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3 Strömung mit innerer Reibung (Viskosität)
3.1 Spannungstensor
Herleitung des Spannungstensors mit folgenden B edingungen:
1. Im reibungsfreien Fall ist der S pannungstensor durch den skalaren Druck p repräsentiert
2. Die Reibungskräfte sind proportional zu den 1. A bleitungen der Geschwindigkeit (Newtonsche Flüssigkeit)
3. Es gibt keine ausgezeichneten Richtungen ττττ
+
−
= I
T p (3.1)
oder
ij ij
ij p
T =− δ +τ (3.2)
Es gibt nur eine Möglichkeit, aus dem Tensor T einen Skalar zu bilden, nämlich die S pur des Tensors:
3 3
1 xx yy zz
ii
T T T T
p + +
−
=
−
= (3.3)
Folglich ist
=0
τii (3.4)
Gemäss (2) und (3) schreiben wir fürτ
∂ +∂
∂ + ∂
∂
= ∂
i j j i ij
k k
ij x
v x v x
v δ µ λ
τ (3.5)
Bezeichnungen:
v
=div
∂
∂
k k
x
v (3.6)
v 2 def
1 =
∂ +∂
∂
∂
i j j i
x v x
v (Deformationstensor) (3.7)
µ : dynamische Viskosität (oder hier: erste Viskosität) λ: zweite Viskosität
14 Wegen
0 div ) 2 3
( + =
= λ µ v
τii (3.8)
gilt zwischen den beiden K oeffizienten die B eziehung µ
λ 3
−2
= (3.9)
und damit den A usdruck in den Gleichungen. (1.6) – (1.9)
∂ +∂
∂ + ∂
∂
− ∂
=
i j j i ij
k k
ij x
v x v x
v δ µ µ
τ 3
2 (3.10)
Für die B ewegungsgleichung brauchen wir nun noch die Divergenz dieses Tensors:
i ij
∂x
=∂
⋅
∇ τ
ττττ (3.11)
Dieser A usdruck läst sich durch die A nnahmen von (a) konstanter Viskositätµund (b) inkompressibler Strömung (div v = 0) signifikant vereinfachen:
∂ +∂
∂
∂
∂ + ∂
=
∂ +∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
2 2 2
2 2
i j i i i j
j j i
i i
ij
x v x v x x
v x x
v
x µ µ
τ (3.12)
wegen (b) verschwindet der erste Term, es bleibt
2 2
i j i
ij
x v
x ∂
= ∂
∂
∂τ µ
(3.13) oder mit dem Laplace-Operator
2v
∇
=
⋅
∇ ττττ µ (3.14)
Ist die Strömung kompressibel, (aber dochµkonstant,) wird der Reibungsterm zu
(
v)
v+ ∇∇⋅
∇
=
⋅
∇ µ µ
3
2 1
ττττ (3.15)
3.2 Navier-Stokes-Gleichungen
Setzen wir den A usdruck (3.14) oder (3.15) in die Bewegungsgleichung (1.11) ein, so erhalten wir die Navier-S tokes-B ewegungsgleichung:
(
v)
Fv v
v ρ v µ µ ρ
ρ + ⋅∇ =−∇ + ∇ + ∇∇⋅ +
∂
∂
3
2 1 )
( p
t (3.16)
15 (µals konstant vorausgesetzt).
Anstelle der dynamischen Viskositätµwird oft die kinematische Viskositätνverwendet:
ρ
ν =: µ (3.17)
und die B ewegungsgleichung ist dann:
(
v)
Fv v
v v
+
⋅
∇
∇ +
∇ +
∇
−
=
∇
⋅
∂ +
∂ ν ν
ρ 3
2 1 ) 1
( p
t (3.18)
Als Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet man die K ombination von
• Kontinuitätsgleichung,
• Bewegungsgleichung einer Newtonschen Flüssigkeit (3.16 oder 3.18)
• Energiegleichung mit einem Fourier-Gesetz (q∝ ∇T) für die Wärmeleitung.
Als Randbedingung für die viskose Strömung verlangt man, dass die Geschwindigkeit auf der Oberfläche von Hindernissen verschwindet („no- slip condition“). Die Strömung muss den Hindernissen nicht nur
ausweichen, sondern wird von diesen auch gebremst:
νhat die Dimension m2s-1 (Geschwindigkeit×Länge), und den Charakter einer „Diffusionskonstanten“ für den Impuls.
Die B edeutung der Viskosität wird charakterisiert durch eine wichtige dimensionslose Zahl (siehe K ap. 4 + 7), die Reynoldszahl Re, gebildet aus einer charakteristischen Geschwindigkeit U, einer charakteristischen Länge L und der kinematischen Viskositätν
ν
=UL :
Re (3.19)
Strömungen sind im allgemeinen laminar für Reynoldszahlen unterhalb einer kritischen Reynoldszahl Rec ritund turbulent für Werte von Re oberhalb (K ap. 7).
Der Wert der kritischen Reynoldszahl hängt von der Geometrie des Problems ab, für ein rundes Rohr ist Rec rit≅2000.
Beispiel: Reynoldszahl für Strömungen von Luft oder Wasser:
Wir wählen
U = 2 m/s (Wind, Strömung) L = 10 m (Haus, Schiff, etc.)
16 ν= 1.5 10-5 (Luft bei 20°C)
ν= 10-6 (Wasser bei 20°C) Dann haben wir
Re = 1.3 106 (Luft) Re = 2 107 (Wasser)
Solche Strömungen sind also fast immer turbulent.
3.3 Beispiel: Laminare Strömung zwischen zwei Platten
Modellbildung: Stationäre, inkompressible, laminare Strömung mit viskoser Reibung zwischen zwei Platten im A bstand 2D, Strömung mit Geschwindigkeit u(y) in x-Richtung,Randbedingung: ( ) 0 , =0
∂
= ∂
± x
D u u
Die Navier-S tokes Gleichung gibt:
2 2
0 y
u x p
∂ + ∂
∂
−∂
= µ (3.20)
y p
∂
−∂
=
0 (3.21)
Also
) (x p
p= (3.22)
dx dp dy
u d22 =−
µ (3.23)
mit der Lösung
−
= 0 1 22 D u y
u (3.24)
dx dp u0 D22
−µ
= (3.25)
(A nalog dazu: Strömung durch ein rundes Rohr, Gesetz von Hagen- Poiseuille)
In mehr als einer Dimension wird die Lösung der Gleichungen sehr schnell komplizierter (vgl. Panton, Kap. 11.2 für die zweidimensionale Lösung für laminare Strömung in einem rechteckförmigen Querschnitt).
17
3.4 Einfluss der Viskosität auf den Verlauf einer Strömung
Die Viskosität, bzw. die Reynoldszahl beeinflusst den Charakter einer Strömung entscheidend (B eispiel aus Panton, Kap. 14.6):(Figur aus Panton)
Stationäre Strömungen sind nur für sehr kleine Re stabil. Mit wachsender Re kommt es zu
• Bildung von Wirbeln (stationär)
• Ablösen von Wirbeln, periodisch (Wirbelstrasse)
• Turbulenz der Wirbel (aperiodisch)
• Turbulenz und A blösen der Grenzschicht
18
(Figur aus Panton)
