L¨osung zur 2. Klausur zu Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker Wintersemester 2002/03 05.04.03

(1)

L¨ osung zur 2. Klausur zu Statistik I

Prof. Dr. Claudia Becker Wintersemester 2002/03

05.04.03

Aufgabe 1 (a)

Erhobenes Merkmal: didaktische F¨ahigkeiten von Lehrern(1 Punkt)

Mögliche Ausprägungen: Werte von 1 bis 6 bzw. “sehr gut”, “gut”, “befriedigend”, “ausreichend”, “mangelhaft”, “ungenügend”(1 Punkt)

Das Merkmal hat ordinales Skalenniveau(1 Punkt)

denn: man kann die Auspr¨agungen zwar anordnen, die Bildung von Differenzen und Quoti- enten macht aber keinen Sinn (1 Punkt)

Aufgabe 1 (b)

Der dargestellte Ausschnitt geh¨ort in den Bereich der deskriptiven Statistik.(1 Punkt) Bei der Darstellung handelt es sich um ein S¨aulendiagramm. (1 Punkt)

Andere sinnvolle Darstellungsarten in diesem Fall (qualitatives Merkmal, ordinal)

• Stabdiagramm

• Balkendiagramm

• Kreisdiagramm (zusammen 3 Punkte)

Aufgabe 1 (c)

H¨ochstens ausreichende Leistungen = Noten 4, 5, 6

⇒32% + 22% + 13% = 67% der Sch¨uler bescheinigten h¨ochstens ausreichende Leistungen, (1 Punkt)

dies sind 0.67·5000 = 3350 Sch¨uler (1 Punkt) Alternativ:

Note 4 wurde von 32% gegeben →0.32·5000 = 1600 Schüler Note 5 wurde von 22% gegeben →0.12·5000 = 1100 Schüler Note 6 wurde von 13% gegeben →0.13·5000 = 650 Schüler (1 Punkt)

zusammen also 1600 + 1100 + 650 = 3350 Sch¨uler (1 Punkt)

(2)

Aufgabe 1 (d)

1. Die Aussage ist falsch. (1 Punkt)

Am h¨aufigsten wurde “ausreichend” vergeben (32%). (1 Punkt) 2. Die Aussage ist falsch. (1 Punkt)

Noten 1 und 2 wurden von 6% + 10% = 16% vergeben. (1 Punkt) 3. Die Aussage ist richtig. (1 Punkt)

Noten 1 bis 3 von 6% + 10% + 17% = 33% der Sch¨uler vergeben, also von weniger als 50%. (1 Punkt)

4. Die Aussage trifft nicht zu bzw. kann an Hand der Daten nicht getroffen werden (1 Punkt)

Zahlen beziehen sich auf Anzahlen von Sch¨ulern, nicht von Lehrern. (1 Punkt)

(3)

Aufgabe 2 (a):

F¨unf-Punkte-Zusammenfassung: x₍₁₎, x_0.25, x_med, x_0.75, x_(n) (0.5 Punkte) geordnete Quadratmeterpreise:

30 32 44 47 55 61 67

⇒ x₍₁₎= 30, x_(n) =x₍₇₎ = 67 (zusammen 1 Punkt) Quartile:

p= 0.25: n·p= 7·0.25 = 1.75, nicht ganzzahlig

→ bestimme [n·p] + 1 = [1.75] + 1 = 2

⇒x_0.25=x₍₂₎ (1 Punkt)

= 32 (1 Punkt)

p= 0.75 : n·p= 7·0.75 = 5.25, nicht ganzzahlig

→ bestimme [n·p] + 1 = [5.25] + 1 = 6

⇒x_0.75=x₍₆₎ = 61 (1 Punkt)

alternativ: da x_0.25 die 2. geordnete Beobachtung von unten, muss x_0.75 die 2. geordnete Beobachtung von oben sein ⇒x_0.75 = 61 (ebenfalls 1 Punkt)

Median:

es ist n= 7 ungerade ⇒x_med =x₍ⁿ⁺¹

2 ) (1 Punkt) damitx_med =x₍⁸

2) =x₍₄₎ = 47 (1 Punkt) Insgesamt:

x₍₁₎ x_0.25 x_med x_0.75 x_(n)

30 32 47 61 67

(0.5 Punkte)

Geeignete graphische Darstellung w¨are ein Boxplot auf Basis der F¨unf-Punkte-Zusammenfassung (1 Punkt)

Aufgabe 2 (b):

1. Lösungsansatz: alle Pfund-Preise zunächst in Euro umrechnen, dann von beiden Da- tensätzen die arithmetischen Mittel bilden. (1 Punkt)

2. L¨osungsansatz: von beiden Datens¨atzen die arithmetischen Mittel bilden, dann den Mit- telwert aus dem zweiten Datensatz von Pfund in Euro umrechnen.(1 Punkt)

Variante 1: Rechnen auf Weg 1 Preise in Deutschland:

x= _n¹ ^Pⁿ_i=1x_i (0.5 Punkte)

= ¹₇ ·336 = 48 (Euro/qm) (0.5 Punkte)

(4)

Preise in GB:

Standort i in GB 1 2 3 4 5 6 7

Preis y_i in Euro/qm 1.5·42 = 63 31.5 45 46.5 31.5 55.5 63 (1 Punkt)

y= _n¹ ^Pⁿ_i=1yi = ¹₇ ·336 = 48 (Euro/qm) (0.5 Punkte)

Die mittleren Preise der ausgewählten Grundstücke sind in beiden Ländern gleich.(0.5 Punk- te)

Variante 2: Rechnen auf Weg 2 Preise in Deutschland:

x= _n¹ ^Pⁿ_i=1x_i (0.5 Punkte)

= ¹₇ ·336 = 48 (Euro/qm) (0.5 Punkte) Preise in GB:

y= _n¹ ^Pⁿ_i=1y_i = ¹₇ ·224 = 32 (Pfund/qm) (0.5 Punkte)

Mit Umrechung Pfund in Euro:y = 1.5·32 = 48 (Euro/qm) (1 Punkt)

Die mittleren Preise der ausgewählten Grundstücke sind in beiden Ländern gleich.(0.5 Punk- te)

Aufgabe 2 (c):

Variationskoeffizienten:

vX = s^e_X

x , vY = s^e_Y y (1 Punkt, auch wenn nur eine der beiden Varianten da steht)

Bestimmung x,y: entweder aus (b) ¨ubernehmen oder neu ausgerechnet:

x= 48, y= 32 (1 Punkt) Standardabweichungen:

se²_X = _n¹ ^Pⁿ_i=1(x_i−x)² = _n¹ ^Pⁿ_i=1x²_i −x² (1 Punkt, auch wenn nur eine Variante der Formel da steht)

= ¹₇ ·17304−48² (mit Hinweis)

= 2472−2304 = 168 (1 Punkt)

⇒se_X =^qse²_X = 12.96 (12.961481) (0.5 Punkte)

se²_Y = _n¹ ^Pⁿ_i=1y_i²−y²

= ¹₇ ·7640−32² (mit Hinweis)

= 1091.43−1024 = 67.43 (1091.4286 - 1024 = 67.4286) (1 Punkt)

⇒s_e_Y =^qs_e²_Y = 8.21 (8.2115772; bzw. √

67.4286 = 8.2114919) (0.5 Punkte)

(5)

Variationskoeffizienten:

vX = ^e^s_x^X = ^12.96₄₈ = 0.27 (^12.961481₄₈ = 0.2700308) (0.5 Punkte)

v_Y = ^e^s_y^Y = ^8.21₃₂ = 0.26 (0.2565625; bzw. ^8.2115772₃₂ = 0.2566117, ^8.2114919₃₂ = 0.2566091) (0.5 Punkte)

Die Variabilität in den beiden Datensätzen ist also als ungefähr gleich zu beurteilen. (1 Punkt)

vist hier besonders gut geeignet, da zwei Datens¨atze zu vergleichen sind, die dasselbe messen, nur in unterschiedlichen Einheiten(1 Punkt)

und dav eine maßstabsunabh¨angige Gr¨oße ist.(1 Punkt)

(6)

Aufgabe 3 (a):

Zuordnung Lorenzkurven zu Gini-Koeffizienten:

Der Gini-Koeffizient entspricht der doppelten Fl¨ache zwischen Diagonale und Lorenzkurve (1 Punkt)

Bei Haus 2 ist diese Fl¨ache am kleinsten⇒ G₁ = 0.14 zu Haus 2 (1 Punkt)

Bei Haus 3 ist die von Lorenzkurve und Diagonale umschlossene Fläche ein Dreieck; bei Haus 1 ist das Bild ähnlich, aber eine Spitze des Dreiecks ist abgeschnitten ⇒ Fläche bei Haus 1 kleiner als bei Haus 3. (2 Punkte)

Damit: G₂ = 0.57 zu Haus 1 und G₃ = 0.75 zu Haus 3(2 Punkte)

Aufgabe 3 (b):

Da die Werte des Gini-Koeffizienten immer zwischen 0 und ⁿ⁻¹_n liegen, h¨angt G von der Anzahl n der Merkmalstr¨ager ab. (1 Punkt)

Damit sind die Werte vonGf¨ur unterschiedliche Anzahlen von Merkmalstr¨agern nicht direkt vergleichbar.(1 Punkt)

Stattdessen ist zum Vergleich der normierte Gini-KoeffizientG^∗ zu benutzen, der Werte zwischen 0 und 1 annimmt, unabh¨angig von n (2 Punkte)

Es ist G^∗ = _n−1ⁿ ·G (1 Punkt) Hier also:

G^∗_A= ⁵₄ ·0.4 = 0.5, G^∗_B = ²⁰⁰⁰₁₉₉₉ ·0.4 = 0.4002 (zusammen 1 Punkt)

Das heißt, die Ums¨atze konzentrieren sich zwar in ¨ahnlicher, jedoch nicht in gleicher Weise auf die Artikel. (1 Punkt)

Aufgabe 3 (c):

Maß f¨ur die absolute Konzentration ist der Index von Hirschmann/Herfindahl:

H =

n

X

i=1

x_i

Pn j=1x_j

!2

(1 Punkt)

Hier:^Pⁿ_j=1x_j = 1000; damit

H =

200 1000

2

+

125 1000

2

+

375 1000

2

+

100 1000

2

+

200 1000

2

(1 Punkt)

= 0.2²+ 0.125²+ 0.375²+ 0.1²+ 0.2²

= 0.04 + 0.015625 + 0.140625 + 0.01 + 0.04

= 0.24625 (1 Punkt)

Käme ein sechster Artikel mit Umsatz 0 hinzu, würde sich H nicht ändern (da Maß für absolute, nicht relative Konzentration). (1 Punkt)

(7)

Aufgabe 4 (a):

Siegzeit (Y) bis einschl. mehr als

10 Sek. 10 Sek.

H¨ohe (X) gering 2 7 9

¨uber

NN groß 3 3 6

5 10 15

(1/2 Punkt pro richtig erg¨anzter Zelle = 2.5 Punkte)

L¨aufer “in großer H¨ohe” und “langsam”: 3 von insgesamt 15

⇒ Anteil = 3/15 = 1/5 = 0.2 = 20% (1 Punkt)

“langsame” L¨aufer insgesamt: 10 von 15

⇒ Anteil = 10/15 = 0.67 = 67% (0.5 Punkte)

Aufgabe 4 (b):

Bedingte Verteilung der Siegzeit gegeben die H¨ohe:

f_Y(b_j|a_i) = h_ij/h_i. (1 Punkt)

10 Sek. 10 Sek.

gegeben H¨ohe gering 2/9 = 0.22 7/9 = 0.78 gegeben H¨ohe groß 3/6 = 0.5 3/6 = 0.5

(1/2 Punkt pro Zelle = 2 Punkte)

Inhaltlich: in geringer H¨ohe laufen mehr L¨aufer “langsam” (1 Punkt)

Formal: Die bedingten Verteilungen unterscheiden sich, es scheint einen Zusammenhang zu geben (1 Punkt)

(8)

Aufgabe 4 (c):

Unter Unabh¨angigkeit erwarteter Wert in Zelle (i, j):

e_ij = h_i.h_.j

n (1 Punkt)

Erwartete Tafel:

10 Sek. 10 Sek.

H¨ohe (X) gering ^9·5₁₅ = 3 ^9·10₁₅ = 6

¨ uber

NN groß ^6·5₁₅ = 2 ^6·10₁₅ = 4

(1/2 Punkt pro Zelle = 2 Punkte)

χ²-Wert:

χ² =

k

X

i=1 m

X

j=1

(hij −eij)² e_ij

(1 Punkt) Damit hier:

χ² = (2−3)²

3 + (7−6)²

6 +(3−2)²

2 +(3−4)² 4

= 1 3 +1

6 +1 2 +1

4

= 4

12+ 2 12+ 6

12+ 3 12

= 15

12 = 1.25 (2 Punkte)

Aufgabe 4 (d):

K^∗ = 0.39 bedeutet, es liegt ein schwacher Zusammenhang zwischen Laufleistung und H¨ohe vor. (1 Punkt)

(9)

Aufgabe 5 (a):

Die Zufriedenheitswerte nehmen ab, je länger die Fahrtdauer ist. Pendler mit längeren Fahrt- dauern sind eher unzufrieden, Pendler mit kürzeren Fahrtdauern eher zufrieden. (1 Punkt) Die Punkte liegen von links oben nach rechts unten, die Form der Punktwolke sieht stark nach einer Gerade aus. (1 Punkt)

⇒ zu vermuten ist ein starker negativer linearer Zusammenhang.(1 Punkt)

Aufgabe 5 (b):

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson: nutze folgende Formel, die angegebene Hilfs- gr¨oßen zur Berechnung benutzt:

r_XY =

Pn

i=1x_i·y_i−n·x·y

qPn

i=1x²_i −n·x²·^q^Pⁿ_i=1y_i²−n·y²

(1 Punkt) x= _n¹ ^Pⁿ_i=1x_i = 1582/20 (mit Hinweis) = 79.1

y= _n¹ ^Pⁿ_i=1y_i = 976/20 (mit Hinweis) = 48.8

(zusammen 3 Punkte; Formel, x berechnen, y berechnen) Damit

r_XY = 60150−20·79.1·48.8

√147993−20·6256.81·√

62925−20·2381.44

= 60150−77201.6

√22856.8·√

15296.2 = −17051.6 151.18466·123.67781

= −0.91(−0.9119387) (1 Punkt)

Die Vermutung aus (a) wird damit best¨atigt. (1 Punkt)

Alternativ, falls (a) nicht bearbeitet: es ergibt sich ein starker negativer linearer Zusammen- hang. (ebenfalls 1 Punkt)

Aufgabe 5 (c):

Zum Beispiel

6

-

∗

∗∗

∗

∗ ∗ ∗∗∗∗ ∗

∗ ∗∗

∗∗

(2 Punkte)

(10)

Aufgabe 6 (a):

Gratifikation ja nein

zufrieden ja 50 12 62

mit

Arbeit nein 32 26 58

82 38 120

(je 0.5 f¨ur jede korrekt berechnete Zelle = 2.5 Punkte; Struktur der Tafel = 0.5 Punkte;

zusammen 3 Punkte) Alternativ:

zufrieden mit Arbeit

ja nein

ja 50 32 82

Gratifikation

nein 12 26 38

62 58 120

(ebenfalls je 0.5 f¨ur jede korrekt berechnete Zelle = 2.5 Punkte; Struktur der Tafel = 0.5 Punkte; zusammen 3 Punkte)

Aufgabe 6 (b):

Ereignisse:

G= “Gratifikation erhalten”, Z = “mit Arbeitssituation zufrieden”

26

G

32

50

12 Z

'

&

$

% '

&

$

%

(1 Punkt f¨ur die korrekte Struktur des Diagramms, 1 Punkt f¨ur die korrekte Zuordnung der Zahlen; gesamt 2 Punkte)

(11)

Aufgabe 6 (c):

1. P(keine Gratifikation) = P(G^C) = ₁₂₀³⁸ = 0.32 (0.31666667) (2 Punkte: 1 f¨ur richtigen Ansatz, 1 f¨ur Ergebnis)

2.P(Gratifikation, wenn nur unter Unzufriedenen gewählt wird) = ³²₅₈ = 0.55 (0.5517241)(3 Punkte: 1 für korrekten Zähler, 1 für korrekten Nenner, 1 für Ergebnis)

Aufgabe 6 (d):

P(G∩Z) = ₁₂₀⁵⁰ = 0.42 (0.41666667) (2 Punkte)

G∩Z = Besch¨aftigter hat eine Gratifikation erhalten und ist gleichzeitig mit der Arbeitssi- tuation zufrieden. (2 Punkte)