(1)Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

5) Relativistische Quantentheorie Kap. 5

Zusammenfassung

Gesucht: Relativistische Varianteder Schrödinger-Glg.

mitE²=p²c²+m²c⁴ und Lorentz-Invarianz

Versuch 2 (Lösung 1, für Spin-0):Klein-Gordon-Glg.

−∂_µ∂^µψ(x^µ) = m²c²

~² ψ(x^µ) (1) Versuch 3 (Lösung 2, für Fermionen):Dirac-Glg.

i~∂

∂tψ(x^µ) =

c~α~p+βmc²

ψ(x^µ) (2)

α_i =

0 σ_i σi 0

β =diag(1,1,−1,−1) (3)

5.6) Graphene Physik-Nobelpreis 2010 (Geim,Novoselov) Monolage Kohlenstoff

2

Figure 1. C60 fullerene molecules, carbon nanotubes, and graphite can all be thought of as being formed from graphene sheets, Fullerene Nanotubes single layers of carbon atoms arrangeGraphite Nobelpreis Chemie’96

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Idee Herstellung

Präparation einfach:“Bleistift”und“Tape”

Finden schwierig:optischundAFM

Warum interessant?

Potentielle Anwendungen: Elektronik

hohe Mobilitätfreie Weglänge 0.3µm bei 300K dünn und transparent, n↔p Dotierung durch E-Feld Spannende Physik:2D Dirac-Fermionen

QED im Festkörper (“Bleistiftstrich”)

Idee Herstellung

Präparation einfach:“Bleistift”und“Tape”

Finden schwierig:optischundAFM

Warum interessant?

Potentielle Anwendungen: Elektronik

hohe Mobilitätfreie Weglänge 0.3µm bei 300K dünn und transparent, n↔p Dotierung durch E-Feld Spannende Physik:2D Dirac-Fermionen

QED im Festkörper (“Bleistiftstrich”)

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Entdeckung überraschend:

Theorie Landau’37, Peirls ’35:

2D Graphitthermodynamisch instabil

metastabil?

3D Verwölbung (10nm)?

gewinnt elastischer Energie

unterdrückt thermische Vibrationen

Entdeckung überraschend:

Theorie Landau’37, Peirls ’35:

2D Graphitthermodynamisch instabil

metastabil?

3D Verwölbung (10nm)?

gewinnt elastischer Energie

unterdrückt thermische Vibrationen

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Warum Dirac-Fermionen?

→besondere Bandstruktur!

Tight-binding-Modell (Nächst-Nachbar-Hüpfen 2D Honigwaben-Gitter)

H=−tX

R

|R+τihR|+|R+b+τihR|+|R+a+τihR|+H.c.

Warum Dirac-Fermionen? →besondere Bandstruktur!

Tight-binding-Modell (Nächst-Nachbar-Hüpfen 2D Honigwaben-Gitter)

H=−tX

R

|R+τihR|+|R+b+τihR|+|R+a+τihR|+H.c.

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Fouriertransformation ink-Raum

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Fouriertransformation ink-Raum

h(k) =

0 h_AB(k) h_AB(k) 0

mith_AB(k) =−t(1+e^iak+e^ibk)

h(k) =−

√ 3 2 at1

~

0 ~(δk_x +iδk_y)

~(δkx−iδky) 0

=−

√ 3 2 at

| {z }

cg

σp

d.h. 2D Dirac-Glg. masseloser Teilchen (Weyl-Glg.) σhier AB-Gitter-Pseudospin!

Ach weitere Hüpfterme ... ändern dies nicht (Symmetrie)

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Fouriertransformation ink-Raum

h(k) =

0 h_AB(k) h_AB(k) 0

mith_AB(k) =−t(1+e^iak+e^ibk)

In der Nähe vonK,K⁰ (d.h.δk_x/y =k_x/y−K_x/y⁰ )

h(k) =−

√ 3 2 at1

~

0 ~(δkx +iδky)

~(δkx−iδky) 0

=−

√ 3 2 at

| {z }

cg

σp

d.h. 2D Dirac-Glg. masseloser Teilchen (Weyl-Glg.) σhier AB-Gitter-Pseudospin!

Ach weitere Hüpfterme ... ändern dies nicht (Symmetrie)

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Fouriertransformation ink-Raum

h(k) =

0 h_AB(k) h_AB(k) 0

mith_AB(k) =−t(1+e^iak+e^ibk)

In der Nähe vonK,K⁰ (d.h.δk_x/y =k_x/y−K_x/y⁰ )

h(k) =−

√ 3 2 at1

~

0 ~(δkx +iδky)

~(δkx−iδky) 0

=−

√ 3 2 at

| {z }

cg

σp

d.h. 2D Dirac-Glg. masseloser Teilchen (Weyl-Glg.)

Ach weitere Hüpfterme ... ändern dies nicht (Symmetrie)

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Fouriertransformation ink-Raum

h(k) =

0 h_AB(k) h_AB(k) 0

mith_AB(k) =−t(1+e^iak+e^ibk)

In der Nähe vonK,K⁰ (d.h.δk_x/y =k_x/y−K_x/y⁰ )

h(k) =−

√ 3 2 at1

~

0 ~(δkx +iδky)

~(δkx−iδky) 0

=−

√ 3 2 at

| {z }

cg

σp

d.h. 2D Dirac-Glg. masseloser Teilchen (Weyl-Glg.) σhier AB-Gitter-Pseudospin!

Ach weitere Hüpfterme ... ändern dies nicht (Symmetrie)

Fouriertransformation ink-Raum

h(k) =

0 h_AB(k) h_AB(k) 0

mith_AB(k) =−t(1+e^iak+e^ibk)

In der Nähe vonK,K⁰ (d.h.δk_x/y =k_x/y−K_x/y⁰ )

h(k) =−

√ 3 2 at1

~

0 ~(δkx +iδky)

~(δkx−iδky) 0

=−

√ 3 2 at

| {z }

cg

σp

d.h. 2D Dirac-Glg. masseloser Teilchen (Weyl-Glg.) σhier AB-Gitter-Pseudospin!

Ach weitere Hüpfterme ... ändern dies nicht (Symmetrie)

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Konsequenzen

QED-Effektesehr viel einfacher zu beobachten, da c_g ≈c/300 d.h. α_g =e²/hc_g≈1

Chiralitätd.h. Projektion aufσ-Komponente ink-Richtung Chiraler Quanten-Hall-Effekt

Kleinsches Paradoxon

Leitfähigkeitquantisiert 4e²/hπ(Theorie: 4e²/h) noch viel mehr zu entdecken...

Konsequenzen

QED-Effektesehr viel einfacher zu beobachten, da c_g ≈c/300 d.h. α_g =e²/hc_g≈1

Chiralitätd.h. Projektion aufσ-Komponente ink-Richtung Chiraler Quanten-Hall-Effekt

Kleinsches Paradoxon

Leitfähigkeitquantisiert 4e²/hπ(Theorie: 4e²/h) noch viel mehr zu entdecken...

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Dirac-Glg.

Literatur

A.K. Geim and K. S. Novoselov,The rise of graphene, Nature Materials6, 183 (2007)

http://www.nature.com/naturematerials

Scientific background Noble Prize in Physics 2010

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/sci.html Lecture

https://wiki.physics.udel.edu/phys824/Band_structure_of_

graphene, _massless_Dirac_fermions_as_low- energy_quasiparticles,_Berry_phase,_and_all_that