Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Kiehl S. Drewes
S. Löbig
WS 2009/2010 18.12.2008
9. Übungsblatt
Mathematik III für MB, WI/MB, MPE, AngMech
Gruppenübung
Aufgabe G1
(a) Seiλ1 = 2+2iein Eigenwert und~v1= (1,1+i)T ein zugehöriger Eigenvektor der Matrix eines Systems erster Ordnung. Schreiben Sie einen weiteren Eigenwert mit einem dazugehörigen Eigenvektor auf!
(b) Kreuzen Sie an, für welche A, ~v und ~h die folgende Aussage zutrifft: Die Matrix A hat den Eigenvektor~v und der Vektor~hist der zu ~v zugehörige Hauptvektor zweiter Stufe der Hauptvektorkette.
A=
2 4
2 4
, ~v=
2
−1
, ~h=
−1
1
.
A=
2 −9
1 8
, ~v=
−3
1
, ~h=
1
0
.
A=
3 0
0 2
, ~v=
1
0
, ~h=
1
1
.
A=
1 0
1 1
, ~v=
0
1
, ~h=
−1
−1
.
(c) Kreuzen Sie an, welche der folgenden Vektorpaare ein Fundamentalsystem eines homogenen Differenzialgleichungssystems erster Ordnung bilden können.
et
e5t
,
et
5e5t
.
e−5t
5e−5t
,
5e−5t
5e−5t
.
e−t
e−t
,
5e−t
5e−t
.
et
5et
,
e−t
5e−t
.
et
5et
,
5e−t
e−t
.
Aufgabe G2
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems mit Hilfe der Laplace-Transformation:
y00+ 4y= 0, y(0) = 2, y0(0) = 1.
Aufgabe G3
Lösen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation das Anfangswertproblem bestehend aus dem Sy- stem
˙
y1−3y1−3y2 = t
˙
y2+y1+y2 = 1
und den Anfangswerteny1(0) =y2(0) = 0.
Aufgabe G4
Berechnen Sie die Originalfunktion zu der Laplace-Transformierten
2s2+ 2s+ 2 (s+ 1)(s2−2s+ 2).
Hausübung
Aufgabe H1
Berechnen Sie die Laplace-Transformierten folgender Funktionen:
(a) f(t) = sinht−sint Probe: L{f}(π) = 0.0207. . . (b) f(t) = (t−1)2e−2t Probe: L{f}(π) = 0.1335. . .
Aufgabe H2
Lösen Sie das folgende lineare Anfangswertproblem mit Hilfe der Laplace-Transformation:
¨
y+ 3 ˙y+ 2y=et, y(0) = 1, y(0) = 0˙
Probe: y(π) = 3.9203. . .
Aufgabe H3
Lösen Sie das folgende AWP mit Hilfe der Laplace-Transformation:
y00+ 2y0+y= 2 cost, y(0) = 0, y0(0) = 2.
Probe: L{y}(π) = 0.1502. . .,y(π) = 0.1357. . .
Abgabe:15.01.2009 in der jeweiligen Gruppenübung.
Wir wünschen Ihnen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins Jahr 2010!
