2. Eigenschaften stabiler Kerne

Kerne und Teilchen

Moderne Physik III

Vorlesung # 2

2. Eigenschaften stabiler Kerne - Wirkungsquerschnitt:

Definition, totaler Wq. σ_tot - differentieller Wq. dσ/dΩ - Mott-Streuung

- Formfaktor F(q²) &

Ladungsverteilung ρ(r) von Kernen

2. Eigenschaften stabiler Kerne

- Größe: Kernradius (R = 1.2 fm · A^1/3)

- Form: sphärisch / Deformation (prolat/oblat) Radius & FormRadius & Form

Radius & Form

- Kernmaterie mit konstanter Dichte (ρ = 10¹⁷ kg/m³) - Kernmassen & Stabilitätstal

Dichte & MasseDichte & Masse Dichte & Masse

- Quantenzahlen Spin S, Parität P, magnetisches Moment µ - Schalenstruktur: „Leucht“-Nukleonen, kollektive Anregung ZuständeZust

Zustäändende

- Bindungsenergien: Fusion & Spaltung, nukl. Astrophysik - spezielle Reaktionen: Austausch/Transfer

ReaktionenReaktionen Reaktionen

J J

Einheiten

natnatüürliche Einheiten ħrliche Einheiten = c = 1= c = 1

Masse 1 GeV

Länge 1 GeV^-1 = 0.1975 fm Zeit 1 GeV^-1 = 6.59·10^-25 s

Kern- & Teilchenphysik: spezielle Einheiten

Masse: GeV/c² Impuls: GeV/c

Atomphysik

α: Feinstrukturkonstante = 1/137 m_e: Elektronmasse = 0.511 MeV

r_Atom ~ 10^-10 m ρ_Atom ~ 10³ kg/m³

E² = p²c² + m²c⁴

Kernphysik

r_Kern = (2-8) · 10^-15 m ρ_Kern ~ 10¹⁷ kg/m³

neue Wechselwirkungen begrenzter Reichweite: starke & schwache Ww.

α_s: starke Kopplungskonstante = 0.2 m_N: Nukleonmasse = 939 MeV

klass. Wechselwirkung unbegrenzter Reichweite: elektromagnet. Feld

fm

Parameter eines Streuexperiments

Einfallender TeilchenstrahlEinfallender Teilchenstrahl Einfallender Teilchenstrahl

Typischer Aufbau eines Streuexperiments: (Bs. Rutherfordexperiment)

ein Teilchenstrahl trifft senkrecht auf ein dünnes Target (´fixed target´ Aufbau)

mit

- Querschnitt F [cm²] - Geschwindigkeit v_i [cm/s]

- Anzahldichte n_Strahl [cm^-3]

TargetmaterialTargetmaterial Targetmaterial

Länge ℓ

Dichte ρ

mit

- Länge ℓ [cm]

- Dichte ρ [g/cm³] - Atommasse M_A [u]

Fläche σ eines Targetkerns:

totaler Wirkungsquerschnitt Fläche F

Geschwindigkeit v_i

+ Avogadro- zahl N_A

Fluss [cm^-2 s^-1] Φ = n_Strahl · v_i

Intensität [s^-1]

I = Φ · F = F · n_Strahl · v_i

Targetkerne pro

Einheitsvolumen [cm^-3] n_Target = ρ · N_A / M_A

Targetkerne im Strahl N_Target = n_Target · F · ℓ

Rate W_r an Streuereignissen [s^-1] ~ totalem Wirkungsquerschnitt σ_tot W_r = Φ · N_Target · σ_tot = I · n_Target · ℓ · σ_tot

W_r = Φ · N_Target · σ_tot = I · n_Target · ℓ · σ_tot

Strahl Fluss

Target:

Kerne im Strahl

[s^-1] = [cm^-2 · s^-1] · σ_tot

σ_tot = [cm²]

der Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Flächeder Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Fl der Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Fläächeche

Totaler Wirkungsquerschnitt

σ_tot ist ein Maß für Wahrscheinlichkeit einer (Streu-)Reaktion

Zahl einfallender Teilchen pro Sekunde pro cm² (Fluss-/Stromdichte)

= Zahl der Reaktionen pro Sekunde pro Streuzentrum (Targetkern) σ_tot

Strahl:

Intensität

Target: Targetkerne pro Einheitsvolumen (cm³)

× Targetlänge

[s^-1] = [s^-1 · cm^-3 · cm] · σ_tot

G. Drexlin – VL02

Wirkungsquerschnitt als Streufläche

σ_tot stellt eine effektive Fläche dar für Streuprozesse/Wechselwirkungen geometrischer Streuquerschnitt: σ_geom = π · (R + r)²

R₀ = 1.2 fm A^1/3

~10

~10^--1212 cm cm

Projektil Projektil

RR

r

Beispiel für Streuung eines 6 MeV α-Teilchens an ¹⁹⁷Au:

R (¹⁹⁷Au) = 7 fm = 7 · 10^-15 m

A = π r² = 154 fm² = 1.54 · 10^-28 m²

geometrischer Streuquerschnitt σ_tot,geom = 1.54 b [ 1 barn = 100 fm² ]

d.h. ein α-Teilchen mit Stoßparameter b = 7 fm hat einen Wirkungsquerschnitt σ_tot = 1.54 b für elastische Streuung an ¹⁹⁷ Au (Streuwinkel θ ~ 140°)

- für Neutronen-Reaktionen wird auch beobachtet: σ_tot > σ_geom

- für Niederenergie-Neutrino-Reaktionen an Kernen σ_tot ~ 10^-18 b (~10^-6 pb) 1 barn = 1 b = 101 ^-24 cm²

1 barnbarn = 1 b = 10= 1 b = 10^-24-24 cmcm²²

Einheit des Wirkungsquerschnitts σ_tot :

1 mb = 10^-27 cm², Teilchenphysik: 1 pb = 10^-36 cm², 1 fb = 10^-39 cm² [ barn = Scheunentor ]

Wirkungsquerschnitt - Beispiele

Gamma-Energie [MeV]

200 300 400 500 600

p(γ,π⁰)p d(γ,π⁰)X

σ tot[µb]

300

200

100

0

Δ-Resonanz

Energieabhängigkeit von σ_tot kann z.B. zum Nachweis neuer Teilchen (Resonanzen) führen, hier bei Reaktion γ + p → π⁰ + p

zur Messung von σ_tot erforderlich:

- Zahl einlaufender Teilchen / s - Messdauer t

- Detektor-Raumwinkelelement dΩ - Streuwinkel θ

- Zahl gestreuter Teilchen - Targetdicke

- Targetdichte

- Kernmasse der Targetatome - Avogadrozahl

Differentieller Wirkungsquerschnitt

Differentieller Wirkungsquerschnitt dσ/dΩDifferentieller Wirkungsquerschnitt Differentieller Wirkungsquerschnitt ddσ/dσ/dΩΩ

ein Detektor(-element) deckt oft nur einen sehr kleinen Teil des gesamten Raumwinkels ab (d.h. ein Raumwinkel- Element dΩ = F / r² ab):

der Detektor misst dann den

differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ/dΩ:

Target

Detektor

θ

r einfallende

Teilchen

dσ Zahl der nach dΩ gestreuten Teilchen pro Sekunde pro Streuzentrum dΩ = Zahl einfallender Teilchen pro Sekunde pro cm² (Fluss-/Stromdichte)

Einheit des differentiellen Wirkungsquerschnitts: [cm²/ sr bzw. b / sr]

gesamter Raumwinkel um Target: dΩ = 4 π sr

i.a. gilt dσ/dΩ = dσ/dΩ(θ,φ), diff. Wq. ist abhängig von Polar- & Azimuthwinkel oft gilt azimutale Symmetrie, d.h. dσ/dΩ = dσ/dΩ(θ)

F

ein paralleler Teilchenstrahl (z.B. α´s) fliegt in einem dünnen Target durch Kreisring mit der Fläche dσ = 2π· b · |db| (mit Streuparametern [ b, b + db ] ) werde durch elastische Streuprozesse in den Raumwinkel dΩ gestreut

(mit Streuwinkeln [θ, θ- dθ] )

wichtig: keine Mehrfachstreuungen, keine Abnahme des Flusses im Target

α α

KernKern

Element des Kreisrings dσ

b db

Element des

Raumwinkels dΩ

[θ, θ- dθ]

db b

d σ = 2 π ⋅ ⋅

Ω Ω ⋅

= d

d dσ dσ

θ θ σ π

σ d

d

d d ⋅2 ⋅sin

= Ω

dΩ = 2π sin θ dθ

θ θ θ

σ

d db b

d

d = − ⋅

Ω ( ) ( ) sin

θ nimmt zu, wenn b abnimmt Streupotential

Streu- zentrum

differentieller Wirkungsquerschnitt dσ/dΩ: beschreibt die Winkelverteilung gestreuter Teilchen in den Raumwinkel dΩ

Ω Ω ⋅

⋅

⋅

⋅

= Ω

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω d

d n d

I d d

dW_r σ

l

Target ⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ Ω

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω d

n d d I

dW_r σ

l

Target

Fläche F

Abstand d

Rate R gestreuter Teilchen in einem Detektor mit Fläche F im Abstand d:

Target 2

d F d

n d I

R ⋅

⋅ Ω

⋅

⋅

= σ

l

Strahl- intensität

Targetkerne pro cm³ × Länge

Streurate ~ differentieller WirkungsquerschnittStreurate ~ differentieller Wirkungsquerschnitt Streurate ~ differentieller Wirkungsquerschnitt

diff. Wirkungsquerschnitt dσ/dΩ für eine elastische Streuung am Coulombfeld

in den Raumwinkel dΩ ergibt sich aus gemessener

Winkelverteilung (d cosθ) der gestreuten Teilchen ^Target:_n

Target, ℓ Strahl:

Intensität I

Beispiel: Rutherford-Streuung

Rutherford-Streuung:

elastische Streuung eines α-Teilchens am Coulomb-Feld eines

schweren Au-Kerns (keine Rückstoß-Energie)ÖImpulsänderung (-transfer) Δp

b Symmetrie-

ebene

b

v Θ

Δp

v

→ p_i

p_f Δp

Θ→

→ →

b v

Z

z 1

4 ) 1

tan( 2 ₂

0

⋅ ⋅

⋅

= πε

θ Relation zwischen

Streuwinkel θ und Streuparameter b Relation zwischen Relation zwischen Streuwinkel

Streuwinkel θθ undund Streuparameter b Streuparameter b

kleiner Stoßparameter:

b → 0 Ö θ → π

großer Stoßparameter:

b → ∞ Ö θ → 0 Stoßparameter b [∞,0 ]

= asymptotischer Abstand des α´s

für feste Energie E des α-Teilchens ist der Streu- Winkel θ nur abhängig vom

Stoßparameter b

) 2 / ( sin

1 4

4 1

4 2 2

0 ⎟⎟⎠ ⋅ Θ

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ ⋅ ⋅

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω _Rutherford E_kin

e Z z d

d

ε π σ

mit den natürlichen Einheiten ħ= c = 1 erhält man:

mit E_kin = ½ m · v²

) 2 / ( sin

1

4 ⁴

2

⋅ Θ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ ⋅

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω _Rutherford E_kin

Z z d

dσ α

mit Feinstrukturkonstante α = 1/137

divergenter Verlauf dσ/dΩ → ∞ für θ → 0: Stoßparameter b wird größer als Elektronenhülle (Screening des Potenzials), bei vollständig ionisiertem Kern:

Divergenz ist Effekt der elektromagnet. Ww. mit langreichweitigem V(r) ~ 1/r

Rutherford-Streuung: dσ/dΩ

) 2 / ( sin

1 ]

10 [ 3 . 1 ]

[ ₄

2

0 3

θ

σ _⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

⋅

⋅ Ω ≈

−

MeV E

Z b z

d d

für die Rutherfordstreuung am konservativen Coulombfeld erhält man:

mit dimensionsbehafteten Einheiten [E in MeV] erhält man:

Wirkungsquerschnitt σ

& Luminosität

Teilchenphysik: Zusammenfassung von Strahl- & Target-Eigenschaften:

Luminosität L = Φ · N_Target

L = Φ · N_Target WW_rr = L ·= L · σσ_tottot

der totale Wirkungsquerschnitt σ_tot ergibt sich aus der Integration von dσ/dΩ:

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ Ω Φ

= ∫ ∫

d

d d

tot

d

) , cos (

2 0

1 1

φ θ θ σ

σ

Φ: Azimutwinkel, θ: Streuwinkel

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ Ω

⋅

⋅

= ∫ ^{d d} _d

tot

) sin (

2

θ θ σ

θ π

σ

für Streuungen mit einer azimutalen Symmetrie gilt:

Einheit [cm^-2 s^-1]

N = σ_tot · ∫ L dt N = σ_tot · ∫ L dt

Rate [s^-1] integrierte Luminosität

2.2 Kernradien und Formfaktoren

Rutherfordstreuung – elastische, nicht-relativistische Streuung von α-Teilchen (S = 0) am Coulombfeld des punktförmigen Kerns

bei höheren Energien E_kin bzw. anderen Teilchenarten mit Spin (e, µ, p, ν …) entstehen Abweichungen durch:

- relativistische Effekte

- Effekte der starken Wechselwirkung (anderes Potentialverhalten) - endliche Ausdehnung des Kerns: Ladungsverteilung ρ(r)

- interner Spin des Projektils (Dirac-Gl.) Mott-StreuungMott

Mott--StreuungStreuung

Nevill F. Mott (1905–1996)

+ Formfaktoren de-Broglie Wellenlängede-de-BroglieBroglie WellenläWellenlängenge

v m

p ⋅ ⋅

= ⋅

= ⋅

γ π λ ²π ^{h 2 h}

de Broglie Wellenlänge λ des Projektils λ ~ Kernradius R ( 1 fm^-1 = 200 MeV/c )

Impulsübertrag q

Definition für den Impulsübertrag q^→bei einer elastischen Streuung:

f

i p

p

qr = r − r

θ cos

2 2

2

2 = p_i + p_f − ⋅ p_i ⋅ p_f ⋅ q

Betrag des Impulstransfers q = | q | :

p_i

→ p_f

→ →q

θ

→

ohne Kernrückstoß gilt p_i = p_f = p

sin 2 4

) cos 1

(

2 ^{2 2 2}

2 = ⋅ p ⋅ − θ = ⋅ p ⋅ θ

q q = 2 p · sin (θ/2) q = 2 p ·q = 2 p · sinsin ((θ/2) θ/2) damit nochmals die nichtrelativistische Rutherfordstreuung:

4

2 1

) 2

( m Z q

d d

e ⋅ ⋅ ⋅

⋅

Ω = α

σ mit E_kin = p²/ 2 m_e dσ/dΩddσσ/d/dΩΩ ~ 1 / q~ 1~ 1//qq⁴⁴⁴

~ ( Photonpropagator 1/q^{2 )2}

Mottstreuung

Mott-Streuquerschnitt für relativistische Projektile mit Spin (kein Rückstoß):

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= Ω

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= Ω

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω cos 2

sin 2

1 β ^{2 2} θ σ ² θ

σ σ

Rutherford Rutherford

Mott d

d d

d d

d

für ß →1

Streuwinkel cos θ

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

diff. Wq. dN/dcosθ

10⁴ 10³

10²

10¹ 1

Mott- Streuung (s ≠ 0) Rutherford-

Streuung

berücksichtigt Spin-Effekte

Beispiel: Rückwärtsstreuung eines e^-

(s = ½) bei zentralem Stoß (ℓ = 0)

S

S

rückwärts vorwärts

p_i p_f

Elektronspin müsste umklappen (Spin-Flip)

→ Rückwärtsstreuung stark unterdrückt

longitudinal polarisiert

Formfaktor F(q)

Berücksichtigung der endlichen Kernausdehnung, d.h. der ausgedehnten Ladungsverteilung ρ(r) der Protonen im Kern, durch den Formfaktor F(q) Born´sche Näherung:

Beugung einer einfallenden ebene Welle an einer Scheibe

r d e

r q

F( ²) ⁼

∫

2 2

. exp

) (q d F

d d

d

Mott

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= Ω

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Ω

σ σ

Formfaktor F(q²) = Fourier-Transformierte der Ladungsverteilung ρ(r)

Formfaktor F(q

Formfaktor F(q²²) = ) = FourierFourier--TransformierteTransformierte der Ladungsverteilung

der Ladungsverteilung ρ(rρ(r))

1 )

( ³ =

∫

mit

Modifikation des differentiellen Mott-Wirkungsquerschnitts

30° 50° 70° 90°

Streuwinkel θ 10^-29

10^-30 10^-31 10^-32 10^-33 10^-34 different. Wq. dσ/dΩ[cm2 /sr]

12¹²C

12CC

homogene Kugel mit diffusem Rand

(e,e´) Streuung bei 420 MeV

Beugungs- minimum

für Kerne ist F(q²) eine oszillierende

Funktion

ρ(r)

Beispiele für Ladungsverteilungen ρ(r) & zugehörige Formfaktoren F(q²)

1 ) ( )

4 ( ) 1

(r = ⋅δ rr ⇒ F q² = ρ π

punktförmig δ(r) punktf punktföörmig rmig δ(rδ(r) )

Formfaktoren sind wichtig ab einem Impulstransfer q ~ 1/R, d.h. q ~ 200 MeV/c

homogene Kugelhomogene Kugel homogene Kugel

)]

cos(

) [sin(

) ( ) 3 1 (

4 ) 3

( _{0 3} ² ₃ aq aq aq

q aq a F

r = = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅

ρ π ρ

weit entfernte Flugbahnen, Kern erscheint punktförmig, keine Beeinflussung

oszillierender Formfaktor

aus den Beugungsminima kann die Größe des Kerns bestimmt werden

a = Kernradius

Kernladungsverteilungen

Anpassung von ρ(r) an experimentelle Streudaten (dσ/dΩ)_exp ergibt die Saxon-Woods Verteilung für ausgedehnte Kerne:

d a

e r

r ₍⁰ _)/ ) 1

( ₋

= + ρ

ρ Kernradius aKernradius aKernradius a Skin-Dicke dSkin Skin--Dicke dDicke d

Radius r [fm]

0 2 4 6 8 Ladungsverteilung ρ[e/fm3 ]

0.10

0.05

0

a

He Ca Ni Sm Pb

Streuwinkel θ

40⁴⁰Ca

40CaCa

48⁴⁸Ca

48CaCa

20° 30° 40° 50° 60°

differentieller Wq. dσ/dΩ[cm2 /sr] ^10-27

10^-29 10^-31 10^-33 10^-35 10^-37

× 10

× 0.1

R(⁴⁸Ca) > R(⁴⁰Ca)

Isotopeneffekt von a in der Elektronstreuung

a = (1.18 A^1/3 – 0.48) fm d = (0.55 ± 0.07) fm

konst. Ladungsdichte

Ladungsverteilung & Formfaktor

punktförmig ρ(r) = δ(r)/4π

exponentiell ρ(r) ~ exp(-r/a)

Elektron konstant

F(q²) = 1

Dipol

F(q²) = 1/(1 + a²q²)² Proton

gaußförmig

F(q²) = exp(-½· a²q²)

oszillierend

F(q²) ~ [ sin(Rq)

– R·q cos(Rq) ] verwaschene

Oszillation gaußförmig

ρ(r) ~ a^-3 exp(-r²/2a²)

homogene Kugel ρ(r) = const. r < R ρ(r) = 0 r ≥ R

Kugel mit diffusem Rand

ρ(r) = r₀ / (1+exp((r-R)/d))

Ladungsverteilung ρ(r)Ladungsverteilung

Ladungsverteilung ρ(rρ(r)) Formfaktor |F(qFormfaktor |F(qFormfaktor |F(q²²²)|)|)|

Radius r →

Lithium-6

Impuls |q| →

-

Kalzium-40

Saxon- Woods