Multiapertur-Rebunchers f¨ ur das FRANZ-Projekt

Institut f¨ ur Angewandte Physik - Universit¨ at Frankfurt

Entwicklung eines

Multiapertur-Rebunchers f¨ ur das FRANZ-Projekt

DanielNoll

Betreuer: PD Dr. H. Podlech Prof. Dr. U. Ratzinger

31. August 2009

Inhaltsverzeichnis

1 FRANZ - Die Frankfurter Neutronenquelle am Stern-Gerlach

Zentrum 1

1.1 Motivation . . . 1

1.2 Aufbau . . . 2

2 Hochfrequenzresonatoren 5 2.1 Wellengleichung . . . 5

2.2 Der Pillbox-Resonator . . . 6

2.3 λ/4-Resonatoren . . . 9

2.4 Wichtige Resonatorparameter . . . 10

2.4.1 Beschleunigungsspannung . . . 10

2.4.2 Gespeicherte Energie und Verlustleistung . . . 11

2.4.3 G¨ute . . . 12

2.4.4 Shuntimpedanz . . . 12

3 Untersuchte Rebuncher-Konzepte 15 3.1 Anforderungen an den geplanten Rebuncher . . . 15

3.2 Der 87,5 MHz-Rebuncher . . . 16

3.2.1 Funktionsprinzip . . . 16

3.2.2 Strukturen ohne Ortsversatz . . . 17

Aus Pillbox entwickelte Kavit¨at . . . 17

λ/4-Resonator . . . 20

Vergleich . . . 23

3.2.3 Struktur mit Ortsversatz . . . 24

3.2.4 Multipolkomponenten . . . 26

3.2.5 Auswirkung der Querfelder auf die Strahldynamik . . 30

3.3 Der Rebuncher mit alternierender Phase . . . 33

3.3.1 Konzept . . . 33

3.3.2 Absch¨atzungen ohne Raumladung . . . 35

4 Zusammenfassung und Ausblick 41

Anhang a i) Multipolkomponenten der zweiten Spalte . . . a ii) Transportmatrizen der 4-Spalt-F0D0/D0F0-Rebuncher . . . b

Literaturverzeichnis d

Danksagung f

FRANZ - Die Frankfurter Neutronenquelle am Stern-Gerlach Zentrum

1.1 Motivation

FRANZ, die Frankfurter Neutronenquelle am Stern-Gerlach Zentrum, ist eine auf die Messung von Neutroneneinfangswirkungsquerschnitten im keV- Bereich ausgelegte Anlage, die in den n¨achsten Jahren in Frankfurt aufge- baut werden soll. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf der Erzeugung von hohen Neutronenintensit¨aten bei kurzen Pulsen.

Die Hauptanwendung der Wirkungsquerschnitte liegt in der Erforschung der Nukleosynthese im Universum. Schwerere Elemente als Eisen k¨onnen aufgrund der Abnahme der Bindungsenergie pro Nukleon nicht durch Fu- sion von leichteren Kernen, sondern lediglich ¨uber Einfang von Protonen (p-Prozess) oder Neutronen (s- und r-Prozess) entstehen. W¨ahrend die r- und p-Prozesse haupts¨achlich in Supernovae ablaufen, findet der s-Prozess in Umgebungen mit niedrigen Neutronendichten statt. In diesem Fall liegen die Einfangszeiten wesentlich ¨uber der β⁻-Zerfallszeit. Der s-Prozess arbei- tet sich also entlang des Tales der Stabilit¨at von Eisen zu schwereren Kernen, begrenzt durch die Instabilit¨at von²¹⁰P ogegen¨uber Alphazerfall. Die Isoto- penh¨aufigkeit der so entstandenen Elemente ist invers proportional zu den Einfangswirkungsquerschnitten. Da das Neutronenspektrum in Sternen ei- ner Maxwell-Boltzmann-Statistik mit k_bT ≈ 8. . .30 keV folgt, sind diese besonders im keV-Bereich interessant. Gerade f¨ur mittelschwere oder insta- bile Elemente sind die Wirkungsquerschnitte jedoch teilweise gar nicht oder nur ungen¨ugend genau bekannt [1]. Mit diesen Informationen ließe sich bei- spielsweise Genaueres ¨uber die Verh¨altnisse in Sternen und die Umgebung, in denen der s-Prozess stattfindet, erfahren.

Interessant sind die Wirkungsquerschnitte weiterhin im Bereich der Ma- terialforschung. So sind sowohl in einigen neueren Reaktorkonzepten, als auch in geplanten Accelerator Driven Systems, Materialien eingeplant, de- ren Einfangsquerschnitte unbekannt sind [2]. Aufgrund der hohen erreichba-

Abbildung 1.1: Schematischer Aufbau der Neutronenquelle FRANZ ren Neutronenflussdichten (geplant sind bis zu 10⁸/cm²s integriert ¨uber das gesamte Spektrum) ließen sich außerdem Detektoren auf ihre Best¨andigkeit gegen nicht-ionisierende Strahlung untersuchen.

Nach dessen Fertigstellung wird FRANZ die Neutronenquelle mit der weltweit h¨ochsten Intensit¨at im keV-Bereich sein. Die hohe Wiederholra- te, die einen Dauerstrichbetrieb der Hochfrequenz f¨ur die Beschleuniger n¨otig macht, sowie der hohe Strom stellen hohe Anforderungen. Somit dient FRANZ auch als Teststand f¨ur die Beschleunigerphysik, da viele der einge- setzten Komponenten speziell f¨ur das Projekt entwickelt werden m¨ussen.

1.2 Aufbau

Um die Neutronen zu erzeugen wird die (p,n)-Reaktion p+⁷₃Li→⁷₄Be+n−1,646MeV

verwendet, es werden also Neutronen durch St¨oße mit Protonen aus Lithium- Kernen herausgeschlagen. Die f¨ur die Reaktion ben¨otigte Energie muss durch Beschleunigung der Protonen zur Verf¨ugung gestellt werden. Dies geschieht durch den in Abbildung (1.1) dargestellten Aufbau, welcher in zwei verschie- denen Modi betrieben werden kann.

Im Aktivierungsmodus wird der Protonenstrahl im Dauerstrichbetrieb auf ein Lithium-Target geschossen, an dem Neutronen enstehen. Diese k¨on- nen f¨ur Experimente verwendet werden, bei denen es haupts¨achlich auf einen kontinuierlichen Neutronenfluss ankommt, wie beispielsweise f¨ur Akti- vierungsexperimente. Der zweite, f¨ur diese Arbeit wesentlich interessantere Kompressormodus ist f¨ur die hochfrequente Erzeugung von intensiven und kurzen Neutronenpulsen ausgelegt. Die folgende Beschreibung des Aufbaus gilt im Wesentlichen f¨ur den besagten Kompressormodus.

Abbildung 1.2: Zeitliche Abfolge der Bunche nach dem Beschleuniger

Zu Anfang des Aufbaus wird ein Protonenstrahl mit 150-200 mA durch eine Ionenquelle des Volumentyps [3, 4] bei einer Energie von 120 keV zur Verf¨ugung gestellt. In der darauffolgenden LEBT-Sektion (low-energybeam transport) wird der Strahl f¨ur die Injektion in den Beschleuniger vorbereitet und erh¨alt eine erste Zeitstruktur. Daf¨ur kommt ein als Wien-Filter (Sys- tem mit ¨uberlagertem elektrischen und magnetischen Feld, [5]) realisierter Chopper zum Einsatz, der den Strahl mit einer Frequenz von 250 kHz in 50-100 ns lange Pulse zerteilt.

Darauf folgt ein mit 175 MHz betriebener Beschleuniger, bestehend aus einem RFQ (RadioFrequenzQuadrupol, [6]) und einer IH-Struktur (Inter- digitale H-Mode, [7]). Der RFQ beschleunigt den Strahl von 120 auf 700 keV und pr¨agt ihm zus¨atzlich eine Mikrostruktur mit einer Periodenl¨ange von 5,7 ns, entsprechend seiner Resonanzfrequenz, auf. Die IH-Struktur be- schleunigt den Strahl anschließend auf ungef¨ahr 2 MeV. Weiterhin wird der Strahl mittels eines Quadrupoltripletts transversal und in einem Rebuncher, einer CH-Struktur [8] mit 5 Spalten, longitudinal fokussiert und kann darin zus¨atzlich noch um 0,2 MeV beschleunigt oder abgebremst werden.

Abbildung (1.2) zeigt die Zeitstruktur des Strahls nach dem Beschleu- niger. Dieser ist in Makrobunche, erzeugt durch den Chopper, aufgeteilt, welche wiederum im Kern aus 9 Mikrobunchen bestehen.

Auf den Beschleuniger folgt ein Bunchkompressor, der dem Konzept von R.C. Mobley nachempfunden ist [9]. Hierbei werden die neun Mikrobunche eines Makrobunches mittels eines Resonators mit Ablenkplatten (Kicker) auf unterschiedlich lange Trajektorien in einem magnetischen Ablenksystem gelenkt, der erste Mikrobunch auf den l¨angsten, der letzte Mikrobunch auf den k¨urzesten Weg. Dadurch k¨onnen die urspr¨unglich sp¨ateren Teilchen- pakete die vorderen einholen, so dass diese alle gleichzeitig am ⁷Li-Target [10] ankommen. Auf diesem Weg wird der Strahl von der urspr¨unglichen Ausdehnung von ungef¨ahr 46 ns auf unter eine Nanosekunde komprimiert.

W¨ahrend Mobley lediglich einen Magnet ben¨otigte, sind f¨ur das derzeiti- ge System vier Dipolmagnete, zwei homogene und zwei mit Feldgradienten,

geplant, um den Anforderungen der hohen Raumladung gerecht zu werden.

Dabei bietet das Magnetsystem bereits mit der schwachen Fokussie- rung und der Kantenfokussierung genug M¨oglichkeiten um die Stabilit¨at des Strahls in transversaler Richtung zu gew¨ahrleisten. Longitudinal ist der Strahl jedoch weitgehend unbeeinflusst, was dazu f¨uhrt, dass dieser aufgrund der ungleichen Geschwindigkeit der Teilchen und der Abstoßung der Ionen untereinander auseinanderl¨auft. Um die geplante Pulsl¨ange von einer Nano- sekunde am Target zu erreichen, muss der Strahl in der Mitte des Bunch- kompressors in longitudinaler Richtung fokussiert werden. An dieser Stelle wird also ein Rebuncher, ein Bauelement zur longitudinalen Fokussierung eines Teilchenpaketes, ben¨otigt. Da sich die Mikrobunche durch den Bun- chkompressor jedoch auf 9 unterschiedlichen Bahnen fortbewegen und diese seitlich nur einen geringen Abstand besitzen, muss dieser mehrere Strahl- wege oder Aperturen besitzen. Die Entwicklung eines solchen Bauelements, eines Multiapertur-Rebunchers, ist Thema dieser Arbeit.

Hochfrequenzresonatoren

F¨ur die longitudinale Fokussierung der Teilchenpakete werden hohe elek- trische Felder ben¨otigt, um Teilchen zu beschleunigen beziehungsweise ab- zubremsen. Diese Felder lassen sich mittels verschiedener Resonatortypen aufbauen, beispielsweise mittels Hohlraum- oder Leitungsresonatoren. Aus diesem Grund folgt auf den n¨achsten Seiten eine ¨Ubersicht ¨uber die Theorie und die charakteristischen Parameter solcher Resonatoren.

2.1 Wellengleichung

Hohlraumresonatoren beziehungsweise ihre Felder lassen sich als elektro- magnetisches Ph¨anomen mittels der Maxwellgleichungen beschreiben. Diese lauten im ladungs- und stromfreien Vakuum:

∇ ·E = 0 ∇ ×E = −^∂B_∂t

∇ ·B = 0 ∇ ×B = _c¹2∂E

∂t

Aus diesen ergeben sich zwei Wellengleichungen f¨ur das elektrische

∇²E=−∇ ×(∇ ×E)

=∇ × ∂B

∂t

= ∂

∂t(∇ ×B)

= 1 c²

∂²E

∂t² (2.1)

und analog f¨ur das magnetische Feld

∇²B= 1 c²

∂²B

∂t² (2.2)

Als homogene, lineare Differentialgleichungen lassen sich diese in einen Orts- und einen Zeitanteil aufspalten.

E(r,t) =f(r)e^iωt (2.3)

Mit diesem Ansatz reduziert sich (2.1) zu

∇²E− 1 c²

∂²E

∂t² = ∇²f(r)

e^iωt−i² w² c²

|{z}

k²

f(r)e^iωt

=∇²f(r) +k²f(r) =0 (2.4) Zusammen mit den Randbedingungen

n×E= 0 n·B= 0 (2.5)

l¨asst sich (2.4) l¨osen, wobeinder Normalenvektor auf einer Leiteroberfl¨ache (beispielsweise einer Wand) ist. Die Randbedingungen erzwingen, dass es keine elektrischen Feldkomponenten entlang einer Wand gibt, welche zu ei- nem Stromfluss f¨uhren w¨urden und verbieten eine Normalkomponente im Magnetfeld, was einen Stromfluss im Leiter voraussetzen w¨urde. Dabei l¨asst sich (2.4) nur f¨ur einige einfache Spezialf¨alle analytisch l¨osen, f¨ur kompli- ziertere Geometrien k¨onnen numerische Programme verwendet werden (wie in dieser Arbeit beispielsweise CST Microwave Studio [11]).

2.2 Der Pillbox-Resonator

Der Pillbox-Resonator ist eine der Geometrien, f¨ur die sich (2.4) relativ einfach mittels eines Separationsansatzes l¨osen l¨asst. Es handelt sich dabei lediglich um einen Zylinder mit abgeschlossenen W¨anden. Dementsprechend bieten sich zur L¨osung Zylinderkoordinaten an. Die z-Komponente der Glei- chung (2.4) lautet also

1 r

∂

∂r

r∂f_z

∂r

+ 1 r²

∂²f_z

∂ϕ² +∂²f_z

∂z² +k²fz= 0 (2.6) Der Separationsansatz lautet

fz(r,ϕ,z) =E0·fz,r(r)·fz,ϕ(ϕ)·fz,z(z) (2.7) Setzt man (2.7) in (2.6) ein und teilt durchfz, so erh¨alt man

1 f_z,r(r)

1 r

∂

∂r

r∂f_z,r(r)

∂r

+ 1

f_z,ϕ(ϕ) 1 r²

∂²f_z,ϕ(ϕ)

∂ϕ²

+ 1

f_z,z(z)

∂²fz,z(z)

∂z² +k² = 0 (2.8)

Da der dritte Summand nur von z abh¨angt, die ersten beiden jedoch nicht, mussk²sich in zwei Anteilek_r²undk²_z zerlegen lassen. Damit ergibt sich f¨ur fz,z(z) die Differenzialgleichung eines harmonischen Oszillators

∂²f_z,z(z)

∂z² =−k²_zf_z,z(z)−→f_z,z(z) = cos(k_zz+ϕ₀) (2.9)

Das Minuszeichen in Gleichung (2.9) ist nur eine der m¨oglichen L¨osungen, aber die einzig physikalisch sinnvolle, da die Variante mit einem Plus zu einer gegen Unendlich divergierenden L¨osung f¨uhren w¨urde. Somit erh¨alt man die folgende Differentialgleichung f¨ur die r- und ϕ-Anteile

1 fz,r(r)r

∂

∂r

r∂f_z,r(r)

∂r

+ 1

fz,ϕ(ϕ)

∂²f_z,ϕ(ϕ)

∂ϕ² +k_r²r²= 0 (2.10) mit k² = k²_r +k_z². Da f_z,ϕ jedoch im Winkel symmetrisch sein muss, also fz,ϕ(0) =fz,ϕ(2mπ), gilt Folgendes:

∂²f_z,ϕ(ϕ)

∂ϕ² =−m²f_z,ϕ(ϕ)−→f_z,ϕ(ϕ) = cos(mϕ+ϕ₁) (2.11) Eingesetzt in (2.10) erh¨alt man

r ∂

∂r

r∂fz,r(r)

∂r

+ k_r²r²−m² f_z,r(r)

=r²∂²f_z,r(r)

∂r² +r∂f_z,r(r)

∂r + k²_rr²−m²

f_z,r(r) = 0 (2.12) Dies ist die Besselsche Differentialgleichung, deren L¨osungen die Besselfunk- tionen erster ArtJ_m sind. Die endg¨ultige L¨osung f¨ur das E-Feld ist dement- sprechend

E_z =E₀cos (mϕ) cos pz

Lπ J_m

x_mnr R

e^iωt (2.13) wobei hier bereits die Randbedingungen

Eϕ(z=L) = 0 fz,r(R) =fz,r(0) = 0

eingesetzt sind. Durch die Randbedingungen entfallen auch die Phasen ϕ0

und ϕ₁. Die Konstanten x_mn sind die Nullstellen der Besselfunktionen, die J_mn⁰ die erste Ableitung. Die restlichen Komponenten (aus [12]) ergeben sich analog bzw. durch Einsetzen in die Maxwell-Gleichungen.

E_r =− pπR Lxmn

E₀sin(mϕ) sin pz

Lπ J_m⁰

x_mnr R

e^iωt (2.14)

Eϕ =−pπmR²

Lx²_mnrE0sin(mϕ) sin

pz Lπ

Jm

xmn

r R

e^iωt (2.15)

B_z = 0 (2.16)

B_r =−iω mR²

x²_mnrc²E₀sin(mϕ) cos pz

Lπ J_m

x_mnr R

e^iωt (2.17) Bϕ =−iω R

xmnc²E0cos(mϕ) cos

pz Lπ

J_m⁰

xmn

r R

e^iωt (2.18)

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r/R

J₀(r/R) J₁(r/R)

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r/R

Abbildung 2.1: Besselfunktionen, die die radiale Abh¨angigkeit der Felder in derT M010-Mode bestimmen -Ez(r)∝J0(r) und Bϕ(r)∝ −J₀⁰(r)∝J1(r) Die Schwingungsmode, die durch die Gleichungen (2.13) bis (2.18) beschrie- ben wird, wird auch eine transversal magnetische Mode (TM-Mode) ge- nannt, da sie nur ein transversales und kein longitudinales Magnetfeld be- sitzt. Eine zweite m¨ogliche L¨osung der Wellengleichung f¨ur die Pillbox sind die TE-Moden, die ein transversales elektrisches Feld erzeugen, aber in die- ser Arbeit keine Anwendung finden. Die Zahlenm,nund pcharakterisieren dabei eine Mode eindeutig. Wie man den Gleichungen ansehen kann ent- sprechen sie gerade der Anzahl der Knoten (Nulldurchg¨ange) der Felder in den verschiedenen Raumrichtungen (n→r,m→ϕundp→z). Abbildung (2.1) zeigt den Verlauf der ersten beiden Besselfunktionen J0 und J1, die gestrichelte Linie gibt die erste Nullstelle vonJ0 bei x01≈2,405 an.

Die Resonanzfrequenz und -wellenl¨ange ergeben sich mittels der Bedin- gungk² =k_r²+k_z² mitkz = (pπ)/L, kr =xmn/Rund f = c/λ= (kc)/2π zu

f_r=c r

x_mn 2πR

2

+ 1 4

p L

2

λ_r= r

x_mn 2πR

2

+ 1 4

p L

2!−1

(2.19) Zum Einsatz kommt in dieser Arbeit nur dieT M₀₁₀-Mode. Wegenm= 0 undp= 0 sind sowohl E_r=E_ϕ= 0 als auch B_r = 0, wodurch die Randbe- dingung f¨urEϕwegf¨allt und somit die Resonanzfrequenz nur von R abh¨angt.

fr= cx01

2πR λr= 2πR x01

(2.20)

(a) Elektrisches Feld (b) Magnetisches Feld

Abbildung 2.2:T M010-Mode in der Pillbox Die verbleibenden Feldkomponenten sind

Ez=E0J0

x01

r R

e^iωt (2.21)

Bϕ=− i x₀₁c² ωR

|{z}

cx01

E0J₀⁰

x01

r R

| {z }

−J₁(^x01r R)

e^iωt

=iE0

c J₁ x₀₁r

R

e^iωt (2.22)

Das B-Feld ist aufgrund des Faktors i um 90^◦ gegen¨uber dem elektrischen Feld phasenverschoben, daexp{i^π₂}=i. In Abbildung (2.2a) und (2.2b) sind das elektrische beziehungsweise das magnetische Feld in einer Pillbox gra- fisch dargestellt.

2.3 λ/ 4-Resonatoren

Bei dem Quarter Wave- oder auch λ/4-Resonator handelt es sich nicht um einen Hohlraumresonator, sondern um einen koaxialen Leiter, der an einer Seite kurzgeschlossen und an der anderen Seite offen ist. Ein einfaches Er- satzschaltbild in Form einer Doppelleitung ist in Abbildung (2.3) dargestellt.

Unter Vernachl¨assigung einer m¨oglichen D¨ampfung ist die Stromverteilung auf einer solchen Leitung (nach [13]):

I(z,t) =I₀e^iωt

e^ikz+re^−ikz

Im Fall desλ/4-Resonators ist das Ende der Leitung offen (R→ ∞) und der Reflektionsfaktor r geht gegen 1. Also entspricht die Stromverteilung einer

Abbildung 2.3: λ/4-Resonator stehenden Welle.

I(z,t) =I0e^iωt

e^ikz+e^−ikz

= 2I0e^iωtcos(kz) Uber das offene Ende kann kein Strom fließen, also gilt:¨

I(z=L) = 0−→cos(kL) = 0 =⇒kL= (2p+ 1)π 2

Den Namen erh¨alt dieser Aufbau dadurch, dass die L¨ange des Innenleiters in der niedrigsten Schwingungsmode (p = 0) einem Viertel der Resonanz- wellenl¨ange entspricht.

λ= 2π

k = 4L

2p+ 1 ⇒L= (2p+ 1)λ 4

Allgemein wird die Resonanzfrequenz jedoch niedriger liegen, wenn der Re- sonator am offenen Ende beispielsweise durch Driftr¨ohren kapazitiv belastet ist.

2.4 Wichtige Resonatorparameter

2.4.1 Beschleunigungsspannung

Die Felder im Quarter Wave-Resonator als auch in der Pillbox besitzen eine harmonische Zeitabh¨angigkeit cos(ωrt). F¨ur ein Teilchen, welches beispiels- weise die Mitte des Spaltes zum maximalen Feldpegel erreichen soll, bedeu- tet dies, dass das Feld sich beim Einflug noch im Aufbau befindet und beim

Verlassen des Spaltes bereits wieder abgesunken ist. Insgesamt durchf¨allt ein Teilchen nur eine PotentialdifferenzUef f < U0:

U_{ef f} = Z

Spalt

E_zcos(ωt)dz^t=

z v=_βc^z

= Z

Spalt

E_zcos ωz

βc

dz (2.23)

Das Verh¨altnis zur maximalen Spannung U0=

Z

Spalt

Ezdz

wird auch als Laufzeitfaktor bezeichnet:

T = U_{ef f} U

2.4.2 Gespeicherte Energie und Verlustleistung

In den Feldern, welche im Hohlraumresonator aufgebaut werden, ist Energie gespeichert. Diese berechnet sich zu jedem Zeitpunkt ¨uber

W = µ0

2 Z

V

|H|²dV +0

2 Z

V

|E|²dV (2.24)

Das Vorhandensein eines magnetischen Feldes in einem Leiter weist dar- auf hin, dass Str¨ome auf den W¨anden fließen m¨ussen. Im Falle der Pillbox fließen diese zwischen den beiden Abschlussplatten des Zylinders hin und her. Bei hohen Frequenzen, wie in Beschleunigerresonatoren (im MHz- bis GHz-Bereich) verwendet, fließt der Strom jedoch nicht gleichm¨aßig durch den Leiter, sondern haupts¨achlich an der Oberfl¨ache. Dieser Effekt, auch Skin-Effekt genannt, entsteht dadurch, dass der Stromfluss im Leiter ein Magnetfeld und dieses wiederum ein elektrisches Wirbelfeld induziert. Die- ses Wirbelfeld ist auf der der Leiterachse zugewandten Seite dem ¨außeren Stromfluss entgegengerichtet, was die Verdr¨angung des Stromes an den Lei- terrand bewirkt. F¨ur den Stromfluss in der Tiefe d in einem unendlich tiefen Leiter gilt

I(d) =I_se^−dδ cos d

δ

mit δ= r2ρ

ωµ (2.25)

wobei ρ der spezifische Widerstand des Wandmaterials und µ = µrµ0 die magnetische Permeabilit¨at des Materials ist. Ignoriert man den Verlauf und nimmt an, dass der Strom lediglich in einer Schicht der Dicke δ fließt, so kann man den Oberfl¨achenwiderstand Ro wie folgt definieren, der von der Schichtdicke und der Leitf¨ahigkeit des Leitersσ abh¨angt

Ro= 1 σδ =

rµω

2σ (2.26)

Die gesamte im Resonator dissipierte Leistung ergibt sich damit als das Integral ¨uber die komplette Resonatoroberfl¨ache

P = 1 2R_o

I

S

|H|²dS (2.27)

2.4.3 G¨ute

Die G¨ute ist ein wichtiges Maß f¨ur die Qualit¨at eines Resonators. Sie ist definiert ¨uber den Quotienten der gespeicherten und der pro Schwingungs- periode dissipierten Energie:

Q= 2π W P/fr

= ω_rW

P (2.28)

Damit ist die G¨ute ebenso ein Maß daf¨ur, wie schnell die gespeicherte Energie nach Ausschalten der Hochfrequenz absinkt, also wie stark die Schwingung im Resonator ged¨ampft wird.

dW

dt =−P =−ωr

QW

⇒W(t) =W0exp

−ωr

Qt

Je h¨oher also die G¨ute im Vergleich zur Resonanzfrequenz, umso l¨anger dauert es, bis die elektromagnetischen Felder im Resonator abgebaut sind.

2.4.4 Shuntimpedanz

Als Impedanz bezeichnet man in der Elektrotechnik das Verh¨altnis der kom- plexen Spannung und des komplexen Stroms:

Ze^iφ= ˜Z = U˜

I˜

Diese Gr¨oße ist allgemein komplex und enth¨alt neben dem Widerstand den Phasenversatzφzwischen Spannung und Strom. Ein purer Wirkwiderstand hat lediglich einen reellen Anteil, w¨ahrend die Impedanzen von Kapazit¨at und Induktivit¨at rein imagin¨ar sind. Bei einer Induktivit¨at l¨auft aufgrund der Selbstinduktion die Spannung dem Strom um 90^◦ der Hochfrequenzpe- riode voraus. ˜Z_L ist dementsprechend

Z˜_L=exp iπ

2

ωL=iωL

Ein Kondensator muss zuerst aufgeladen werden, bevor die volle Spannung anliegt. Somit l¨auft der Strom der Spannung umπ/2 vorraus

Z˜_C =exp

−iπ 2

1

ωC = 1 iωC

C L R _p

Abbildung 2.4: Parallelschwingkreis

Damit ergibt sich f¨ur einen Parallelschwingkreis die Impedanz 1

Z =iωC+ 1 iωL+ 1

R_p →Z = 1 iωC+_iωL¹ +_R¹

p

= 1

1

iωL(1−ω²LC) +_R¹

p

Im Resonanzfallω_r= 1/√

LC reduziert sich die Impedanz auf den Parallel- widerstand.

Einem Hohlraumresonator oder auch jedem anderen Hochfrequenzreso- nator kann ein Parallelschwingkreis wie in Abbildung (2.4) zugeordnet wer- den. Im f¨ur die Beschleunigerphysik interessanten Resonanzfall entspricht der Parallelwiderstand dieses Schwingkreises der ShuntimpedanzRsdes Re- sonators. Diese ist eine wichtige Kenngr¨oße, da sie angibt, wie gut ein Re- sonator in der Lage ist die eingebrachte Leistung in Spannung umzusetzen.

Verwendet man zur Berechnung die effektive BeschleunigungsspannungUef f

(2.23), so erh¨alt man die effektive Shunt-Impedanz R_{ef f}. Kennt man diese und die Spannung, die f¨ur die Beschleunigung ben¨otigt wird, so l¨asst sich die dann entstehende Verlustleistung sofort ¨uber das Ohmsche Gesetz be- rechnen.

P =U I = U_{ef f}²

R_{ef f} (2.29)

Untersuchte Rebuncher-Konzepte

3.1 Anforderungen an den geplanten Rebuncher

Aus vorangegangenen strahldynamischen Untersuchungen des Bunchkom- pressors ergab sich eine Rebuncherspannung von ungef¨ahr 150 kV [14].

Vorl¨aufig wurde angenommen, dass alle neun Trajektorien einen Abstand von 5 cm zueinander besitzen.

Wie bereits in der Einleitung erw¨ahnt, erreichen die Teilchenpakete den Kicker vor dem Bunchkompressor mit einem durch den Beschleuniger be- stimmten zeitlichen Abstand.

∆t= 1

f = 1

175 MHz = 5,71ns ∆s=βλ175=v∆t= 11,36cm W¨ahrend des Durchfluges verringert sich dieser Zeitversatz. Der geplante Rebuncher soll sich auf der Symmetrieachse des Bunchkompressors zwischen den inneren beiden Dipolmagneten befinden (siehe Abbildung (3.1)). Dort hat sich dieser Abstand bereits auf die H¨alfte reduziert und betr¨agt nur noch

∆t= 2,86ns ˆ= 1

350 MHz (3.1)

Dementsprechend m¨usste ein Rebuncher an dieser Position mit 350 MHz arbeiten, damit alle Teilchen die Kavit¨at zur gleichen Hochfrequenzphase erreichen.

Andererseits besitzt der Strahl in der Mitte des Bunchkompressors eine longitudinale Ausdehnung gr¨oßer als 180^◦ bei einer Frequenz von 175 MHz.

Selbst bei einer Rebuncherfrequenz von 175 MHz w¨are dies bereits proble- matisch, da Teilchen mit einer Phasenabweichung φ gr¨oßer als 90^◦ weniger Beschleunigung erfahren als ihre Vorg¨anger. ¨Ahnliches gilt f¨ur φ < −90^◦, allerdings werden hier zu schnelle Teilchen zu wenig abgebremst. Dement- sprechend kommt es zu erheblichen Aberrationen des Strahls. Bei einer Re- buncherfrequenz von 350 MHz w¨are dieser Effekt noch sehr viel st¨arker ausgepr¨agt, es k¨ame zum Verlust großer Teile des Bunches.

Abbildung 3.1: Die Position des Rebunchers im Bunchkompressor Durch den nichtlinearen Anteil des Sinus entstehen also Aberationen in der φ-∆E-Phasenraumprojektion. Um diese zu vermeiden ist es folg- lich w¨unschenswert, die Frequenz des Rebunchers so niedrig wie m¨oglich zu w¨ahlen und somit den l¨angeren linearen Teil des Sinus zu nutzen. Allerdings m¨ussen dann spezielle Vorkehrungen getroffen werden, damit eine effektive Fokussierung zustande kommt. Hierf¨ur wurden zwei Konzepte untersucht.

3.2 Der 87,5 MHz-Rebuncher

3.2.1 Funktionsprinzip

Nach Formel (3.1) erreichen die Teilchen auf den unterschiedlichen Strahlwe- gen die Symmetrieachse des Bunchkompressors zu unterschiedlichen Zeiten, die Teilchenpakete besitzen also longitudinal jeweils einen Abstand ∆s

∆s= βλ175

2 = βλ87,5

4 ≈5,69cm

Verschiebt man die Spalte des Rebunchers entsprechend der Abst¨ande der Bunche um jeweils ∆srelativ zueinander, so erreichen alle Bunche den Spalt zur gleichen Zeit. Da es aber im Allgemeinen ausreicht, dass die Teilchen die Rebuncherspannung zum gleichen Zeitpunkt der Hochfrequenzperiode durchlaufen, gen¨ugt es bereits nur Gruppen von vier Spalten zueinander zu versetzen. So erreicht beispielsweise der f¨unfte Bunch den Rebuncher erst eine Hochfrequenzperiode nach den ersten vier, sieht aber aufgrund des Versatzes des f¨unften Beschleunigungsspaltes um ³₄βλ87,5 das richtige Feld.

Dies ist in Abbildung (3.2) angedeutet.

Abbildung 3.2: Eine versetzte Anordnung der Driftr¨ohren im Rebuncher ist n¨otig, damit alle Teilchenpakete die Beschleunigungsspalte zur gew¨unschten Hochfrequenzphaseϕ=−90^◦ durchfliegen.

3.2.2 Strukturen ohne Ortsversatz

F¨ur einen Rebuncher mit Ortsversatz bieten sich zwei verschiedene Reso- nator-Geometrien an: zum einen eine modifizierte Pillbox mit einem Spalt und zum anderen einλ/4-Resonator mit zwei Spalten. Um deren Leistungs- verbrauch und m¨ogliche grunds¨atzliche Vor- und Nachteile abzusch¨atzen, wurden beide Resonatoren zuerst ohne Versatz der Spalte untersucht.

Aus Pillbox entwickelte Kavit¨at

Die in Abbildung (3.3a) dargestellte Pillbox-¨ahnliche Struktur ist vom Prin- zip her einer Zyklotronkavit¨at nachempfunden, wie sie beispielsweise am PSI eingesetzt wird [15]. Das elektrische und magnetische Feld in der T M₀₁₀- Mode, zu sehen in Abbildung (3.4a) und (3.4b), sind den Feldern in der Pillbox sehr ¨ahnlich. Das longitudinale elektrische Feld wechselt pro Schwin- gungsperiode zweimal seine Richtung, es fließt also ein Strom zwischen den beiden W¨anden hin und her.

Die Ausbeulungen der Struktur oben und unten sollen bewirken, dass dieser Strom einen l¨angeren Weg zwischen den beiden Resonatorw¨anden zur¨ucklegen muss. Dies erzwingt dann im Gegenzug eine niedrigere Reso- nanzfrequenz. Allerdings entsteht erst dann ein nennenswerter Effekt, wenn die Wegstrecke in der Mitte ¨uber die rechte oder linke Seitenwand in der gleichen Gr¨oßenordnung liegt wie der Weg ¨uber die Ausbeulung. Dass dies bei den abgebildeten Rechnungen nicht der Fall ist, zeigt sich im magneti- schen Feld dadurch, dass die Feldst¨arke an den linken und rechten R¨andern sehr viel h¨oher ist als oben und unten. Ebenso haben die Gr¨oßen der Aus- beulungen zunehmend weniger Auswirkung auf die Frequenz, wie man in Abbildung (3.3b) sehen kann, in der das Verhalten f¨ur vier unterschiedli- che Box-Breiten L^mitte_x dargestellt ist. Die Breite der Ausbeulungen ist hier

(a) Aufbau der Struktur

100 110 120 130 140 150 160 170 180

50 60 70 80 90 100 110

Frequenz [MHz]

Lz [cm]

80 cm 100 cm 120 cm 140 cm

(b) Abh¨angigkeit der Resonanzfrequenz der in (a) dargestellten Zyklotronkavit¨at von den Ausdehnun- gen der Ausbeulungen am oberen und unteren Ende f¨ur vier unterschiedliche BoxbreitenL^mitte_x

Abbildung 3.3

(a) Elektrisches Feld (b) Magnetisches Feld

Abbildung 3.4

angegeben ¨uber die komplette L¨angeLz der Struktur in z-Richtung.

Die Zielfrequenz von 87,5 MHz ergibt sich bei einer L¨ange in Strahl- richtung von 80 cm erst bei einer Breite von ¨uber 2 m, was unn¨otig viel ist.

Die Einbuchtungen w¨urden es erm¨oglichen die Driftstrecke zwischen den beiden mittleren Dipolen klein zu halten, da diese in der Mitte Platz f¨ur die Magnete ¨ubrig ließen.

Um ein besseres Verhalten zu erzeugen, wurden die Seiten der Struktur ebenso mit einer Ausbeulung am Rand ausgestattet. Diese verl¨angern den Stromweg ¨uber die Seiten. Dabei wurde der Rand als erste Absch¨atzung so eingestellt, dass die Wege ¨uber die Seiten und ¨uber den Boden bezie- hungsweise Decke vom Mittelpunkt der Seitenfl¨achen aus die gleiche L¨ange

Abbildung 3.5: Pillbox¨ahnlicher Resonator mit Rand besitzen, also:

LSeite =LOben=⇒L^oben_y = 1 2

L^oben_x −L^mitte_y

Dadurch schrumpfen die Gesamtdimensionen auf immer noch sehr große 1,5m×1,5m×75cm. Am magnetischen Feld in Abbildung (3.6b) kann man erkennen, dass im Vergleich zur Struktur ohne Rand ein gr¨oßerer Anteil des Stromes den Weg ¨uber Boden und Deckel nimmt. Diese Ver¨anderung zeigt sich wie beabsichtigt in der Abh¨angigkeit der Frequenz von der Dimension der R¨ander, dargestellt im Graph (3.7a). Die Frequenz stellt sich nun nicht mehr bei zunehmend hohen Ausbeulungen auf einen konstanten Wert ein, sondern f¨allt weiter ab.

Als n¨achster Schritt wurde das elektrische Feld in den einzelnen Spal- ten optimiert. Dies ist n¨otig, da das longitudinale elektrische Feld in der nicht durch Driftr¨ohren belasteten Struktur ebenso wie bei der Pillbox ra- dial schw¨acher wird. Bei gleichen Spaltl¨angen w¨urde dies bedeuten, dass auf den ¨außeren der neun Trajektorien weniger Spannung zum Rebunchen bereitstehen w¨urde, was sich ung¨unstig auf die Strahldynamik auswirken w¨urde. Die einfachste M¨oglichkeit eine einheitliche Spannungsverteilung zu erreichen ist, die L¨angen der Spalte anzupassen. Dies ist m¨oglich, da bei- spielsweise das Verk¨urzen eines Gaps eine ¨uberproportionale Erh¨ohung des

(a) Elektrisches Feld (b) Magnetisches Feld

Abbildung 3.6

elektrischen Feldes zwischen den Driftr¨ohren bewirkt und somit eine h¨ohere Spannung ¨uber den Spalt abf¨allt.

Das Ergebnis dieser Optimierung sieht man in Abbildung (3.7b). Dar- gestellt ist jeweils die Abweichung der Spannung auf den unterschiedlichen Strahlwegen im Verh¨altnis zum h¨ochsten auftretenden Wert, einmal f¨ur eine konstante Spaltl¨ange von 4 cm und einmal f¨ur die optimierte Struktur. Da- bei wurde das Optimierungstool von Microwave Studio verwendet, um die Standardabweichungσ_U der Spannungsverteilung zu minimieren:

U_g =

Lg

Z

z=−Lg

E_zdz U = v u u t 1 9

9

X

g=1

U_g² σ_U = v u u t 1 8

9

X

g=1

U_g−U2

Dabei lassen sich Abweichungen vom Maximalwert kleiner als 2% erreichen.

λ/4-Resonator

Als zweite m¨ogliche Geometrie wurde ein λ/4-Resonator wie in Abschnitt 2.3 untersucht. Das simulierte Modell ist in Abbildung (3.8a) dargestellt.

Die Driftr¨ohren sind am Ende des Innenleiters angebracht, also am Ort des h¨ochsten elektrischen Feldes (Abbildung (3.9a)). Das Magnetfeld, darge- stellt in Abbildung (3.9b), verl¨auft, wie von einem Koaxialleiter zu erwarten, kreisf¨ormig um den Innenleiter.

Die Abst¨ande der Spaltmitten sind nach der Wider¨oe-Bedingung gew¨ahlt ([16], S. 40). Da die Felder in den beiden Spalten immer entgegengesetzt gerichtet sind und diese sich in einer halben HochfrequenzperiodeTHF um- kehren, muss ein Bunch die Strecke zwischen den beiden Spalten in dieser Zeit zur¨ucklegen. Dadurch ergibt sich eine Bedingung f¨ur die Abst¨ande der

70 80 90 100 110 120 130

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Frequenz [MHz]

Ausdehnung der Ausbeulungen − L_y^oben [cm]

Ausdehnung der Ausbeulungen − L_x^ausbeulung [cm]

(a) Abh¨angigkeit der Resonanzfrequenz der berandeten pillbox¨ahnlichen Struktur, abh¨angig vom Rand

94 96 98 100 102

1 2 3 4 5 6 7 8 9

U/Umax [%]

Driftröhre

Abweichung der Spannung bei optimierten Spaltlängen Abweichung der Spannung bei konstanten Spaltlänge (4 cm)

(b) Optimierung der Spannungsverteilung - Abweichung der Spannung vom Maxi- malwert im Vergleich zur dazu ben¨otigten Spaltl¨ange

Abbildung 3.7 Spaltmitten.

t= T_HF

2 =⇒d=vT_HF 2 = βc

2f = βλ

2 ≈11.4cm

Die L¨ange eines ungest¨orten Quarter Wave Resonators bei einer Reso- nanzfrequenz von 87,5 MHz betr¨agt in etwa

L= c

4f = c

4·87,5MHz ≈85,7cm

Abbildung (3.8b) stellt die Abh¨angigkeit der Frequenz von der L¨ange des Stems f¨ur zwei verschiedene Boxh¨ohen und Spaltl¨angen zwischen 2 und 6 cm dar. F¨ur kleine L¨angen des Innenleiters ergibt sich kein Unterschied zwischen den Frequenzen f¨ur unterschiedliche Tankh¨ohen. Wird der Innenleiter jedoch l¨anger, so sinkt die Frequenz im Fall des kleineren Tanks schneller. Dies liegt daran, dass hier die Driftr¨ohren dem Tankdeckel zunehmend n¨aher kommen und somit die Gesamtkapazit¨at zunimmt.

Weiterhin kann man erkennen, dass die Kapazit¨at durch die Driftr¨ohren eine wesentliche Auswirkung auf die Resonanzfrequenz hat. Insgesamt ist der Innenleiter mit Driftr¨ohren mit 64 cm etwa 20 cm k¨urzer als er in einem unbelasteten ^λ₄-Resonator w¨are.

Ebenfalls interessant ist das Verhalten von Spannung und Frequenz bei Ver¨anderung der L¨ange des Resonators in Strahlrichtung, dargestellt in Ab- bildung (3.10a). Zum einen sinkt die Frequenz mit zunehmender L¨ange. Dies wird durch die Erh¨ohung der Induktivit¨at, beziehungsweise der Strecke den der Strom zwischen den Driftr¨ohren fließen muss, erzeugt. Dem entgegen wirkend, nimmt jedoch auch die Kapazit¨at des Teils des Innenleiters ohne Driftr¨ohren ab. Dadurch sammelt sich mehr Ladung auf den Driftr¨ohren,

(a) Quarter Wave Resonator als Rebuncher

80 100 120 140 160 180

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Frequenz [MHz]

Länge des Stems [cm]

2 cm Gap − 90cm Tankhöhe 4 cm Gap − 90cm Tankhöhe 6 cm Gap − 90cm Tankhöhe 2 cm Gap − 70cm Tankhöhe 4 cm Gap − 70cm Tankhöhe 6 cm Gap − 70cm Tankhöhe

(b) Resonanzfrequenz des ^λ₄-Resonators f¨ur unterschied- liche Spaltl¨angen und Tankh¨ohen

Abbildung 3.8

(a) Elektrisches Feld (b) Magnetisches Feld

Abbildung 3.9

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102

20 25 30 35 40 45 50 370

380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480

Resonanzfrequenz [MHz] Ueff [kV]

Länge des Resonators in Strahlrichtung [cm]

Frequenz U_eff

(a)

95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9

U/Umax [%]

Driftröhre

10 cm 15 cm 20 cm 25 cm 30 cm 35 cm 40 cm

(b) Optimierung der Spannungsverteilung durch Variation der Breite des Innenleiters

Abbildung 3.10

die erreichbare Beschleunigungsspannung nimmt zu. Um eine gute Shunt- Impedanz zu erreichen ist es also wichtig, den Resonator m¨oglichst lang zu bauen.

Wie auch bei der Zyklotronkavit¨at muss die Spannungsverteilung ¨uber die verschiedenen Wege angepasst werden. Neben der M¨oglichkeit die Spalt- l¨angen zu modifizieren gibt es im λ/4-Resonator die M¨oglichkeit die Span- nungsverteilung ¨uber die Breite des Innenleiters zu beeinflussen. In Abbil- dung (3.10b) kann man erkennen, dass sich bereits bei gleichen Spaltl¨angen auf den unterschiedlichen Strahlwegen und passender Einstellung der Innen- leiterbreite eine Abweichung der Spannung in beiden Spalten im Vergleich zur Maximalspannung kleiner als 1% erreichen l¨asst.

Vergleich

Breite H¨ohe L¨ange Q₀ R_{ef f} P_Verlust

λ

4-Resonator 67 cm 82 cm 42 cm 14000 4,76 MΩ 4,7 kW Zyklotronkavit¨at 150 cm 150 cm 75 cm 33000 3,67 MΩ 6,1 kW

(32 cm)

Tabelle 3.1: Vergleich der beiden Kavit¨aten

Tabelle (3.1) zeigt einige der simulierten Kenngr¨oßen der beiden Rebun- chervarianten bei einer Frequenz von 87,5 MHz. Die Verlustleistung wurde

¨uber Formel (2.29) f¨ur eine ben¨otigte Spannung von 150 kV berechnet.

Gegen die Zyklotronkavit¨at spricht vor allem deren Gr¨oße, trotz der M¨oglichkeit die umgebenden Dipolmagnete in den Einbuchtungen unter- zubringen. Zudem liegt die Shuntimpedanz etwas niedriger, die G¨ute jedoch h¨oher.

Die Vorteile des Viertelwellenresonators sind seine relativ kompakten Dimensionen und die h¨ohere Shuntimpedanz. Positiv ist zudem, dass zur Anpassung der Spannung auf den einzelnen Strahlwegen die L¨angen der Spalte nicht ver¨andert werden m¨ussen. Allerdings k¨onnte die relativ filigra- ne Bauweise zu Problemen f¨uhren, beispielsweise bei der K¨uhlung der vielen Driftr¨ohren als auch durch m¨ogliche mechanische Schwingungen des Innen- leiters.

Insgesamt ¨uberwiegen die Vorteile des ^λ₄-Resonators, weshalb dieser f¨ur eine Struktur mit Ortsversatz ausgew¨ahlt wurde. Sollte ein Versatz der Driftr¨ohren in diesem jedoch zu Nachteilen f¨uhren, die in der Zyklotronka- vit¨at nicht auftreten w¨urden, so w¨are ein Rebuncher mit Ortsversatz auch mit einer solchen realisierbar.

3.2.3 Struktur mit Ortsversatz

Abbildung (3.11) zeigt einen ^λ₄-Resonator, bei dem die Spalte zueinander versetzt angeordnet sind. Die Driftr¨ohren und St¨utzen wurden zu einem einzigen K¨orper verbunden, um die Stabilit¨at zu verbessern. An die Stelle der zylindrischen St¨utzen treten rechteckige Kl¨otze, die nach oben l¨anger werden und an die direkt ein durchbohrter Block als Driftr¨ohre anschließt.

Dabei verd¨unnen sich die St¨utzen in der Breite an den Stellen, an denen sich benachbarte Driftr¨ohren befinden, nach oben um 5 mm, um den Abstand m¨oglichst groß zu halten. Die wichtigsten Dimensionen sind in Abbildung (3.12) zu sehen. Wie auch bei der Struktur ohne Versatz, bleibt seitlich zwischen den Driftr¨ohren nur ein Abstand von 1 cm.

Dieser geringe Abstand stellt im Fall ohne Versatz kein Problem dar, da sich dort nur auf gleichem Potential liegende Driftr¨ohren nahe kommen.

Versetzt man jedoch die Spalte zueinander, so gilt dies nicht mehr. Im Fall des Rebunchers mit Ortsversatz kommen sich die Driftr¨ohren am Innenleiter und die ¨außeren Driftr¨ohren nicht nur an den Spalten nahe, sondern auch zu den Seiten. So verlaufen die inneren Driftr¨ohren im vierten und f¨unften be- ziehungsweise achten und neunten Strahlweg sogar entlang der vollen L¨ange neben einer entgegengesetzt geladenen Driftr¨ohre.

Dadurch entstehen zwischen diesen Driftr¨ohren erhebliche elektrische Felder, wie man in Abbildung (3.14a) erkennen kann. Werden diese Fel- der zu hoch, so k¨onnte es zu Durchschl¨agen zwischen den Driftr¨ohren kom- men. Um abzusch¨atzen, wie hoch die Potentialdifferenz seitlich zwischen den Driftr¨ohren ist, wurden die Felder entlang der blauen Kurven in Abbildung (3.12) aufintegriert. Das Ergebnis ist in Abbildung (3.14b) dargestellt, ska- liert auf eine Rebuncherspannung von 150 kV¹. Insgesamt liegen die Span- nungen, die auf den Kurven abfallen, um bis zu 20 kV h¨oher als die Spannung

1CST Microwave rechnet stets mit einer gespeicherten Energie von 1 Joule. Deshalb m¨ussen die durch das Programm berechneten Felder so skaliert werden, dass sich longitu- dinal eine Spannung von 150 kV ergibt.

Abbildung 3.11: Viertelwellenresonator mit ¨ortlich versetzten Driftr¨ohren

Abbildung 3.12: Aufsicht auf die Driftr¨ohren

160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Länge des Innenleiters [mm]

Spaltlänge [mm]

(a) L¨ange des Innenleiters

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1

10 15 20 25 30 35 40 45 50

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Shuntimpedanz [MΩ] PVerlust [kW]

Spaltlänge [mm]

Shuntimpedanz Verlustleistung

(b) Shuntimpedanz und Verlustleistung

Abbildung 3.13

in den einzelnen Beschleunigungsspalten (150kV/2 = 75kV). Die Werte von ca. 9 MV/m liegen aber noch unter den 10,8 MV/m, welche das als konserva- tiv geltende Kilpatricksche Kriterium ([17], S. 163) liefert. Dementsprechend ist es unwahrscheinlich, dass im Betrieb mit 150 kV Durchschl¨age auftreten.

Allerdings ist die Kavit¨at in der erreichbaren Beschleunigungsspannung im Hinblick auf ¨Uberschl¨age nach oben durch die seitlichen Felder zwischen den Driftr¨ohren begrenzt.

Aufgrund der zus¨atzlichen Kapazit¨at kommt es zu einer starken Verk¨ur- zung des Resonators. Dies ist in Abbildung (3.13a) zu sehen. Dargestellt ist dort die L¨ange des Innenleiters in Abh¨angigkeit von der Spaltl¨ange, f¨ur den Fall, dass der Resonator auf 87,5 MHz optimiert ist. Die starke Abh¨angigkeit von der L¨ange der Spalte entsteht dadurch, dass diese proportional zur Fl¨ache ist, auf der am Außen- und Innenleiter montierte Driftr¨ohren parallel verlaufen. Insgesamt schrumpft der Resonator bei 5 cm Spaltl¨ange von 64 cm Gesamth¨ohe im Fall ohne Versatz auf 46 cm.

Um die Querfelder zwischen den Driftr¨ohren aufzubauen wird Energie ben¨otigt, welche dann nicht mehr zum Aufbau der Spannung in den Spal- ten zur Verf¨ugung steht. Die Shuntimpedanz sinkt dementsprechend, wie in Abbildung (3.13b) zu sehen, zu kleineren Spaltl¨angen hin. Damit der Rebun- cher m¨oglichst wenig Leistung ben¨otigt, ist es also von Vorteil die Spaltl¨ange hoch zu w¨ahlen. Ebenso dargestellt ist die Verlustleistung, die im Rebun- cher anf¨allt, wenn dieser eine Spannung von 150 kV aufbauen muss. F¨ur eine Spaltl¨ange von 5 cm hat sich diese im Vergleich zur Struktur ohne Versatz etwa verdreifacht.

3.2.4 Multipolkomponenten

Zus¨atzlich zu den elektrischen Feldern zwischen den Driftr¨ohren kommt es durch den Ortsversatz zu Ver¨anderungen an den Feldern im Spalt. Eine M¨oglichkeit mehr ¨uber die Zusammensetzung der Felder zu lernen ist es,

(a) Betrag des elektrischen Feldes - erkennen las- sen sich sehr gut die hohen Felder zwischen den Driftr¨ohren

65 70 75 80 85 90 95 100

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Spannung [kV]

Spaltlänge [mm]

Zw. Strahlweg 1 und 2 Zw. Strahlweg 2 und 3 Zw. Strahlweg 3 und 4 Zw. Strahlweg 4 und 5

Zw. Strahlweg 5 und 6 Zw. Strahlweg 6 und 7 Zw. Strahlweg 7 und 8 Zw. Strahlweg 8 und 9

(b) Spannung zwischen Driftr¨ohren

Abbildung 3.14

diese in Multipolanteile zu entwickeln. Unter der Annahme eines konstanten Feldes in z-Richtung nimmt ein solches Feld in der transversalen Ebene unter Verwendung von Polarkoordinaten folgende Form an ([18]²):

E_y +iE_x=

∞

X

n=1

C_nrⁿ⁻¹e^i(n−1)ϕ

Die EntwicklungskoeffizientenCnlassen sich bestimmen, indem man das Feld an M ¨aquidistanten Punkten auf einem Kreis mit Radius R₀ in der transversalen Ebene ausließt und eine diskrete Fourier-Transformation an- wendet:

C_n= 1 M Rⁿ⁻¹₀

M

X

m=1

(E_y+iE_x)_me^{−2πi(n−1)mM} (3.2) Bestimmt wurden die Komponenten auf einer Kurve in der Spaltmitte, theo- retisch ließe sich das Feld jedoch an jedem Punkt entlang der Strahlachse entwickeln. Damit die Multipolkomponenten unterschiedlicher Spaltl¨angen vergleichbar sind, m¨ussen die Felder beim Auslesen aus Microwave Studio zus¨atzlich noch so skaliert werden, dass sich eine Rebuncherspannung von 150kV ergibt. Die einzelnen Schritte und ein Beispiel f¨ur einen typischen Verlauf vonE_x undE_y sind in Abbildung (3.15) dargestellt. F¨ur die Fourier- Transformation wurde die Bibliothek FFTW [19] verwendet.

Wichtig zur Beschreibung des Feldes nahe der Spaltmitte sind vor allem die Komponenten geringer Ordnung, da h¨ohere Ordnungen nach Gleichung (3.2) mitRⁿ⁻¹₀ abfallen. Die Ergebnisse f¨ur einige Simulationen sind in den folgenden Graphen (3.16) und (3.17) dargestellt. Um die einzelnen Kompo- nenten untereinander und mit dem elektrischen Feld vergleichen zu k¨onnen,

2Die dortige Herleitung gilt nicht nur f¨ur magnetische, sondern auch f¨ur elektrische Felder, da sich die Maxwellgleichungen f¨ur beide F¨alle im statischen, quellenfreien Raum auf die selbe Form reduzieren:∇E= 0 und∇ ×E= 0

Abbildung 3.15: Berechnung der Multipolkomponenten

0 5 10 15 20 25 30 35 40

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Dipolanteil / Ez [%]

Spaltlänge [mm]

Strahlweg 1 Strahlweg 2 Strahlweg 3

Strahlweg 4 Strahlweg 5 Strahlweg 6

Strahlweg 7 Strahlweg 8 Strahlweg 9

−3

−2

−1 0 1 2

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Quadrupolanteil / Ez [%]

Spaltlänge [mm]

Strahlweg 1 Strahlweg 2 Strahlweg 3

Strahlweg 4 Strahlweg 5 Strahlweg 6

Strahlweg 7 Strahlweg 8 Strahlweg 9

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Sextupolanteil / Ez [%]

Spaltlänge [mm]

Strahlweg 1 Strahlweg 2 Strahlweg 3

Strahlweg 4 Strahlweg 5 Strahlweg 6

Strahlweg 7 Strahlweg 8 Strahlweg 9

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Oktupolanteil / Ez [%]

Spaltlänge [mm]

Strahlweg 1 Strahlweg 2 Strahlweg 3

Strahlweg 4 Strahlweg 5 Strahlweg 6

Strahlweg 7 Strahlweg 8 Strahlweg 9

Abbildung 3.16: Realteil der Fourierkoeffizienten - Multipolkomponenten in y-Richtung

−100

−80

−60

−40

−20 0 20

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Dipolanteil / Ez [%]

Spaltlänge [mm]

Strahlweg 1 Strahlweg 2 Strahlweg 3

Strahlweg 4 Strahlweg 5 Strahlweg 6

Strahlweg 7 Strahlweg 8 Strahlweg 9

−10 0 10 20 30 40

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Quadrupolanteil / Ez [%]

Spaltlänge [mm]

Strahlweg 1 Strahlweg 2 Strahlweg 3

Strahlweg 4 Strahlweg 5 Strahlweg 6

Strahlweg 7 Strahlweg 8 Strahlweg 9

−15

−10

−5 0

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Sextupolanteil / Ez [%]

Spaltlänge [mm]

Strahlweg 1 Strahlweg 2 Strahlweg 3

Strahlweg 4 Strahlweg 5 Strahlweg 6

Strahlweg 7 Strahlweg 8 Strahlweg 9

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Oktupolanteil / Ez [%]

Spaltlänge [mm]

Strahlweg 1 Strahlweg 2 Strahlweg 3

Strahlweg 4 Strahlweg 5 Strahlweg 6

Strahlweg 7 Strahlweg 8 Strahlweg 9

Abbildung 3.17: Imagin¨arteil der Fourierkoeffizienten - Multipolkomponen- ten in x-Richtung

sind nicht die FourierkoeffizientenC_n geplottet, sondern das Verh¨altnis des maximalen Feldes zum longitudinalen Feld, welches jene auf dem Kreisring mit Radius R₀ erzeugen. Die, der y-Richtung entsprechende, Realkompo- nente befindet sich in Abbildung (3.16), die, dem x-Anteil entsprechende, Imagin¨arkomponente in Abbildung (3.17). Der ¨Ubersicht halber sind jeweils nur die Komponenten in den ersten Spalten der unterschiedlichen Strahl- wege dargestellt, die Multipolkomponenten der zweiten Spalte befinden sich im Anhang i.

Die drei Spalte mit der h¨ochsten Dipolkomponente in y-Richtung liegen im ersten, f¨unften und neunten Strahlweg. Unter diesen Spalten befinden sich die St¨utzen f¨ur die Driftr¨ohren. Weiter geht die Reihenfolge mit dem sechsten und zweiten Strahlweg, bei dem die St¨utzen ohne Winkel an die Driftr¨ohren anschließen, und danach dem siebten und dritten Strahlweg. Diese Reihen- folge deutet darauf hin, dass der Unterschied zwischen den einzelnen Kurven durch die N¨ahe der St¨utzen zur entgegengesetzt geladenen Driftr¨ohre erzeugt wird. Eine M¨oglichkeit, die Dipolkomponenten dieser Spalte zu verringern, d¨urfte es sein, die St¨utzen zu kr¨ummen, um zu erreichen, dass diese steiler an die Driftr¨ohren anschließen und somit Abstand zur anderen Seite des Spaltes gewinnen.

F¨ur kleinere Spaltl¨angen n¨ahern sich die Kurven denen der Spalte im vierten und achten Strahlweg an. Dies deutet darauf hin, dass es neben

den St¨utzen noch einen weiteren Grund f¨ur einen Dipolanteil gibt. Eine m¨ogliche Erkl¨arung w¨are es, dass sich, wie auch theoretisch zu erwarten ist, das obere Ende des Innenleiters st¨arker aufl¨adt, als die Teile darunter.

Dadurch entst¨unden Feldkomponenten, die nach oben beziehungsweise eine halbe Hochfrequenzperiode sp¨ater nach unten gerichtet sind. Ein noch zu untersuchender Weg, diesen Anteil zu reduzieren w¨are es, die am Außenleiter installierten runden Driftr¨ohren mit nach unten gerichteten

”Nasen“, kleinen zylindrischen Aufs¨atzen, zu versehen (¨ahnlich wie in [7], S. 39).

Auch in x-Richtung besitzen die Felder in den Spalten auf Strahlweg vier und acht eine geringe Dipolkomponente. Dies ist nicht erstaunlich, da der Aufbau der Außenleiter an dieser Stelle nahezu symmetrisch von zwei gleichgeladenen Driftr¨ohren umgeben ist. Jene Driftr¨ohren verlaufen jedoch auf beiden Seiten entlang des Innenleiters, weshalb sich dieser auf beiden Seiten stark aufl¨adt. Dies erzeugt einen hohen Quadrupolanteil, wie auch in Abbildung (3.17) zu sehen. Zus¨atzlich entsteht die Oktupolkomponente durch die Feld¨uberh¨ohung an den Kanten der Driftrohr-Kl¨otzchen. An dieser Stelle w¨urde m¨oglicherweise eine Abrundung zu einem geringeren Querfeld f¨uhren. Der Sextupolanteil der beiden Driftr¨ohren betr¨agt aufgrund der lo- kalen Symmetrie nahezu null.

Die st¨arksten Dipolanteile ergeben sich f¨ur die Spalte, die von den Seiten durch Driftr¨ohren entgegengesetzter Ladung umgeben sind. F¨ur Spaltl¨angen ab 3,5 cm liegen die Dipolkomponenten in der Spaltmitte f¨ur jene bereits im Bereich von 50% des longitudinalen Feldes. Deshalb sollte untersucht wer- den, ob dies entlang des kompletten Spaltes der Fall ist und welche Auswir- kungen diese Dipolkomponente auf den Strahl hat. Nicht so stark betroffen sind die Strahlwege eins und neun, hier liegt die entgegengesetzt geladene Stelle, die seitliche Wand, relativ weit entfernt.

Insgesamt ergibt die Entwicklung in Multipolkomponenten einen Satz an Kenngr¨oßen, auf die sich die Struktur optimieren l¨asst. Der mit der Spaltl¨ange stark zunehmende Dipolanteil deutet darauf hin, dass kleine L¨angen im Blick auf die Abbildungseigenschaften des Rebunchers besser geeignet sind. Dies muss jedoch genauer untersucht werden.

3.2.5 Auswirkung der Querfelder auf die Strahldynamik Wie im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde, besitzen die Felder im Re- buncher mit Ortsversatz eine hohe Dipolkomponente. Dies legt einige Fragen nahe: Welchen Effekt haben diese auf den Strahl; k¨onnten sie m¨oglicherweise zu dessen Verlust f¨uhren? Oder lassen sich die ablenkenden Kr¨afte bei klei- nen Spalten wom¨oglich sogar vernachl¨assigen? Dies wird in diesem Abschnitt mittels einer kurzen Rechnung abgesch¨atzt.

Abbildung (3.18) zeigt zwei Beispiele f¨ur die typischen Feldverl¨aufe in x- und y-Richtung, ausgegeben auf Kurven entlang der Strahlrichtung in der Mitte der Driftr¨ohren. Im Feld in der x-Richtung ist auff¨allig, dass dieses ge-