Die KMK-Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss

STAATSINSTITUT FÜR SCHULQUALITÄT UND BILDUNGSFORSCHUNG

Abteilung Berufliche Schulen Schellingstr. 155

80797 München

Sehr geehrte Kolleginnen und Kollegen,

der Arbeitskreis am ISB hat die zahlreichen Stellungnahmen der Wirtschaftsschulen zur Neukonzeption der Abschlussprüfung durchgearbeitet und folgende Änderungen in der Musterprüfung mit Lösungsvorschlag vorgenommen:

• Die Aufgabe zur Stochastik wurde überarbeitet und etwas gekürzt. Die Aufgabenstellung hat nun auf einer DIN-A-4 Seite Platz.

• Die Aufgabe zu Exponential- und Logarithmusfunktion wurde erweitert zu einer Aufgabe zu Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion und Gleichungen.

• Lösung 2.2: statt „nach ca. 27 Jahren“ muss es heißen „im 27. Jahr“

• Lösung 2.4: statt „27.000 Einwohner“ muss es heißen „ca. 266.667“

• Lösung 5.7: Ergänzung des Antwortsatzes mit dem Zusatz: „ , obwohl die Sprunglatte gerissen wird.“

• Lösung 6.6: statt „11,09 m²“ muss es heißen „1,11 m²“

Wir bedanken uns an dieser Stelle ausdrücklich bei den Lehrkräften für ihre ausführlichen und sehr hilfreichen Stellungnahmen.

München, Mai 2010 Georg Ott

Neukonzeption der Abschlussprüfung im Fach Mathematik an Wirtschaftsschulen ab 2011

Die Schülerinnen und Schüler der Wirtschaftsschule legen 2011 erstmals die

Abschlussprüfung im Fach Mathematik nach dem neuen Lehrplan ab. Grundlage für die neue Prüfung sind der Lehrplan und die KMK-Bildungsstandards, die eine veränderte Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur einfordern.

Die KMK-Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss

Die KMK-Bildungsstandards wurden Ende 2003 veröffentlicht und sind für den Mittleren Schulabschluss verpflichtend. Das Konzept der Bildungsstandards folgt dem Erwerb

„mathematischer Kompetenzen“. Dieses Rahmenkonzept ist den internationalen Vergleichsstudien TIMSS und PISA entnommen. Als allgemeine Kompetenzen im Fach Mathematik werden genannt:

• K1: Mathematisch argumentieren

• K2: Probleme mathematisch lösen

• K3: Mathematisch modellieren

• K4: Mathematische Darstellungen verwenden

• K5: Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

• K6: Kommunizieren

Eine ausführliche Beschreibung und zahlreiche Beispiele zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen finden sich in „Bildungsstandards Mathematik: konkret“

[1]. Zur erfolgreichen Aufgabenbearbeitung sind häufig mehrere der oben aufgeführten sechs mathematischen Kompetenzen notwendig. So wird in nahezu jeder Aufgabe eine Form des Kommunizierens (K6) vorliegen, da der Aufgabentext verstanden werden muss und der eigene Lösungsweg und das Ergebnis wiedergegeben werden müssen.

Ähnliches gilt für die Kompetenz K5 „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“, die in vielen Aufgaben beinhaltet ist. Trotzdem liegt in vielen Aufgaben eine bestimmte Kompetenz im Zentrum des Interesses. Das Zusammenspiel verschiedener Kompetenzen zur Aufgabenlösung soll exemplarisch an nachfolgender Aufgabe erläutert werden.

Das Dach eines Kirchturms soll renoviert werden. Der obere Teil hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide. Dabei betragen sowohl die Seitenlängen der Grundfläche ABCD als auch die Höhe h der Pyramide jeweils 8 m. Der Mittelteil ist

quaderförmig und der untere Teil hat die räumliche Gestalt eines

Pyramidenstumpfes (siehe nebenstehende Skizze).

Ein Gemeindemitglied sieht sich die Bauzeichnung an und behauptet, dass sich der untere Pyramidenstumpf mit der oberen Pyramide zu einer großen Pyramide zusammensetzen lässt.

Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Gemeindemitglied Recht hat.

Lösung:

1. Möglichkeit: 8

tan 63,4 71,6°

β = 4 ⇒ β = ° ≠ = α (Neigungswinkel der Dachpyramide ≠ Neigungswinkel des Pyramidenstumpfes)

2. Möglichkeit: 8 8,94

3 ≠ 3,16 (Strahlensatz) 3. Möglichkeit: 8 3

2,2 3,01 tan71,6

5+ = ≠ = ° (Zusammensetzung der Pyramide und des Pyramidenstumpfes)

Das Gemeindemitglied hat nicht Recht.

Weitere Möglichkeiten sind denkbar.

Die Kompetenz K4 „Mathematische Darstellungen verwenden“ spielt in dieser Aufgabenstellung eine wichtige Rolle. Zugleich kommen aber noch weitere Kompetenzen zum Tragen, deren Bedeutung vom gewählten Lösungsweg abhängt: Die erste mögliche Lösung legt einen Schwerpunkt auf Kompetenz K5 „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“. Die 2. Möglichkeit einer Lösung zielt schwerpunktmäßig auf die Kompetenz K2 „Probleme mathematisch lösen“, da man nahezu ohne Rechenaufwand ans Ziel gelangt. Die 3. Möglichkeit einer Lösung ist die Mischung der Kompetenzen K4 „Mathematische Darstellungen verwenden“ und K5 „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“. Weiter Lösungswege, die wiederum andere Kompetenzen benötigen, sind denkbar und in der Lösung auch kurz angedeutet. Die Zuordnung einer Kompetenz zu einer Aufgabe hängt häufig davon ab, welche Vorkenntnisse die Schüler haben, in welchem Zusammenhang die Aufgabe bearbeitet wird, welchen Lösungsweg der Schüler verwendet usw.

Die oben genannten allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden in der

erworben. Inhaltliche Vorgaben der KMK-Bildungsstandards werden durch die Leitideen L1 – L5 gemacht:

L1: Zahl L2: Messen

L3: Raum und Form

L4: funktionaler Zusammenhang L5: Daten und Zufall

Der Mathematiklehrplan für die Wirtschaftsschulen erfüllt die KMK-Vorgaben bezüglich der zu behandelnden Inhalte. In der Lösung der Musterprüfung werden die Teilaufgaben hinsichtlich allgemeiner mathematischer Kompetenzen und Leitideen klassifiziert.

Neben den Kompetenzen und den Leitideen wird in den Bildungsstandards eine dritte Dimension zur Klassifizierung von Aufgaben beschrieben. Die drei Anforderungs- bereiche I: Reproduzieren, II: Zusammenhänge herstellen und III: Verallgemeinern und Reflektieren sollen in Schulaufgaben und Abschlussprüfungsaufgaben berücksichtigt werden. Der Schwerpunkt der Aufgaben soll im Anforderungsbereich II angesiedelt sein. Darüber hinaus ist der Anforderungsbereich I stärker zu berücksichtigen als III Bezüglich weitergehender Informationen hierzu wird auf [1] und [2] verwiesen.

Insgesamt bilden die drei Dimensionen Kompetenzen, Leitideen und Anforderungsbereiche ein hilfreiches Instrument Aufgabensammlungen in Schulbüchern, Schulaufgaben und Abschlussprüfungsaufgaben hinsichtlich ihrer Ausgewogenheit zu prüfen. Fragen wie

- Deckt meine (Schul-) aufgabe mehrere Leitideen ab?

- Welche Kompetenzen werden von meinen Schülern bei der Aufgabenbearbeitung verlangt?

- Kommen Kompetenzen wie „mathematisch modellieren“ oder „mathematisch argumentieren“ nicht zu kurz?

sollen der Inspiration dienen und die bestehende Aufgabenkultur erweitern und bereichern.

Überblick über die Themen der neuen Abschlussprüfung

Die Schülerinnen und Schüler der Wirtschaftsschule legen 2011 erstmals die

Abschlussprüfung im Fach Mathematik nach dem neuen Lehrplan ab. Grundlage für die neue Prüfung sind der Lehrplan und die KMK-Bildungsstandards, die eine veränderte Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur einfordern.

Die derzeitige Prüfung umfasst 6 Aufgaben, wobei die ersten drei Aufgaben

verpflichtend sind und aus den letzten drei Aufgaben zwei durch den Vorsitzenden des Prüfungsausschusses ausgewählt werden. Nachfolgend wird das Konzept der neuen Prüfung vorgestellt.

Themen der neuen Abschlussprüfung 1. Aufgabe: Finanzmathematik

2. Aufgabe: Folgen und Reihen Pflichtaufgaben 3. Aufgabe: Trigonometrie

4. Aufgabe: Stochastik

5. Aufgabe: Funktionen (Geraden, Parabeln) 6. Aufgabe: Körperberechnungen

7. Aufgabe: Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion und Gleichungen

8. Aufgabe: Aufgabenstellung ohne Themenbezug

Die Aufgaben 1 bis 3 sind Pflichtaufgaben und die Aufgaben 4 bis 8 sind Wahlaufgaben, wobei für die Aufgaben 5 bis 8 ein „wechselndes Verfahren“

angewendet werden soll. Aus diesen vier Themengebieten 5 bis 8 werden zu jeweils drei Themen Aufgaben erstellt. Die Prüfung umfasst somit jedes Jahr sieben Aufgaben, wobei die Aufgaben 1 – 3 verpflichtend sind und aus den anderen vier Aufgaben zwei durch den Vorsitzenden des Prüfungsausschusses ausgewählt werden. Die

Schülerinnen und Schüler bearbeiten also wie bisher 5 Aufgaben, welche jeweils 20 Punkte umfassen. Die neue Prüfung bietet eine bessere Auswahlmöglichkeit, da sie ein Thema zusätzlich zur Auswahl stellt.

Anmerkungen zu inhaltlichen Änderungen der neuen Abschlussprüfung

In der Aufgabenstellung zur Finanzmathematik werden vereinfachte Belege mit aufgenommen; die Fragestellungen werden sich inhaltlich jedoch nicht ändern. Die Themen Folgen und Reihen sowie Trigonometrie erfahren keine Änderungen.

Stochastik wird künftig in jeder Prüfung zur Auswahl gestellt. Die Aufgabenkultur zur Stochastik ist geleitet vom derzeit gültigen Lehrplan, den Fortbildungen an der

Akademie in Dillingen sowie regional auf Regierungsbezirksebene und den neuen Schulbüchern. Das Thema Körperberechnungen erfährt keine inhaltlichen

Änderungen. Das Themengebiet Wurzel- und Exponentialgleichungen wird ersetzt durch das Thema Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion und

Wahlaufgaben

wechselnd

Gleichungen, wodurch künftig auch anwendungsbezogene Fragestellungen möglich sind. Bei den Aufgaben zu Wurzel- und Exponentialgleichungen kamen bisher nur innermathematische Fragestellungen in Betracht. In diesem Bereich können jedoch weiterhin Exponential- und Logarithmusgleichungen abgeprüft werden. Die Prüfung 2011 beinhaltet eine Aufgabenstellung ohne Themenbezug, die auch „offene Aufgabenstellungen“ beinhalten. Im Mathematikunterricht stehen häufig Routinen zur Lösung von schematisierten Aufgaben nicht zuletzt wegen der zentralen

Abschlussprüfung im Vordergrund. Die Engführung des Unterrichts verbunden mit einer standardisierten Aufgabenkultur bedingt eine Einschränkung. Dagegen fördern „offene Aufgabenstellungen“, d. h. Problemstellungen, die mehrere Vorgehensweisen erlauben, die Kreativität der Schüler.

Insgesamt ist bei der Neukonzeption kein „Sprung“ in der Art der Aufgaben hinsichtlich Umfang und Schwierigkeitsgrad beabsichtigt. Die Tendenzen der letzten Jahre wie eine Erhöhung der Anwendungsorientierung und eine stärkere Berücksichtigung der in den KMK-Bildungsstandards beschriebenen mathematischen Kompetenzen wie

„modellieren“ oder „Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren“

werden sich fortsetzen, gestützt durch die Ausrichtung des Lehrplans, die Fortbildungen und die neuen Schulbücher.

1 Finanzmathematik Punkte

Herr BAUFEINIX möchte sich ein Häuschen am Bodensee kaufen. Hierfür benötigt er ein Dar- lehen in Höhe von 70.000,00 €. Er vereinbart mit seiner Hausbank folgenden Darlehensvertrag:

1.1 Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren Herr Baufeinix die Darlehenssumme zurückgezahlt hat.

5 1.2 Erstellen Sie einen Tilgungsplan für die ersten 3 Jahre. 3 1.3 Herr Baufeinix hat im Jahr 1982 einen Sparvertrag bis zum Ende des Jahres

2011 abgeschlossen. In diesen zahlte er jeweils zu Beginn des Jahres 3.600,00 € ein. Die Bank gewährte ihm hierfür für die ganze Laufzeit einen Zinssatz von 3%. Im Januar 2004 erhielt er eine Erbschaft über 45.000,00 €, die er zusätzlich sofort in den Sparvertrag einzahlte. Berechnen Sie die angesparte Summe, die Herrn Baufeinix am Ende des Jahres 2011 zur Verfügung steht.

[Ergebnis: Sparsumme: 233.414,29 €]

6

1.4 Ab dem Jahr 2012 will Baufeinix von dem Sparvertrag leben und jeweils am 01.01. jährlich 18.000,00 € ausbezahlt bekommen.

Berechnen Sie die Auszahlungsjahre des Vertrages, wenn der Zinssatz für die Auszahlungsdauer auf 2,5% gesenkt wurde.

6

Summe 20 D A R L E H E N S V E R T R A G

- Darlehensgeber – FRANKEN-BANK AG, Königstorgraben, 90402 Nürnberg - Darlehensnehmer – Baufeinix, Johann-Lauterbach-Str. 2, 95448 Bayreuth

1. Darlehensgewährung

Der Darlehensgeber gewährt dem Darlehensnehmer ein verzinsliches Darlehen in Höhe von 70.000,00 EUR (in Worten siebzigtausend Euro). Der Darlehensnehmer bestätigt mit seiner Unterschrift unter diesen

Darlehensvertrag den Erhalt des Darlehensbetrages.

2. Verzinsung

Das Darlehen ist mit 5,5 % p.a. zu verzinsen. Die Zinsen sind jeweils am 31.12. zu zahlen.

3. Annuitäten

Das Darlehen ist in jährlichen Raten von 7.200,00 EUR zurück zu zahlen. Zahlungen des Darlehensnehmers werden zunächst auf die Zinsen und zuletzt auf die Hauptforderung verrechnet. Die Laufzeit des Darlehens

beginnt mit dem 01.01.2011 4. Sicherheiten

Der Darlehensnehmer bestellt zugunsten des Darlehensgebers auf dem Grundstück, eingetragen im Grundbuch von Lindau des Amtsgerichts Lindau, Blatt 145/787-14) eine Grundschuld in Höhe von 70.000,00 EUR

(in Worten .siebzigtausend... Euro)

Nürnberg, den 13.12.2010

M. Guttenberg... ...H. Baufeinix...

(Darlehensgeber) (Darlehensnehmer)

In die Aufgaben der Abschlussprüfungen ab 2011 werden auch vereinfachte Belege eingearbeitet. Der folgende Beleg soll diesbezüglich eine weitere Anregung sein.

Zusatzaufgabe:

Herr Baufeinix hat bei der Löwenherz Lebensversicherungs-AG (siehe

Lebensversicherungspolice) eine Versicherung für seinen Ruhestand abgeschlossen.

Hierbei können Fragestellungen z. B. nach der Ansparsumme, nach der Länge von Auszahlungszeiträumen usw. - wie bisher verlangt - erfolgen.

Löwenherz Lebensversicherungs-AG

Versicherung Nr. 4/34568126/44

STARTPOLICE

Lebensversicherung

Versicherungsnehmer:

Herr Hartmut Baufeinix

geboren am 04.04.1951

Versicherungsbeginn 01.01.1978

Einzahlungsende mit Beginn der ersten Auszahlung

Jährliche Zahlung jeweils zum 31.12. des Jahres in Höhe von 2.400,00 EUR

mit Steigerung der Zahlungsrate in Höhe von 0,5 % pro Jahr Lebenslange jährlich zu Beginn jeden Jahres ausgezahlte

Garantierente in Höhe von 7.832,40 EUR

ab dem 01.01.2011 nur an den Versicherungsnehmer

oder anstelle der Rente

einmalige Auszahlung in Höhe von 180.000,00 EUR

am 01.01.2011 nur an den Versicherungsnehmer

Wir übernehmen den gewünschten Versicherungsschutz zu den im Versicherungsschein genannten Bedingungen.

München, 12.12.1977

Löwenherz Lebensversicherungs-AG

K. Rupprecht

Löwenherz

2 Folgen und Reihen Punkte

Die Bevölkerung eines Landes A mit 50 Millionen Einwohnern nimmt jährlich um 0,5 % ab; die Bevölkerung eines Landes B mit 30 Millionen Einwohnern nimmt dagegen jährlich um 1,5 % zu.

2.1 Berechnen Sie, wie viele Millionen Einwohner die Länder A und B 10 Jahre später haben.

6 2.2 Berechnen Sie, nach wie viel Jahren die Länder A und B gleich viele

Einwohner haben.

4 2.3 Berechnen Sie, welche prozentuale Zuwachsrate der Bevölkerung das Land A

haben müsste, um in 10 Jahren von 50 Millionen auf 56,3 Millionen Einwohner anzuwachsen.

3

Die Bevölkerung des Landes C mit 40 Millionen Einwohnern würde sich in genau 150 Jahren verdoppeln, wenn man von einer jährlich gleich bleibenden Zunahme ausginge.

2.4 Berechnen Sie dafür die jährlich gleich bleibende Bevölkerungszunahme. 2 Die Bevölkerung eines Landes D wächst stark durch die Zuwanderung von außen.

Im ersten Jahr sind 200 000 Einwohner hinzugekommen, im nächsten Jahr waren es schon 220 000 Zuwanderer. Auch in den Folgejahren nimmt die jährliche

Zuwanderung um gleich bleibend 20 000 Einwanderer zu.

2.5 Berechnen Sie, in wie viel Jahren sich die Bevölkerung des Landes D allein durch die Zuwanderung um 5,1 Millionen Einwohner vermehrt hat.

5

Summe 20

A

M

R C B

β α

α α

3 Trigonometrie/Geometrie Punkte

Blickt man bei Windstille von einem 120 m über dem Riffelsee gelegenen Punkt A in den See, so sieht man das Spiegelbild des Matterhorns unter einem Tiefenwinkel von α = 11,8°. Die Spitze des Matterhorns erblickt man direkt unter dem Höhen- winkel β = 10,25°.

3.1 Berechnen Sie die Entfernung des Beobachters vom Spiegelbild im See.

[Ergebnis: AR = 586,81 m]

3 3.2 Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen dem Gipfel des Matterhorns

und dem Riffelsee, wenn RC = 7.972,19 m lang ist.

3 Es soll eine Seilbahn vom Punkt A zum Gipfel M gebaut werden.

3.3 Berechnen Sie die Länge der Seilbahn AM . [Ergebnis: AM = 8.685,21 m]

5 Für die Bauarbeiten werden auch Hubschrauber eingesetzt.

3.4 Ein Hubschrauber ist unter einem Höhenwinkel ε = 50,25° von Punkt A aus gestartet und hat bereits 3.500 m zurückgelegt. Berechnen Sie die restliche Strecke, die der Hubschrauber noch zurücklegen muss.

4

3.5 Berechnen Sie die Steigung der Seilbahn in Prozent. 2 3.6 Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ARM in km². 3 Summe 20

4 Stochastik Punkte

In den siebten Klassen einer Wirtschaftsschule wurde eine Umfrage mit dem Thema

„Wie hängen Mathematiknoten mit dem Medienkonsum der Schüler zusammen?“

durchgeführt. In der Tabelle sind die Mathematiknoten des Jahreszeugnis 2010 und die Anzahl der Schüler eingetragen, die bei der Umfrage die folgenden Fragen mit

´Ja´ beantwortet haben.

4.1 Bestimmen Sie die absolute Häufigkeit des Ereignisses: „Schüler der 7a und 7b, die keinen eigenen Internet-Anschluss haben“. Bestimmen Sie die relative Häufigkeit des Ereignisses: „Schüler aller siebten Klassen, die in Mathematik die Noten 1-3 hatten und jeden Tag mehr als 3 Stunden fern sehen“ und die relative Häufigkeit des zugehörigen Gegenereignisses.

5

4.2 Erklären Sie kurz anhand eines Beispiels aus der oben abgebildeten Tabelle die Begriffe ´Merkmalsträger´ und ´Merkmal´.

2

4.3 Bestimmen Sie die mittlere Abweichung der Anzahl der Schüler aller siebten Klassen, die jeden Tag in einen Chat-Room gehen und die Mathematik- note 1-3 haben.

4

Ein Schüler wird in Mathematik über die zwei Themengebiete Finanzmathematik (FM) und Stochastik (ST) geprüft. Der Mathematiklehrer hat in einer Losbox drei Finanzmathematikthemen und zwei

Stochastikthemen eingelegt. Nun soll der zu prüfende Schüler zwei Aufgaben ziehen.

4.4 Übertragen Sie das Baumdia- gramm auf Ihr Bearbeitungsblatt und tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.

5

4.5 Ermitteln Sie die Wahrscheinlickkeiten für die beiden Ereignisse:

E1: Der Schüler muss höchstens eine Aufgabe zur Stochastik bearbeiten.

E2: Der Schüler muss mindestens eine Aufgabe zur Stochastik bearbeiten.

4

Summe 20

Zwischendecke

t

B y

x

x y

Matte Sprung- latte

K

5 Funktionen Punkte

Für Sportveranstaltungen wurde eine neue Multifunktionshalle (siehe Bild)

gebaut. Die Halle ist 45 m lang, 30 m breit und in der Mitte 15 m hoch. In der rechten Skizze ist die Vorderansicht der Halle dargestellt. Sie hat die Form einer Parabel.

5.1 Wählen Sie aus den folgenden Gleichungen • und ‚ diejenige aus, die die Parabel beschreibt. Begründen Sie Ihre Wahl.

• 1 ²

y x 15

= −15 + ‚ 1 ²

y x 30

= −15 +

2

5.2 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Halle tatsächlich 30 m breit ist. 3 5.3 Über dem Eingangsbereich ist in 5 m Höhe eine Zwischendecke eingezogen

(siehe Skizze). Berechnen Sie die Breite der Zwischendecke.

3

Auf der linken Seite der Halle soll eine einfache Unterstellmöglichkeit für Fahrräder angebaut werden (siehe Skizze).

5.4 Berechnen Sie dazu die Funktionsgleichung der Tangente t, wenn aus statischen Gründen die Steigung 4

m= 5 erforderlich ist.

5

5.5 Berechnen Sie, in welcher Höhe der Anbau im Berührpunkt B am Hallendach befestigt werden muss.

3

In der Halle findet ein Hochsprung-Event statt. Beim Hochsprung beschreibt der Körperschwerpunkt K eines Hochspringers näherungsweise eine

parabelförmige Flugbahn mit der Gleichung

y= −0,5x2 +1,5x 1,275+ . Die Sprunglatte liegt auf der Weltrekordhöhe von 2,45 m.

5.6 Berechnen Sie, ob der Weltrekord mit diesem Sprung gebrochen wird, wenn der Springer

e = 1,30 m vor der Sprunglatte abspringt.

y

Skizze ist nicht maßstabsgetreu

2

6 Körperberechnung Punkte

In einem Freibad befindet sich ein 25 m langes und 10 m breites Schwimmbecken, welches im Nichtschwimmerbereich eine Tiefe von 1 m aufweist. Nach 10 m fällt das Becken flach bis auf eine Tiefe von 2 m ab (siehe Skizze).

6.1 Der Boden und die Innenwände müssen neu gefliest werden. Berechnen Sie die zu fliesende Fläche.

[Ergebnis: A = 345,33 m²]

4

6.2 Berechnen Sie, wie viele quadratische Fliesen mit einer Kantenlänge von a = 20 cm hierzu benötigt werden (Fugen und Verschnitt bleiben

unberücksichtigt).

2

Das Becken soll nun so befüllt werden, dass das Wasser an der tiefsten Stelle eine Tiefe von 1,80 m hat.

6.3 Berechnen Sie, wie viele Liter Wasser eingefüllt werden müssen. 3

6.4 Berechnen sie den Neigungswinkel α. 2

Am Eingang zum Freibad hat ein Künstler eine Skulptur angebracht.

Sie zeigt eine quadratische

Doppelpyramide, die genau in einen Würfel passt (siehe Skizze).

6.5 Berechnen Sie das Volumen der Doppelpyramide. 4

6.6 Berechnen Sie die Oberfläche der Doppelpyramide in m², wenn die Seitenkante a = 56,57 cm lang ist.

5 Summe 20 25 m

2 m 10 m

1 m

10 m

α

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

7 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion und Gleichungen Punkte

Die nebenstehende Zeichnung zeigt den Graphen einer Potenzfunktion f mit der Gleichung y = x ⁿ im Definitionsbereich x > 0.

7.1 Bestimmen Sie mit Hilfe des eingezeichneten Punktes P den Wert für n.

[Ergebnis: y = x ^–2]

2

7.2 Berechnen Sie den Schnittpunkt T der Geraden ₁ 1 g : y

=16 mit dem Graphen der Funktion f.

2

7.3 Notieren Sie die Buchstaben der wahren Aussagen auf Ihr Bearbeitungsblatt.

A) Der Graph der Funktion f ist eine Parabel.

B) Der Graph der Funktion f ist eine Hyperbel.

C) Der Graph der Funktion f hat zwei Asymptoten.

D) Der Graph der Funktion f hat keine Asymptote.

E) Der Punkt A(3 | ¹₃) liegt auf dem Graph der Funktion f.

2

Gegeben ist die Funktion h mit der Gleichung y = 0,8 ^x.

7.4 Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion h im Bereich –4 ≤ x ≤ 4 mit ∆x = 1.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion h in ein Koordinatensystem ein.

3

7.5 Berechnen Sie den Schnittpunkt Q der Geraden g2: y = 1,75 mit dem Graphen der Funktion h.

2

7.6 Bestimmen Sie die Gleichung der Umkehrfunktion h ^–1 zur Funktion h. 2 7.7 Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge folgender Gleichung in 7

P

1 2 3 4

1 2 3 4 5

x y

O

0,01 mm

8 Aufgabenstellung ohne Themenbezug _Punkte

8.1.1 An einer Eisdiele dürfen Kunden zwischen zwei Angeboten wählen. Entweder sie nehmen drei Kugeln mit einem Radius von 2 cm oder eine Riesenkugel mit einem Radius von 3 cm. Beide Angebote gelten jeweils für eine Eissorte.

Welches Angebot beinhaltet das größere Volumen?

2

8.1.2 Vor drei Jahren kostete die Riesenkugel 30% weniger als der derzeitige Preis von 1,50 Euro. Berechnen Sie den Preis vor drei Jahren. 2 8.2 Im Sitzungssaal eines Rathauses wird ein neues

50 cm breites und 70 cm hohes Glasfenster eingebaut.

Die mittlere Glasscheibe wird durch die zwei Parabeln

1 2

p und p mit den Gleichungen ₁ 1 ²

y (x 2) 2

= 4 − + und

2 2

y 1 (x 4) 6

= −12 − + begrenzt (siehe Skizze), wobei 0≤ ≤ ∧ ∈x 5 x R gilt.

8.2.1 Zeichnen Sie das Fenster und die Parabeln in ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein. Maßstab auf beiden Achsen: 10 cm A 1 LE

4 8.2.2 Der Stadtrat plant ein zur y-Achse spiegelbildliches Fenster fertigen zu lassen.

Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden Parabeln, die die neue, mittlere Scheibe begrenzen.

2

8.3 Das Diagramm zeigt, wie viel Kraftstoff sich zu jedem Zeit- punkt einer Reise im Tank eines Fahr- zeugs befindet.

8.3.1 Wie viele Liter Kraftstoff hat das Fahrzeug auf der um 8.00 Uhr beginnenden

und 17.00 Uhr endenden Reise verbraucht? 2

8.3.2 Ermitteln Sie aus dem Diagramm den Spritverbrauch von 8.00 bis 10.00 Uhr und von 12.00 bis 14.00 Uhr. Geben Sie zwei mögliche Gründe für den unterschiedlichen Spritverbrauch an.

4

8.3.3 Beschreiben Sie knapp, was im Zeitraum t∆ geschieht. 1 8.4 Unter einem Mikroskop werden Zellen betrachtet. Die

Zeichnung zeigt eine Zelle im Maßstab 100 : 1. Schätzen Sie ab, welchen Flächeninhalt die Zelle hat.

Ihre Vorgehensweise muss nachvollziehbar sein.

3

70 cm

0 x

y

mittlere Glasscheibe

50 cm

Uhrzeit Tankinhalt in Litern

8.00 10.00 12.00 14.00

0

16.00 10

60

20 30 40 50

∆t

Lösungsvorschlag: 1 Finanzmathematik

1.1 ₀ ⁿ

n

n n

n

n n

K q (q 1)

A q 1

144

70.000 1,055 (1,055 1) 7.200 1,055 77

7.200 1,055 ;

1,055 1 3.850 1,055 1 67

77 n 14,29 (Jahre)

⋅ ⋅ −

= −

⋅ ⋅ −

= ⇒ = ⇒ =

− −

⇒ ≈

Nach 15 Jahren hat Herr Baufeinix die Darlehenssumme beglichen.

5

L4 K2 K5

1.2 Jahr Zinsen Tilgung Annuität Restschuld 1 3.850,00 € 3.350,00 € 7.200,00 € 66.650,00 € 2 3.665,75 € 3.534,25 € 7.200,00 € 63.115,75 € 3 3.471,37 € 3.728,63 € 7.200,00 € 59.387,12 €

3

L5 K6

1.3

n 22

´ n´

n n

n 0

8 8

n 22

q 1 1,03 1

R r q 3.600 1,03 113.230,38 €;

q 1 1,03 1

q 1

K´ K q r q q 1

1,03 1 (113.230,38 45.000) 1,03 3.600 1,03

1,03 1 233.414,29 €

=

− −

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

− −

= ⋅ + ⋅ ⋅ −

−

= + ⋅ + ⋅ ⋅ −

−

=

6

L4 K2 K5

1.4 ⁿ

0 n

n n n

n

n n

n 738000

504.58

q 1

R´ r q ;

q (q 1)

1,025 1

233.414,29 18.000 1,025 ;

1,025 (1,025 1) 1,025 1

233.414,29 738.000 ;

1,025

233.414,29 1,025 738.000 1,025 738.000;

(233.414,29 738.000) 1,025 738.000 : n lg

−−

= ⋅ ⋅ −

⋅ −

= ⋅ ⋅ −

⋅ −

= ⋅ −

⋅ = ⋅ −

− ⋅ = −

= ^5,71 15,40 (Jahre) lg1,025 ≈

Herr Baufeinix kann sich 16 Jahre lang Geld von der angesparten Summe

6

L4 K2 K5

Lösungsvorschlag: 2 Folgen und Reihen

2.1 ₁

11 1

11 11

1

11 1

11 11

a 50; q 0,995

a 50 0,995 a 47,56 also: 47,56 Millionen Einwohner b 30; q 1,015

b 30 1,015 b 34,82 also: 34,82 Millionen Einwohner

−

−

= =

= ⋅ ⇒ =

= =

= ⋅ ⇒ =

6

L4 K3 K5

2.2 ^{n 1 n 1}

n

n

50 0,995 30 1,015 50 1,015 1,015 30 0,995 0,995

lg1,70

1,70 1,02 n n 26,67 im 27. Jahr

lg1,02

− −

⋅ = ⋅

⋅  

=  

⋅  

= ⇒ = ⇒ = ⇒

4

L4 K3 K5

2.3 ₁₁ ^{11 1}

1056,3 50

a 56,3 56,3 50 q

q q 1,0119 p 1,19 %

= ⇒ = ⋅ −

= ⇒ = ⇒ =

3

L1 K2 K5

2.4 b₁ 40 ; b₁₅₁ 80

80 40 (151 1) d d 0,26 Zunahme: ca. 266.667 Einwohner

= =

= + − ⋅ ⇒ = ⇒

2

L1 K2 K5

2.5

( )

( )

1 n

n 2

2 2

1 2

c 0,2 ; d 0,02 ; s 5,1 5,1 2 0,2 n 1 0,02 10,2 n 0,38 0,02n 0 0,02n 0,38n 10,2

0 2n 38n 1020 n 15 ; n 34

Nach 14 Jahren oder im 15. Jahr

= = =

 

=  ⋅ + − ⋅ 

= +

= + −

= + − ⇒ = = −

5

L4 K3 K5

Summe 20

Lösungsvorschlag: 3 Trigonometrie/Geometrie

3.1 AB AB 120

sin AR 586,81m

sin sin11,8

α = AR ⇒ = = =

α °

3

L2 K2 K5

3.2 MC h

tan tan h RC tan h 7972,19 tan11,8 1665,48m

RC RC

α = ⇒ α = ⇒ = ⋅ α ⇒ = ⋅ ° = 3

L2 K2 K5

3.3 δ = ° − ⋅α = ° α + β = °

γ = ° − δ − α + β = °

= ⇒ = ° =

δ γ °

180 2 156,4

22,05

180 ( ) 1,55

AM AR 586,81

AM sin156,4 8685,21m

sin sin sin1,55

5

L3 K2 K5

3.4

2 2

2 2

' 50,25 10,25 40

HM AH AM 2 AH AM cos '

HM 3500 8685,21 2 3500 8685,21 cos 40 6411,71m ε = ε − β = ° − ° = °

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ε

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° =

4

L3 K2 K5

3.5 Steigung in % = tanβ ⋅100=tan10,25 100° ⋅ =18,08% 2

L1 K2 K5

3.6

2 2

AR AM sin( )

A 2

586,81 8685,21 sin 22,05

956665,51m 0,9567km 2

⋅ ⋅ α + β

=

⋅ ⋅ °

= = =

V

3

L2 K2 K5

Summe 20

Lösungsvorschlag: 4 Stochastik

Pkt.

4.1 A: Schüler der Klassen 7a und 7b ohne eigenen Internet-Anschluss Absolute Häufigkeit des Ereignisses A: k = 15

B: Schüler aller siebten Klassen, die in Mathematik die Noten 1-3 hatten und jeden Tag mehr als 3 Stunden fern sehen

k 16

h(B) 0,19

n 86

= = ≈

relative Häufigkeit des Gegenereignisses: 16

h(B) 1 h(B) 1 0,81

= − = −86 ≈

5

L5 K4 K6

4.2 Merkmalsträger: Jeder einzelne Siebtklässler in bayerischen Wirtschaftsschulen Merkmal: z. B. täglicher Chat-Room-Besuch

2

L5 K6

4.3 = + + =

= − + − + − =

3 4 2 arithmetisches Mittel 3

3

1 2

mittlere Abweichung ( 3 3 4 3 2 3 )

3 3

4

L5 K3 K5

4.4 5

L5 K4 K5

4.5 = + + =

= + + =

1

2

3 3 3 9

P(E )

10 10 10 10

3 3 1 7

P(E )

10 10 10 10

4

L5 K2 K4

Summe 20

Lösungsvorschlag: 5 Funktionen

5.1 Gleichung • 1 ²

y x 15

= −15 + , da c = 15 den Schnittpunkt mit der y-Achse (d.h.

die Höhe der Halle h = 15 m) beschreibt.

2

L4 K1 K2

5.2 Nullstellen berechnen: 1 ² _{1/ 2}

0 x 15 x 15

= −15 + ⇒ = ± b = 15 m + 15 m = 30 m

3

L4 K5

5.3 y = 5: 1 ²

5 x 15

= −15 + ⇒ x≈ ±12,25

≈ ≈

z 2 · 12,25 m 24,5 m (Breite der Zwischendecke)

3

L4 K2 K5

5.4 4

t : y x n 5

1 4 1 4

x² 15 x n x² x 15 n 0

15 5 15 5

b² 4ac 0 n 17,4; t : y 4x 17,4 5

= +

− + = + ⇒ − − + − =

− = ⇒ = = +

5

L4 K3 K5

5.5

( )

1/2

4

1 4 1 4 b 0 5

x² 15 x 17,4 x² x 2,4 0 x 6

15 5 15 5 2a 1

2 15

x 6 in t: y = 4 6 17,4 12,6 5

 

− − 

− ±  

− + = + ⇒ − − − = ⇒ = = = −

 

⋅ − 

= − − + =

Der Anbau muss in 12,6 m Höhe befestigt werden.

3

L4 K2 K5 K6

5.6 e = x = 1,3 m

y = –0,5 · 1,3² + 1,5 · 1,3 + 1,275 = 2,38 m ⇒ kein neuer Weltrekord (Sprunglatte gerissen)

2

L4 K1 K2

5.7 Ja, er hat Recht. Optimal wäre, wenn der Scheitelpunkt der Parabel direkt über der Sprunglatte liegen würde, obwohl die Sprunglatte gerissen wird.

2

L3

Lösungsvorschlag: 6 Körperberechnungen

6.1 Bodenfläche: 10 m 10 m 10 m 15,03 m⋅ + ⋅ =250,33 m² (Schräge: Pythagoras: 1² 15²+ = 226 =15,03 m) Seitenflächen:

15 m 1 m

10 m 1 m 2 (1 m 25 m) 10 m 2 m 2 ( ) 95 m² 2

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

Gesamtfläche: A = 250,33 m² + 95 m² = 345,33 m²

4

L2 K2 K4 K5

6.2 Fliesen pro m²: 25 Stück

345,33 m² 25⋅ =8.633,25 Fliesen Es werden 8.634 Fliesen verwendet.

2

L3 K2 K4

6.3 3

3 3

1 m 15 m

V 0,8 m 10 m 25 m 10 m 275m

2

V 275 m 275.000 dm 275.000 Liter

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= = =

3

L3 K2 K4

6.4 1

tan 3,81

α =15 ⇒ α = ° 2

L2 K2 K4

6.5 Für die Kantenlänge a der Pyramide gilt:

a² = 40² + 40²

a = 3200 = 56,57 cm Für das Gesamtvolumen gilt:

2 ges

ges

V = 2 1 3200 40 3

V = 85.333,33 cm³

⋅ ⋅ ⋅

4

L3 K2 K4 K5

6.6 ² ₂

s

2 2

s s

s

h² a h

2

56,57

h 40² h 2400 = 48,99 cm

2

M = 8 1 a h 11.085,13 cm² = 1,11 m² 2

+    =

 

= +  ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅ =

5

L2 K2 K4 K5

Summe 20

Lösungsvorschlag: 7 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion und Gleichungen

Pkt.

7.1 ⁿ

n 2

f : y x : P(0,5 | 4)

4 0,5 n= lg4 n 2 ; f : y x lg0,5

−

=

= ⇒ ⇒ = − =

2

L4 K2 K5

7.2 ₁₆¹ ₁₆^{1 2}

2 1

16

y in f : x

16 x x 16 x 4 oder x 4 T(4 | )

= = −

= ⇒ = ± ⇒ = = − ⇒

2

L4 K2 K5

7.3 B und C 2

L4 K1

7.4 x -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

y=0,8^x 2,44 1,95 1,56 1,25 1,00 0,80 0,64 0,51 0,41

3

L1 K4 K5

7.5 x lg1,75

y 1,75 in h : 1,75 0,8 x x 2,51 Q( 2,51| 1,75) lg0,8

= = ⇒ = ⇒ ≈ − ⇒ − 2

L4 K2 K5

7.6 f⁻¹: x=0,8^y ⇒ y =log x_0,8 2

L4 K2 K5

7.7 X + 1 > 0 und 200x + 200 > 0 ⇒ x > –1 und x > –1 ⇒ D(x) = { x | x > –1 }R

2lg(x + 1) = lg(200x + 200) – 2 lg[(x + 1)²·100] = lg(200x + 200)

7

L1 K2 K5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1 2 3

x y

O

Lösungsvorschlag: 8 Aufgabenstellung ohne Themenbezug

8.1.1 3 3 3 3 3 3

1 1 2 1

4 4 4

V 3 r 4 (2cm) 32cm ; V r (3 cm) 36 cm

3 3 3

= ⋅ π ⋅ = π ⋅ = π ⋅ = π ⋅ = π ⋅ = π ⋅ Die Riesenkugel besitzt mehr Volumen.

2

L2 K2 K6

8.1.2 1,50Euro 100 %

Preis vor drei Jahren : 1,05 Euro

⇒

A 2

L1 K2 K6

8.2.1 4

L4 K4

8.2.2 2

1

y 1(x + 2) 2

= 4 + ; ₂ 1 ²

y (x + 4) 6

= −12 + 2

L3 K4

8.3.1 Der Kraftstoffverbrauch beträgt 100 Liter. 2

L5 K4 K6

8.3.2 8.00 bis 10.00 Uhr: V1 = 27 l 12.00 bis 14.00 Uhr: V2 = 20 l

Gründe: Gegenwind, Stau, Zuladung…….

4

L5 K4 K6

8.3.3 Der Tank wird wieder aufgefüllt. 1

L5 K4 K6

8.4 ^{2 2 4 2}

2

A 3,4 10 mm 1,9 10 mm 6,46 10 mm oder A 0,034mm 0,019mm 0,000646mm

− − −

≈ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅

≈ ⋅ ≈

3

L5 K2 K4

Summe 20

Literaturverzeichnis

[1] Blum u. a.: Bildungsstandards Mathematik: konkret. Cornelsen Verlag, Berlin 2006

[2] KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Bildungsabschluss. Luchterhand Verlag, 2004