5.7 Darstellende Matrix eines Homomor- phismus

(1)

5.5 Vektorraumhomomorphismen

In Bemerkung5.4.2 haben wir gesehen, wie sich Vektoren eines beliebigen endlichdimensionalen Vektorraums im Computer darstellen lassen. Dazu wählen wir eine Basis⌦=(v1, ..., vn)vonV. Da jedesv∈V eine eindeutige Darstellung

v=a1v1+...+anvn

mitai∈K hat, können wirvdurch den Vektor der Koeﬃzienten a_irepräsentieren. Die Linearkombinationsabbildung bezüglich⌦

lc_⌦∶ Kⁿ �→ V

��

� a1

⋮ a_n

��

� �→ a1v1+....+anvn

ist also bijektiv, wobei wir die Umkehrabbildung, die Koordina- tendarstellung bezüglich⌦, mit

co⌦=lc⁻¹_⌦ ∶V �→Kⁿ bezeichnen.

Soll die Darstellung von Elementen vonV durch Vektoren in Kⁿvon Nutzen sein, müssenlc_⌦undco_⌦die Vektorraumstruktu- ren vonKⁿ undV respektieren, d.h. es darf keine Rolle spielen, ob wir Rechnungen inV oder mit den Koordinatendarstellungen inKⁿ durchführen. Dies ist tatsächlich der Fall, denn

lc⌦

��

�

��

� a1

⋮ an

��

�+�

�� b1

⋮ bn

��

�

��

�=lc⌦

��

� a1+b1

⋮ an+bn

��

�=�ⁿ

i=1(ai+bi)vi

=�ⁿ

i=1

aivi+�ⁿ

i=1

bivi=lc⌦

��

� a1

⋮ an

��

�+lc⌦

��

� b1

⋮ bn

��

� und

lc⌦

��

� ⋅�

�� a1

⋮ an

��

�

��

�=lc⌦

��

� a1

⋮ an

��

�=�ⁿ

i=1( ai)vi

= �ⁿ

i=1

aivi= ⋅lc⌦

��

� a1

⋮ an

��

�.

Das heißt, dasslc_⌦ ein Homomorphismus von Vektorräumen ist:

(2)

Definition 5.5.1 Ein K-Vektorraumhomomorphismus ist eineK-lineare AbbildungF ∶V →W zwischenK-Vektorräumen, d.h.

F(v₁+v₂)=F(v₁)+F(v₂) für allevi∈V und

F( v)= F(v) für allev∈V und ∈K.

Die Begriﬀe Mono-, Epi- und Isomorphismus werden analog wie bei Gruppen und Ringen verwendet.

Beispiel 5.5.2 1) Analog können wir die Linearkombinati- onsabbildunglc⌦ auch für eine beliebige Liste⌦=(v1, ..., vn) von Vektoren inV definieren, nach unserem obigen Beweis ist sie immer noch ein Homomorphimus, aber i.A. weder injektiv noch surjektiv. Es gilt oﬀenbar:

lc⌦ Epimorphismus ⇔⌦Erzeugendensystem vonV lc⌦ Monomorphismus⇔⌦linear unabhängig

lc_⌦ Isomorphismus ⇔⌦Basis von V

Man zeigt wie üblich, dass mit lc⌦ auch co⌦=lc⁻_⌦¹ ein Iso- morphismus ist.

2) Insbesondere ist z.B.

lc_(1,x,...,xd)∶ K^d⁺¹ �→ K[x]≤d

��

� a₀

⋮ ad

��

� �→ a₀+a₁x+...+a_dx^d ein K-Vektorraumisomorphismus.

Die Klassifikation von endlichdimensionalen Vektorräumen bis auf Isomorphie ist sehr einfach, die Dimension ist dafür schon ausreichend:

Satz 5.5.3 (Klassifikationssatz für Vektorräume) SeiV ein K-Vektorraum der Dimension n<∞. Dann ist V isomorph zu Kⁿ. Schreibe

V ≅Kⁿ.

(3)

Beweis. Nach Bemerkung 5.4.7 und Definition und Satz 5.4.8 hat V eine Basis ⌦ = (v1, ..., vn) mit n Elementen, und nach Beispiel5.5.2.(1) ist

lc_⌦∶Kⁿ→V ein Isomorphismus.

Definition und Satz 5.5.4 Eine n×m-Matrix A über K ist eine Tabelle

A=�

��

a_1,1 � a_1,m

⋮ ⋮

a_n,1 � a_n,m

��

�=(a_i,j)ⁱ=1,...,n j=1,...,m

Die Menge dern×m-Matrizen bezeichnen wir mitKⁿ^×^m. Durch die Matrixmultiplikation

��

�

a11 � a1,m

⋮ ⋮

an,1 � an,m

��

�⋅�

�� x1

⋮ xm

��

�∶=�

��

�∑^mj=1a_1,jx_j�

�∑^mj=1a⋮n,jxj�

��

� ist ein Vektorraumhomomorphismus

K^m→Kⁿ, x�A⋅x

gegeben, den wir wieder mit A bezeichnen. Das Bild von x ist also einfach die xj-Linearkombination der Spalten Ai ∈Kⁿ von A=(A₁�...�A_m), d.h.

(A₁�...�A_m)⋅�

�� x1

⋮ x_m

��

�=�^m

j=1

x_j⋅A_j.

Beweis.Die Abbildung A=lc₍_A₁_,...,A_m₎, sie ist also eine Linear- kombinationsabbildung und somit wie oben bemerkt ein Homo- morphismus.

Beispiel 5.5.5 Es gilt

� ¹₄ ²₅ ³₆ �⋅�

�� 1 2 3

��

�=� ¹₄^⋅_⋅¹₁⁺₊²₅^⋅_⋅²₂⁺₊³₆^⋅_⋅³₃ �=� ¹⁴₃₂ �

(4)

mit der Multiplikationsformel. Alternativ mit der Interpretation als Linearkombinationsabbildung erhalten wir dasselbe Ergebnis:

� ¹₄ ²₅ ³₆ �⋅�

�� 1 2 3

��

�=1⋅� ¹₄ �+2⋅� ²₅ �+3⋅� ³₆ �=� ¹⁴₃₂ �

Beispiel 5.5.6 Die Ableitung

d

dx ∶ R[x] �→ R[x] ist einR-Vektorraumhomomorphismus, da

d

dx�∑^dⁱ=0aixⁱ�=∑^dⁱ=1iaixⁱ⁻¹

also das Bild linear von den Koeﬃzienten a_i des Polynoms ab- hängt (überprüfen Sie das). Sie ist kein Monomorphimus, denn

z.B. d

dx0= d dx1, aber ein Epimorphismus, denn

d dx�∑^di=0

a_i

i+1xⁱ⁺¹�=∑^di=0a_ixⁱ, d.h. jedes Polynom besitzt eine Stammfunktion.

Lemma 5.5.7 Sei F ∶ V → W ein Vektorraumhomomorphis- mus. Dann sind Ker(F)⊂V und Bild(F)⊂W Untervektorräu- me. Die Dimension des Bildes bezeichnen wir auch als Rang vonF

rk(F)∶=dim Bild(F).

Beweis.Für den Kern: Ist F(v1)=0undF(v2)=0, dann auch F(v₁+v₂)=F(v₁)+F(v₂)=0

und

F( ⋅v1)= ⋅F(v1)=0 für alle ∈K.

Die Aussage für das Bild zeigt man analog.

(5)

Bemerkung 5.5.8 Da ein VektorraumhomomorphismusF ∶V → W insbesondere ein Gruppenhomomorphismus (V,+) → (W,+) ist, gilt nach Lemma3.2.13, dass

F Monomorphismus ⇐⇒ Ker(F)={0}, wobeiKer(F)={v∈V �F(v)=0}.

In Verallgemeinerung von5.5.2.(1) haben wir:

Bemerkung 5.5.9 Sei F ∶V →W ein Homomorphismus, ⌦= (v₁, ..., v_n)eine Basis vonV und =(F(v₁), ..., F(v_n))das Bild von⌦unter F. Dann gilt

F Epimorphismus ⇔ Erzeugendensystem vonW F Monomorphismus ⇔ linear unabhängig

F Isomorphismus ⇔ Basis vonW

Beweis.Jeder Vektor inV ist von der Form∑ⁿⁱ=1 iv_imit i∈K. Es gilt also

Bild(F)={F(∑ⁿⁱ=1 iv_i)� i∈K}

={∑ⁿⁱ=1 iF(v_i)� i∈K}.

Somit ist Bild(F)=W genau dann, wenn die F(v_i) ein Erzeu- gendensystem bilden.

Weiter ist

Ker(F)={∑ⁿⁱ=1 iv_i�F(∑ⁿⁱ=1 iv_i)=0, i∈K}

={∑ⁿⁱ=1 iv_i�∑ⁿⁱ=1 iF(v_i)=0, i∈K}

Somit ist Ker(F)={0} genau dann, wenn die F(v_i) linear un- abhängig sind.

Insbesondere sehen wir da ein Erzeugendensystem minde- stens so viele Elemente hat wie eine Basis und eine linear un- abhängige Familie höchstens so viele Vektoren:

F Epimorphismus ⇒ dimV ≥dimW F Monomorphismus ⇒ dimV ≤dimW F Isomorphismus ⇒ dimV =dimW

(6)

Das inhomogene System hat also die aﬃne Gerade

L(A, b)=

��

−¹₄

3

04

0

��

�� +�

��

−¹₂

1

12

0

��

�

als Lösungsmenge. Zur Probe:

��

�

−1 1 −1 1 0 0 0 1 8 4 2 1

��

�

��

−¹₄

3 4

0 0

��

�� + ⋅

��

−¹₂

1 2

1 0

��

=�

�� 1 0 1

��

� für alle ∈R.

Die gesuchten Polynome im Interpolationsproblem aus Bei- spiel 5.6.1 sind also

��−1 4−1

2 �t³+�3 4+1

2 �t²+ t� ∈R�

In Maplekönnen wir das inhomogene Gleichungssystem mit folgendem Code lösen:

with(LinearAlgebra):

A := <<-1,0,8>�<1,0,4>�<-1,0,2>�<1,1,1>>:

b := <1,0,1>:

LinearSolve(A,b);

��

�

1 2−t₂

t₂

−³2+2t₂ 0

��

Überprüfen Sie, dass für� t2∈Rdies genau die oben bestimmte LösungsmengeL(A, b) beschreibt.

Für weitere Beispiele siehe die Übungen 5.17, 5.18und5.11.

5.7 Darstellende Matrix eines Homomor- phismus

Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass sich durch Ma- trixmultiplikation gegebene Homomorphismen A∶K^m→Kⁿ im

(7)

Computer algorithmisch handhaben lassen. Beispielsweise kön- nen wir mit Hilfe des Gaußalgorithmus den Kern als die Lösungs- menge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax =0 und allgemeiner das Urbild eines Vektorsb∈Kⁿ als die Lösungsmen- ge des inhomogenen SystemsAx=bbestimmen.

Im Folgenden werden wir dieses Verfahren auf beliebige Vek- torraumhomomorphismen (zwischen endlichdimensionalen Vek- torräumen) verallgemeinern.

Definition 5.7.1 Sei F ∶ V �→ W ein K-Vektorraumhomo- morphismus. Für Basen⌦=(v1, ..., vm)vonV und =(w1, ..., wn) vonW definiere denK-Vektorraumhomomorphismus

M^⌦(F)∶K^m�→Kⁿ durch

M^⌦(F)∶=co ○F ○lc_⌦. Wir haben also ein Diagramm

V �→^F W

lc⌦ ↑ ↑ lc

K^m �→

M^⌦(F) Kⁿ Wegen

F =lc ○M^⌦(F)○co⌦

können wirF also im Computer wie folgt implementieren: Erst wenden wir den Parserco⌦an, dann den HomomorphismusM^⌦(F) und schließlich die Ausgaberoutine lc . Entscheidend für dieses Verfahrens ist, dass sichM^⌦(F) durch Matrixmultiplikation darstellen lässt (und damit der Gaußalgorithmus und die darauf aufbauenden Algorithmen anwendbar sind):

Satz 5.7.2 Sei F ∶ K^m → Kⁿ ein Homomorphismus und A = (a_i,j)∈Kⁿ^×^m mit

F(ej)=�ⁿ

i=1

ai,jei

d.h. in den Spalten von

A=(F(e₁)�...�F(e_m))

(8)

stehen die Bilder der Einheitsbasisvektoren. Dann gilt F(c)=A⋅c.

Beweis.Für

c=�

�� c1

⋮ c_m

��

�∈K^m ist

F(c)=F��^m

j=1

cjej�=�^m

j=1

cjF(ej)=�^m

j=1

cj

∑n i=1ai,jei

=�ⁿ

i=1�∑^m

j=1ai,jcj�ei=�

��

�∑^mj=1a1,jcj�

�∑^mj=1⋮a_n,jc_j�

��

�=A⋅c.

Jeder HomomorphismusF ∶K^m→Kⁿist also gegeben durch Multiplikation mit einern×m-MatrixA.

Definition 5.7.3 Für einenK-VektorraumhomomorphismusF ∶ V �→W und Basen ⌦=(v₁, ..., v_m) von V und =(w₁, ..., w_n) von W bezeichnen wir M^⌦(F) ∈ Kⁿ^×^m auch als die darstellende Matrix vonF bezüglich der Basen ⌦ von V und von W.

Die darstellende Matrix lässt sich mit der folgenden Bemer- kung leicht bestimmen:

Bemerkung 5.7.4 In der i-ten Spalte von M^⌦(F) stehten die Koeﬃzienten der Darstellung von F(vi) bezüglich der Basis . Beweis.Diei-te Spalte vonM^⌦(F)ist

M^⌦(F)(e_i)=(co ○F ○lc_⌦)(e_i)=(co ○F)(v_i)=co (F(v_i)), also

M^⌦(F)=(co (F(v1))�...�co (F(vm)))∈Kⁿ^×^m

(9)

Beispiel 5.7.5 Betrachte die Ableitung

d

dx∶ R[x]≤3 �→ R[x]≤2

und die Basen ⌦=(1, x, x², x³) und =(1, x, x²). Dann ist d

dx(x^s)=s⋅x^s⁻¹ also

M^⌦( d dx)=�

��

0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3

��

�. Damit berechnen wir z.B.

d

dx�x³−5x²+7x−11�=lc �M^⌦( d

dx)⋅co_⌦�x³−5x²+7x−11��

=lc

��

�

0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3

��

�⋅

��

−11 7

−5 1

��

=lc �

��

−710 3

��

�=3x²−10x+7 Siehe auch die Übungsaufgaben5.13 und5.12.

Die Implementierung eines K-Vektorraumhomomorphismus F ∶V → W im Computer können wir also so zusammenfassen:

Nachdemco den Input in V in einen Vektor imK^m umgewan- delt hat, wird die eigentliche Berechnung als Multiplikation mit der darstellenden MatrixM^⌦(F)implementiert, und der Output durchlc_⌦ als Vektor inW interpretiert. Dabei kannM^⌦(F)vor- ausberechnet werden und steht dann für jeden beliebigen Input zur Verfügung.

Auch die Komposition von Vektorraumhomomorphismen lässt sich aus den darstellenden Matrizen bestimmen. Die Idee ist es, die Matrixmultiplikation aus Definition5.5.4spaltenweise zu ver- wenden:

Definition 5.7.6 Für A=(ai,j)∈Kⁿ^×^m und B =(bj,l) ∈K^m^×^r definiere dasMatrizenprodukt durch

A⋅B∶=��^m_j₌₁ai,jbj,l�i=1,...,n

l=1,...,r ∈Kⁿ^×^r.

(10)

Das heißt, sind

B=(b1�...�br) die Spalten vonB, so ist

A⋅B=(A⋅b1�...�A⋅br).

Siehe auch die Übungsaufgaben5.9und5.15.

Satz 5.7.7 Betrachte folgende K-Vektorraumhomomorphismen V �→^F W �→^G U

lc_⌦↑ lc ↑ ↑lc

K^r �→

M^⌦(F) K^m �→

M (G) Kⁿ

Dann lässt sich die darstellende Matrix der Komposition vonG mit F mit dem Matrizenprodukt berechnen als

M^⌦(G○F)=M (G)⋅M^⌦(F).

Beweis. Folgt als leichte Übung aus der Definition der darstellenden Matrix.

Beispiel 5.7.8 Für F = d

dx ∶R[x]≤3→R[x]≤2

G= d

dx ∶R[x]≤2→R[x]≤1

und⌦=(1, x, x², x³), =(1, x, x²), =(1, x) erhalten wir

M_⌃^⌦(G○F)=� ^{0 1 0}_{0 0 2} �⋅�

��

0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3

��

�=� ^{0 0 2 0}_{0 0 0 6} � das heißt für die zweite Ableitung�dx^d�²=G○F gilt

�_dx^d�²1=0 �_dx^d�²x=0 �_dx^d�²x²=2 �_dx^d�²x³=6x.

(11)

Abschließend bemerken wir noch, dass sowohl die Menge der Homomorphismen zwischen zwei gegebenen Vektorräumen als auch die Menge der Matrizen entsprechender Dimension isomor- phe Vektorräume sind.

Bemerkung 5.7.9 Die Menge dern×m-MatrizenKⁿ^×^m ist ein K-Vektorraum durch

(ai,j)+(bi,j)=(ai,j+bi,j)

⋅(ai,j)=( ai,j) ebenso die Menge

Hom_K(V, W)={F ∶V →W �F Vektorraumhomomorphismus}

der K-VektorraumhomomorphismenV →W durch (f+g)(v)=f(v)+g(v)

( ⋅f)(v)= ⋅f(v) für f, g∈Hom_K(V, W), v∈V und ∈K.

Bemerkung 5.7.10 Mit Satz 5.7.2 folgt dann (leichte Übung) Hom_K(K^m, Kⁿ)≅K^n×m,F �(a_i,j),

wobei

F(e_j)=�ⁿ

i=1

a_i,je_i für j=1, ..., m.

Bemerkung 5.7.11 Mit dieser Identifikation und Definition5.7.1 erhalten wir, dass für Basen ⌦ = (v1, ..., vm) von V und = (w1, ..., wn) vonW

M^⌦∶ HomK(V, W) ≅ Kⁿ^×^m F � M^⌦(F) ein Isomorphismus ist. Die Umkehrabbildung

L^⌦ ∶ K^n×m ≅ Hom_K(V, W) A � L^⌦(A)

ordnet einer MatrixA=(aij)∈Kⁿ^×^m die lineare Abbildung L^⌦(A)∶ V → W

v � lc (A⋅co_⌦(v))

zu (siehe Beispiel 5.7.5). Für die Details siehe Übungsaufgabe 5.14.

(12)

5.8 Gauß mit Zeilen- und Spaltentrans- formationen

Wie im letzten Abschnitt diskutiert, können wir annehmen, dass ein Vektorraumhomomorphismus zwischen endlichdimensionalen K-Vektorräumen durch eine Matrix A ∈ Kⁿ^×^m dargestellt ist. Wie in Abschnitt5.6beschrieben, können wir dann z.B. den Kern bestimmen als die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems A⋅x=0mit x∈Kⁿ. Mittels der Korrespon- denz

a1,1x1+...+a1,mxm=0

⋮

a_n,1x₁+...+a_n,mx_m=0

��

�⇐⇒

� A∶=

��

a1,1 � a1,m

⋮ ⋮

an,1 � an,m

��

�⋅�

�� x1

⋮ xm

��

�=0 zwischen den Koeﬃzienten der Gleichungen und der Einträge der Matrix A entsprechen die einzelnen Operationen im Gaußalgo- rithmus den folgenden Operationen mit den Zeilen vonA: Definition 5.8.1 Dieelementaren ZeilenoperationenaufA sind:

1) Multiplikation deri-ten Gleichung mit0≠ ∈K entspricht Multiplikation deri-ten Zeile von Amit .

2) Addition des -fachen der i-ten Gleichung zur j-ten Glei- chung entspricht Addition des -fachen deri-ten Zeile zur j-ten Zeile.

3) Vertauschen deri-ten undj-ten Gleichung entspricht Ver- tauschen deri-ten und j-ten Zeile.

Man beachte, dass in unserer Formulierung des Gauß-Algorithmus Satz 5.8.2 Sei A=(a_i,j)∈Kⁿ^×^m. Die elementaren Zeilenopera- tionen auf der MatrixA sind dargestellt durch

A�T ⋅A

für die folgenden IsomorphismenT ∶Kⁿ→Kⁿ:

(13)

1) Multiplikation der i-ten Zeile mit0≠ ∈K entspricht

T = ⁱ

��

�

1 0

� 1

1 �

0 1

��

�

∈Kⁿ^×ⁿ

2) Addition des -fachen der i-ten Zeile zur j-ten Zeile entspricht

T = _j

��

1 0

� � 1

�

0 1

��

�� i

∈Kⁿ^×ⁿ

3) Vertauschen der i-ten undj-ten Zeile entspricht

T = i

j

��

�

1 � 0

1

0 1

1 � 1

1 0

1

0 �

1

��

�

∈Kⁿ^×ⁿ

Beweis.Folgt direkt aus der Definition des Matrixprodukts: Mit A=(A₁�...�A_m) ist

T⋅A=(T ⋅A1�...�T ⋅Am)

undT⋅Ai ist die Linearkombination der Spalten vonT mit den Einträgen des Vektors A_i. Multiplikation von T in (1) kopiert

(14)

also alle Einträge vonA_iaus deni-ten Eintrag, der mit multi- pliziert wird. In den Fällen(2) und(3)argumentiert man analog. Zu jedemT die Umkehrabbildung anzugeben ist ebenso eine leichte Übung.

Für jedes dieser T haben nach Bemerkung 5.2.1 A⋅x = 0 und(T ⋅A)⋅x=0 dieselbe LösungsmengeKer(A)=Ker(T ⋅A).

Allgemein gilt:

Lemma 5.8.3 Ist T ∶Kⁿ→Kⁿ ein Isomorphismus, dann gilt Ker(T⋅A)=Ker(A).

Beweis.Wir haben ein Diagramm K^{m A}→ Kⁿ

T⋅A↘ ↓^T Kⁿ

Füry=A⋅xgilt T ⋅y=0 genau dann, wenny=0.

Der Gaußalgorithmus bestimmt ein solchesT als Produkt von elementaren Zeilenoperationen, sodassKer(T⋅A)sofort ablesbar ist. Satz5.2.4 können wir also auch wie folgt formulieren:

Satz 5.8.4 (Matrix-Gaußalgorithmus) SeiA∈K^n×m. Es gibt einen IsomorphismusT ∶Kⁿ→Kⁿ, sodass T ⋅A Zeilenstufen- formhat, d.h.

j1 j2 jr

T ⋅A=

��

�

1 ∗

1 �

1 0

��

� Es gilt dann

dim Bild(A)=r dim Ker(A)=m−r , insbesondere ist

dim Bild(A)+dim Ker(A)=m.

Die Variablen xj1, ..., xjr sind die Leitvariablen im Gleichungs- system(T ⋅A)⋅x=0.

(15)

Beweis. Mit dem Gaußalgorithmus 5.1 und Satz 5.8.2 gibt es T1, ..., Ts sodass

(Ts⋅...⋅T1⋅A)⋅x=0

Zeilenstufenform hat. Als Produkt von Isomorphismen ist T =T_s⋅...⋅T₁

ein Isomorphismus.

Zu den Dimensionsaussagen: Mit Bemerkung5.3.16ist dim Ker(A)=m−r.

DaT ein Isomorphismus ist, gilt

dim(Bild(A))=dim(Bild(T ⋅A)).

Weiter istBild(T ⋅A)⊂�e1, ..., er� und somitdim(Bild(T ⋅A))≤ r. Andererseits sind die Spalten j₁, ..., j_r wegen der Stufenform linear unabhängig (leichte Übung mit Algorithmus 5.3.14), und somitdim(Bild(T ⋅A))≥r.

Bemerkung 5.8.5 Durch Zeilenoperationen entsprechend Be- merkung5.2.8 können wir außerdem noch die Einträge oberhalb der Stufen a_i,j_i =1 zu Null machen. Dann spricht man von der reduzierten Zeilenstufenformvon A. Diese ist eindeutig bestimmt (ohne Beweis).

Beispiel 5.8.6 Für A=�

��

1 1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

��

�∈Q³^×⁵

erhalten wir durch Abziehen der ersten Zeile von der2-ten und 3-ten,Multiplikation der2-ten Zeile mit ¹₂, und Abziehen der 2- ten von der 3-ten Zeile:

A��

��

1 1 0 0 1 0 0 2 2 0 0 0 1 1 0

��

1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

��

�

��

1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

��

�

(16)

In Maple können wir die reduzierte Zeilenstufenform berechnen mit:

A := <<1,1,1>�<1,1,1>�<0,2,1>�<0,2,1>�<1,1,1>>;

GaussianElimination(A);

��

1 1 0 0 1 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0

��

Satz 5.8.7 Führen wir die Zeilentransformationen zur Bestim- mung der reduzierten Zeilenstufenform parallel auch mit dern×n Einheitsmatrix

E=�

��

1 0

�

0 1

��

� durch, so erhalten wir einT wie in Satz 5.8.4.

Beweis.SeienT₁, ..., T_s∈Kⁿ^×ⁿdie den elementaren Zeilentrans- formationen entsprechenden Matrizen, sodass

T_s⋅...⋅T₁

��

T∶=

⋅A

Zeilenstufenform hat. Anwenden der Transformationen auf die Einheitsmatrix gibt

Ts⋅...⋅T1⋅E=Ts⋅...⋅T1=T.

Beispiel 5.8.8 Mit den Zeilentransformationen aus Beispiel5.8.6 ergibt sich

��

�

1 0 0 0 1 0 0 0 1

��

1 0 0

−1 1 0

−1 0 1

��

1 0 0

−¹₂ ¹₂ 0

−1 0 1

��

1 0 0

−¹₂ ¹₂ 0

−¹₂ −¹₂ 1

��

�=T und

T⋅A=�

��

1 0 0

−¹₂ ¹₂ 0

−¹₂ −¹₂ 1

��

�⋅�

��

1 1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

��

�=�

��

1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

��

� hat Zeilenstufenform.

(17)

Beispiel 5.8.9 Wir bestimmen für das Beispiel noch eine Basis von KerA = Ker(T ⋅A): Die Lösungsmenge des linearen Glei- chungssystems (T ⋅A)⋅x=0, d.h.

x₁ + x₂ + x₅ = 0 x₃ + x₄ = 0 ist

KerA=

��

�

��

�

−x2−x5

x₂

−x₄ x₄ x5

��

�

�x₂, x₄, x₅∈Q

��

�

=�

��

�

−1 1 0 0 0

��

� ,

��

� 0 0

−1 1 0

��

� ,

��

�

−1 0 0 0 1

��

�

In Maple können wir Ker(A) mit folgendem Code bestimmen:

A := <<1,1,1>�<1,1,1>�<0,2,1>�<0,2,1>�<1,1,1>>;

NullSpace(A);

��

−1 1 0 0 0

��

�� ,

��

�� 0

−01

1 0

��

�� ,

��

−1 0 0 0 1

��

Bilder von Matrizen spielen ebenfalls eine wichtige Rolle, denn jeder Untervektorraum vonKⁿ ist das Bild einer Matrix:

Lemma 5.8.10 Ist

A=(a₁�...�a_m)∈Kⁿ^×^m mit den Spaltena1, ..., am, so gilt

Bild(A)=�a₁, ..., a_m�. Beweis.Wegen

A⋅�

�� x₁

⋮ xn

��

�=x₁⋅a₁+...+x_n⋅a_n.

(18)

besteht das Bild vonAgenau aus allen Linearkombinationen der Spalten vonA.

Wir kennen also ein Erzeugendensystem des Bildes. Im Fol- genden beschreiben wir, wie man eine Basis bestimmt.

Bemerkung 5.8.11 Führen wir (analog zu Definition5.8.2) mit A elementare Spaltentransformationen durch, können wir entsprechend eineSpaltenstufenform erreichen.

Algorithmus 5.4 berechnet dann eine Basis des Bilds. Wir Algorithmus 5.4Bild

Input: A∈Kⁿ^×^m

Output: Basis vonBild(A)

1: Berechne mit Bemerkung 5.8.11 eine Spaltenstufenform A^′ vonA.

2: return Spalten≠0vonA^′.

zeigen die Korrektheit von Algorithmus5.4:

Beweis.Für jeden Isomorphismus S∶K^m→K^m gilt Bild(A)=Bild(A⋅S),

dennBild(S)=K^m. In unserem Fall istSeine Komposition von Spaltentransformationen, sodassA⋅SSpaltenstufenform hat. Die Spalten ungleich 0 in A⋅S sind per Konstruktion linear unab- hängig und somit eine Basis des Bildes.

Bemerkung 5.8.12 Durch weitere Spaltenoperationen können wir eine reduzierte Spaltenstufenformerreichen. Man kann zeigen, dass diese eindeutig durchAbestimmt ist. Damit können wir z.B. Gleichheit von Untervektorräumen entscheiden, denn Bild(A) = Bild(B) genau dann, wenn die reduzierten Spalten- stufenformen vonA undB übereinstimmen.

Beispiel 5.8.13 FürAwie in Beispiel 5.8.6erhalten wir durch Multiplikation der 3-ten und 4-ten Spalte mit ¹₂, Abziehen der ersten Spalte von der 2-ten und 5-ten, Abziehen der 3-ten von

(19)

der 4-ten, Vertauschen der 2-ten und3-ten Spalte und Abziehen der 2-ten von der1-ten

A=�

��

1 1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

��

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ¹₂ ¹₂ 1

��

�

��

1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ¹₂ 0 0

��

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 2 1

2 0 0 0

��

� und somit eine Basis des Bilds

Bild(A)=��

�� 1 0

1 2

��

�,�

�� 0 1

1 2

��

In Maplekönnen wir Bild(A) wie folgt berechnen:

A := <<1,1,1>�<1,1,1>�<0,2,1>�<0,2,1>�<1,1,1>>;

ColumnSpace(A);

��

1 0

1 2

��

��,��

��

0 1

1 2

��

5.9 Isomorphismen

Die Matrix T, die im Gauß-Algorithmus 5.8.4 die elementaren Zeilentransformationen zusammenfasst, ist ein Beispiel eines Vek- torraumisomorphismus. Sie identifiziert die Standardbasis von Kⁿ mit einer anderen Basis von Kⁿ (die in den Spalten von T steht). Allgemein gilt (Bemerkung 5.5.9): Ist F ∶ V → W ein Homomorphismus und⌦=(v₁, ..., v_n)eine Basis vonV, dann ist

F Isomorphismus⇔(F(v1), ..., F(vn))Basis von W, insbesondere also

dimV =dimW

und damit die darstellende Matrix M^⌦(F) für jede Wahl von Basen⌦vonV und von W quadratisch.