1 Bekannte Aufgabe 10 Punkte

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2. Klausur Statik und elementare Festigkeitslehre — WiSe 2010/2011 Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov

Dieser Kasten ist vor der Bearbeitung der Klausurvollst¨andig undlesbar auszuf¨ullen!

Nachname Vorname

Studiengang Matrikelnummer

Art der Klausur: Pr¨ufungsklausur Ubungsscheinklausur¨

Aufgabe 1 2 3 4 Σ 1 - 4 5 Korrektor

erreichte Punkte / 40 / 10

Die Klausur umfasst 5 Aufgaben. Die Klausur gilt als bestanden, wenn mindestens 20 von 50 Punkten erreicht werden. Dabei muss jedoch Aufgabe 5 (Kurzfragen) mit mind. 5 von 10 Punkten bestanden werden. Tragen Sie die Ergebnisse des Kurzfragenteils direkt auf dem Klausurblatt ein (nur diese Eintragungen werden ber¨ucksichtigt!). Es werdenalleRechenaufgaben gewertet. Bitte sauber schreiben, unlesbare L¨osungen werdennichtbeachtet.

1 Bekannte Aufgabe 10 Punkte

Das skizzierte System aus vier elastischen Stäben wird im zen- tralen Knoten P mit der Last F in der angegebenen Richtung belastet. Alle Bauteile haben den ElastizitätsmodulE und einen quadratischen Querschnitt mit der Kantenlänge D. Die Bezeich- nungen der Längen sind der Skizze zu entnehmen.

(a) Bestimmen Sie diex- undy-Komponenten der Verschiebung des Punktes P. Die Verschiebung soll klein und Knicken ausgeschlossen sein.

(b) Wie groß muss α sein, damit sich der Punkt P um den gleichen Betrag inx- und in y- Richtung verschiebt?

Geg.: a, b, c, d, D, F, α, E

x

c y d

a

b F

α

P 1

2 3

4

2 Ebener Spannungszustand 2+2+2=6 Punkte

Ein St¨uck Blech einer Autokarosserie ist wie gezeigt im vorgegebenen Koordinatensystem belastet.

(a) Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß die Hauptspannungen σ1

undσ2 sind. Wie groß ist die maximale Schubspannungτ_max. (b) Zeichnen Sie den Mohrschen Kreis. Ermitteln Sie nun graphisch unter welchem Winkel ϕ^∗ die Hauptspannungen und unter welchem Winkel ϕ^∗∗ die maximalen Schubspannungen auftreten.

(c) Ermitteln Sie graphisch unter welchem Schnittwinkel ϕn eine der Normalspannungen 0 ist. Lesen Sie die Schubspannung und die korrespondierende zweite Normalspannung dieses Span- nungszustandes aus dem Kreis ab.

x 6σ0

σ⁰ y

2σ0

ϕ_n

Geg.:σ⁰

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3 Biegung 4+6+2+2+2=16 Punkte

Ein Tr¨ager (L¨ange l, E-Modul E und skizzierter Querschnitt) soll wie dargestellt gelagert sein. Durch Einbaufehler (Vor- spannung) ist das Lager an der Stelle B um a abgesenkt. Im Folgenden sollen die Auswir- kungen des Einbaufehlers auf das Bauteil bestimmt werden.

x

z, w

l

E

a

b

2b B

b 2

5 4b R

y

z S Querschnitt:

(a) Bestimmen Sie das axiale FlächenträgheitsmomentIy des rechteckigen Profils (Breiteb, Höhe 2b) mit kreisförmiger Aussparung (Radius R =

q 2

3πb) bez¨uglich des eingezeichneten Schwerpunktkoordina- tensystems.

Hinweis: Benutzen Sie f¨ur die Rechnungen in (b)-(e) als Absch¨atzung:

Iy = 1 3b⁴ . (b) Bestimmen Sie die Absenkung des Balkensw(x).

(c) Wie groß ist die Lagerkraft inz-Richtung inB?

(d) Wo tritt die maximale Zug-, und wo die maximale Druckspannung auf?

(e) Wie groß darfahöchstens sein, damit die zulässige Zugspannung σzul nicht überschritten wird?

Geg.:l,E,a,R= q 2

3πb,b,σzul

4 Torsion 5+3=8 Punkte

Eine Vorrichtung zur Messung des SchubmodulsGist wie dargestellt aufgebaut. An eine vollzylindrische Welle (Ra- diusR, Länge l), welche links fest eingespannt ist, ist am rechten Ende eine starre Stange (Länge 2a) mittig befe- stigt. Diese wird an jedem Ende mit einer Kraft F belastet. An der Positionx= 2aist eine Ablesevorrichtung in Form eines Zeigers der Länge amontiert, die anzeigt wie weit sich der Zeigestab aufgrund der Torsion der Welle verschiebt. Vorrausgesetzt seien kleine Verformungen der Welle.

x

l 2a

a a R

y z

F a F

Zeiger

(a) Bei Torsion der Welle zeigt die Ablesevorrichtung eine Verschiebung b in Richtung des positiven Verdrehwinkels an. Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen F und dem Abstand b auf. Wie kann daraus der SchubmodulGbestimmt werden?

(b) Um Gewicht zu sparen soll die Welle als Hohlwelle mit identischem AußenradiusR gefertigt werden.

Wie groß muss der InnenradiusRi gew¨ahlt werden um eine Gewichtseinsparung von 25% zu erzielen?

Welches Verhältnis ergibt sich dann für die polaren Flächenträgheitsmomente Î^p,voll/Ip,hohl? Geg.:l,a,R,b,F

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5 Kurzfragen 10 Punkte

1. Geben Sie die Maßeinheiten folgender Gr¨oßen ausschließlich in den Einheiten kg, m und s an.

Dimensionslose Gr¨oßen markieren Sie bitte mit 1.

Kr¨ummung der Biegelinie w^′′(x) Druck p

Poissonzahl ν

Gleitung/Schubwinkel γxy

1 Punkt 2. Ein Bimetallstreifen besteht aus einer Aluminium- und einer Stahl-

schicht, die fest miteinander verbunden sind. Er wird um 10 Kel- vin erwärmt und verformt sich wie skizziert. In der Tabelle finden Sie Angaben über Verhältnisse von Kenngrößen beider Materialien.

Geben Sie an, welche der Schichten aus Aluminium und welche aus Stahl ist.

EStahl/^EAlu GStahl/^GAlu α_{T ,Stahl}/^αT ,Alu νStahl/^νAlu

3 3 0,65 0,82

unverformt 1

2

1 Punkt 3. Eine Hohlwelle ist auf Torsion belastet. F¨ur den skizzierten Querschnitt tritt eine maximale Schub-

spannung von τ^max auf. Stellen Sie den Verlauf der Schubspannung τ ¨uber den Radius r graphisch dar.

R_i Ra

z y

Ri Ra

r τ

τmax

Geg.:Ra,Ri,τ^max 1 Punkt

4. Das skizzierte T-f¨ormige Bauteil ist in den Punkten A und C fest eingespannt, im Punkt D wirkt die Kraft F0. Geben Sie an wie die einzelnen Bereiche belastet sind (bitte ankreuzen).

Bereich Torsion Biegung

AB

BC

BD

A

B

C

D F0

Geg.: F⁰ 1 Punkt

5. Für das gegebene Profil der Fläche A sind das polare Flächenträgheitsmoment bzgl. des Schwerpunktkoordinatensystems (y, z), Ip und das axiale Flächenträgheitsmoment bzgl. der Achse η, Iη bekannt.

Weiterhin sei der Abstand e zwischen der z- und der η-Achse gegeben.

Leiten Sie aus diesen Größen das axiale FlächenträgheitsmomentIy ab.

I_y =

y

z ξ

A η

S e

Geg.:Ip,Iη, e,A 1 Punkt

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6. Zwei identische Balken quadratischen Querschnitts (Sei- tenl¨ange a und Wanddicke t) sind wie gezeigt um 45^◦ ver- dreht zueinander montiert und mit der gleichen Kraft F belastet. Welche Beziehung gilt f¨ur die Absenkung beider Endenw1(l) und w2(l)?

w1(l)

(<,>, =) w2(l)

F F

l

l EI x EI

a a System 1

System 2

t t

Geg.:EI,l,t,a,F 1 Punkt

7. Geben Sie f¨ur das skizzierte System alle Randbedingungen an, die zur Bestimmung der Biegelinie mit der Biegeliniendifferentialglei- chung 4.Ordnung erforderlich sind. Beziehen Sie sich auf das gegebene Koordinatensystem.

Geg.:M0,l,c,EI

x z,w

M⁰ c

l EI

1 Punkt 8. Wie lautet die allgemeine Biegeliniendifferentialgleichung f¨ur einen Balken ver¨anderlichen Querschnitts?

Geg.: E,I_y(x), q(x) 1 Punkt

9. Zu den dargestellten Spannungszust¨anden(a),(b) und(c)wurden dieMohrschen Spannungskreise gezeichnet. Ordnen Sie diesen die korrespondierenden Spannungszust¨ande(a),(b) oder (c)zu.

σ0

σ⁰ σ0

σ0

σ⁰ σ0

σ0

τ0

x y

σ σ σ

τ τ

τ

(a) (b) (c)

Geg.:σ0,τ0 1 Punkt

10. Dargestellt sind die Eulerschen Knickfälle mit den zu- gehörigen kritischen Kräften Fk1, Fk2, Fk3 und Fk4 für vier identische Stäbe, die wie gezeigt unterschiedlich gelagert sind. Sortieren Sie alle vier Kräfte in absteigender Reihen- folge, nennen Sie also die betragsmäßig größte Kraft als erstes.

Fk1 Fk2 Fk3 Fk4

Geg.:F_k1,F_k2, F_k3,F_k4 1 Punkt