Analysis II für M, LaG/M, Ph 1. Tutoriumsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/11
Apl. Prof. Christian Herrmann 22.10.2010
Vassilis Gregoriades Horst Heck
Aufgaben Aufgabe T1.1
(a) Sei f :I = [a,b]→K eine Treppenfunktion undλ∈K. Zeigen Sie, dass die Funktion λf auch eine Treppen- funktion ist undR
Iλf =λR
I f.
(b) Sei Z1={a = x0< x1<· · ·< xn= b} eine Zerlegung des Intervalls I = [a,b]. Seien c1, . . . ,cn∈K und eine Funktion f :I →K gegeben, sodass f(x) =ci für alle x∈(xi−1,xi). Für jede Zerlegung Z2={a= y0< y1<
· · ·<ym=b}des Intervalls [a,b], für die Z1⊆Z2gilt, bestimme man d1, . . . ,dm∈K, sodass f(x) =dj für alle x∈(yj−1,yj).
Hinweis. Zeigen Sie erstes, dass für jedes j=1, . . . ,mein einzigesi∈ {1, . . . ,n}gibt, sodass[yj−1,yj]⊆[xi−1,xi].
Daraus kann mandj bestimmen.
(c) Seien f,g :I = [a,b]→K Treppenfunktionen. Zeigen Sie, dass die Funktion f +g auch Treppenfunktion ist und
Z
I
(f +g) = Z
I
f + Z
I
g.
Hinweis. Zeigen Sie, dass es eine gemeinsame Zerlegung Z={a=z0<z1<· · ·<zN =b} des Intervalls[a,b] und a1, . . . ,aN, b1, . . . ,bN∈Kgibt, sodass f(x) =ak und g(x) =bk für alle x∈(zk−1,zk).
(d) Seien f,g:I→KTreppenfunktionen undλ,µ∈K. Zeigen Sie, dass die Funktionλf+µgauch Treppenfunktion ist und
Z
I
(λf +µg) =λ Z
I
f +µ Z
I
g.
(e) Es seien f,g:I→Ksprungstetige Funktionen undλ,µ∈K. Zeigen Sie, dass Z
I
(λf +µg) =λ Z
I
f +µ Z
I
g.
(f) Zeigen Sie, dass es für jede Treppenfunktion f :I→Kdie Funktion|f|auch Treppenfunktion ist und
| Z
I
f| ≤ Z
I
|f|
gilt.
Lösung:
(a) Nach Definition 30.1 gibt es eine Zerlegung Z ={a = x0 < x1· · ·< xn= b} des Intervalls [a,b], sodass die Funktion f auf jedem Intervall(xi−1,xi) konstant ist. Das heißt, dass es für jedes i =1, 2, . . . ,n ein ci gibt, sodass f(x) =ci für alle x∈(xi−1,xi). Also
f(x) =
n
X
i=1
ci1(xi−1,xi)(x)
1
für alle x∈[a,b]\Z.
Man erhält, dass die Funktionλf auf jedem Intervall(xi−1,xi)auch konstant ist und inbesondereλf(x) =λci für alle x∈(xi−1,xi). Also
λf(x) =
n
X
i=1
(λci)1(xi−1,xi)(x)
für alle x∈[a,b]\Z. Somit istλf eine Treppenfunktion und weiterhin gilt nach Definition 30.3:
Z
I
λf =
n
X
i=1
(λci)·(xi−xi−1) =λ
n
X
i=1
ci·(xi−xi−1) =λ· Z
I
f.
(b) Da Z1 = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} eine Zerlegung des Intervalls I = [a,b] ist, gehört yj−1 zu einem Intervall[xi−1,xi]für jedes j=1, 2, . . . ,m. Alsoxi−1≤yj−1< yj. Die Zahl yj ist (nach Definition) das kleinste Element y von Z2, sodass yj−1< y. Da xi∈Z1⊆Z2 und yj−1< xi, kann xi nicht kleiner als yj sein. Somit yj ≤ xi, also xi−1 ≤ yj−1 < yj ≤ xi. Das bedeutet [yj−1,yj]⊆ [xi−1,xi]. Weiterhin ist dieses i die einzige Natürliche Zahl k sodass[yj−1,yj]⊆[xk−1,xk], weil andererseits der Schnitt[xi−1,xi]∩[xk−1,xk] das ganze Intervall[yj−1,yj]umfassen würde. Aber der Schnitt zweier ungleicher Intervalle, deren Grenzen zu der gleichen Zerlegung gehören, enthält höchstens ein Element. Also ist diesesi das einzige.
Da f(x) = ci für alle x ∈(xi−i,xi), muss dj gleich ci sein. Also definieren wir dj = ci; wobei i die einzige natürliche Zahl ist, sodass[yj−1,yj]⊆[xi−1,xi]. Es folgt, dass f(x) =dj für alle x∈(yj−1,yj).
(c) Da f und g Treppenfunktionen sind, gibt es zwei Zerlegungen Zf ={a=x0<x1<· · ·< xn=b}, Zg={a= y0<y1<· · ·< ym=b}des Intervalls[a,b]undc1, . . . ,cn,d1, . . . ,dm∈K, sodass f(x) =cifür alle x∈(xi−1,xi) und g(x) =dj für alle x∈(yj−1,yj).
Mann betrachte die ZerlegungZ=Z1∪Z2={a=z0<z1<· · ·<zN=b}. Nach (b) (angewendet auf f und g) gibt esa1, . . . ,aN, b1, . . . ,bN∈K, sodass f(x) =ak und g(x) =bkfür alle x∈(zk−1,zk).
Wir definierenek=ak+bkund es ist klar, dass(f +g)(x) =ekfür alle x∈(zk−1,zk). Deshalb ist die Funktion f +g Treppenfunktion. Nach der Definition des Integrals gilt
Z
I
f +g=
N
X
k=1
ek·(zk−zk−1) =
N
X
k=1
ak·(zk−zk−1) +
N
X
k=1
bk·(zk−zk−1) = Z
I
f + Z
I
g.
(d) Das folgt nach (a) und (c).
(e) Nach Theorem 30.13, gibt es zwei Folgen(fn)n∈N,(gn)n∈Nvon Treppenfunktionen auf I, die gleichmäßig jeweils gegen f und g konvergieren. Nach Definition 30.16 gilt
Z
I
f = lim
n→∞
Z
I
fn und Z
I
g = lim
n→∞
Z
I
gn. Nach (d) ist die Funktion λfn+µgn für jedesn∈N eine Treppenfunktion und es ist klar, dass die Folge (λfn+µgn)n∈N
gleichmäßig gegenλf +µg konvergiert. Nach Definition 30.16 gilt Z
I
(λf +µg) = lim
n→∞
Z
I
(λfn+µgn).
Man erhält
Z
I
(λf +µg) = lim
n→∞
Z
I
(λfn+µgn)
= lim
n→∞(λ Z
I
fn+µ Z
I
gn) (nach (d))
= λlim
n→∞
Z
I
fn+µlim
n→∞
Z
I
gn
= λ Z
I
f +µ Z
I
g.
(f) Sei eine Zerlegung Z={a=x0<x1<· · ·<xn=b} und c1, . . . ,cn∈K, sodass f(x) =ci für alle x∈(xi−1,xi).
Es folgt, dass|f(x)|=|ci|für alle x∈(xi−1,xi). Deshalb ist|f|Treppenfunktion. Nach der Definition gilt 2
| Z
I
f|=|
n
X
i=1
ci(xi−xj−1)| ≤
n
X
i=1
|ci| · |(xi−xi−1)|=
n
X
i=1
|ci| ·(xi−xi−1) = Z
I
|f|.
a Aufgabe T1.2 (Lemma 30.11)
(a) Sei eine Menge A6=; und eine Funktion f :A→ R, die nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass es eine Folge (xn)n∈N⊆Agibt, sodass |f(xn)| → ∞.
(b) Sei eine Menge A6=; und eine Funktion f :A→R, die nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass es eine monotone Folge(yn)n∈N⊆Agibt, sodass|f(yn)| → ∞.
Hinweis. Benutzen Sie Lemma 10.8.
(c) Sei eine Funktionf :[a,b]→R, die nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass es eine monotone Folge(xn)n∈N⊆[a,b]
und ein x0∈[a,b]gibt, sodass xn→x0und|f(xn)| → ∞.
(d) Sei eine Funktion f :[a,b]→R, die nicht beschränkt ist. Zeigen Sie, dass f nicht sprungstetig ist. Also ist jede sprungstetige Funktion beschränkt.
Lösung:
(a) Da f nicht beschränkt ist, gilt für jedesn∈N einxn∈A, sodass|f(xn)| ≥n. Also gibt eine Folge(xn)n∈N⊆A, sodass|f(xn)| → ∞.
(b) Sei die Folge(xn)n∈Nvon (a). Nach Lemma 10.8 gibt es eine Teilfolge(xk
n)n∈N, die monoton ist. Da|f(xn)| → ∞, folgt|f(xk
n)| → ∞. Wir nehmen yn=xk
n für jedesn∈N.
(c) Nach (b) gibt es eine monotone Folge (xn)n∈N ⊆ [a,b], sodass |f(xn)| → ∞. Falls (xn)n∈N wachsende ist, definieren wir x0=sup{xn|n∈N}und falls (xn)n∈N fallende ist, definieren wir x0=inf{xn|n∈N}. Auf jedem Fall gilt xn→x0, weil die Folge(xn)n∈N monoton ist. (Das ist der Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß.) Da für jedesn∈N, a≤xn≤b, folgta≤x0≤b.
(d) Da f nicht beschränkt ist, folgt nach (c), dass es eine monotone Folge(xn)n∈N⊆[a,b]und ein x0∈[a,b]gibt, sodass xn→x0 und|f(xn)| → ∞. Falls(xn)n∈N wachsende ist, folgt, dass die linksseitige Grenzwert lim
x→x−0
f(x) nicht zuRexistiert. (Andererseits würde lim
x→x−0|f(x)| ∈Rgelten. Also würde auch lim
n→∞|f(xn)| ∈Rgelten.) Falls (xn)n∈N fallende ist, folgt, dass die rechtsseitige Grenzwert lim
x→x0+
f(x)nicht zuR existiert. Auf jedem Fall, ist die Funktion f nicht sprungstetig.
a
3
