L¨osung zur Klausur zu Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker Wintersemester 2017/2018 27.03.2018

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L¨ osung zur Klausur zu Statistik I

Prof. Dr. Claudia Becker Wintersemester 2017/2018

27.03.2018

Aufgabe 1: (insgesamt 20 Punkte)

Richtige Entscheidung bzgl. Zutreffen(jeweils 1 Punkt), richtige Begr¨undung(jeweils 3 Punkte). a) Die drei Grundaufgaben der Statistik sind das Beschreiben des Datenmaterials, das Suchen nach Strukturen und die Gewinnung neuer Forschungshypothesen sowie das Schließen von Experiment bzw. Stichprobe auf die Grundgesamtheit.

X Richtig Falsch

Die Statistik dient einzig der Beschreibung, Komprimierung und Visualisierung von Daten.

X Die drei Grundaufgaben sind die deskriptive, explorative und induktive Analyse von Daten.

Die einzige Aufgabe der Statistik ist es, allgemeine Schlussfolgerungen ¨uber die Grundgesamt- heit zu ziehen.

b) Das arithmetische Mittel und der Median sind Lagemaße, die das Zentrum einer Verteilung beschreiben.

X Richtig Falsch

Lagemaße beschreiben immer das Zentrum einer Verteilung.

Der Median ist das einzige Lagemaß, das das Zentrum einer Verteilung beschreibt. Er wird aus diesem Grund auch als Zentralwert bezeichnet.

X Ob ein Lagemaß das Zentrum einer Verteilung beschreibt, ist von den Eigenschaften dieser abh¨angig. Das arithmetische Mittel und der Median besitzen diese Eigenschaften.

c) Untersuchungseinheiten werden auch als Merkmalstr¨ager bezeichnet.

X Richtig Falsch

X Merkmalstr¨ager beschreiben ein Einzelobjekt einer statistischen Untersuchung.

Merkmalstr¨ager werden hinsichtlich des Merkmals beschrieben das erhoben wurde und d¨urfen deshalb nicht mit dem Begriff Untersuchungseinheit vermischt werden.

Merkmalstr¨ager werden nur durch Merkmal und Merkmalsauspr¨agung definiert.

d) Sei y=a·x+b+ein einfaches lineares Modell. Dann hat das Sch¨atzen der Regressionskoeffi- zienten mithilfe der Kleinsten Quadrate Methode zum Ziel,^Pⁿ_i=1(yi−yˆi)² zu minimieren.

X Richtig Falsch

X Die Kleinste Quadrate Methode bestimmt die Regressionskoeffizienten so, dass Pn

i=1(y_i−(ˆa·x_i+ ˆb))² minimiert wird.

Die Kleinste Quadrate Methode bestimmt die Regressionskoeffizienten so, dass ^Pⁿ_i=1(y_i−y)¯² minimiert wird.

Die Kleinste Quadrate Methode bestimmt die Regressionskoeffizienten so, dass ^Pⁿ_i=1( ˆyi−y)¯² minimiert wird.

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e) Die Kovarianz der Merkmale X und Y kann nicht interpretiert werden und dient lediglich der Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson.

Richtig X Falsch

X Die Kovarianz kann hinsichtlich der Richtung des Zusammenhangs interpretiert werden.

Im Gegensatz zur Varianz werden die Größeneinheiten der Merkmale bei der Berechnung der Kovarianz nicht quadriert, sodass die Kovarianz eine genaue Auskunft über Stärke und Richtung des Zusammenhangs gibt.

Die Kovarianz kann nicht interpretiert werden, da sie die Summe des Produktes der Abwei- chungen zweier Merkmale X und Y von ihrem Mittelwert ist.

Aufgabe 2(Insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 2 (a):(11.5 Punkte)

j xû_j xô_j n_j f_j d_j =xô_j −xû_j f_j^r= ^f_d^j_j

1 65 b. unter 68 2 0.1 3 0.0333

2 68 b. unter 71 5 0.25 3 0.0833

3 71 b. unter 74 3 0.15 3 0.0500

4 74 b. unter 77 3 0.15 3 0.0500

5 77 b. unter 80 5 0.25 3 0.0833

6 80 b. unter 83 1 0.05 3 0.0167

7 83 b. unter 86 1 0.05 3 0.0167

20 1

• Berechnung der sieben S¨aulenh¨ohen f_j^r je 1 Punkt = 7 Punkte korrekte Achsenbeschriftungen je 0.5 Punkte = 1 Punkt

Zeichnen des Histogramm je 0.5 Punkte pro richtiger Fl¨ache = 3.5 Punkte

Histogram of gew

gew

Density

65 70 75 80 85

0.000.020.040.060.08

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Aufgabe 2 (b): (2.5 Punkte)

Das Merkmal Körpergewicht in kg von Studierenden ist metrisch und stetig erhoben. Für metrische Merkmale eignet sich die grafische Darstellung mittels Histogramm, denn quanti- tative Merkmale haben typischerweise sehr viele Merkmalsausprägungen, die oft nur einmal vorkommen. Das Prinzip der Flächentreue ist insbesondere bei verschiedener Klassenbreite von Bedeutung.

Aufgabe 2 (c):(6 Punkte)

• Beschreiben, Aufbereiten & Komprimieren von Datenmaterial: deskriptive Statistik Beispielfrage: Wie groß ist der Mittelwert (o.a. statistisches Maß) f¨ur eine beliebige Da- tenreihe? oder allgemein- Wie k¨onnen Sie eine Verteilung eines Merkmals beschreiben?

• Suchen nach Strukturen, Gewinnung neuer Forschungshypothesen: explorative Statistik Beispielfrage: Entdecken Sie Zusammenh¨ange in den Daten? Was ist an einer Verteilung eines Merkmals bemerkenswert?

• Schließen von Stichprobe auf die Grundgesamtheit: induktive Statistik Beispielfrage: Unterscheiden sich zwei Variablen signifikant voneinander?

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Aufgabe 3: Zusammenhangsanalyse (insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 3 (a):(insgesamt 8 Punkte)

• Kontingenztafel, korrekte Ausf¨uhrung und Beschriftung der Tafel (2 Punkte)

• Formel: e_ij = ^h^i._n^·h^.j (1 Punkt) Y

schwarz weiß rosa gold ^P

weiblich 97 200 102 000 2 400 2 400 204 000 X

m¨annlich 307 800 323 000 7 600 7 600 646 000

P 405 000 425 000 10 000 10 000 850 000

• Für alle korrekten Ergänzungen in der Tabelle (insgesamt 5 Punkte). Das entspricht ¹₂ Punkte für jeden korrekten Zahlenwert.

Aufgabe 3 (b): (insgesamt 12 Punkte)

• gesucht: korrigierter Kontingenzkoeffizient (1 Punkt)

• n = 850000 (0.5 Punkte), k = 2 (0.5 Punkte),m= 4 (0.5 Punkte), M =min{k, m} = 2 (0.5 Punkte)

• Formel: K =

s χ²

n+χ² (1 Punkt)

• Ergebnis: K = 0.1692 (1 Punkt)

• Formel:

sM −1

M (1 Punkt)

• Ergebnis:

sM −1

M =

s2−1

2 = 0.71(1 Punkt)

• Formel:K^∗ =

q χ² n+χ²

qM−1 M

= K

qM−1 M

(1 Punkt)

• Ergebnis: K^∗ = 0.2383 (1 Punkt)

• Angabe Wertebereich von K^∗ (1 Punkt)

• Interpretation: Es besteht ein schwacher Zusammenhang (1 Punkt)zwischen der gekauf- ten Farbe des aPads und dem Geschlecht des K¨aufers (1 Punkt).

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Aufgabe 4: Konzentrationsmaße (insgesamt 20 Punkte) Aufgabe 4 (a):(insgesamt 15 Punkte)

• Formel: u_q =^P^qi=1f_i = q

n (1 Punkt)

• Formel: vq =^P^qi=1v˜i (1 Punkt)

• Formel: ˜v_q = x_(q)

Pn

i=1x_i (1 Punkt)

Tabelle 3: Arbeitstabelle(4 Punkte, je Spalte 0.5 Punkte)

aPad aPad II

q fq uq x₍q) v˜q vq x₍q) v˜q vq

1 0.2500 0.2500 10 000 0.0118 0.0118 2 000 0.0024 0.0024

2 0.2500 0.5000 10 000 0.0118 0.0236 7 000 0.0082 0.0106

3 0.2500 0.7500 405 000 0.4764 0.5000 185 500 0.2182 0.2288

4 0.2500 1.0000 425 000 0.5000 1.0000 655 500 0.7712 1.0000

P 850 000 850 000

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

Lorenzkurve

u_q vq

apad apad II

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• Graphik (4 Punkte)

• Interpretation und Einsch¨atzung: Limitierte Auflagen spiegeln nicht die wahre Nachfrage wider, daher sollten ”Gold“ und ”Rosa“ nicht in die Interpretation einbezogen werden.

Deutliche Verschiebung der Absatzmenge zugunsten von ”Weiß“. Es liegt f¨ur das aPad II eine deutliche Konzentration auf der Farbe ”Weiß“ vor. (4 Punkte)

Aufgabe 4 (b): (insgesamt 5 Punkte)

• Formel: G=^Pⁿi=1u_i·v˜_i+^Pⁿi=1ui−1·v˜_i−1(1 Punkt)

aPad:G= (0.25·0.0118 + 0.5·0.0118 + 0.75·0.4764 + 1·0.5) + (0·0.0118 + 0.25·0.0118 + 0.5·0.4764 + 0.75·0.5)−1 = 0.4823 (1 Punkt)

aPad II: G= (0.25·0.0024 + 0.5·0.0082 + 0.75·0.2182 + 1·0.7712) + (0·0.0024 + 0.25· 0.0082 + 0.5·0.2182 + 0.75·0.7712)−1 = 0.6291 (1 Punkt)

• alternativFormel: G= 2·^Pⁿ_i=1i·x_(i)

n·^Pⁿ_i=1x_i −ⁿ⁺¹_n (1 Punkt) aPad: G= 2·(1·10000 + 2·10000 + 3·405000 + 4·425000)

4·850000 − 5

4 = 0.4824 (1 Punkt) aPad II: G= 2·(1·2000 + 2·7000 + 3·185000 + 4·655500)

4·850000 −5

4 = 0.6282 (1 Punkt)

• Die beiden Gini-Koeffizienten besitzen aufgrund der gleichen Fallzahl denselben Wertebe- reich. Daher w¨are ein Vergleich denkbar, da der Gini-Koeffizient jedoch zum Teil extreme Werte annehmen kann, ist es besser, die normierten Gini-Koeffizienten f¨ur einen Vergleich bzw. eine Interpretation heranzuziehen.(2 Punkte)

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Aufgabe 5: Analyse zeitlicher Verl¨aufe (20 Punkte) Aufgabe 5(a) (insgesamt 10 Punkte)

• geg: lineares Modell: ln(U msatz) =a·J ahr+b+ε ges: a, b(1 Punkt)

• Nutze KQ-Methode: ˆa = ^Pⁿ⁼¹⁴ⁱ⁼¹ ^{ln(U msatz}ⁱ^{)·J ahr}ⁱ−n·ln(U msatz)·J ahr

Pn=14

i=1 J ahr²_i−n·J ahr² , ˆb=ln(U msatz)−ˆa·J ahr (1 Punkt)

• ˆa= (220 390.5−14·2010.5·7.8281)

(56 589 771−14·2010.5²) = 0.2320 (≈0.2328) (2 Punkte)

• ˆb= 7.8281−0.2320·2010.5 = −458.5 (≈ −460.2163)(2 Punkte)

• ja der Experte hat recht, da der Anstieg des Umsatzes in Mio. US-Dollar exponentiell und nicht linear scheint(2 Punkte)

• Die unabhängige Variable (das Jahr) erklärt 99.52% der Variation der abhängigen Variable (des logarithmierten Umsatzes). Damit besitzt das Modell eine hohe Güte.(2 Punkte) Aufgabe 5(b)(insgesamt 10 Punkte)

• ges.: Umsatz in Mio. US-Dollar im Jahr 2002 (1 Punkt)

• ln(U msatz) = 0.2320·2002−458.5 = 5.8564 (≈5.8493)(2 Punkte)

• U msatz =e^5.8564 = 349.4564 Mio. US-Dollar (≈346.9914) →Der geschätzte Umsatz für das Jahr 2002 beträgt 349.4564 Mio. US-Dollar (≈346.9914) (2 Punkte)

• Der geschätzte Wert (349.4564 Mio. US-Dollar) ist im Vergleich größer als der tatsächliche Wert (150.8 Mio. US-Dollar) (1 Punkt)

• Da der Experte die funktionale Form des Modells als exponentiell festgelegt hat, kon- vergiert die Funktion asymptotisch gegen 0 für alle (a·x+b) → −∞. Damit fällt die Funktion in den tatsächlichen absoluten Einheiten um so geringer, je kleinera·x+b wird.

(2 Punkte)

• Generelles Problem: Schätzen von Werten außerhalb des Wertebereichs, da dort andere Zusammenhänge gelten können. (2 Punkte)