Forms and Estimation Methods of Panel Recursive Dynamic Systems

Munich Personal RePEc Archive

Forms and Estimation Methods of Panel Recursive Dynamic Systems

Ghassan, Hassan B.

Sidi Mohammed Ben Abdullah University

10 March 2000

Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/56432/

MPRA Paper No. 56432, posted 18 Nov 2014 00:29 UTC

Formes et m´ethodes d’estimation des syst`emes r´ecursifs dynamiques `a double indice

Hassan GHASSAN Avril 2002

R´esum´e

L’article traite des m´ethodes d’estimation des mod`eles r´ecursifs dynamiques au cas o`u l’obser- vation porte sur des individus statistiques, chacun ´etant d´efinie par un syst`eme d’´equations de type r´ecursif dynamique. A la dimension temporelle, pr´esente dans l’´etude classique de ces syst`emes, la dimension transversale est ajout´ee pour obtenir des “mod`eles r´ecursifs dynamiques `a double in- dice”. Le traitement des formes de ces mod`eles conduit `a regrouper les variables par individu puis par ´equation [BG94]. Ce regroupement a permis d’assimiler le mod`ele au syst`eme d’´equations ap- paremment non-li´ees SUR, avec la particularit´e que la variance relative aux individus^✁ et ^✂ pour l’´equation ^✄ n’est pas n´ecessairement nulle. L’estimation est r´ealis´ee par les m´ethodes du maxi- mum de vraisemblance et les SUR-GLS non itr et it´er´e avec transformation de Taylor. Ces derniers donnent des estimateurs convergents^☎ plus viables. L’application de ces m´ethodes fait l’objet d’un autre article sur un panel sectoriel de l’´economie marocaine durant les trois derni`eres d´ecennies.

Mots cl´es :Causalit´e, syst`eme r´ecursif, estimation, asymptotique.

Abstract

The purpose of this paper is to study the model belongs to the family of structural equation models with data varying both accross individuals (sectors) and in time. A complete theoretical analysis is developed in this work for the case of a dynamic recursive structure. Maximum like- lihood estimation and SUR-GLS “Seemingly Unrelated Regressions-Generalized Least Square”

estimators (iterated or not, with proper instruments and with Taylor’s transformation) are carefully used. These last convergents estimators are most efficients. The application of these methods to panel sector of morocco’s economy is treated in another paper.

Key words :Causality, recursive system, estimation, asymptotic.

✆✞✝✠✟☛✡✌☞✎✍✑✏✒✏✒✍✌✓✔✟✖✕✗✏✒✏✒✘✏✒✙✒✚✞✛✜✙✣✢✚✥✤✚✧✦✖✚✜★✌✓✞✤✙✞✩✍✫✪✔✍✑✏✫✬✞★✑✘✍✌✛✞★✑✍✑✏✗✭✞✓✔✟☛✘✪✔✘✮✔✓✞✍✑✏✰✯

✩

✱

★✑✡✞✛✞✡✜✲✧✘✮✔✓✞✍✑✏✗✍✑✙✳✬✞✡✞★✑✘✚✜✤✍✑✏✳✪✔✍✫✦✗✢✍✑✏✰✴✶✵✷✍✑✤✹✸✹✺☛✻✞✼✌✻✜✴✽✜✽✜✾✒✿✞✼✑❀✞❁✜✻✜✻

✱✹❂

✲✧✚✜✘✤✹✚✜✪✔✪❃✟☛✍✑✏✒✏✳✸

❄ ❅✞❄

✚✜✏✒✏✒✚✞✛✔❆✳❇✜✚

❄

✡✞✡✞✴☞❈✟

✼

La convergence en probabilit´e des estimateurs purs est ´etablie de mani`ere originale par des lemmes, qui ne figurent pas dans ce papier.

1 Introduction

Le but de l’article est de traiter des m´ethodes d’estimation des mod`eles r´ecursifs dynamiques au cas o`u l’observation porte sur des individus statistiques, chacun ´etant d´efinie par un syst`eme d’´equations de type r´ecursif dynamique. A la dimension temporelle, pr´esente dans l’´etude clas- sique de tels syst`emes, la dimension transversale est ajout´ee pour obtenir les “mod`eles r´ecursifs dynamiques `a double indice”.

Dans ce papier, il est d´emontr´e que la fonction log-vraisemblance du syst`eme complet est la somme de <sup>❉</sup> log-vraisemblances ind´ependantes une pour chaque ´equation. L’avantage de cette d´ecomposition est que le maximum de la fonction de vraisemblance peut se faire s´epar´ement pour chaque ´equation, mais simultan´ement pour les <sup>❊</sup> individus. Ce r´esultat important permet de d´evelopper les m´ethodes d’estimation appropri´ees pour un syst`eme de^❊ individus en pr´esence de variables retard´ees et d’un processus vectoriel autor´egressif d’ordre 1 des erreurs.

Comparativement `a Hatanaka [Hat76] et `a Fuller et Alii [FHW80], l’estimation r´ealisable des param`etres du mod`ele complet est faite de mani`ere simple `a partir du d´eveloppement de Taylor au- tour de cœfficients de corr´elation des erreurs obtenus par la m´ethode des variables instrumentales.

2 Le mod`ele individuel

La formalisation propos´ee g´en´eralise l’´etude des syst`emes r´ecursifs dynamiques au cas o`u l’ob- servation porte sur un ensemble de ^❊ unit´es statistiques. Un syst`eme r´ecursif dynamique `a ^❉

´equations est d´efini pour chaque individu, qui est observ´e sur^❋ p´eriodes. Le mod`ele est ´ecrit sous sa forme individuelle (^{●✫❍✒■} ), puis sous forme globale (^{●✫❍❈●} ).

2.1 La forme de base du mod`ele

Au niveau de l’individu ^{✁❑❏✌✁▼▲} ■✗◆✹❍✹❍✹❍✖◆✶❊P❖ pour la p´eriode d’observation ^{◗ ❏ ◗ ▲} ■✗◆✹❍✹❍✹❍✖◆✔❋❑❖ , la forme structurelle du mod`ele est d´efinie par le syst`eme `a^❉ ´equations suivant :

❘✧❙✰❚❈❯✫❙

❱✰❲

☎❨❳

❩❬❙✰❚❈❯✫❙

❱

❳❪❭

❙✑❚☛❫✣❙

❱

❳❪❴

❙❱

▲❛❵

(1) o`u :

❜ ❯ ❙❱ est le vecteur ^{❉❞❝❡■} des observations concernant les ^❉ variables endog`enes (le syst`eme

´etant alors par d´efinition complet)

❜ ❫ ❙❱ est le vecteur^{❢❡❝❪■} des observations concernant les^❢ variables exog`enes

❜ ❩ ❙❚

est la matrice ^{❉❣❝❤❉} des coefficients des variables endog`enes, suppos´ee non singuli`ere

❜ ❘ ❙❚

est la matrice ^{❉✐❝❪❉} des coefficients des variables endog`enes retard´ees, suppos´ee non singuli`ere. Les ´el´ements de la diagonale principale sont not´es^{❥ ❙❦}

❜ ❭ ❙❚

est la matrice ^{❉❣❝❧❢} des cœfficients des variables exog`enes

❜ ❴ ❙❱ est le vecteur^{❉♠❝❪■} d’erreurs.

2.1.1 Les hypoth`eses

Le mod`ele <sup>■</sup> est muni d’un corps d’hypoth`eses : (i1) H^■✹♥ : Hypoth`ese de comportements

❩ ❙

, ^{❘ ❙} et

❭ ❙

sont des matrices de constantes (inconnues), variant d’individu `a individu. On admet par cons´equent que chaque individu est caract´eris´e par un comportement qui lui est propre (mais qui reste invariant dans le temps).

(i2) H^■✖♦ : Hypoth`ese de restrictions

Pour des raisons de commodit ´e, on supposera ´egalement que les restrictions th´eoriques a- priori d’exclusion (les ´el´ements nuls a-priori de

❩ ❙

,

❘ ❙

et

❭ ❙

) sont les mˆemes pour tous les individus.

(ii) H^● : R´ecursivit´e

Les matrices non-singuli`eres

❩

❙✰❚

et

❘

❙✒❚

sont triangulaire inf´erieure^♣ . (iii) H^q : Variables exog`enes

Les variables exog`enes sont fixes, non stochastiques, ind´ependantes des erreurs et telles que : (a) ^r

❱

❫✣❙

❱

❫✣❙

❱❚

est une matrice de rang complet ^❢

(b) ✈✧✇②①^s✰t✰✉

■

❋ r ❱

❫✣❙

❱

▲④③❫✣❙

,fini

(c) ✈✧✇②①^s✰t✰✉

■

❋ r ❱

❫✣❙

❱

❫✣❙

❱❚ ▲❛⑤ ❙

, d´efinie positive (iv) H^⑥ : Hypoth`eses des erreurs

Les erreurs poss`edent des moments finis au moins jusqu’`a l’ordre deux. En particulier, en d´esignant par

❴ ❙⑦ ❱

◆✶✄

▲

■✗◆✹❍✹❍✹❍✖◆✶❉ , l’´el´ement typique du vecteur

❴ ❙❱, on postule que (a) l’effet des perturbations est nul en moyenne :

⑧ ❏❴ ❙⑦ ❱ ❖

▲⑨❵ ⑩❨✁

◆✶✄✥◆❃◗

(b) la structure des variances-covariances est telle que :

⑧ ❏❴ ❙⑦ ❱ ❴

❶❷❈❸

❖

▲❺❹❼❻

❙❶

⑦ si^{✄ ▲⑨❽} et^{◗ ▲❛❾}

❵

sinon^❿

La nullit´e de la covariance pour deux ´equations diff´erentes ^{❏ ✄➁➀▲➂❽ ❖} d´efinit (conjointement `a H<sup>●</sup> ) la r´ecursivit´e du syst`eme. La covariance contemporaine ^❻

❙❶

⑦ entre l’erreur de l’individu^✁ et celle de l’individu^✂ pour l’´equation ^✄ n’est pas n´ecessairement nulle. Cette possibilit´e donne au mod`ele sa premi`ere sp´ecificit´e et exprime les liaisons al´eatoires entre les individus.

✻

Leurs ´el´ements au-dessus de la diagonale principale sont tous nuls et ceux de la diagonale principale de^{➃✠➄✒➅} sont tous ´egaux `a^❲

☎

(du fait de la normalisation).

De l’hypoth`ese H^⑥ , on tire les deux formulations suivantes :

⑧ ❏❴ ❙❱ ❖

▲⑨❵

et

⑧ ❏❴ ❙❱❴ ❶❸ ❖ ▲ ➆➇➇➇

➈➇➇➇➉

diag^{❏ ❻ ❙❈❙}

☎

◆✹❍✹❍✹❍✖◆

❻

❙❈❙

➊ ❖

▲❛➋ ❙❈❙

si^{✁➌▲ ✂} et^{◗ ▲❛❾} diag^{❏ ❻}

❙❶

☎

◆✹❍✹❍✹❍✖◆

❻ ❙❶

➊ ❖

▲❛➋ ❙❶

si^{✁ ▲➀ ✂} et^{◗ ▲❛❾}

❵

sinon

La seconde sp´ecificit´e du mod`ele est que le processus des erreurs al´eatoires

❴ ⑦ ❱

d’ordre^{❊♠❝❪■}

est un processus vectoriel auto-r´egressif “VAR(1)”^➍ :

❴ ⑦ ❱

▲❛➎

⑦ ❴ ⑦

❱✰❲

☎

❳❡➏

⑦ ❱

o`u^➎

⑦

▲➐❏✜➑

❙❶ ❖

⑩❨✁

◆✞✂

▲

■✗◆✶●✫◆✹❍✹❍✹❍✠◆✶❊ (2)

2.2 Forme de base d’une ´equation

La ^✄ -`eme ´equation pour l’individu<sup>✁</sup> (la<sup>✄</sup> -`eme ligne du mod`ele (1)) s’´ecrit :

❏

❘✧❙⑦

❖ ❚❯✫❙

❱✰❲

☎ ❳ ❏

❩❬❙⑦

❖ ❚❯✫❙

❱ ❳ ❏ ❭

❙⑦

❖ ❚❫✣❙

❱

❳❪❴

❙⑦ ❱

▲⑨❵ (3)

o`u ^❏

❘ ❙⑦ ❖ ❚

, ^❏

❩

❙⑦

❖ ❚

et ^❏

❭

❙⑦

❖ ❚

sont respectivement la^✄ -`eme ligne de^❏

❘ ❙❖ ❚

, ^❏

❩ ❙ ❖ ❚

et ^❏

❭ ❙ ❖ ❚

.

En raison de la triangularit´e de^{❏ ❩ ❙❖ ❚} et de^{❏ ❘ ❙❖ ❚}, de la normalisation (le^✄ -`eme coefficient de^{❏ ❩ ❙⑦ ❖}

´etant ´egal `a <sup>➒➓■</sup> ) et en tenant compte d’´eventuelles autres restrictions nulles sur certains param`etres, l’´equation (2) prend la forme suivante :

❯✫❙

⑦ ❱ ▲ ❥ ❙

⑦❃⑦

❯✫❙

⑦

❱✰❲

☎➔❳

❏

❘✧❙☛→

⑦ ❖ ❚❯

❙☛→

⑦

❱✰❲

☎ ❳ ❏

❩❬❙☛→

⑦ ❖ ❚❯

❙☛→

⑦

❱ ❳ ❏ ❭

❙☛→

⑦ ❖ ❚❫

❙☛→

⑦

❱

❳❪❴

❙⑦ ❱ (4)

o`u

❜ ❯

❙☛→

⑦

❱ est le vecteur des variables endog`enes explicatives dans cette ´equation (les variables endog`enes^{❯ ➣❙ ❱} d’indice^{↔P↕⑨✄} ne figurent pas dans le vecteur^❯

❙☛→

⑦

❱ )

❜ ❯

❙☛→

⑦

❱✰❲

☎

est le vecteur des variables endog`enes retard´ees explicatives dans cette ´equation (les variables endog`enes^{❯ ➣❙❱✰❲}

☎

d’indice^{↔P↕⑨✄} ne figurent pas dans le vecteur^❯

❙☛→

⑦

❱✰❲

☎

)

❜ ❫

❙☛→

⑦

❱ est le vecteur des variables exog`enes figurant dans l’´equation (si toutes les variables exog`enes interviennent dans l’´equation, alors ^❫

❙☛→

⑦

❱ est ´egal `a ^{❫ ❙❱}). ^{❯ ❙☛→}

⑦

est l’ensemble des variables endog`enes explicatives dans la <sup>✄</sup> -`eme ´equation, il sera not´e par ^❯ * pour all´eger^❙ l’´ecriture.

❜ ❏ ❘

❙☛→

⑦ ❖ ❚

, ^❏

❩

❙☛→

⑦ ❖ ❚

et ^❏

❭

❙☛→

⑦ ❖ ❚

sont les parties correspondantes de ^❏

❘ ❙⑦ ❖ ❚

, ^❏

❩

❙⑦

❖ ❚

et ^❏

❭

❙⑦

❖ ❚

. Le nombre total de variables explicatives de la ^✄ -`eme ´equation est d´esign´e par ^❾

⑦

avec ^❾

⑦

inf´erieur ou ´egale `a ^❢

❳

●✗✄➙➒➐■ . ^{➛ ❙⑦} est un vecteur colonne de param`etres d’ordre ^❾

⑦

ou encore

❉➝➜

❳

❢➟➞ avec ^{❏ ❉➝➜②➠❼✄✣❖} .

❀

Pour un scalaire, on ´ecrit➡✷➄➢✞➤✠➥➓➦➙➧➨✌➩✠➫✹➭

➄➨ ➡ ➨

➢✞➤✒➯

➫✳➲➵➳

➄➢✞➤ o`u^{➳➄➢✞➤} est un bruit blanc pour^{❙ ➥}

☎✜➸✑♣✔➸✌➺✑➺✌➺✌➸✑➻

. Ce processus est stationnaire si les racines du polynome de^➼➽

➧

❲➵➾✫➚

➼✜➥➶➪ sont plus grandes que

☎

en module.

Il est commode de r´eunir toutes les variables explicatives dans un seul vecteur ainsi que les param`etres correspondants. En posant :

➹

❙☛→

⑦

❱

▲✐➘➴

➴➴➴➴➷ ❯

❙☛→

⑦

❱✰❲

☎

❯

❙☛→

⑦

❱

❫

❙☛→

⑦

❱

➬➱➮

➮➮➮➮

✃ ❏ ➛

❙⑦

❖ ❚ ▲➐❐✒❏ ❘ ❙☛→

⑦ ❖ ❚ ❏ ❩ ❙☛→

⑦ ❖ ❚ ❏ ❭

❙☛→

⑦ ❖

❚❈❒

il vient alors :

❯✫❙⑦

❱ ▲ ❥

❙⑦❃⑦ ❯✫❙⑦

❱✰❲

☎➔❳

❏ ➛ ❙⑦ ❖ ❚➹

❙☛→

⑦

❱

❳❪❴

❙⑦ ❱ ▲ ❥

❙⑦❃⑦ ❯✫❙⑦

❱✰❲

☎❨❳

❏ ➹

❙☛→

⑦

❱ ❖ ❚ ❏ ➛

❙⑦

❖

❳❪❴

❙⑦ ❱ (5)

on utilisera l’´ecriture suivante au niveau des m´ethodes d’estimation :

❮ ❙⑦ ▲ ➘➷ ❥

❙⑦❃⑦

➛

❙⑦

➬✃ ❰

❙⑦

❱

▲➐❐

❰ ❙⑦

❱✰❲

☎ ❏ ➹

❙☛→

⑦

❱ ❖ ❚❒

Par la r´ecursivit´e du syst`eme individuel de base<sup>Ï</sup> , l’ind´ependance des erreurs d’une ´equation `a l’autre fait que les erreurs

❴ ❙⑦

ne sont pas corr´el´ees avec^❯

❙☛→

⑦

❱ ni avec^❯

❙☛→

⑦

❱✰❲

☎

, car :

⑧ ❏ ❴ ❙⑦ ❱

❯✫❙

❷

❱✰❲

☎ ❖

▲⑨❵

pour^{✄❤➀▲⑨❽} pour tout^{✁ ◆❃◗}

Ainsi, la matrice^➹

❙☛→

⑦

❱ est constitu´ee de variables pr´ed´etermin´ees. En revanche, la variable^{❯ ❙⑦ ❱✰❲}

☎est corr´el´ee avec l’erreur al´eatoire

❴ ❙⑦ ❱.

3 Forme compacte pour la p´eriode

^Ð

3.1 Regroupement des observations

Le regroupement des observations pour la p´eriode^◗ peut s’op´erer de deux mani`eres diff´erentes, chacune pr´esente un avantage particulier. Le regroupement des individus consiste `a empiler le mod`ele de base pour les ^❊ individus. On obtient :

❩ ❚❯ ❱ ❳ ❘ ❚❯

❱✰❲

☎

❳❪❭

❚❫ ❱

❳❪❴

❱

▲❛❵

(6)

✽

En consid´erant le mod`ele pour toutes les observations, on obtient :

Ñ ➄➢

➥ÓÒ

➄➢✞➢

Ñ

➄➢✞Ô

➲②Õ

➄☛Ö

➢✔×

➄➢ ➲ ➡ ➄➢ avec^{Õ ➄☛Ö}

➢

➥➓Ø

Ñ

➄☛Ö

➢

Ô Ñ

➄☛Ö

➢➁Ù

➄☛Ö

➢✶Ú

La corr´elation entre la variable endog`ene retard´ee explicative et les erreurs^➡✷➄➢ s’´ecrit par :

Û

Ø❈➡

➄➢ ➅Ñ

➄➢✞Ô Ú✧Ü

➥❑➪ pour tout

⑦ ➸ ❙

alors que les erreurs^➡✷➄➢ ne sont pas corr´el´ees avec^{Ñ ➄Ý} . Ces caract´eristiques font que la m´ethode des moindres carr´ees ordinaires donne des estimateurs non convergents.

o`u ^❚ et ^❚ sont triangulaire inf´erieure et diagonale par bloc, d’ordre^{❊P❉Þ❝ß❊P❉} , seulement la ma- trice ^{❘ ❚} ne contient pas forc´ement des ´el´ements unitaires sur la diagonale principale, qui est not´ee

❥ ❦

.

❭ ❚

est d’ordre ^{❊P❉✐❝❪❊P❢} , et^{❯ ❱ ◆ ❯ ❱✰❲}

☎ ◆ ❴ ❱

et ^{❫ ❱} sont des vecteurs respectivement de dimension

❊P❉ et^❊P❢ . Pour le vecteur de perturbations

❴ ❱

, `a partir de H^⑥ nous d´eduisons :

⑧ ❏ ❴ ❱❖

▲⑨❵

◆ et

⑧ ❏❴ ❱❴ ❚❸ ❖

▲❺❹

❐❈➋

❙❶ ❒❬à

▲❛áâ▲❛➎➶á②➎

❚ ❳ ➦ si^{◗ ▲❛❾}

❵

sinon

avec ^➎ une matrice bloc-diagonale. La matrice ^á n’est pas diagonale, mais bloc-diagonale. Ses propri´et´es ne sont pas faciles `a d´eduire. Mais, l’´equation (^ã ) permet d’extraire imm´ediatement la fonction de vraisemblance du vecteur^❯ en partant de la fonction de densit´e de

➏ ❱

, en raison de la triangularit ´e de

❩ ❚

et de

❘ ❚

.

Le regroupement des ´equations s’op`ere `a partir de la ^✄ -`eme ´equation pour l’individu<sup>✁</sup> (<sup>⑥</sup> ). Pour l’ensemble des <sup>❉</sup> ´equations on arrive au mod`ele suivant pour l’observation^◗ :

ä

❯ ❱

▲åä

❯

❱✰❲

☎ ❥ ❳ ➹ ❱ ➛ ❳ ä

❴ ❱

(7) Pour l’observation^◗, l’´equation (^æ ) poss`ede les propri´et´es suivantes par l’hypoth`ese H^⑥ :

⑧ ❏ ❴ ⑦ ❱ ❖

▲⑨❵

◆ et

⑧ ❏ ❴ ⑦ ❱❴ ❷❱❚❖

▲❺❹

❐❻ ❙❶

⑦

❒❬à

▲④çá

⑦

si^{✄ ▲⑨❽}

❵

sinon

(8) la matrice des variances-covariances du vecteur ^ç

❴ ❱

est une matrice diagonale par bloc :

⑧ ❏ ç

❴ ❱ ç

❴ ❚❱ ❖ ▲

diag^❏✷çá

☎

◆✹❍✹❍✹❍✖◆

çá

➊ ❖ à

▲④çáâ▲♠ç➎èçáPç➎ ❚

❳êé

r (9)

la matrice ^➎ç est diagonale par bloc.

En admettant l’absence de restrictions lin´eaires sur les ´el´ements^ç

❴ ❱, la matrice ^çá doit ˆetre d´efinie positive. Cette propri´et´e est satisfaite d`es lors que chaque bloc ^çá

⑦

est une matrice d´efinie positive.

Le d´eterminant et l’inverse de ^çá se d´eduisent et sont donn´es par :

❜➁ë çá

ë ▲ ➊

ì

⑦ ➥ ☎ ëçá ⑦ ë

et ^çá

❲ ☎ ▲

diag^❏✷çá

❲ ☎

☎

◆✹❍✹❍✹❍✖◆

çá

❲ ☎

➊ ❖

3.2 Matrice de passage de

^í➟î

`a

^í➟îç

Les vecteurs

❴ ❱

et ^ç

❴ ❱

contiennent les mˆemes ´el´ements au nombre total de ^❊P❉ . Il est possible de les ordonner tous dans une matrice^{❉♠❝❧❊} . A cet effet, nous posons :

ï ❱

▲➐❐

❴ ☎

❱

◆✹❍✹❍✹❍✖◆

❴ ➻❱ ❒ ▲ ➘➴➴➴➴➷ ❴ ❚☎❱

...

❴ ❚➊ ❱

➬➱➮

➮➮➮

✃

Dans cette matrice, les ^❊ colonnes sont les vecteurs

❴ ❱ de l’´equation (^■ ), pour ■✗◆✹❍✹❍✹❍✖◆✶❊ . En revanche, les^❉ lignes repr´esentent les vecteurs ^❏

❴ ⑦ ❱ ❖ ❚

de l’´equation (^ã ), avec ^{✄ ▲} ■✗◆✹❍✹❍✹❍✖◆✶❉ . Par les propri´et´es de l’op´eration vec (qui empile les colonnes d’une matrice) [Bal76] [Tur00] :

❴ ❱ ▲

vec ^{ï ❱} et ^ç

❴ ❱ ▲

vec^{ï ❱❚} vec ^{ï ❱❚ ▲➁ð}

➻❬➸

➊ vec^{ï ❱} o`u^ð

➻❬➸

➊ est la matrice unitaire permut´ee, on obtient :

ç

❴ ❱

▲❛ð

➻❬➸

➊ ❴ ❱

et ^ç

➏ ❱

▲❛ð

➻❬➸

➊ ➏ ❱

(10) La matrice orthogonale ^ð

➻❬➸

➊ est donc la matrice de passage de

❴ ❱

`a ^ç

❴ ❱

. Elle permet de passer indiff´eremment, par une transformation lin´eaire non-singuli`ere, de la formulation (<sup>ã</sup> ) `a la formula- tion (^æ ) et surtout de d´eriver les propri´et´es de la matrice ^á de celles de^áç .

En pr´e-multipliant l’´equation (^ã ) par ^{➒ ð}

➻❬➸

➊ , il vient :

➒ ð

➻❬➸

➊ ❏ ❩ ❚❯ ❱ ❳ ❘ ❚❯

❱✰❲

☎

❳❪❭

❚❫ ❱ ❖

▲❛ð

➻❬➸

➊ ❴ ❱ ▲ ç

❴ ❱

En comparant avec (^æ ), on a la relation suivante :

ç

❯ ❱ ➒ ç

❯

❱✰❲

☎

❥P➒

➹ ❱ ➛ ▲ ➒ ð

➻❬➸

➊ ❏❩ ❚❯ ❱ ❳ ❘ ❚❯

❱✰❲

☎

❳❪❭

❚❫ ❱ ❖ (11)

L’´equivalence ci-dessus sera exploit´ee pour d´eriver la fonction de vraisemblance du mod´ele.

En partant de (^{■ ❵} ), on a :

çáâ▲❛ð

➻❬➸

➊

á②ð

➊ ➸➻

et

ér

▲❛ð

➻❬➸

➊ r ð ➊ ➸➻

(12) par les propri´et´es de la matrice unitaire permut´ee^ñ, on d´eduit imm´ediatement :

áâ▲❛ð

➊ ➸➻

çáÓð

➻❬➸

➊

par cons´equent :

ëá ë ▲ ëð ➊ ➸➻

çá②ð

➻❬➸

➊ ë ▲ ë

çá

ë✰ë

ð ➊ ➸➻ ð

➻❬➸

➊ ë ▲ ë

çá

ë

d’o`u :

ëá ë ▲ ➊

ì

⑦ ➥ ☎ ë

çá

⑦ ë

et ^{ë r ë ▲}

➊

ì

⑦ ➥ ☎ ëér ⑦ ë

(13)

á ❲ ☎

▲❛ð

➊ ➸➻

çá

❲ ☎ ð

➻❬➸

➊ et^r

❲ ☎

▲❛ð

➊ ➸➻ ér ❲ ☎ ð

➻❬➸

➊ (14)

ou encore en utilisant la matrice de passage ^ð et `a partir de la relation (^ò ), on a :

áâ▲❛ð

➊ ➸➻

çá②ð

➻❬➸

➊ ▲ ð ➊ ➸➻ ç➎ çá❑ó➎

❚ð

➻❬➸

➊ ❳ ð ➊ ➸➻ ó➦ ð

➻❬➸

➊

▲ ð ➊ ➸➻ ç➎➶ð

➻❬➸

➊

á②ð

➊ ➸➻ ó➎ ❚ð

➻❬➸

➊ ❳ ➦

▲❛➎➶á②➎

❚ ❳ ➦

✿❃ô

➅

➧✫õö ➥ ô

ö✣õ➧ ➥ ô ➯ ➫

➧✫õö

.

4 Factorisation de la vraisemblance

Soit

➏ ❱ un processus gaussien [IG84], la fonction de densit´e des erreurs est :

÷ ❏ ➏ ❱❖

▲➐❏

●✠ø➔❖

❲

➧✣ö

ù ë r ë❲ ➫ù

exp^{➒ ■}

● ➏ ❚❱ ❲ ☎

r ➏ ❱

La fonction de densit´e de^{❯ ❱} est obtenue de celle de

➏ ❱

par changement des variables :

÷ ❏❯ ❱ ❖

▲➐❏

●✠ø➔❖

❲

➧✣ö

ù ë r ë❲ ➫ù ë✰ë❨ú

➏

ú ❯ ❱ ❚

ë✰ë exp ^{➒ ■}

● ➏ ❱ ❚ ❲ ☎

r ➏ ❱

et la fonction de vraisemblance logarithmique, `a une constante additive pr`es, est la suivante^û :

ü ❏❯ ❱ ë❩ ◆ ❘ ◆ ❭ ◆ ➎ ◆ r ❖ ▲ ➒ ■●

ln ^{ë r ë}

❳

ln ^{ë❩ ❚}

❳ ❘ ❚ ë ➒ ■

● ➏ ❱❚ ❲ ☎

r ❏❩ ❚❯ ❱ ❳ ❘ ❚❯

❱✰❲

☎

❳❧❭

❚❫ ❱ ❳ ➎ ❴

❱✰❲

☎ ❖ (15)

`a l’aide de (^■✗■ ), (^■✹q ) et (^■✹⑥ ), on obtient successivement :

➏ ❱❚ ➦ ❲ ☎ ➏ ❱ ▲ ➏ ❱❚ð ❚

➻❬➸

➊ ó➦ ❲ ☎ ð

➻❬➸

➊ ➏ ❱

▲➐❏

ç

❯ ❱ ➒ ç

❯

❱✰❲

☎

❥❤➒

➹ ❱

➛➶➒

ç

➎ ç

❴

❱✰❲

☎ ❖ ❚ó➦ ❲ ☎ ❏ ç

❯ ❱ ➒ ç

❯

❱✰❲

☎

❥❤➒

➹ ❱

➛➓➒

ç

➎ ç

❴

❱✰❲

☎ ❖

▲

tr^ó➦

❲ ☎ ❏ ç

❯ ❱ ➒ ç

❯

❱✰❲

☎

❥❤➒

➹ ❱

➛➶➒

ç

➎ ç

❴

❱✰❲

☎ ❖ ❏ ç

❯ ❱ ➒ ç

❯

❱✰❲

☎

❥❤➒

➹ ❱

➛➶➒

ç

➎ ç

❴

❱✰❲

☎ ❖ ❚

▲

tr diag^❐ó➦

❲ ☎

⑦ ➏ ⑦ ❱ ➏ ⑦ ❱❚❒

▲

tr diag^❏

➏ ☎ ❱ó➦ ❲ ☎

☎❧➏

⑦ ❱❚

◆✹❍✹❍✹❍✖◆

➏ ⑦ ❱ó➦ ❲ ☎

⑦ ➏ ⑦ ❱❚❖

▲ ➦ ⑦ ➏ ⑦ ❱ ó➦ ❲ ☎

⑦ ➏ ⑦ ❱❚

on a aussi :

■●

ln ^{ë r ë ▲}

➊

r

⑦ ➥ ☎ ■

●

ln^ë

ér ⑦ ë

comme les matrice^❩ et ^❘ sont triangulaires, on obtient :

ë❩ ❚ ❳ ❘ ❚ ë ▲ ë

diag^{❏ ❩ ☎ ❚}

❳ ❘ ☎ ❚

◆✹❍✹❍✹❍✖◆

❩ ➻ ❚ ❳ ❘ ➻ ❚❖ ë ▲ ë

diag ^{❐✒❏✞ý ⑦ ❏ ■}

❳ ❘ ☎

⑦❃⑦

❖✷◆✹❍✹❍✹❍✖◆

ý ⑦ ❏ ■ ❳ ❘ ➻

⑦❃⑦

❖ ❒ ë

d’o`u :

ln ^{ë❩ ❚}

❳ ❘ ❚ ë ▲

ln

ì ❙ ì⑦ ❏ ■ ❳

❘✧❙⑦❃⑦

❖ ▲ r ⑦ ln

ì ❙ ❏ ■ ❳

❘✧❙⑦❃⑦

❖

L’introduction de ces r´esultats dans (^■✖æ ) donne :

ü ❏ ❯ ❱❖ ▲ ➊

r

⑦ ➥ ☎ ❐➒ ■

●

ln ^ë

ér ⑦ ë ❳

ln

ì ❙ ❏ ■ ❳

❘✧❙⑦❃⑦

❖➌➒

■● ➏ ⑦ ❱❚ér ❲ ☎

⑦ ➏ ⑦ ❱❒

þ

Le jacobien de transformation de^{➳ ➤} `a^{Ñ ➤} est ^ÿ

➳

ÿ Ñ ➤➅ ➥ ❲ ➃ ➅

❲✁

➅.

ce qui revient `a ´ecrire :

ü ❏ ❯ ❱ ë❩ ◆ ❘ ◆ ❭ ◆ ➎ ◆ r ❖ ▲ ➊

r

⑦ ➥ ☎ ✂ ❏☎✄✝✆✟✞

ë➛ ✆

◆❃❥

✆

◆✡✠

✆ ◆ ér ✆ ❖ ▲ ➊

r

⑦ ➥ ☎ ✂ ❏☎✄✝✆✟✞

ë❮ ✆ ◆ ç

☛ ✆ ❖ ☞ (16)

La log-vraisemblance globale est donc la somme de ^❉ log-vraisemblances ind´ependantes, une pour chaque ´equation. L’avantage de cette d´ecomposition est que la maximisation de la fonction de vraisemblance peut se faire s´epar´ement pour chaque ´equation, mais simultan´ement pour les ^❊ individus.

5 Forme compacte pour l’´equation

^✌

5.1 Regroupement des individus

En empilant les ^❊ individus, le mod`ele (^æ ) devient :

❯ ⑦ ▲ ❯ ⑦ ➾ ❥

⑦❃⑦

❳ ➹ ⑦ ➛ ⑦

❳ê❴

⑦

(17) en posant

❴ ⑦ ▲ ➘➴➴➷ ❴ ☎

⑦

...

❴ ➻⑦

➬➱➮

➮

✃ ❥

⑦❃⑦

▲ ➘➴➴➷

❥➟☎

⑦❃⑦

...

❥ ➻

⑦❃⑦

➬➱➮

➮

✃ ➛ ⑦ ▲ ➘➴➴➷

➛✫☎

⑦

...

➛ ➻⑦

➬➱➮

➮

✃

et

❯ ⑦ ➾ ▲ ➘➴➴➴➷ ❯ ☎

⑦ ➾

. ..

❯ ➻

⑦ ➾

➬➱➮

➮➮

✃ ➹ ⑦ ▲ ➘➴➴➴➷ ➹ ☎ → ⑦

. . .

➹ ➻ → ⑦

➬➱➮

➮➮

✃

o`u

❴ ⑦

est un vecteur al´eatoire d’ordre^{❊ß❋➁❝❪■} avec :

⑧ ❏❴ ⑦ ❖

▲⑨❵ et ^{⑧ ❏}

❴ ⑦ ❴ ⑦ ❚❖

▲❛á

⑦✁✍✏✎

✈

Ce mod`ele ne correspond pas exactement `a un syst`eme d’´equations apparemment non-li´ees de type de Zellner [Mae80]. Le vecteur d’erreurs

❴ ⑦

ne poss`ede pas la structure classique d’un tel mod`ele.

En plus, de la pr´esence de variables endog`enes parmi les variables explicatives surtout retard´ees, qui sont corr´el´ees avec les erreurs

❴ ⑦

.

5.2 Structure des erreurs et matrice de transformation

Du fait que

❴ ⑦

est un processus vectoriel auto-r´egressif d’ordre ^■ , la matrice^á

⑦

des variances- covariances compl`ete de

❴ ⑦

est d’une forme compliqu´ee [JGR^➲ 85]. En supposant que

❴ ⑦ ❱

est

stationnaire^✑ , nous ´ecrivons ce qui suit :

✒ ⑦ ➪

▲❛➎

⑦ ✒ ⑦ ➪ ➎ ❚⑦ ❳ ➦ ⑦

o`u ^✒

⑦ ➪ à▲ ⑧ ❏ ❴ ⑦ ❱❴ ⑦ ❱ ❚❖ et^{➦ ⑦}

à▲ ⑧ ❏ ➏ ⑦ ❱ ➏ ⑦ ❱❚❖

▲➐❏

❻ ❙❶

➳⑦ ❖

✒ ⑦ ❸

▲❛➎

❸⑦ ✒ ⑦ ➪ o`u^✒

⑦ ❸ à▲ ⑧ ❏ ❴ ⑦ ❱❴ ⑦ ➸

❱✰❲

❸ ❚❖ ■✔✓

❾

✓⑨◗❬➒❼■ ◗ ▲

■✗◆✶●✫◆✹❍✹❍✹❍✠◆✔❋

dont la r´esolution en terme des ´el´ements de ^✒

⑦ ➪ donne :

✕✗✖✝✘

❏ ✒ ⑦ ➪ ❖

▲➐❏

✎ ➒ ➎

⑦✙✍

➎ ⑦ ❖ ❲ ☎

✕✗✖✝✘

r ⑦

A l’aide d’une matrice de transformation^ð carr´ee d’ordre^❊ß❋ tel que^ð

❴ ⑦ ▲ ➏ ⑦

, nous n’aurons pas besoin de la sp´ecifier explicitement pour estimer les param`etres du mod`ele. La matrice ^ð est choisie de fac¸on `a satisfaire la condition suivante :

ð➓á

➡ ➢ ð ❚ ▲ r ⑦

✍✏✎

✈

En utilisant une matrice ^➎

⑦

non diagonale, chaque variable transform´ee par la matrice ^ð sera exprim´ee en fonction de l’ensemble des variables du mod`ele, ce qui consomme beaucoup de degr´e de libert´e. Aussi, le choix de ^ð d´epend de la structure de la matrice ^➎

⑦

. En consid´erant

➎ ⑦

diagonale^✚ , il en r´esulte que :

❴ ❙⑦ ❱ ▲ ➑ ❙❈❙⑦ ❴ ❙⑦

❱✰❲

☎➌❳â➏

❙⑦ ❱ avec ^{⑧ ❏}

❴ ❙⑦ ❱ ➏ ❙⑦ ❱ ❖

▲➐❵

et^{⑧ ❏}

❴ ❙⑦ ❱❴ ❶⑦ ❱ ❖

▲➐❵

pour

✁ ➀

▲ ✂ , qui montre que^{❯ ❙⑦ ❱✰❲}

☎

est corr´el´ee avec l’´el´ement

❴ ❙⑦ ❱.

A partir du mod`ele (^■✖ò ) :

❯ ⑦ ▲ ❯ ⑦ ➾ ❥ ⑦ ❳ ➹ ⑦ ➛ ⑦

❳❪❴

⑦

➹ ⑦

▲✜✛✗✁

♥✣✢

❏ ❯ ⑦ ➜ ➾ ❯ ⑦ ➜ ❫ ⑦ ❖

❴ ⑦

▲➐❏✞➎

❚⑦

✍✏✎

✈ ❖ ❴ ⑦ ➾

❳❡➏

⑦

avec

⑧ ❏ ➏ ⑦ ➏ ❚⑦ ❖ ▲ r ⑦

✍✏✎

✈ ⑧ ❏ ❴ ⑦ ❴ ❚⑦ ❖

▲❛á

⑦✁✍✏✎

✈ ⑧ ❏❴ ⑦ ❖ ▲ ⑧ ❏ ➏ ⑦ ❖

▲❛❵

et ^{⑧ ❏}

❴ ⑦ ➏ ❚⑦ ❖

▲⑨❵

l’application des moindres carr´ees ordinaires donne des estimateurs non convergents, car : plim^{❰ ⑦❚}

❴ ⑦ ➀

▲⑨❵

o`u ^❰

⑦

▲➐❏ ❯ ⑦ ➾ ➹ ⑦ ❖ (18)

Deux probl`emes majeurs sont pos´es : celui de la corr´elation entre ^{❯ ❙⑦ ❱✰❲}

☎

et

❴ ❙⑦ ❱ et ensuite le fait que les matrices^➎

⑦

et^{➦ ⑦} soient inconnues [Spe79]. Ils sont li´es et trait´es en mˆeme temps.

✤

Si la matrice^{✥ ➢} est g´en´er´e par^{Ø✦✥ ➄}

➨

➢ Ú

, celle-ci n’est pas n´ecessairement sym´etrique `a moins que^{❙ ➥ ❶} . Les ´el´ements de la diagonale de la matrice^{✥ ➄}

➨

➢ sont identiques `a l’´el´ement^Ø❙

➸❶ Ú

de la matrice^{✧ ➢✟★}. La matrice^{✧ ➢ ➫} fournit les ´el´ements adjacents `a la diagonale dans chaque matrice

✥ ➄➨

➢ en respectant l’ordre des indices^Ø❙

➸❶ Ú

. La matrice^{✧ ➢ ù} donne les ´el´ements de la deuxi`eme position par rapport `a la diagonale de chaque matrice

✥ ➄➨

➢ , et ainsi de suite.

✩

Avec une matrice^{➾ ➢} non-diagonale^{Ñ ➄➢✞➤✒➯ ➫} est corr´el´ee avec^{➡✝✪➢✞➤} i.e. toutes les erreurs individuelles du mod`ele.