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Gruppenübung 2.ÜbungsblattzurMathematikIIIfürMB,WI/MB,MPE,AngMech

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(1)

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Kiehl Dr. M. Geißert S. Ullmann

WS 2008 31.10.2008

2. Übungsblatt zur

Mathematik III für MB, WI/MB, MPE, AngMech

Gruppenübung

Aufgabe G1

(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung y0 = 1−sin2(y

x) +y x.

(b) Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem y0 = y2+x2

xy , x >0, y(2) = 4.

Hinweis: Verwenden Sie die Substitution z(x) = y(x)x (Ähnlichkeitsdifferenzial- gleichung).

(2)

Aufgabe G2

Es sei I := [0,∞]. Weiter sei A die Aussage: f(x, y) erfüllt eine Lipschitzbedingung iny auf dem Intervall I. Kreuzen Sie die richtigen Aussage an.

A ist wahr A ist falsch f(x, y) =x2·y [ ] [ ] f(x, y) =1+x1 2 ·y [ ] [ ] f(x, y) =1−x1 ·y [ ] [ ] f(x, y) =1+x1 2 ·y2 [ ] [ ] f(x, y) =x2+ 2y [ ] [ ]

Aufgabe G3

Überprüfen Sie, ob die folgenden DGLs exakt sind und integrieren Sie diese gebenen- falls.

(a) ydt+tdy= 0, (t, y)∈D=R2 (b) −

y+t−11

dt+ (2y−t)dy, (t, y)∈D=]−1,1[×R Aufgabe G4

Man integriere die folgende Diffenzialgleichung, indem man sie durch Bestimmung eines integrierenden Faktors M(t, y)in eine exakte Diffenzialgleichung überführt.

3y2dt+ 2tydy= 0 , t, y >0

Hausübung

Aufgabe H1

Bestimmen Sie für Φ : [0,1]2 →R2 mit Φ(x, y) =

1

10(−2x3+y4+ 2)

1

25(x3+xy+ 2y2−5)

eine Lipschitzkonstante.

Aufgabe H2

Gegeben sei die Bernoullische Differentialgleichung exy0=−1

3exy−1 3y4.

(3)

(a) Transformieren Sie diese Differentialgleichung in eine lineare Differentialglei- chung.

(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Aufgabe H3

Man integriere die folgende Diffenzialgleichung, indem man sie durch Bestimmung eines integrierenden Faktors M(t, y)in eine exakte Diffenzialgleichung überführt.

(1 +y)dt−tdy= 0 , t, y >0

Aufgabe H4

Bestimmen Sie alle Lösungen der linearen Differenzialgleichung y0− x

1 +x2y = 2p 1 +x2.

Abgabe:07.11.2008 in der jeweiligen Gruppenübung

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