H. Stichtenoth WS 2005/06

H. Stichtenoth WS 2005/06

L¨ osungsvorschlag f¨ ur das 13. ¨ Ubungsblatt Aufgabe 50:

a)

f (x, y) = x ² + y ² − 2 ln (x · y)

• D _f = { (x, y) ∈ R ² : x · y > 0 } = { (x, y) ∈ R ² : (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) } .

• Die partiellen Ableitungen von f :

∂f

∂x ( x, y ) = 2 x − 2 1

x · y · y = 2 x − 2

x = 2 · x ² − 1 x ,

∂f

∂y ( x, y ) = 2 y − 2 1

x · y · x = 2 y − 2

y = 2 · y ² − 1 y .

• Wir l¨osen die Gleichung

∇ f ( x, y ) = (0 , 0) ⇐⇒

( ∂f

∂x (x, y) = 0

∂f

∂y (x, y) = 0 ⇐⇒







x

− 1

x = 0

y

− 1

y = 0.

Aus der ersten Gleichung erh¨alt man x = 1 oder x = − 1, aus der zweiten Gleichung y = 1 oder y = − 1.

Die gesuchte Punkte (siehe: D _f ):

P 1 = ( − 1 , − 1) und P 2 = (1 , 1) . b)

g ( x, y ) = x ² − y ² − x ² + y ^{2 2}

• D _g = R ² .

• Die partiellen Ableitungen von g:

∂g

∂x (x, y) = 2x − 2 x ² + y ²

· 2x = 2x 1 − 2x ² − 2y ² ,

∂g

∂y (x, y) = − 2y − 2 x ² + y ²

· 2y = − 2y 1 + 2x ² + 2y ² .

• Wir l¨osen die Gleichung

∇ g ( x, y ) = (0 , 0) ⇐⇒

( ∂g

∂x (x, y ) = 0

∂g

∂y (x, y ) = 0 ⇐⇒

( 2x (1 − 2x ² − 2y ² ) = 0

− 2 y (1 + 2 x ² + 2 y ² ) = 0 . Aus der ersten Gleichung erh¨alt man x = 0 oder 2x ² + 2y ² = 1.

Setzen wir x = 0 in die zweite Gleichung ein, dann erhalten wir − 2y (1 + 2y ² ) = 0, also y = 0.

Setzen wir 2 x ² + 2 y ² = 1 in die zweite Gleichung ein, erhalten wir − 2 y · 2 = 0, also y = 0. Aus der Gleichung 2 x ² + 2 y ² = 1 folgt dann x = − ^√ 2 ² oder x = ^√ ₂ ² .

Die gesuchte Punkte :

P 1 = (0 , 0) und P 2 = −

√ 2 2 , 0

!

und P 3 =

√ 2 2 , 0

! .

1

2

c)

h(x, y) = x ² + y ²

+ 4xy − x

• D _h = R ² .

• Die partiellen Ableitungen von h:

∂h

∂x (x, y) = 2 x ² + y

· 2x + 4y − 1 = 4x x ² + y

+ 4y − 1,

∂h

∂y (x, y) = 2 x ² + y + 4x.

• Wir l¨osen die Gleichung

∇ h(x, y) = (0, 0) ⇐⇒

( ∂h

∂x ( x, y ) = 0

∂h

∂y (x, y) = 0 ⇐⇒

( 4x (x ² + y) + 4y − 1 = 0 2 (x ² + y) + 4x = 0.

Man l¨ost die zweite Gleichung nach y aus: y = − x ² − 2 x , und setzt dies in die erste Gleichung ein.

Man erh¨alt die quadratische Gleichung: 12 x ² + 8x + 1 = 0 mit L¨osungen: x = − ¹ 6 und y = − ¹ 2 . Die ensprechende y-Werte berechnet man mit y = − x ² − 2x.

Die gesuchte Punkte :

P 1 =

− 1 6 , 11

36

und P 2 =

− 1 2 , 3

4

.