Formale Methoden 1
Gerhard J¨ager
Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de
Uni Bielefeld, WS 2007/2008
14. November 2007
Komposition von Relationen und Funktionen
• seien R⊆A×B und S ⊆B×C Relationen
• neue Relation S◦R⊆A×C wird gebildet durch S◦R .
={hx, yi|es gibt einz mitR(x, z) undS(z, y)}
• Wenn R undS Funktionen sind, ist S◦Rauch eine Funktion.
Die Identit¨ atsfunktion
• Funktion F :A7→A heißt Identit¨atsfunktiongdw.
F ={hx, xi ∈A×A|x∈A}
• Notation:F =idA
• Komposition einer RelationR mit einer Identit¨atsfunktion mit dem richtigen Definitionsbereich ergibt wieder R:
• WennR⊆A×B, dann
• idB◦R=R
• R◦idA=R
• Wenn F :A7→B ein injektive Funktion ist, dann:
• F◦F−1⊆idB
• F−1◦F =idA
• Allgemein gilt:
• idΠ0(R)⊆R−1◦R
• idΠ1(R)⊆R◦R−1
Eigenschaften von Relationen
Viele Relationen, die in linguistischen Anwendungen auftreten, haben bestimmte strukturelle Eigenschaften. Die wichtigsten seien kurz vorgestellt; sie gelten f¨ur Relationen ¨uber einen bestimmten Gegenstandsbereich, alsoR⊆A×A.
Reflexivit¨at
R⊆A×A istreflexiv gdw. f¨ur alle x∈A gilt dass R(x, x).
Reflexivit¨ at
Beispiel
• A={1,2,3}
• R1={h1,1i,h2,2i,h3,3i,h3,1i}
• R2={h1,1i,h2,2i}
R1 ist reflexiv, R2 jedoch nicht (weilh3,3i 6∈R2).
R⊆A×A ist reflexiv gdw. idA⊆R.
Weitere Beispiele:
• ”endet auf die selbe Ziffer wie“
• ”hat am selben Tag Geburtstag wie“
• ”gr¨oßer oder gleich“
Irreflexivit¨ at
• Relation, die nicht reflexiv ist, heißt non-reflexiv.
• Relation, dienie ein Objekt mit sich selbst verbindet, heißt irreflexiv
Irreflexivit¨at
R ist irreflexiv gdw. es kein Objektx gibt mitR(x, x).
In anderen Worten:R ist irreflexiv gdw.R∩idA=∅.
Beispiele
• R3={h1,2i,h3,2i}
• R4={ha, bi ∈N×N|a < b}
Symmetrie
Symmetrie
Eine RelationR istsymmetrisch gdw. f¨ur allex, y mitR(x, y) gilt, dassR(y, x).
I.a.W.:R ist symmetrisch gdw.R=R−1. Beispiele
• ”verheiratet mit“
• ”teilerfremd“
• ”geschah im selben Jahr wie“
• ”Cousin oder Cousine von“
• {h1,2i,h2,1i,h3,2i,h2,3i}
• {h1,3i,h3,1i}
• {h2,2i}
Asymmetrie
Asymmetrie
Eine RelationR istasymmetrisch gdw. niemals sowohlR(x, y) als auchR(y, x).
• Jede asymmetrische Relation muss irreflexiv sein.
• Beispiele:
• {h2,3i,h1,2i}
• {h1,3i,h2,3i,h1,2i}
• {h1,2i}
Anti-Symmetrie
Anti-Symmetrie
Eine RelationR istanti-symmetrisch gdw. immer dann, wenn sowohlR(x, y) als auchR(y, x), gilt, dassx=y.
• R muss nicht reflexiv sein, wenn es anti-symmetrisch ist!
• Jede asymmetrische Relation ist auch anti-symmetrisch.
• Wenn Ranti-symmetrisch ist, dann ist R−idA asymmetrisch.
Anti-Symmetrie
Beispiele f¨ur anti-symmetrische Relation
• ”gr¨oßer als oder gleich“
• ”ist teilbar durch“
• ”ist Teilmenge von“
• {h2,3i,h1,1i}
• {h1,1i,h2,2i}
• {h1,2i,h2,3i}
Transitivit¨ at
Transitivit¨at
Eine RelationR isttransitiv gdw. immer dann, wennR(x, y) und R(y, z), auch gilt, dass R(x, z).
• Beispiele:
• ”¨alter als“
• ”reicher als“
• ”gr¨oßer als“
• ”Vorfahre von“
• Gleichheit
• {h2,2i}
• {h1,2i,h2,3i,h1,3i}
• {h1,2i,h2,1i,h1,1i,h2,2i}
• {h1,2i,h2,3i,h1,3i,h3,2i,h2,1i,h3,1i,h1,1i,h2,2i,h3,3i}
• R ist transitiv genau dann wennR◦R⊆R.
Trichotomie
Trichotomie
Eine RelationR ⊆A×A isttrichotomisch(eng.connected) gdw.
f¨ur allex, y∈Amitx6=y gilt:R(x, y) oderR(y, x)(oder beides).
Der Name erkl¨art sich daraus, dass f¨ur jedes Paar von Objekten x, yim Definitionsbereich gilt: R(x, y) oderx=y oder R(y, x).
Beispiele
• ”gr¨oßer als“ (bezogen auf die nat¨urlichen Zahlen)
• {h1,2i,h3,1i,h3,2i}
• {h1,1i,h2,3i,h1,2i,h3,1i,h2,2i}
Eigenschaften der Inversen und des Komplements
R (6=∅) R−1 R0
reflexiv reflexiv irreflexiv
irreflexiv irreflexiv reflexiv symmetrisch symmetrisch symmetrisch asymmetrisch asymmetrisch nicht symmetrisch anti-symmetrisch anti-symmetrisch h¨angt vonR ab transitiv transitiv h¨angt vonR ab trichotomisch trichotomisch h¨angt vonR ab
Aquivalenz-Relationen und Partitionen ¨
Aquivalenz-Relationen¨
Eine RelationR ist eine Aquivalenz-Relation¨ gdw. R reflexiv, transitiv und symmetrisch ist.
• Beispiele:
• Gleichheit
• ”hat die selbe Haarfarbe wie“
• ”hat das selbe Alter wie“
• ”l¨asst bei der Division durch 10 den selben Teiler“
• Notation:
[[a]]R .
={x|R(a, x)}
• [[a]]Rist die Menge aller Objekte, die von aaus durch R erreichbar sind.
Aquivalenz-Relationen und Partitionen ¨
Partition
SeiA eine Menge. Die MengeP ⊆℘(A) ist eine Partition von A gdw.
• S
P =A, und
• f¨ur alle X, Y ∈P mitX6=Y:X∩Y =∅.
• Beispiele: Sei A={a, b, c, d, e}
• Folgende Mengen sind Partitionen vonA:
• P1={{a, c, d},{b, e}}
• P2={{a},{b},{c},{d},{e}}
• P3={{a, b, c, d, e}}
• folgende Mengen sind keine Partitionen vonA:
• C={{a, b, c},{b, d},{e}}
• D={{a},{b, e},{c}}
Aquivalenz-Relationen und Partitionen ¨
Zwischen ¨Aquivalenz-Relationen und Partitionen gibt es einen enge Korrespondenz.
• Sei R⊆A×Aeine ¨Aquivalenz-Relation. Dann ist die folgende Menge eine Partition von Π0(R):
PR={x∈℘(A)|es gibt einy∈A so dassx= [[y]]R}
• Sei P eine Partition von A. Dann ist die folgende Relation eine ¨Aquivalenz-Relation:
RP ={hx, yi ∈A×A|es gibt einX∈P mitx∈X und y∈X}
(Statt RP(a, b) schreibt man auch a≡P b.)
Aquivalenz-Relationen und Partitionen ¨
• Beispiel:
• A={1,2,3,4,5}
R = {h1,1i,h1,3i,h3,1i,h3,3i,h2,2i,h2,4i, h4,2i,h4,5i,h4,4i,h5,2i,h5,4i,h5,5i,h2,5i}
• Die zugeh¨orige Partition ist:
PR={{1,3},{2,4,5}}
• Aufgabe: Sei
R = {h1,1i,h1,2i,h2,1i,h2,2i,h3,3i,h3,5i h5,3i,h5,5i,h4,4i}
Was ist die zugeh¨orige PartitionPR?
