt man die Lotgerade durchP mit Richtungsvektor~nauf (~nder Normalenvektor der EbeneE) und bestimmt den Schnittpunkt mit der Ebene (→grund129.pdf).

Bestimmung der Hesseschen Normalenform (HNF)

Man bestimmt die Länge des Normalenvektors, dividiert die Ebenengleichung durch diesen Wert und löst die Gleichung nach0auf (bringt also die Konstante auf die linke Seite); erhält die Konstante dabei ein positives Vorzeichen, so multipliziert man die Gleichung mit−1.

Beispiel 1:E : 11x₁ +x₂ −5x₃ = 8. |~n| =

11 1

−5

!

= ^q11²+ 1 + (−5)² = √

147. Die HNF lautet somit ^√₁₄₇¹ (11x₁+x₂−5x₃−8) = 0.

Beispiel 2: Die HNF der EbeneF : 2x₂−x₃ =−2lautet ^√¹₅(−2x₂+x₃−2) = 0.

Abstand Punkt – Ebene

Durch Einsetzen der Punktkoordinaten in der Term der HNF erh¨alt man den Abstand des Punktes von der Ebene, wobei ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass der Punkt im gleichen Halbraum wie der UrsprungO(0|0|0)liegt (also auf der gleichen Seite der Ebene).

Beispiel:

Der Abstand des PunktesP(3| −1|4)von der EbeneE : ^√¹

147(11x₁+x₂−5x₃−8) = 0ist d(P, E₁) = ^√⁴

35, undP undOliegen auf verschiedenen Seiten der Ebene. Der Abstand des NullpunktsO istd(O, E₁) = ^√⁸

147. Der PunktQ(4|4|8)liegt auf der EbeneE.

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12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12 Lagebeziehungen Gerade – Gerade 08

Richtungsvektoren parallel (d. h. Vielfache voneinander)?

ja nein

Aufpunkt der einen Geraden Geraden gleichsetzen in die andere einsetzen

liegt drauf liegt nicht drauf eindeutige L¨osung Widerspruch identisch echt parallel schneiden sich windschief Beispiele:

g1:X~ =







1 2 1





+λ1







1 4 3





 g2:X~ =







4 4 8





+λ2







2 3 5





 g3:X~ =







0,8

−0,8 0





+λ3







−0,4

−0,6

−1







λ₁, λ₂, λ₃ ∈IR.

Lagebeziehung vong₁ undg₂:

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel. Falls nicht schon geschehen, m¨ussen vor dem Gleich- setzen die Parameter verschiedene Bezeichnungen erhalten.

I 1 + λ1 = 4 + 2λ2 | ·(−4) II 2 + 4λ₁ = 4 + 3λ₂ | III 1 + 3λ₁ = 8 + 5λ₂

Aus zwei Gleichungen (z. B. I und II) λ1 und λ2

berechnen:

−2 =−12−5λ₂; λ₂ =−2 in I: λ1 =−1

Probe mit der dritten (noch nicht verwendeten) Gleichung:−2 = −2(stimmt).

Die Geraden schneiden sich.

Schnittpunkt: λ₁ in g₁ einsetzen (oder λ₂ in g₂):

S(0| −2| −2).

Lagebeziehung vong₂ undg₃:

Die Richtungsvektoren sind parallel, denn







2 3 5





=−0,2







−0,4

−0,6

−1





. Aufpunkt von g₃ (0,8| −0,8|0) in g₂ einsetzen:







0,8

−0,8 0





=







4 4 8













2 3 5





, also 0,8 = 4 + 2λ2, alsoλ2 =−1,6

−0,8 = 4 + 3λ₂, Probe stimmt 0 = 8 + 5λ₂, Probe stimmt.

Also sind g2 und g3 identische Gera- den.

Schnittwinkel sich schneidender Geraden

Wenn sich zwei Geraden schneiden, so berechnet sich der Schnittwinkel aus den Richtungs- vektoren~u₁ und~u₂mit

cosϕ= |~u₁◦~u₂|

|~u₁| · |~u₂| Beispiel:

F¨ur obige Geradeng₁,g₂istcosϕ= √ 1·2+4·3+3·5 1+16+9·√

4+9+25 ≈0,9226, alsoϕ≈22,69^◦.

Geraden schneiden sich senkrecht, wenn sie sich schneiden und die Richtungsvektoren aufeinander senkrecht stehen (also deren Skalarprodukt~u₁ ◦~u₂ = 0ist).

Abstand paralleler Geraden

= Abstand des Aufpunkts der einen Geraden von der anderen Geraden (→grund125.pdf) Abstand windschiefer Geraden

Ebenengleichung f¨ur die Ebene aufstellen, dieg₁ enth¨alt und zug₂ parallel ist (also mit g₁ und Richtungsvektor~u₂), HNF aufstellen und Abstand des Aufpunkts der Geradeng₂ von dieser Ebene bestimmen.

(10)

12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12 Lagebeziehungen Gerade – Ebene 09

Allgemeinen Geradenpunkt einsetzen in die Normalenform der Ebene

Eindeutige L¨osung Typ0 = 1 Typ0 = 0

schneiden sich echt parallel Gerade liegt in der Ebene Beispiel:

g :X~ =







2 1 0





+λ







1 0

−3





 E : 15x1+ 12x2+ 20x3 = 60

Allgemeiner GeradenpunktG(2 +λ|1| −3λ)inE: 15(2 +λ) + 12·1 + 20·(−3λ) = 60;

λ=−0,4;gundEschneiden sich.

Schnittpunkt:λinGeinsetzen:S(1,6|1|1,2).

Schnittwinkel von Gerade und Ebene

Falls sich Gerade und Ebene schneiden, so berechnet man den Schnittwinkel aus dem Rich- tungsvektor~uder Geraden und dem Normalenvektor~nder Ebene mit

sinψ = |~u◦~n|

|~u| · |~n|

Beispiel: F¨ur die obigeng,Eergibt sichsinψ= |1·15 + 0·12 + (−3)·20|

√1 + 0 + 9·√

225 + 144 + 400≈0,51316, alsoψ≈30,87^◦.

Besondere Lage

• Gerade und Ebene schneiden sich senkrecht, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel (also Vielfache voneinander) sind.

• Ist~u◦~n = 0, so sind Gerade und Ebene parallel (echt parallel oder zusammenfallend, kann entschieden werden durch Einsetzen des Aufpunkts der Geraden in die Ebene).

Abstand einer parallelen Gerade von einer Ebene

HNF der Ebene aufstellen; Abstand des Aufpunkts der Gerade von der Ebene bestimmen.

Achsenpunkte einer Ebene, Spurgeraden

Für Zeichnungen können die Achsenpunkte (Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordina- tenachsen) und Spurgerade (Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen) nützlich sein.

Achsenpunkt mit der x₁-Achse: Punkte auf der x₁-Achse sind von der Bauart A₁(x₁|0|0), Einsetzen in die Normalenform liefertx₁.

F¨ur obige EbeneE ergibt sich:A₁(4|0|0),A₂(0|5|0),A₃(0|0|3).

Spurgeraden k¨onnen meist (→ ueb129.pdf) berechnet werden als Verbindungsgeraden der Achsenpunkte.

F¨ur obige Ebene E ergibt sich z. B. als Spurgerade mit der x₁x₂-Ebene:A₁A₂ :X~ =



 4 0 0



+σ





−4 5 0



,σ ∈IR.

Spurpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen ergeben sich als Schnittpunkte mit den Ebenenx₃ = 0(x₁x₂- Ebene) usw. durch Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts.

F¨ur obige Geradeg ergibt sich:

-x2

x₁

6

x₃

0 1

1 1

b b

bb

A₁

A₂ A₃

bS E

bS23

b

S₁₂

HH Y

g

Mitx1x2-Ebene:Ginx3 = 0:−3λ= 0,λ= 0, alsoS12(2|1|0).

Mitx₁x₃-Ebene:Ginx₂ = 0:1 = 0, kein Schnitt mit derx₁x₃-Ebene,gist parallel dazu.

Mitx₂x₃-Ebene:Ginx₁ = 0:2 +λ= 0,λ=−2, alsoS₂₃(0|1|6).

Lot f¨allen (d. h. PunktP auf EbeneEprojizieren),P anEspiegeln→ueb129.pdf.

Lotfußpunkt eines PunktesP auf eine Geradeg →ueb129.pdf.

(11)

12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12 Lagebeziehungen Ebene – Ebene 10

Betrachte Ebenengleichungen in Normalenform

Gleichungen identisch Normalenvektor parallel, Normalenvektor (d. h. bis auf einen Faktor) aber Gleichungen nicht identisch nicht parallel

identisch echt parallel schneiden sich

Beispiele:

1. E : 2x₁+x₂−5x₃ = 17undF₁ :−4x₁−2x₂+ 10x₃+ 34 = 0sind identisch.

2. E : 2x₁+x₂−5x₃ = 17undF₂ :−4x₁−2x₂+ 10x₃ =−12sind echt parallel.

3. E : 2x₁+x₂−5x₃ = 17undF₃ :x₁ −2x₂+ 2x₃ =−4schneiden sich.

Zur Bestimmung der Schnittgerade eliminiert man (wenn nicht schon eine solche Glei- chung vorliegt) eine Variable: E : 2x₁+x₂−5x₃ = 17 | ·2

F₃ : x₁−2x₂+ 2x₃ =−4 | (∗) 5x₁ −8x₃ = 30

Da es sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem handelt (2 Gleichungen f¨ur 3 Variable), bedeutet die fehlende dritte Gleichung, dass man meist (→ueb120.pdf, Auf- gabe 3e) eine Variable frei w¨ahlen kann, d. h. man hat nun einen

”Wunsch“ frei in Form eines Parameters, z. B.

x₃ = λ in(∗): x1 = 6 + ⁸₅λ

inE: x₂ = 17−2x₁+ 5x₃ = 17−2(6 + ⁸₅λ) + 5λ= 5 + ⁹₅λ Die Schnittgerade lautet damit:

X~ =







x₁ x₂ x₃





=







6 5 0





+λ







8 59 5

1





 oder etwas sch¨oner X~ =







6 5 0





+λ⁰







8 9 5







Schnittwinkel sich schneidender Ebenen

Falls sich die Ebenen schneiden, so berechnet man den Schnittwinkel aus den Normalenvek- toren~nund~n⁰ mit

cosϕ= |~n◦~n⁰|

|~n| · |~n⁰| Beispiel:

F¨ur die EbenenEundF₃aus obigem Beispiel 3 istcosϕ= |2·1+1·(−2)+(−5)·2|√ 4+1+25·√

1+4+4 ≈0,6086, also ϕ≈52,51^◦.

Ebenen schneiden sich senkrecht, wenn die Normalenvektoren aufeinander senkrecht stehen (also deren Skalarprodukt~n◦~n⁰ = 0ist).

Abstand paralleler Ebenen

HNF einer Ebene bestimmen; beliebigen Punkt auf der anderen Ebene w¨ahlen (z. B. zwei Koordinaten beliebig, dritte aus der Ebenengleichung berechnen) und dessen Abstand von der anderen Ebene ermitteln.

Beispiel (mit den EbenenE undF₂aus obigem Beispiel 2):

Bestimmung der HNF vonE: |~n| =

2 1

−5

!

= √

4 + 1 + 25 = √

30. Also HNF von E:

√1

30(2x₁ +x₂−5x₃−17) = 0.

Beliebiger Punkt auf F₂, z. B. mit(?|0|0): (3|0|0). Einsetzen in den Term der HNF liefert den Abstandd(E, F₂) =|^√¹₃₀(6−17)|= ^√¹¹₃₀.