Stability analysis in a Cournot duopoly with managerial sales delegation and bounded rationality
Fanti, Luciano and Gori, Luca
Department of Economics, University of Pisa, Department of Law and Economics "G.L.M. Casaregi", University of Genoa
30 September 2011
Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/33828/
MPRA Paper No. 33828, posted 02 Oct 2011 02:54 UTC
$ % &'($()( * + ' , - . / 0 ' "' #
!
" # $
% & & & ' & # $
()& '*+& ,-+
. 1 /lfanti@ec.unipi.it fanti.luciano@gmail.com& / 0+1 232 )) -( +(1& "/ 0+1 232 )) -( +4*
.. 1 /luca.gori@unige.it dr.luca.gori@gmail.com& / 0+1 2-2 )21 13 2+& "/ 0+1 2-2 )21 33 +(
) ! "
"
5 7 -14+! 8
% -134! $
$ " "
$ 9
" $ 7 # -112!
$ $
$ $ $
$
: -143! 5 -143! 5 7 -14;! < $
-14;! :57< ! =
> ?!- $ $ $ $
) # $ $
$ %
-113! 8 )22-!
@ 6 )22+!
=
"
> A$ ? "
$ $ !+
-1(2! " $
$ $ 8 " *
$
, -1;)! < -1;+! !
" $ $
! "
$ B $ $ !
$
B $ $ ! C $
" B % -142!
$ $
-7 )22; )221!
$ 8
)8 6 < D -1;;! "
$ " $
+ = $
8
"
-4+4! A$
"
*< # -1(-! "
+
"
" 8 = )22( 3);!
>
B
$ " ?
" -14(
-112& % )2-2!
"
$
' " -14(!
$ " < -13;
! E
B $
B "
$ F -11- -114& G -11(& = D
H )22+ )22*& I )22;& )2-2!
=
$ J :57<
$
"
8
/
" B $
B $ K
/
" /
$
! 8
$
" 5 ; !
< )
< +
$
" < *
#! $
:57< <
*
$
7 )22; )221! $ B )22;!
$ $ p=1−Q 3 p Q
q1 q2 1 2 $ $
$ 1 0<c< (
H $ "
$ 8
{ }
1,2=
i Ui =Πi+biqi
( )
i i = p−c qΠ i bi $
$ B $
i Ui =
(
1−Q−c+bi)
qi=
" B $
/ 0
2 1
0 1 2 1
1
1 = ⇔ − − − + =
∂
∂ q q c b
q
U - -!
0 2
1
0 1 2 2
2
2 = ⇔ − − − + =
∂
∂ q q c b
q
U - )!
1 2
$ H - -! - )! q1 q2 $
/
( ) (
2 2 1)
1 1
2
1 q c b
q
q = − − + ) -!
( ) (
1 1 2)
2 1
2
1 q c b
q
q = − − + ) )!
, qi,t i t =0,1,2,... qi,t+1
(
/ 1, 2, 1)
, 1 1
,
1 argmax ,
,
1 +
+ = q t t e t
t U q q
q t + -!
(
e t t)
t q
t U q q
q2, 1 argmax t 2, 1, 1, 2,
,
2 +
+ = + )!
1 ,t+ ei
q $ j
! t! " t+1!
i 8
"
B $
+1 t
i ∂Ui,t/∂qi,t! $ $
3 $ p′= A−BQ′
$ p= p′/A Q=
(
B/A)
Q′( i !
i
i L
q = Li i
,L D )22*!
3
5 ' " -14(! B $ i
/
t i
t i t i i t i t
i q
q U q
q
, , , ,
1
, ∂
+ ∂
+ = α *!
>0
αi B i
qi $ t
H *!
/
∂ + ∂
=
∂ + ∂
=
+ +
t t t t
t
t t t t
t
q q U q
q
q q U q
q
, 2
, 2 , 2 2 , 2 1 , 2
, 1
, 1 , 1 1 , 1 1 , 1
α α
3!
H - -! - )! 3!
α α
α1= 2 = /
( )
(
− − − +)
+
=
+
−
−
− +
=
+ +
2 ,
2 , 1 , 2 ,
2 1 , 2
1 ,
2 , 1 ,
1 , 1 1 , 1
2 1
2 1
b c q q q q
q
b c q q q
q q
t t t t
t
t t t
t t
α
α (!
H q1,t+1 =q1,t =q1 q2,t+1=q2,t =q2
(! /
( )
(
11−−21−−2 2−− ++ 2)
==002
1 2
1 1
b c q q q
b c q q q
α
α ;!
5 " E
(
q*1, q*2)
(!$ ;!/
( )
=(
− +)
=(
− +)
= 1 ,0
2 , 1
2 1 ,1 0 ,
0 ,
0 1 2 2 1
0 E c b E c b
E 4 -!
(
− + −) (
− + −)
= 1 2 2 1
3 1 2
3 ,1 2
3 1
1 c b b c b b
E 4 )!
H 4 )!
b bi = ;
4 )! /
(
− +) (
− +)
= c b c b
E 1
3 ,1 3 1
1
3 4 +!
* 2
* 1
* q q
q = = M H
4 +!
q* $ $ /
3 2 2
* 1 c b
p = + − 1!
; > ?
J :75<
B < " $
$ " $
(
(
q b)
q −
= Π
= Π
=
Π*1 *2 * * * -2 -!
( )
22 * 1 *
* 1
9
1 c b
U U
U = = = − + -2 )!
5 H 4 +! -2 )! b
$
# $ H 1! -2 -!
b c
c< :=1−2 0<b<1/2 p* >0 Π*>0
b c ∂c/∂b<0 0<b<1/2 8 b=0
" c =1 p* >0 Π* >0
%!
8 $
E3 4 7 "
(! $ " E3 H 4 )! /
( )
(
− + −)
+
−
−
− +
−
= +
= * * * *
22 21
12 11
5 1
1 5 1
1
q b c q
q q
b c J
J J J J
α α
α
α --!
$ /
( )
J J[ (
c b) ]
Tr
T = = = 3−2 1− + 3
2 2
: 11 α -)!
( )
J J J[ (
c b) ] [ (
c b) ]
Det
D = = − = 1− 1− − 3− 1− + 3
: 212 1
11
2 α α -+!
--! /
( )
T DG λ =λ2− λ+ -*!
(
1)
09 4 4
:=T2− D= 2 −c+b 2 >
Z α <
$ " " $ J $ =
E3 (!
<
=
! $ $ 8
$
1 /
4 8 $ "
$ " A$
" $ $
E3
$
18 $ "
2 - N
;
>
−
=
>
+
−
=
>
+ +
=
0 1
: ) (
0 1
: ) (
0 1
: ) (
D H
iii
D T TC
ii
D T F
i
-3!
$ -3!
/ ! $
−1! F=0& ! $
+1! TC =0& ! <
" $ 1! H =0 Det
( )
J =1( )
J <2Tr
B α
$
= D H )22+ )22*& I )22; )221& )2-2!
"
α
!
"
" 8
c $ $
=0
b 0<b<1/2
= 7 " --!
-3! /
[ ( ) ] [ ( ) ]
( )
(
− +) [
−( )
− −]
>=
>
+
−
=
>
−
−
−
−
−
−
=
0 1
4 3 1
) 1 (
0 3 1
) 1 (
0 1
6 1
3 2 ) 1
(
2 2
b c b
c H
iii
b c TC
ii
b c b
c F
i
α α
α α
α α
α α
-(!
! ! !
$ 8 F >0 $ F =0!
( )
α α1 2 :
1 = + −
= b
c
c F -;!
( )
α α 1 6 :
:= 2 = +b − c
c F -4!
2
1 F
F c
c > H >0 $ H =0!
( )
α α 1 4 :
:= = +b − c
c H -1!
2
1 H F
F c c
c > > $ α >0 0<b<1/2 < c $
H -;! -1! cF1 >0
1 2 : 2
1 <
= +
> b
αF
α )2!
>0 cH
1 4 : 4 <
= +
> b
αH
α )-!
0
2 >
cF
4 1 6 : 6
2 <
= +
< b
αF
α ))!
2
1 H F
F α α
α < < $ 0<b<1/2 αF1 αH αF2 $ b -2 limα→+∞cF1=1+b limα→+∞cH =1+b limα→+∞cF2 =1+b
b 3 := 2
α )+!
b 3
= 4
α )*!
b
= 2
α )3!
$ B α α <α <α
α H -;! -4! -1! c $
c b $
# $ D
$ B $ /
α α α α α
αF1< H < F2 < < < )(!
8 / 1 0<b<
α α α α α
αF1< H < < F2 < < );!
5 / 1 8
/
1 <b<
α α α α α
αF1< < H < F2 < < )4!
7 / 2 5
/
1 <b<
α α α α α
αF1< < H < < F2 < )1!
2 / 1 7
/
2 <b<
" E3
& $ 0<b<1/2 2 ( 32 0<α <αF1 2 4 15 2
64 - 4 E3 2 % 1 " # -
>0
>c
c ( 7 αF1 <α <α 2 4 15 2 64 - 4 E3
- F1
c c
c > > 8 - 2 4*2 1
4- * - 4 %2 c 4 F1
c
c= 8 4 -
0
1>c>
cF ( ) 2 4 15 2 64 - 4 E3 4 * 1 % 2
% - %2 2
cF
c= ( 7 α >α 2 4 15 2 64 - 4 E3
4 - c >c>0(
& < = "
F $ B α F -
E3 " $
-2 $ $ α
1
αF αF2 αH! $ c cF1 cF2 cH!
$ c
1
$
1
cF
c=
$ "
$ F -!
/
" K
& # 9 2 % *2 2 * : -; b
" 4 # 2 - 4 4 F1
c " 2 2 2 c#
2 1 - (
& < ∂cF1/∂b>0 ∂c/∂b>0! $ 0<b<1/2 F ) '! !(!
F )
B $ b E3/
"
E3 " b=0!
2 / 1
0<b< ! 5 - $
B $ b=0 0<b<1/8
( )
α,c-2
<
( )
α,c% 5 -
) * 32 * - * 4 %2 b ( %2 %2
=0
b 4 2 * 4 % 2 0<α <2 2 2 < = 0<c<1 2 = %2 0<b<1/8 4 0<α <2/
(
1+b)
2 2 < =c c<
<
0 2 = (
) * # > 2 - 2 4 15 2 64 - 4 4
1 4- * - 4 %2 F =0 " # 2/
(
1+b)
<22 / 1
0<b< 2 b 1 - ( 32
4 - - ? * 2 2 2 c %2 2 4 <
b 4 4 (
) * % @2 2 1 = * 2 *2 4 c %
= 2 < 2 ;4 α ? 2 4 15 2
64 - 4 " # - 2 *
* 0<b<1/8 2 4 15 2 64 - 4 " # %
-- b=0 / c =1
α
α 2
1 = −
cF
α
α−4
= cH
α
αF2 =α −6 αF1=2 αH =4 αF2 =6 limα→+∞cF1 =1 limα→+∞cH =1 limα→+∞cF2 =1
$
--
4 - %2 α >2/3b " 2 * * - 7 *4 #
2 * - * b (
5 ) $ F - )
$ $ q1 $ " !
$ c D " ! $
( )
0,1 5 ) !(
0,c =0.8)
5 ) ! $$ !/ α =3.5 b=0 5 ) ! b=0.1 5 ) ! q1,0 =0.05 03
.
0 0
,
2 =
q
=0
b 5 1>c>0.428 428 .
=0 c
c $ q1 ) *
1 .
=0
b 5 0.8>c>0.528 528 .
=0 c
c $ q1
=0
b 9 b
"
#! % c b=0!
-)
#! % c b=0.1!
5 + $ $
1 .
=0 b
5 + ) " c=0.41 c
* c=0.39 5 + ! 4
37 .
=0
c 5 + !
365 .
=0
c 5 + $
5 c=0.33 5 +
-+
%! F c=0.41
%! F c=0.39
-*
%! F c=0.37
%! F c=0.365
-3
%! F c=0.33
=
(! $
, $ "
= " $ $ !
, $ " D $ ! $
, $ " $
' Le1 , $ "
$ α =3.5 b=0.1 q1,0 =0.05 q2,0 =0.03
! Le1 t 5 # )22;! 8
" $ $
$ !
$ $ t=105 , $
" t=105
" Le1 $ c=0.365
5 * ! c=0.33 5 * ! # $ , $ $
G O B G O -1;1!
$ $ c=0.365
33 .
=0
c DL=1.095 DL=1.45 $ -) B
-) , $
1 1 +
+ =
≤
s s
k k
s
DL λ
λ
λk k , $
" s 0
1 >
= s
k λk λ1+λ2+ +λs+1<0 # -11)!
-(
+! , $ " Le1 c=0.365!
+! , $ " Le1 c=0.33
<
" b=0!
2 / 1 0<b< !
-;
c $ $ b!
b $ $ c -+ 8
5 3 α =3.5 c=0.6 $
b 0<b<1/2 1714 . 0 0<b<
1714 .
=0
b 5 b $
$
" 5 (
, $ " b $ $
$ b $ b 0.33!
, % b F $ / α =3.5 c=0.6!
-+ " $ $
" b / b<
( )
1−c /2:=b 0<b <1/2 0<c<1-4
- , , $ " Le1 b $ !
+!
$ / ! $
" $
!
% )2-2!
$
" 8
/ :57<
$ 8
$
5 $
$ %
! "
-1
" $
" ! # $ :57<
! $
> $ ? > $ ? <
5 -11)& # F D )22)! !
$ 7 )22; )221!
# $ "
$
F
< )224! " J # N -14)!
.
F F -
, 0<b<1/8 < )(! / ! 0<α <αF1 F >0 H >0
>0
>c
c ! αF1<α <αH F >0 H >0 c >c>cF1 F =0
>0
H F1
c
c= F <0 H >0 cF1>c>0 !
2 F
H α α
α < < F >0 H >0 F1
c c
c > > F =0 H >0
1
cF
c= F <0 H >0 cF1>c>cH F <0 H =0 c=cH
<0
F H <0 cH >c>0 ! αF2 <α <α F >0 H >0
1
cF
c
c > > F =0 H >0 F1
c
c= F <0 H >0 cF1 >c>cH
<0
F H =0 c=cH F <0 H <0 cH >c>cF2 F =0
<0
H F2
c
c= F >0 H <0 cF2 >c>0 ! α <α <α
<0
F H >0 c >c>cH F <0 H =0 c=cH F <0
<0
H cH >c>cF2 F =0 H <0 c=cF2 F>0 H <0 0
2 >c>
cF ! α <α <α F <0 H <0 F2
c c
c > > F =0
<0
H F2
c
c= F >0 H <0 cF2 >c>0 ! α >α
>0
F H <0 c >c>0
, 1/8<b<1/5 < );! / ! 0<α <αF1 F >0 H >0
>0
>c
c ! αF1<α <αH F >0 H >0 F1
c c
c > > F =0
>0
H F1
c
c= F <0 H >0 cF1>c>0 ! α
α
αH < < F >0 H >0 F1
c c
c > > F =0 H >0 F1
c c=
<0
F H >0 cF1 >c>cH F <0 H =0 c=cH F <0
<0
H cH >c>0 ! α <α <αF2 F <0 H >0 c >c>cH
<0
F H =0 c=cH F <0 H <0 cH >c>0 ! α
α
αF2 < < F <0 H >0 c >c>cH F<0 H =0 c=cH
<0
F H <0 H F2
c c
c > > F =0 H <0 F2
c
c= F >0
<0
H cF2 >c>0 ! α <α <α F <0 H <0 F2
c c c > >
=0
F H <0 c=cF2 F >0 H <0 cF2 >c>0 ! α
α > F>0 H <0 c >c>0
, 1/5<b<2/7 < )4! / ! 0<α <αF1 F >0 H >0
>0
>c
c ! αF1<α <α F >0 H >0 F1
c c
c > > F =0
>0
H F1
c
c= F <0 H >0 cF1>c>0 !
)2 αH
α
α < < F <0 H >0 c >c>0 ! αH <α <αF2 F <0
>0
H c >c>cH F <0 H =0 c=cH F <0 H <0
>0
>c
cH ! αF2 <α <α F <0 H >0 c >c>cH F <0
=0
H c=cH F <0 H <0 H F2
c c
c > > F =0 H <0
2
cF
c= F >0 H <0 cF2 >c>0 ! α <α <α F <0
<0
H c >c>cF2 F =0 H <0 c=cF2 F >0 H <0 0
2 >c>
cF ! α >α F >0 H <0 c >c>0
, 2/7<b<1/2 < )1! / ! 0<α <αF1 F >0 H >0
>0
>c
c ! αF1<α <α F >0 H >0 F1
c c
c > > F =0
>0
H F1
c
c= F <0 H >0 cF1>c>0 ! αH
α
α < < F <0 H >0 c >c>0 ! αH <α <α F <0 H >0 cH
c
c > > F <0 H =0 c=cH F <0 H <0
>0
>c
cH ! α <α <αF2 F <0 H <0 c >c>0 ! α
α
αF2 < < F <0 H <0 F2
c c
c > > F =0 H <0
2
cF
c= F >0 H <0 cF2 >c>0 ! α >α F >0 H <0
>0
>c
c P H '
)
= D C H = = )22+
F = +)2 3-)Q3)*
= D C H = = )22*
= # -*1 4*+Q4(2
= = 6 , )22( = $ $ "
7 H % $ R
9 D (2 3)(Q33)
% -134 9 H )3 -4;Q-14
% 6 8 G # <D $ D 5 )2-2 9
< % % / < :
% 7 -113 M $ H , *;
13Q-22
% H -142 9 "
7 # % -) )-;Q))4
-14( F
$ H # + )4+Q)1)
-112 H H '
% / < :
,L D # N = )22* % /
$ H H
N $ *4 (4-Q(1(
@ # F 6 , # )22+ ' /
7 H ;4 ))+Q)+;
= -4+4 N F # S S
N F / C
' " = G -14( $ 8 H N $
); -2;Q-))
)-
5 H 5 7 # -14+ < 7
, H )( +2-Q+)3
5 , # F )22; / = 8< ,#
" < 5 +) ;+(Q;**
5 -143 # $ $
$ 8 7 8 9 D + )*3Q)3+
5 7 G -14; H $ =
H N $ ;; 1);Q1*2
6 < 7 < D 7 H -1;; 9 : # " D = $
9 B $ 5 7 5 +) +41Q*2)
8 G )22- < 7
H ;+ )3Q3(
7 $ , = $ B = )22; = /
8 7 8 9 D )3 3+-Q3+1
7 $ , = $ B = )221 9
/
$ # ' H +2
-*-Q-3+
7 # # G 7 -112 F
$ 7 F H 14 ))3Q)(*
G 7 , O 7 = -1;1 $
8 / F C 9 C 9 5 ' H
= " 5 " F O O!/ <
G # -11( < " B
< 5 -) )2+-Q)2*4
, N H 7 -1;) H" 7
H * -2+Q-)*
# = -11) ' = H
MG!/ M $ F
# F N 7 -14) ,
/ H 32 **+Q*31
# F D = )22) N $
# ' H )+ 3-Q(4
# 7 5 -1(- N " $
H )1 +-3Q++3
F N < % )224 M /
7 H 13 -)-Q-*;
F -11- < 5 - 3;+Q34-
F -114 $ 7 H % $ R
9 D ++ +43Q+1*
< 5 : -11) N $ $
8 7 8 9 D -2 *;+Q*41
< 7 -1;+
H *- -2*+Q-2*4
< C -13; < C -13;! = $ 8 /
# # < N / # H N C
% $ < < O O!/
))
< $ < -14; $ N= ' 7
H -4 *3)Q*34
N ' -1(2 9
N $ H < ); -++Q-+*
5 )2-2 C
H # ); +32Q+3;
: 7 -143 ' H 7 13 -+4Q
-*;
B = $ 7 $ , = )22; % $
/
$ # ' H )4 41;Q12*
I 7 ' P O )22; =
H # )* -+4Q-*4