Sommersemester 2001
Klaus Fredenhagen
II. Institut fur Theoretishe Physik
Universitat Hamburg
Einleitung 5
Kapitel I. Vielteilhensystemein der Quantenmehanik 9
1. Der n-Teilhenraum 9
2. Der b osonisheFo kraum 11
3. Der fermionisheFo kraum 22
Kapitel I I. RelativistisheEinteilhensysteme 27
1. Die Poinare-Grupp e 27
2. Poinare-Symmetrieinder Quantenmehanik 30
3. Die Darstellungen der Poinare-Grupp e 32
4. RelativistisheWellengleihungen 40
Kapitel I I I. FreieFelder 45
1. Das skalare Feld 45
2. Felder mit Spin; der Zusammenhang zwishen Spin und
Statistik 52
3. Das freieDira-Feld 56
4. Elektro dynamik 62
Kapitel IV. Wehselwirkungen 73
1. S-Matrix und Wirkungsquershnitte 73
2. Die LSZ-Relationen 76
3. Kanonishe Quantisierung 79
4. Pfadintegral 85
5. Zusammenhangende Funktionen 96
6. EinteilhenirreduzibleFunktionen(Vertexfunktionen) 99
Literaturverzeihnis 105
Wehselwirkungen
Wir hab en in den ersten 3 Kapiteln den Fo kraum, die relativi-
stishen Wellengleihungen und die freien Felder kennen gelernt. Wir
hab en auhb ereits gesehen,wieman ausgehendvon denfreienFeldern
wehselwirkende Theorien konstruieren kann. Insb esondere hab en wir
die S-Matrix fur eine raumzeitlih b eshrankte Wehselwirkung ein-
gefuhrt, hab en diezeitgeordnetenPro dukte als dieTaylorko eÆzienten
der S-Matrix studiert und ihre kombinatorishe Beshreibung durh
Feynman-Graphen b etrahtet. In diesem Kapitel wollen wir wehsel-
wirkendeTheorienvon einemetwasallgemeinerenStandpunkt ausun-
tersuhen. Zunahst wollen wir die Wirkungsquershnitte aus der S-
Matrixb erehnen.Danah werdendieLSZ-Relationenb espro hen,die
den Zusammenhangzwishen S-Matrix-Elementenund zeitgeordneten
Funktionen fur wehselwirkende Theorien herstellen. Die Herleitung
der LSZ-Relationen aus den Axiomen der allgemeinen Quantenfeld-
theorie wird im 6. Kapitel erfolgen. In Kapitel IV sollen no h zwei
allgemeineQuantisierungsmetho denb ehandelt werden:diekanonishe
Quantisierung, die auf der kanonishen Formulierung der klassishen
Feldtheorieaufbaut,und die Metho de der Pfadintegrale.
1. S-Matrix und Wirkungsquershnitte
Auh in einer wehselwirkenden Theorie erwartet man, dass jeder
Zustand zu asymptotishen Zeiten wie ein Zustand niht wehselwir-
kender Teilhen aussieht.Diese Vermutungkann man inder folgenden
Weiseprazisieren:SeiHder Hilb ertraumderZustandeder wehselwir-
kendenTheorie.WirnehmenderEinfahkeithalb eran, dassdieTheo-
rie nur ein einziges Teilhen b eshreibt, das Spin 0 und Masse m > 0
hat. SeiH
0
der zugehorigeFo kraum.Dann sollesunitare Op eratoren
W
:H
0
!H
geb en, so dass dieVektorenW
zuZeitent!1alsMehrteilhen-
zustande interpretiertwerdenkonnen.Die Abbildung
S =W 1
+ W
nenntman dieS-Matrix. Wenn dieWehselwirkungPoinare-invariant
ist, so vertaushtS mitden Poinare-Transformationen.Manhat ver-
suht,QuantenfeldtheoriealleindurhdieS-Matrixzub eshreib en.Bei
diesemAnsatz harakterisiert man die S-Matrix durh eineReihevon
Eigenshaften,diedieS-Matrixeinerlokalen Quantenfeldtheorieb esit-
zensollte.ImallgemeinenreihtdieseCharakterisierungnihtaus,um
dieS-Matrixfestzulegen.Fordertmanab er,dassdieVielteilhenstreu-
ung sihalseineAufeinanderfolgevon Zweiteilhenstreungenauassen
lasst (faktorisierende S-Matrizen), so erhalt man in zwei Raumzeit-
dimensionen interessante Losungen. In hoheren Dimensionen gibt es
allerdings nurdietriviale Losung.
In Exp erimenten wird in der Regel niht direkt die S-Matrix b e-
stimmt, sondern es werden die Wirkungsquershnitte gemessen. Der
Grund ist,dass b ei einemStreuversuhder Stoparameter eines Zwei-
teilhensystemsim allgemeinennihtgenugend genau fest gelegt wer-
denkann.DaheristdereinlaufendeZustandeinGemish
ub ertransver-
salzurBewegungsrihtungvershob eneZustande.Sei=a(f)
a(g)
eineinlaufenderZweiteilhenzustandmitnormiertenEinteilhenwellen-
funktionen f und g, die disjunkten Trager hab en. Sei eine raumar-
tige Eb ene im Minkowskiraum, die die von Paaren p 2 suppf und
q 2suppg aufgespanntenEb enennurimUrsprungshneidet.Dann ist
die Dihtematrixdes einlaufenden Zustands von der Form
= Z
d
2
b(b)j
b ih
b j
mit
b
=a(U(b)f)
a(g)
und (b)0, R
d
2
b(b)=1.
Sei nun A eine translationsinvariante p ositive Observable, die auf
den einlaufendenZustand nihtanspriht,
TrA=0 :
DannwerdendieErwartungswertevonAindenauslaufendenZustanden
S
b
shnell in b abfallen. Ist (b) im relevanten Bereih konstant, so
bietet es sihan, dieNormierungsb edingung an den einlaufenden Zu-
stand aufzugeb en und stattdessen den Wirkungsquershnitt
f;g ; (A)=
Z
d
2
b S
b
;AS
b
einzufuhren.
WirdenierenjetztdieT-MatrixdurhS =1+iT.Danngiltwegen
A
b
=0
f;g ; (A)=
Z
d
2
b
b
;T
AT
b
:
T undAsindnahVoraussetzungtranslationsinvariant.Dahersinddie
Matrixelementevon T
AT imZweiteilhenraumvon der Form
a
(p)a
(q);T
ATa
(p 0
)a
(q 0
)
=Æ(p+q p 0
q 0
)A
T
(p;q;p 0
;q 0
) :
Bei der Berehnung des Wirkungsquershnitts liefert die Integration
ub er den Stoparameter beinen zusatzlihenFaktor
(2) 2
Æ((p p 0
)e )Æ((p p 0
)e )
miteinerOrthonormalbasisfe
1
;e
2
gvon.Wirshlieen,dassdieWir-
kungsquershnittediagonal inden Impulsensind,
f;g ;
(A)=(2) 2
Z
d 3
p
2!(p) d
3
p
2!(p) jf(p)j
2
jg(q)j 2
A
T
(p;q;p;q)jdet
(p;q) j
1
:
Hierb ei ist furvorgegeb enes p;q2H +
m durh
(p 0
;q 0
)=((p 0
) 2
m 2
;(q 0
) 2
m 2
;p 0
+q 0
p q;(p 0
p)e
1
;(p 0
p)e
2 )
deniert. Die Funktionaldeterminante von an der Stelle (p 0
;q 0
) =
(p;q)ist jdet(2p;2q;e
1
;e
2
)j.Fur?p;q gilt
jdet(2p;2q;e
1
;e
2 )j=4
p
(pq) 2
m 4
:
Diesen Ausdruknennt man den Flussfaktor.
Betrahten wir als Beispiel
A =ja
(p
1 ):::a
(p
n )iha
(p
1 ):::a
(p
n )j ;
so dass die Impulse p;q;p
1
;:::;p
n
, p 2 suppf;q 2 suppg, paarweise
vershiedensind. A misstdieWahrsheinlihkeitsdihtefurn Impulse,
;A
=n!j
n (p
1
;::: ;p
n j
2
:
Wir wahlen einen einlaufenden Zustand mit sharfen Impulsen p und
q und wahlen die Eb ene senkreht zu p und q. Da T translations-
invariant ist, sind seine Matrixelemente zwishen 2-Teilhen- und n-
Teilhenzustandenvon der Form
a
(p
1 ):::a
(p
n );Ta
(p)a
(q)
=Æ(p+q X
p
i )T(p
1
;::: ;p
n
;p;q) :
mit der StreuamplitudeT. Daher ist
A
T
(p;q;p;q)=Æ(p+q X
p
i )jT(p
1
;::: ;p
n
;p;q)j 2
:
Wir nden shlielihfur den Wirkungsquershnitt
p;q !p
1
;:::;pn
=(2) 2
(4 p
(pq) 2
m 4
) 1
Æ(p+q X
p
i )jT(p
1
;::: ;p
n
;p;q)j 2
:
AlsBeispielb etrahtenwirdieS-MatrixzurWehselwirkungs-Lagrange-
Dihte g
n!
:' n
:zur erstenOrdnung. Manndet
T = g
n!
Z
d 4
x:' n
(x):
und damitfurdieStreuamplitude
Æ(p+q X
p
i )T(p
1
;::: ;p
n 2
;p;q)
= g
n!
Z
d 4
x
n
2
a
(p
1 )a
(p
n 2 );(a
) n 2
(x)a(x) 2
a
(p)a
(q)
=g(2) 3n=2
Z
d 4
xe i(p+q
P
p
i )x
also
T(p
1
;:::;p
n 2
;p;q)=(2) 4
3n
2
g
Furden Wirkungsquershnittndet man
p;q !p
1
;:::;p
n 2
=(2) 10 3n
g 2
(4 p
(pq) 2
m 4
) 1
Æ(p+q X
p
i ) :
Interessantistdas Verhalten des totalenWirkungsquershnitts
tot
= 1
(n 2)!
Z
d 3
p
1
2!(p
1 )
d
3
p
n 2
2!(p
n 2 )
p;q !p
1
;:::;p
n 2 :
Er ist oenbar nur von der Shwerpunktsenergie p
s, s = (p +q) 2
abhangig. Fur Shwerpunktsenergien p
s (n 2)m weit ob erhalb
der ShwellefurTeilhenerzeugungverhalter sihwie s n 4
.
2. Die LSZ-Relationen
In einer translationsinvarianten Theorie kann die S-Matrix niht
direkt inder Form
S =Te i
R
L
int d
4
x
geshrieb enwerden.StattdessenkannmandieWehselwirkungs-Lagrange-
DihtemiteinerTestfunktiongmultiplizierenunddielokalenS-Matrizen
S(g)=Te i
R
L
int g d
4
x
einfuhren.Anshlieendkann man den adiabatishen Limes
S =lim
g !1 S(g)
b etrahten.BeidieserDenitionbleibtab eroen,welheEigenshaften
der wehselwirkendenTheoriedurhdieS-Matrix b eshrieb enwerden.
Lehmann,SymanzikundZimmermann(LSZ) istes 1954gelungen,
einen eleganten Ausdruk fur die S-Matrix zu nden, der vollig im
Rahmen der wehselwirkendenTheorieerklart ist.
Ausgangspunkt ist (im einfahsten Fall) ein skalares Feld ', das
als op eratorwertige Distribution in einemHilb ertraum H deniert ist,
zusammen mit einer unitaren, stark stetigen Darstellung U der Poin-
are-Grupp e, diedie Sp ektrumsb edingung erfullt.Weiter solles einen
eindeutigen (bis auf eine Phase) Poinare-invarianten Einheitsvektor
geb en. Das skalare Feldsollsih kovariantunter der Poinare-Grupp e
transformieren,
U(x;)'(y)U(x;) 1
='(y+x) :
Man nimmtjetzt an, dass es einen Teilraum H
1
H gibt, der zu der
irreduziblen Darstellung der Poinare-Grupp e mit Masse m > 0 und
Spins=0gehort,unddasseskeineweiterenZustandeinHgibt,deren
Massensp ektrum m enthalt.Unter diesen Voraussetzungen kann man
Abbildungen W
vom Fo kraum H
0
nah H gibt, die die jeweiligen
Darstellungen der Poinare-Grupp e verketten.
Wirverlangenzusatzlih,dassdaswehselwirkendeFeld'nihtver-
shwindende Matrixelemente zwishen Vakuum und Einteilhenraum
b esitzt.Wegen der Poinare-Kovarianz sind diese von der Form
hpj'(x)i =(2) 3=2
p
Ze ipx
mit einer Konstante Z 6= 0. Z nennt man die Wellenfunktionsrenor-
mierung. Durh Umnormierung des Feldes kann sie gleih 1 gesetzt
werden.
Man deniertjetzt freieFelder im Hilb ertraumder wehselwirken-
den Theoriedurh
W
'
0 (x)=
'aus
ein (x)W
;
wob ei '
0
das freie Feld im Fo kraum ist. Das wehselwirkende Feld
strebt im folgende Sinn gegen das auslaufende (t ! 1) b eziehungs-
weise das einlaufende (t ! 1) Feld: Es gilt die LSZ-Asymptoten-
Bedingung
lim
t!1 W
+
;('(t;x) ' aus
ein
(t;x)W
=0:
Hierb ei sind und aus demdihten Unterraummit endliher Teil-
henzahl,glattenImpulsraumwellenfunktionenmitkompaktemTrager
und nihtzusammenfallendenImpulsen.
Seinunf eineLosungder Klein-Gordon-Gleihung,deren Cauhy-
Daten kompaktenTrager b esitzen. Dann ist
'aus
ein (f)=
Z
d 3
x _ 'aus
ein
(t;x)f(t;x)
'aus
ein (t;x)
_
f(t;x)
unabhangig von t. Ersetzt man die freien Felder durh das wehsel-
wirkende Feld, so erhalt man einen zeitabhangigen Ausdruk, der fur
t ! 1 gegen 'aus
ein
strebt. Da ' nah Voraussetzung eine op erator-
wertigeDistributionauf demMinkowskiraumist,istnihtsiher,dass
das Integral
ub er den Raum zu einer sharfen Zeit existiert.Wir mit-
teln daher miteiner Testfunktion h 2D (R)mit R
dth(t)= 1
ub er die
Zeit,
'
t
(f;h)= Z
dh() Z
d 3
x '(t_ +;x)f(t+;x) h(t+;x) _
f(t+;x)
und nden
W
+
; '
aus
(f) '
ein (f)
W
= Z
dt d
W
+
;'
t
(f;h)W
:
Wir nutzen aus, dass f eine Losung der Klein-Gordon-Gleihung ist
und erhalten
d
dt '
t
(f;h)= Z
dh() Z
d 3
x '(t +;x)f(t+;x) '(t+;x)
f(t+;x)
= Z
dh() Z
d 3
x '(t +;x)f(t+;x) '(t+;x)( m 2
)f(t+;x)
= Z
dh() Z
d 3
x (+m 2
)'(t+;x)
f(t+;x)
und damit
W
+
; '
aus
(f) '
ein (f)W
= Z
d 4
xf(x)(+m 2
) W
+
;'(x)W
:
Wir fuhren jetzt zeitgeordnete Pro dukte des Feldes ' ein. Dies sind
symmetrishe op eratorwertige Distributionen in mehreren Argumen-
ten, diefurzeitgeordnete Argumentemit demOp eratorpro dukt
ub er-
einstimmen.Sie sind in der Regel niht eindeutig; dies spielt ab er im
folgenden keineRolle. Wir b enutzen fur zwei Funktionen f;g die No-
tation
f
$
t g =(
t
f)g f
t g :
Seien jetzt f
1
;::: ;f
n
Losungen der Klein-Gordon-Gleihungmit kom-
pakt getragenen Cauhy-Daten.Wir setzen
T(t
1
;:::;t
n )
= Z
d 4n
xT('(x 0
1 +t
1
;x
1
)'(x 0
n +t
n
;x
n )
$
t
1
$
tn
f
1 (x
0
1 +t
1
;x
1 )h(x
0
1 )f
n (x
0
n +t
n
;x
n )h(x
0
n ):
Es gilt
n
t
1
tn T(t
1
;:::;t
n )
= Z
d 4n
xh(x 0
1 )f
1 (x
0
1 +t
1
;x
1
)h(x 0
n )f
n (x
0
n +t
n
;x
n )
(
1 +m
2
)(
n +m
2
)T'(x 0
1 +t
1
;x
1
)'(x 0
n +t
n
;x
n ) ;
und furt
(1)
+supph>>t
(n)
+supph erhaltenwir
T(t
1
;::: ;t
n )='
t
(1) (f
(1)
;h)'
t
(n) (f
(n)
;h) :
AusderHaag-Ruelle-TheoriefolgtfurWellenfunktionenf
i
mitnihtub er-
lapp enden Geshwindigkeiten
lim
t1;:::;t
k
!1 ;t
k +1
;:::;tn! 1
;T(t
1
;::: ;t
n )
= k
Y
i=1 '
aus (f
i )
; n
Y
j=k +1 '
ein (f
j )
:
Seien f
1
;::: ;f
k
Losungen der Klein-Gordon-Gleihung mit negativer
Energie, und seien f ;:::;f Losungen mitp ositiverEnergie. Dann
folgen dieLSZ-Relationen
Z
d 4n
xf
1 (x
1 )f
n (x
n )(
1 +m
2
)(
n +m
2
) ;T'(x
1
)'(x
n )
= k
Y
i=1 '
aus (f
i )
; n
Y
j=k +1 '
ein (f
j )
:
Fouriertransformationergibt
n
Y
i=1 (p
2
i m
2
)
^
t
n ( p
1
;::: ; p
k
;p
k +1
;:::;p
n )
(H +
m )
n
=N k
Y
i=1 a
aus (p
i );
n
Y
j=k +1 a
ein (p
j )
:
mit N =i n
(2) n
2
und
^
t
n (p
1
;::: ;p
n
)=(2) 2n
Z
d 4n
xe i
P
p
j x
j
;T'(x
1
)'(x
n )
:
Wir erkennen, dass die Fouriertransformierten der Erwartungswerte
zeitgeordneter Pro dukte fur jede Impulsvariable auf der Massensha-
le H +
m
einen Pol der Form (p 2
m 2
) 1
b esitzen und dass die Ko eÆ-
zienten gerade die S-Matrix-Elemente sind. Dies sind die b eruhmten
LSZ-Relationen.
3. Kanonishe Quantisierung
Ein Standardverfahren zur Denition von Quantenfeldtheorien ist
diekanonisheQuantisierungklassisherFeldtheorien.Hierb eigehtman
von der Lagrangeshen Formulierung der klassishen Feldtheorie aus.
Wie in der klassishen Mehanik leitet man die Feldgleihungen aus
demPrinzipder stationaren Wirkung ab.SeiL eineFunktion,dievon
den Feldern undihren erstenAbleitungenabhangt. SeiG einkompak-
tes Gebiet der Raumzeit mit genugend glattem Rand G. Dann soll
das Funktional
S
G (')=
Z
G d
4
xL(';
')
unterden Feldernmitgleihen Werten amRand stationar sein(inder
Regel minimal).Zur Auswertungdieser Bedingung b etrahten wir ein
Feld , das am Rand von G vershwindet.Dann gilt nah Vorausset-
zung
0= d
d"
S
G
('+" )j
"=0 :
Auswertungder Ableitung ergibt
0= Z
G d
4
x L
'
(x) (x)+ X
L
(
')
(x)
(x)
:
Der zweite TermimIntegranden kann in der Form
X
L
(
')
(x) (x)
X
L
(
')
(x)
(x):
geshrieb enwerden.Der ersteTermdab ei isteineDivergenz.DasInte-
gral darub ervershwindetwegendes VershwindenderRandwertevon
. Soll das verbleib ende Integral fur alle vershwinden, so muss '
innerhalb von G dieDierentialgleihung
L
'
= X
L
(
')
erfullen.
Sei z.B.L= 1
2
'
' 1
2 m
2
' 2
g
4!
' 4
,so ergibt sih
L
'
= m
2
' g
3!
' 3
; L
(
')
=
' :
Damit erhalt mandie Feldgleihung
(+m 2
)'= g
3!
' 3
:
Als Ausgangspunkt der Quantisierung b enutzt man die Hamilton-
sheFormulierung.Hierzu wird die Zeitko ordinate ausgezeihnet,und
man deniert die Lagrangefunktion L als das raumlihe Integral der
Lagrangedihte. Die kanonish konjugierten Impulseergeb ensihzu
(x)= ÆL
Æ'(x)_
= L
'_ (x) :
Falls'_ als Funktion von ';
~
' und geshrieb en werden kann, erhalt
man die Hamiltonfunktionals
H(';)= Z
d 3
xh('(x);
~
'(x);(x))
mit der Hamiltondihte
h(';';)='_ L :
Die Quantisierungsvorshrift b esteht jetzt darin, ' und durh
op eratorwertigeDistributionenzuersetzen,so dassdiekanonishenVer-
taushungsrelationen
['(x);'(y )℄=0=[(x);(y )℄
['(x);(x)℄=iÆ(x y )
erfullt sind. Die Zeitentwiklung ist dann durh die Heisenb ergglei-
hung gegeb en,
_
'(x)=i Z
d 3
y [h(y );'(x)℄:
Die angegeb ene Vorshriftist miteinigen Problemenb elastet. Wir
wollendas amBeispielder ' 4
-Theorie genauer ansehen.In diesemFall
ist
='_ ;
und dieHamiltondihteergibt sihzu
h= 1
2
2
+ 1
2 j
~
'j 2
+ m
2
2 '
2
+ g
4!
' 4
:
Die kanonishen Vertaushungsrelationen sind imFo kraumdes freien
FeldeszurMassemrealisiert.UmdieHamiltondihtedorteinzufuhren,
kann man die Pro dukte der Felder durh Wikpro dukte ersetzen. Die
DenitiondesHamiltonop eratorsalsdas raumliheIntegralderHamil-
tondihte ist ab er niht moglih.Es gilt der folgende Satz (Haagshes
Theorem)
Theorem IV.1. Sei H der Fokraum eines freien Feldes '
0 , und
sei U(x) der raumlihe Translationsoperator.Sei ' eine operatorwer-
tige Distribution mit den Eigenshaften
(i) '(0;x)='
0
(0;x) , '(0;_ x)='_
0
(0;x) .
(ii) U(x)'(t;y )U(x) 1
='(t;y+x).
(iii) Es existiert ein selbstadjungierter Operator H mit der Eigen-
shaft
e itH
'(0;x)e itH
='(t;x):
Dann stimmtH bisaufeine additive Konstante mitdem Hamiltonope-
rator H
0
der freien Theorie
uberein, und '='
0 .
Beweisskizze nah [1℄: Der Beweis b eruht im wesentlihen darauf,
dass das VakuumbisaufeinenFaktor der einzigetranslationsinvari-
anteVektorinHist.ZurVereinfahungnehmenwiran,dassH mitden
raumlihen Translationen vertausht. Dann ist ein Eigenvektorvon
H.Sei derzugehorigeEigenwert.DiemitraumlihenTestfunktionen
vershmiertenfreienFelder '
0
(0;f)= R
d 3
xf(x)'
0
(x) erzeugenaus
einen dihten TeilraumD. Auf D gilt:
(H )'
0 (0;f
1 )'
0 (0;f
n
) =(H )'(0;f
1
)'(0;f
n )
= X
k
'(0;f
1
)'(0;_ f
k
)'(0;f
n )
= X
k '
0 (0;f
1 )'_
0 (0;f
k )'
0 (0;f
n )
=H
0 '
0 (0;f
1 )'
0 (0;f
n ) :
AlsogiltH =H
0
+aufD.ZurVervollstandigungdesBeweisesgenugt
es zuzeigen, dass H
0
aufD wesentlihselbstadjungiertist.
Zur Vermeidungder Konsequenzen des Haagshen Theoremskann
man versuhen, zunahst raumlihabgshnitteneHamiltonop eratoren
H(g)=H
0 +
Z
d 3
xg(x)h(x)
mit einerTestfunktiong zub etrahten.Man erwartetdann wegen der
durh die Lihtgeshwindigkeit b egrenzten Ausbreitungsgeshwindig-
keit von Storungen, dass
'(t;x)=e itH(g )
'(0;x)e itH(g )
von g unabhangig ist,sofern g imBereihfy ;jx y j<jtjgidentish1
ist. Auf diese Weise erhaltman dann eineKonstruktion der Observa-
blenalgebra der wehselwirkendenTheorie.
Um auhdie Vakuumdarstellungder wehselwirkendenTheoriezu
erhalten, kann man zunahst die Grundzustandsvektoren (g) der lo-
kal gestorten Hamiltonop eratoren H(g) b etrahten (falls diese existie-
ren). Die Wightmanfunktionen der wehselwirkenden Theorie suht
man dann als Limesg !1 der Erwartungswerte
(g);'(x
1
)'(x
n )(g)
:
Mit dem Rekonstruktionstheorem gewinnt man shlielih den Va-
kuumhilb ertraum der wehselwirkenden Theorie. Diese Idee ist von
Glimm und Jae erfolgreih fur die Konstruktion der ' 4
-Theorie in
2 Raumzeitdimensionendurhgefuhrt worden.
Wir wollenjetztdiekanonisheQuantisierungder Elektro dynamik
b ehandeln.DieMaxwellgleihungenlassensihaus derLagrangedihte
L= 1
4 F
F
j
A
mit F
=
A
A
ableiten. Hierb ei ist j
ein erhaltener Strom,
der von A
unabhangig ist.Es giltnamlih
L
A
= j
;
L
(
A
)
= F
;
und daher
j
=
F
=A
A
:
Das Anfangswertproblem fur das Vektorp otential ist durh die Max-
wellgleihungen niht wohldeniert. Denn wenn A
eine Losung ist,
dann ist auh A
+
eineLosung, wob ei eineb eliebige Funktion
ist (Eihfreiheit). Daher ist auh der
Ub ergang zum Hamiltonforma-
lismusnihtmoglih. Formal sieht man das daran, dass die kanonish
konjugierten Impulsenihtunabhangig sind unddass eineElimination
der Zeitableitungen des Vektorp otentials niht moglih ist. Die kano-
nishkonjugierten Impulsesind
= L
( _
A
)
=
0 ; =0
F 0
=E
; =1;2;3 :
ManwahltdenfolgendenAusweg.ManaddiertzurLagrangedihte
ein wohldeniertes Anfangswertproblem b esitzt. Eine solhe Wahl ist
2 (
A
)
2
mit 6=0. Die Feldgleihungensind dann
A
+( 1)
(
A
)=j
:
Es folgt aus der Stromerhaltung
(
A
)=0:
Daher ist B :=
A
ein freies masselosesskalares Feld.Vershwindet
B, so sind die mo dizierten Feldgleihungen
aquivalent zu den Max-
wellgleihungen. Allerdings kann B niht einfah gleih Null gesetzt
werden,da esnihttrivialekanonisheVertaushungsrelationenb esitzt.
Die kanonishkonjugierten Impulsesind
0
=
A
;
k
=
0 A
k
k A
0 :
Auosen nah den Zeitableitungenvon A
ergibt
_
A
0
=
~
A
1
0
; _
A
k
=
k +
k A
0 :
Die gleihzeitigen Vertaushungsrelationen zwishen A
und
_
A
erge-
b en sih zu
[A
(0;x);
_
A
(0;y )℄= i(g
(
1
1)g
0 g
0
)Æ(x y );
und diezwishen _
A
0 und
_
A
k zu
[ _
A
0 (0;x);
_
A
k
(0;y )℄=[(
~
A
1
0
)(0;x);(
k +
k A
0 )(0;y )
=i(1 1
)
k
Æ(x y ) :
BesonderseinfahwerdendieVertaushungsrelationenfur=1(Feynman-
Eihung). Einanderer oftb etrahteter Sp ezialfall ist=1 (Landau-
Eihung).
WirwollenimfolgendendieFeynman-Eihungverwenden.DieFeld-
gleihungstimmtindiesemFallmitder inhomogenenWellengleihung
ub erein. Wenn j
mit A
vertausht, dann ist der Kommutator ver-
shiedenerKomp onenten von A
eine Losung der homogenen Wellen-
gleihung. Da dieAnfangsb edingungen durhdie kanonishen Vertau-
shungsrelationen b estimmtsind, ergibt sih
[A
(x);A
(y)℄= ig
D (x y)
mit der Pauli-Jordan-Funktion D . Fur das FeldB ndet man
[B(x);A
(y)℄= i
D (x y);
daherimplementiert R
d 3
xB(t;x)
$
t
(t;x)miteinerLosungderWel-
lengleihunggerade eineinnitesimaleEihtransformation,die mitder
Eihxierung
A
= B vertraglih ist. B kann also niht identish
Null sein.
Wirkonnenjetztab er dieAlgebraA
0
der vershmiertenFelder b e-
trahten, die mit B vertaushen. Diese Algebra wird von F und B
erzeugt.IndieserAlgebraerzeugtB einnihttrivialesIdealI.DieQuo-
tientenalgebra A = A
0
=I ist dann die Observablenalgebra der Quan-
tenelektro dynamik. Sie wird von den Feldern F
erzeugt. Deren Ver-
taushungsrelationen und Feldgleihungen sind dieselb en wie die aus
Kapitel 3.
Wir wollen jetzt eineHilb ertraumdarstellung nden. Zuerst versu-
henwir,eineDarstellungder FelderA
durhhermitsheOp eratoren
in einem Hilb ertraum K zu konstruieren. K soll einen Vektor ent-
halten, der das Vakuum b eshreibt, und soll durh Anwendung der
vershmiertenFelderauferzeugtwerden.Weitersolleseinep ositive
Energiedarstellung der Poinare-Grupp e geb en, die invariant lasst
und unterder sihA
kovariant transformiert,
U(x;)A
(y)U(x) 1
=A
(y+x)
:
Aus diesen Bedingungen ergibt sihdie Zweipunktfunktionzu
;A
(x)A
(y)
= g
D
+
(x y):
ImEinteilhenraum
K
1
=fA(f); f =(f
);f
2S(R 4
)g
erhaltman das Skalarpro dukt
A(f);A(f)
= Z
d 3
p
2jpj
^
f
(p)
^
f
(p) :
Man erkennt, dass das Skalarpro dukt in K niht p ositiv denit sein
kann, wenn A
0
hermiteshist.
Die 4 Komp onenten in K
1
kann man als zeitartige, longitudinale
und die b eiden transversalenPhotonen interpretieren(jeweilsb ezogen
auf die Rihtung des Impulses). Nur die transversalen Photonen ent-
sprehenphysikalishenTeilhen.ZurEliminationderunphysikalishen
Freiheitsgradeverwendenwir das FeldB. Sei
H
0
=f2K; B(f)=0falls supp
^
f \V
+
=;g :
(Gupta-Bleuler-Bedingung). Dann giltder folgendeSatz:
Theorem IV.2. ;
0 fur 2H
0 .
Beweis: Die n-Teilhenkomp onente
n
von ist eine symmetrishe
Funktion
1 :::
n
n (p
1
;::: ;p
n
)mitp
i 2V
+
.DieGupta-Bleuler-Bedingung
b esagt
Z
d 3
p
2jpj p
^
f( p)g
1
1 :::n
n
(p;p
2
;::: ;p
n )=0:
furalle f mitsupp
^
f \V
+
=;. Alsogilt
p
1:::n
(p;p
2
;::: ;p
n )=0:
furp;::: ;p
n 2V
+
.Da g
aufdemorthogonalenKomplementeines
lihtartigen Vektors p6=0 p ositiv semidenitist,
p 2
=0; qp=0()p
0
=jpj ; q
0 p
0
=qp ;
also unterVerwendung der Shwarzshen Ungleihung
jqj 2
(qp) 2
jpj 2
=(q
0 )
2
;
ist
( 1) n
n
1 :::
n (p
1
;::: ;p
n )
1 :::
n
n (p
1
;p
2
;:::;p
n
)0:
Dies istab er geradeder Integrand, der b eider Berehnungdes Skalar-
pro dukts
n
;
n
auftritt. Alsoist
n
;
n
0furallen und damit
;
0.
Sei N der Nullraum des p ositiv semideniten Skalarpro dukts auf
H
0 ,
N =f2H
0
; ;
=0g :
Dann b esitzt der Quotientenraum H
0
=N ein p ositiv denites Skalar-
pro dukt. Seine Vervollstandigung nennen wir den physikalishen Hil-
b ertraumH.Wirwollenjetztzeigen,dassdieObservablenalgebraAauf
H durh Op eratoren dargestellt werden kann. Die Algebra A
0
b esteht
nah Denitionaus den Feldop eratoren,diemitB vertaushen. Daher
lasstsieden RaumH
0
invariant.AuhderNullraumistinvariantunter
A
0
. Denn sei 2 N und C 2 A
0
. Dann ist wegen der Hermitizitat
von B auh der adjungierte Op erator C
2 A
0
. Damit folgt aus der
Shwarzshen Ungleihung
C;C
= C
C;
kC
Ckkk=0 :
Also b esitzt A
0
eine Darstellung auf demphysikalishen Hilb ertraum
H. Dab ei wird das von B erzeugteIdealauf Null abgebildet,
B(f)2N :
Damiterhalten wirdiegewunshte Hilb ertraumdarstellungder Obser-
vablenalgebra H. Sie stimmtmitder in KapitelI I I konstruiertenDar-
stellung
ub erein. ImGegensatz zudieser lasst sih dieGupta-Bleuler-
Metho deauhaufdenwehselwirkendenFall
ub ertragen.Eine
ahnlihe
Metho de gibt esfurnihtab elsheEihtheorien.
4. Pfadintegral
Eine andere Metho de zur Denition von Quantenfeldtheorien ist
die Metho de der Pfadintegrale.Ursprunglihvon Dira vorgeshlagen,
wurde sievon FeynmaninseinerDoktorarb eit alseinealternativeFor-
mulierungder Quantentheorieentwikelt.
Wir erlauterndieMetho de zunahst amBeispieleines quantenme-
unterdemEinuss desPotentialsV(x)b ewegt.Der Hamiltonop erator
des Systemsist
H =H
0
+V mitH
0
= 1
2m d
2
dx 2
:
Wenn H
0
+V wesentlih selbstadjungiert ist (z.B. fur V stetig und
b eshrankt), dann giltnah der Trotter-Pro dukt-Formel
e itH
= lim
n!1 e
i t
n H0
e i
t
n V
n
; 2L 2
(R):
Fur Testfunktionen 2 S(R) lasst sih die Wirkung des freien Zeit-
entwiklungsop eratorse itH
0
mittelsFourier-Transformationdurhdas
folgende Integral b eshreib en
e itH
0
)(x)= 1
2 Z
dp Z
dye ip(x y )
e it
p 2
2m
(y)
= r
m
2it Z
dye i
m
2 (x y )
2
t
(y)
mit
r
m
2it
= r
m
2jtj e
i
4 sign(t)
:
Ist V unendlihoftdierenzierbarmitp olynomialb eshranktenAblei-
tungen, so gilt furdie Losung der Shrodingergleihung
i
t
(t;x)=(H )(t;x)
mit Anfangswert (0;x)=(x) dieFormel
(t;y
0 )=(e
itH
)(y
0 )
= lim
n!1 r
mn
2it
n Z
dy
1 dy
n e
i t
n P
n
k =1 m
2 (y
k 1 y
k )
2
(t=n) 2
V(y
k )
(y
n )
(Konvergenz imSinne von L 2
(R)).Der Exp onent in der zweiten Zeile
ist eineRiemann-Summe,diedas Integral
i Z
t
0 dt
0
( m
2 _ y 2
V(y))=iI
approximiert,wenn y(t)eineBahnkurveistmity(k t
n )=y
k
. I isthier-
b ei dieklassisheWirkung der Bahnkurve.
Diese Darstellung des Zeitentwiklungsop erators legt die folgende
suggestiveDeutungnahe:Diequantenmehanishe
Ub ergangsamplitu-
de
hyje itH
jxi:=e itH
(y;x)
ergibt sih als eine Sup erp osition der Amplituden fur alle moglihen
Bahnen : [0;t℄ ! R mit (0) = x und (1) = y. Jede dieser Bah-
iI()
Bahnen in der Nahe eines stationaren Punktes der Wirkung, also von
Bahnen inder Nahe der klassishen Losung.
Sei nun W
x;y ;t
die Menge der stetigen Bahnen : [0;t℄ ! R mit
(0)=xund (1) =y. Wirshreib en
hyje itH
jxi= Z
Wx;y ;t D e
iI(
) :
Hierb ei soll
D = lim
n!1 r
mn
2it
n
d(
t
n
)d(
n 1
n t)
das geeignetnormierteIntegralub er alleWege b edeuten.
Wenn es gelingt, dem Pfadintegral fur V = 0 einen mathematish
prazisenSinnzugeb en,dannerhaltmandenIntegrandenfurb eliebiges
V durh MultiplikationmitdemFaktor
e i
R
t
0 dt
0
V((t 0
))
(Feynman-Ka-Formel).Sofern dieser Faktor integrierbar ist,hat man
eine explizite Integraldarstellung fur die
Ub ergangsamplitude gefun-
den.
Bei demVersuh, diese Ideen mathematish zu prazisieren, b erei-
tet der oszillatorishe Charakter der Integrale Probleme. Leihter zu
handhab en sinddieIntegralkerneder p ositivenOp eratorene tH
,t>0
(falls H nahunten b eshrankt ist).Furt>0gilt
e tH
0
(x;y)= r
m
2t e
m
2 (x y )
2
t
:
Der Integralkern von e tH
0
b esitzt diefolgenden Eigenshaften
e tH
0
(x;y)>0;
Z
dxe tH
0
(x;y)=1;
Z
dye tH
0
(x;y)e sH
0
(y;z)=e
(t+s)H
0
(x;z) :
Diese Eigenshaftenkann man alseinewahrsheinlihkeitstheoretishe
BeshreibungderDiusioninterpretieren.Dab eideutetmane tH
0
(x;y)
als dieWahrsheinlihkeitsdihtedafur, dass ein Teilhen durhDiu-
sion (mit der Diusionskonstante D = 1
2m
) in der Zeit t von y nah
x gelangt. Die zweite Gleihung ist die Normierung der Wahrshein-
lihkeit,dass das Teilhenan irgendeinemPunkt ist,auf 1. Die dritte
Eigenshaftharakterisiert einenMarkov-Prozess.
In der Theorieder Brownshen Bewegungfuhrt man aufW
x;y ;t die
StruktureinesMaraumsein.Dab eimussmandasSystemdermessba-
ren Mengen auszeihnen.Hierzu sollen auf jeden Fall diesogenannten
Definition IV.1. EineZylindermengeZ(t
1
;:::;t
n
;B)istdieMen-
ge der Wege mit((t
1
);::: ;(t
n
))2B, wobei B eine messbareMen-
ge in R n
ist und 0<t
1
<:::<t
n
<t gilt.
Mankanndann dassogenannte Wiener-Integralub er Zylindermen-
gen erklaren durh
Z
Z(t
1
;:::;t
n
;B) dW
t
xy
= Z
B dy
1 dy
n e
H0(t tn)
(y y
n )e
H0t1
(y
1
x) :
Es giltnun der folgende Satz:
Theorem IV.3. Sei V stetig und nah unten beshrankt, und sei
H =H
0
+V wesentlihselbstadjungiert.DannistdieFunktione R
t
0 dt
0
V((t 0
))
aufW
x;y ;t
bezuglihdesWiener-Maesintegrabel,undesgilt dieFeynman-
Ka-Formel
(e tH
)(y;x)= Z
dW t
xy e
R
t
0 dt
0
V((t 0
))
:
Beweis: Nah der Trotter-Pro dukt-Formelgilt
(e tH
)(y;x)= lim
n!1 r
mn
2t
n Z
dy
1 dy
n e
t
n P
n
k =1 m
2 (y
k 1 y
k )
2
(t=n) 2
+V(y
k )
:
Nah der Denition des Wiener-Maes ist die rehte Seite der Limes
n !1 der Wiener-Integrale
Z
dW t
xy e
P
n 1
k =1 t
n V((
k t
n ))
ub er dieZylinderfunktionen
!e P
n 1
k =1 t
n :V((
k t
n ))
Diese Funktionen konvergierenpunktweise gegen e R
t
0 dt
0
V((t 0
)
. Wegen
der unteren Shranke an V sind sie gleihmaig durh eine Konstan-
te b eshrankt. Nah demSatz ub er die dominierteKonvergenz ist die
Limesfunktion daher integrab el,und das Integralstimmtmitdem Li-
mes der Integrale
ub er die approximierenden Zylinderfunktionen
ub e-
rein.
AusdiesemSatzfolgtinsb esondere, dassder Integralkernvon e tH
p ositivist.Daraus ergibtsih,dass auhdieGrundzustandsfunktion
(falls es sie gibt) p ositiv sein muss. Man erhalt sie durh die folgende
Formel:
Theorem IV.4. Sei
0 2L
2
(R)positiv. Dann ist
= lim
t!1 e
tH
0 ke
tH
0 k
1
;
falls der Limes existiert, der bis auf einen Phasenfaktor eindeutige
GrundzustandvonH.Wenn derLimesniht existiert,besitzt H keinen
Hieraus erhalt man die folgende Formel fur den Erwartungswert
eines Pro dukts von Funktionen f
i
des Ortsop erators zu vershiedenen
(imaginaren)Zeiten
;e t
1 H
f
1 (x)e
t
1 H
e t
n H
f
n (x)e
t
n H
= Z
d()f
1 ((t
1 ))f
n ((t
n )):
Hierb ei ist ein Wahrsheinlihkeitsma auf dem Raum aller Wege
:R!R.Es ergibtsihals Limest!1 der Mae
Z(t) 1
dx
0
(x)dy
0
(y)dW t;t
y x e
R
t
t dt
0
V((t 0
)
mieinemNormierungsfaktorZ(t).BemerkenswertandieserFormelist,
dassmandieGrundzustandswellenfunktionnihtzurBerehnungder
Erwartungswerte b enotigt.
Wir wollen jetzt entsprehendeFormeln fur die Feldtheoriegewin-
nen. Dazu konstruieren wir zunahst die Shrodingerdarstellung des
freien Skalarfeldes. An die Stelle der Ortsop eratoren treten jetzt die
Zeit-Null-Felder '(0;x). Als Werteb ereih der Felder b etrahten wir
den Raum der temp erierten reellwertigen Distributionen S 0
(R 3
). Wir
suheneinMaaufdiesemRaum,so dassderFo kraummitL 2
(S 0
(R 3
);d)
identiziert werden kann. Ein Vektor des Fo kraums ist dann eine
Funktionauf S 0
(R 3
) mit
Z
j(T)j 2
d(T)=kk 2
:
Die mit Testfunktionenf 2 S(R 3
) vershmiertenZeit-Null-Felderwir-
ken alsMultiplikationsop eratoren,
('(0;f))(T)=T(f)(T):
Zur Durhfuhrung dieses Programms b etrahten wir die von den
Op eratoren e i'(0;f)
erzeugte Algebra
A=f X
f2S(R 3
)
f e
i'(0;f)
;
f
2C;
f
6=0 nurfurendlihvielefg
Jedes ElementC dieser Algebra deniert
ub er
C(T)= X
f
f e
iT(f)
einestetigeb eshrankteFunktionaufS 0
(R 3
),und das punktweisePro-
dukt dieser FunktionenentsprihtdemPro dukt der Op eratoren,
(C
1 C
2
)(T)=C
1 (T)C
2 (T):
Ein Maauf S 0
(R 3
)kannjetztdadurhharakterisiertwerden,dass es
ein linearesFunktional aufdieser Funktionenalgebra b eshreibt,
Z
d(T)C(T)=(C) :
In unserem Fall bietet sih als lineares Funktional der Vakuumerwar-
tungswert an,
(C)= ;C
:
Das zugehorige Ma b eshreibt die Wahrsheinlihkeitsverteilung der
Kongurationen T des Zeit-Null-Feldes imVakuum.
BeidieserBeshreibungdesMaesgibtmanseineFourier-Transformierte
an,
(f):=(f^ )=(e i'(0;f)
)= Z
d(T)e iT(f)
:
Wegen der Positivitat des Skalarpro duktes im Fo kraum (aquivalent
zur Positivitat des Maes) b esitzt (diesogenannte harakteristishe
Funktiondes Maes) dieEigenshaft
X
f;g
(f g)
f
g 0:
Umgekehrt ist jede stetige Funktion auf S(R 3
), die die obige Positi-
vitatseigenshaft b esitzt, die Fourier-Transformierte eines Maes auf
S 0
(R 3
)(Minlos-Theorem).
In unserem Fallist
(f)=e 1
2 f;
1
2!
f
mit
1
2!
f(x)= Z
d 3
y
+
(0;x y )f(y ) :
Mae, deren Fourier-Tranformierte Exp onentiale einer p ositiven qua-
dratishen Form sind, nennt man Gaushe-Mae. Die quadratishe
FormistdieKovarianzdes Maes,
Z
d(T)T(x)T(y )= ;'(0;x)'(0;y )
=
+
(0;x y ) :
GausheMae
ub erR
n
werdendurheinep ositiv semidenitenn-
Matrix K harakterisiert,
Z
d
K (x)x
i x
j
=K
ij
Z
d
K e
i(x;y )
=e 1
2 y ;Ky
:
FallsKinvertierbarist,b erehnetmandurhinverseFourier-Transformation
d
K
(x)=(2) n
2
det(K) 1
2
e 1
2 x;K
1
x
d n
x :
ImunendlihdimensionalenFall gibt es keinLeb esgue-Ma, dieobige
Faktorisierung des Gau-Maes verliert daher ihren Sinn. Das Gau-
GausheMaelassen sihmitHilfeihrerharakteristishenFunk-
tion leihtauf unendlihdimensionalenRaumen erklaren.Sieb esitzen
ab er einigeEigenshaften,dieimendlihdimensionalenFallnihtauf-
treten konnen.
DerallgemeineFallistderfolgende.Wirb etrahteneinenreellense-
parablen Pra-Hilb ert-RaumD.AufDb etrahtenwirdiestetigeFunk-
tion p ositivenTyps
(f)=e 1
2 f;f
:
Sei D 0
der Raum der (niht notwendig stetigen) linearen Funktionale
auf D.WirdeniereneinMa auf D 0
alslinearesFunktionalaufder
Algebra der Funktionenl ! P
l e
il(f)
mitHilfeder harakteristishen
Funktion. Die wihtige Frage ist jetzt, auf welhen Funktionalen das
Ma konzentriertist. Esgiltder folgendeSatz:
Theorem IV.5. Die Menge der stetigen Funktionale hat das Ma
Null.
Beweis: Seikl k:=sup
kfk=1
jl (f)j.Wir denierendieFunktion
F(l )=
e
2 klk
2
; kl k<1
0 ; kl k=1
( > 0). Wir wollen zeigen, dass R
d(l )F(l ) = 0 ist. Dies b edeutet,
dass dieMengederstetigenFunktionale(d.h.derFunktionalemitend-
liher Norm)das Ma Nullhat.
Wir wahlen einOrthonormalsystem(f
k
)in D und setzen
F
n
(l ) =e
2 P
n
k =1 l(f
k )
2
:
Es gilt
F(l ) = lim
n!1 F
n
(l ) ; F
n
(l )1 :
F istalsopunktweiserLimeseinergleihmaigb eshranktenFolgevon
Zylinderfunktionenund daher integrab el, und esgilt
Z
d(l )F(l )= lim
n!1 Z
d(l )F
n (l ) :
Das Integral von F
n
istab er das Integraldes Gaushen Maes
(2) n=2
Z
d n
xe 1+
2 P
n
k =1 x
2
k
=(1+) n=2
:
Hieraus folgtdieBehauptung.
MitHilfedieses Satzeszeigtmanz.B.furdas Wiener-Integral,dass
die Mengeder dierenzierbarenWege Ma Nullhat. Miteiner Mo di-
kation des obigenArgumentszeigt man,dass, falls D einHilb ertraum
ist, furjeden Hilb ert-Shmidt-Op eratorA auf D dieMenge der linea-
ist.AufdieseWeisekann manzeigen,dass dasWiener-Integralaufden
stetigen Wegen konzentriertist.
Im Fall von D = S(R 3
) und einem im Sinne der Shwartz-Raum-
Top ologiestetigenSkalarpro dukt kannman zeigen,dass das Gaushe
Ma auf demRaum der temp eriertenDistributionen konzentriert ist.
Wirhab en denFo kraumalsden L 2
-Raumeines GaushenMaes
mit Kovarianz 1
2!
ub er S
0
(R 3
) dargestellt. Die Zeit-Null-Felder wirken
als Multiplikationsop eratoren, und der Vakuumvektor entspriht der
Funktion (T) = 1. Es bleib en die kanonish konjugierten Impulse
zu b estimmen. Diese wirken als Funktionalableitungen zuzuglih ei-
nes Terms,derdurhdiefehlendeTranslationsinvarianzdesGaushen
Maes verursahtwird.Man b erehnet fur C2A
(0;f)C
(T)= (0;f)C
(T)= [(0;f);C℄
(T)+C (0;f)
(T) :
Der Kommutatorb erehnet sih aus den kanonishen Vertaushungs-
relationen
[(0;f);C℄= 1
i Z
d 3
x ÆC
Æ'(0;x) f(x) :
Die Wirkung aufdemVakuumb estimmtsihaus
(0;f) ='(0;_ f)=iH
0
'(0;f)=i'(0;!f) :
Nahdiesen Vorb ereitungenkonnenwir denIntegralkernvone tH
0
b erehnen. Wirfassen ihn zunahst als Distribution inzweiVariablen
auf,
Z
e tH
0
(T;T 0
)d(T)d(T 0
)(T) (T 0
):= ;e H
0
:
Deren Fourier-Transformation ist
;e i'(0;f)
e tH0
e i'(0;g )
=e 1
2 f;
1
2!
f
e 1
2 g ;
1
2!
g
e f;
e t!
2!
g
:
Diese ist eine Funktion p ositiven Typs und daher die harakteristi-
she Funktion eines Maes. In Analogie zur Theorie der Brownshen
Bewegung fassen wir dieses Ma als die Wahrsheinlihkeitsverteilung
eines durhH
0
b eshrieb enenDiusionsprozesses auf.Sie gibt an, wie
gro dieWahrsheinlihkeitdafur ist,dass eineBahn von Feldkongu-
rationen T
t 0
zur Zeit t den Wert T 0
und zur Zeit 0 den Wert T hat.
Entsprehend denieren wir auh die Wahrsheinlihkeitsverteilungen
fur Feldkongurationen zu Zeiten t
1
> >t
n
mit harakteristisher
Funktion
exp 1
2 X
j f
j
; 1
2!
f
j
X
j<k f
j
; e
(t
j t
k )!
2!
f
k
!
:
Der
Ub ergang zu kontinierlihen Zeiten kann in der folgenden Weise
gemaht werden. Sei f(x 0
;x) = P
f
k
(x)Æ(x 0
t
k
). Dann ist die in
der harakteristishen Funktion auftretende quadratishe Form gege-
b en durh
f;S
2 f
= Z
d 4
xf(x)S
2
(x y)f(y)
mit der 2-Punkt-Shwingerfunktion
S
2
(x)=(2) 4
Z
d 4
p e
ipx
jpj 2
+m 2
:
Die 2-Punkt-Shwingerfunktion ergibt sihaus demFeynmanpropaga-
tor,indemmanp
0
durhip
0 undx
0
durhix
0
ersetzt(
"
Wik-Rotation\).
Fur x
0
= 0 stimmt sie mit
+
ub erein. Sie ist analytish fur x 6= 0
mit einer analytishen Fortsetzung in ein Gebiet des C 4
. Wir wissen
b ereits, dass
+
Randwert eineranalytishen Funktion ist; diese ana-
lytisheFunktion istdie 2-Punkt-Shwingerfunktion.
Das Gaushe Ma mit der 2-Punkt-Shwingerfunktion als Kova-
rianz deniert eine Wahrsheinlihkeitsverteilung
0
auf S 0
(R 4
). Je-
der Testfunktion f 2S(R 4
) wird eineZufallsvariable '(f) zugeordnet
durh
'(f)(T)=T(f); T 2S 0
(R 4
) :
Man nennt' das euklidishefreie massiveSkalarfeld. Seine Korrelati-
onsfunktionen nennt man die Shwingerfunktionen. S
2
ist die Green-
she Funktion des Op erators +m 2
. Wir stellen uns daher
0 vor
als
d
0
=Z 1
e I
E (')
D '
mit der euklidishenWirkung
I
E (')=
Z
d 4
x 1
2 (')
2
+m 2
' 2
und dem Integral
ub er alle Feldkongurationen D ' = Q
x
d'(x). Bei
einer GitterapproximationdeseuklidishenFeldeskann mandieseFor-
mel direktverwenden.ImKontinuumistdiese Formelnurheuristish,
da das Leb esgue-Integral D ' niht existiertund zudem der Integrand
mit Wahrsheinlihkeit1 gleihNull ist.
WehselwirkendeeuklidisheFeldtheorien gewinntman formalaus
der Feynman-Ka-Formel.Furdaszugehorige Wahrsheinlihkeitsma
setzt manan
d(') =Z 1
e R
d 4
xV('(x))
d
0 (') :
Allerdings ist imGegensatz zur Quantenmehanikdie Funktion e R
V
in der Regel niht integrierbar. Im Falle einer translationsinvarianten
Wehselwirkungist dieseineeuklidisheVersiondes Haagshen Theo-
4
2Dimensionen,dassfurnahuntenb eshranktePolynomeV dieFunk-
tione R
g V
integrierbarist.Manerhaltso eineFamilievonWahrshein-
lihkeitsmaen
g aufS
0
(R 2
).Dieseb esitztfurg !1Limespunkte,die
als wehselwirkendeeuklisheFeldtheorien aufgefasst werden konnen.
Durh analytishe Fortsetzung der Korrelationsfunktionenerhaltman
dann die Wightman-Funktionen eines wehselwirkenden Quantenfel-
des.
Die euklidishe Wirkung ist der statishe Anteil der Energie eines
klassishenskalarenFeldesin4Raumdimensionen.Dasob endenierte
Ma kanndaheralsderZustandeinesklassishenstatistishenSystems
statisherFeldkongurationenangesehenwerden,wob ei~dieRolleder
Temp eratur spielt. Diese Beziehung zwishen statistisher Mehanik
und klassisher statistisher Mehanik ermoglihtes, Resultate,die in
einem Bereih erhalten worden sind, in den anderen zu
ub ertragen.
Ein Beispiel ist der Begri des Phasenub ergangs, der aus der statisti-
shen Mehanik stammt und in der Quantenfeldtheorie auf plotzlihe
AnderungeninAbhangigkeitvondenKopplungskonstantenangewandt
wird.
Bei der Denition wehselwirkender euklidisher Theorien treten
ahnliheProblemeauf,wiewirsieshonb eidemVersuhderDenition
wehselwirkenderQuantenfeldtheorien angetroen hab en. Einesdieser
Probleme ist die Denition von Potenzen der Felder. Da ' Werte im
Raum der temp eriertenDistributionenannimmt,isteinAusdruk der
Form'(x) n
nihtwohldeniert.Wirversuhendaher,euklidisheWik-
Potenzen : '(x) n
: zu denieren. Dazu b etrahten wir zunahst die
Struktur der Shwinger-Funktionen.Esgilt
S
n (x
1
;::: ;x
n ):=
Z
d
0 '(x
1
)'(x
n )
=
0 ; n ungerade ;
P
Paarungen Q
Paare S
2 (x
i
;x
j
) ; n gerade :
Diese Formel ist vollig analog zu den Formeln fur die zeitgeordneten
Funktionen des freien Feldes, wob ei S
2
an die Stelle des Feynman-
Propagators tritt. Von der Formel fur die Wightman-Funktionen des
freien Feldes untersheidet sie sih dadurh, dass dort die Paare in
der Reihenfolge ihrer Indizes geordnet werden, in
Ub ereinstimmung
mitderTatsahe,dassdieWightman-2-Punkt-Funktion
+
(x y)des
freien Feldes niht symmetrishunter Vertaushung von x und y ist.
Wirkonnendaherdieselb enkombinatorishenFormelnverwenden,die
b equemerWeisemitHilfevonGraphenb eshrieb enwerden.Sei
ahnlih
wie dort G(n) die Menge der Graphen G mit Vertizes v 2 f1;::: ;ng
und ungerihteten Linien l 2 K(G), die jeweils 2 Vertizes verbinden
Randpunkt genau einer Liniel ist, inZeihen v2l .Dann ist
Z
d
0 '(x
1
)'(x
n )=
X
G2G Y
l2K(G) S
2 (fx
v
;v2l g):
Die Korrelationsfunktionen fur Wik-Polynome ergeb en sih formal
durh die Identizierung b estimmter Vertizes, wob ei die entsprehen-
den Linien weggelassen werden. SeiG(n
1
;::: ;n
k
) dieMenge der Gra-
phen G mitVertizesf1;::: ;kg und ungerihteten Linien l ,so dass der
Vertex i Randpunkt von genau n
i
Linien ist.Wir denierendieWik-
Polynome zunahst als Linearformen auf dem Raum der Polynome
durh
Z
d
0 :'(x)
n
:
n!
'(x
1
)'(x
k )=
X
G2G(n;1;::: ;1
| {z }
k )
Y
l2K(G) S
2 (fx
v
;v2l g):
Furnihtzusammenfallende Punkte x
1
;:::;x
k
konnen auh dieKor-
relationsfunktionen der Wik-Polynomeangegeb en werden,
Z
d
0 Y
i '(x
i )
n
i
n
i
!
=
X
G2G(n
1
;:::;n
k )
Y
i<j S
2 (x
i x
j )
l
ij
l
ij
!
;
wob ei l
ij
die Zahl der Linien zwishen den Vertizes i und j ist. In
derstorungstheoretishenRenormierungeuklidisherFeldtheorienkon-
struiertman dieFortsetzungderKorrelationsfunktionenzu
ub erallde-
nierten Distributionen. Allerdings ist es in der Regel niht moglih,
diese Fortsetzungen alsKorrelationsfunktionen eines euklidishen Fel-
des anzusehen, d.h. insb esondere, dass :' n
: (f) keine Zufallsvariable
ist.
Betrahten wir als Beispiel das euklidishe freie Feld in 3 Dimen-
sionen. In diesemFallistdie Shwingerfunktion gegeb en durh
S
2 (x)=
e mjxj
4jxj :
Die2-Punkt-Korrelationsfunktionen der n-tenWik-Potenzsinddaher
furn >2 nihtmehrintegrab el.Furn =2ab er ergibtsih
Z
d
0 j:'
2
:(f)j 2
= Z
d 6
(x;y)f(x)f(y)S
2
(x y) 2
<1 ;
:' 2
: (f) ist also quadratintegrab el. ImFall n > 2 divergiertdas ent-
sprehende Integral, und fur die renormierten 2-Punktfunktionen ist
das Ergebnis niht notwendig p ositiv, so dass es niht als Erwartungs-
5. Zusammenhangende Funktionen
Beider Entwiklungder Termeder Storungstheorie nah Graphen
kann man dieGraphen inZusammenhangskomp onenten zerlegen.Die
demGraphenentsprehendeDistributionistdasTensorpro dukt derzu
den Komp onenten gehorigen Distributionen, daher reiht es aus, sih
auf die zusammenhangendenGraphen zu b eshranken.Tatsahlih ist
die Zerlegung von Korrelationsfunktionen nah zusammenhangenden
AnteilenunabhangigvonderStorungstheoriedeniertundkanninsb e-
sondere auhfurdiewehselwirkendenTheorien durhgefuhrtwerden.
Sei ! ein lineares Funktional ub er einer (niht notwendig kommu-
tativen) unitalenAlgebra A mitder Normierungsb edingung !(1)=1.
Wir denkendab ei z.B.an das Wightmanfunktional
ub erder Tensoral-
gebra der Testfunktionen,
!(f
1
f
n
)= ;'(f
1
)'(f
n )
;
o der an dasSystemder zeitgeordnetenFunktionenalsFunktional
ub er
der symmetrishenTensoralgebra der Testfunktionen,
!(f
1
f
n
)= ;T'(f
1
)'(f
n )
:
Eine weitere Moglihkeit sind Wahrsheinlihkeitsmae,aufgefasst als
lineare Funktionaleauf der Algebra der Zufallsvariablen,diejederZu-
fallsvariableihren Erwartungswert zuordnen.
Wirwollenzunahstannehmen,dass !eineEntwiklungnahGra-
phen b esitzt,
!(A
1 A
n )=
X
G2G
!
G (A
1
;::: ;A
n );
wob ei!
G
fur jedenGraphen G einmultilinearesFunktional auf A ist,
das faktorisiert, wenn der Graph sih in unverbundene Untergraphen
zerlegen lasst. Wir konnen jeden Graphen in seine Zusammenhangs-
komp onentenzerlegen.Dab eiwirddieMenge derVertizesindisjunkte
nihtleereTeilmengen zerlegt,
f1;:::;ng =I
1
[:::[I
k
; I
j
\I
l
=; furj 6=l :
Eine solhe Zerlegung nennt man eine Partition, und wir b ezeihnen
die Menge der Partitionen von f1;::: ;ng mit Part(f1;:::;ng). Wir
konnenjetztzunahsteinePartitionfesthaltenundnur
ub erdiejenigen
Graphen summieren, deren Zerlegung in Komp onenten die gegeb ene
Partition der Menge der Vertizes ergibt, und anshlieend ub er alle
Partitionen summieren.Sei
!
(A
1
;:::;A
n )=
X
G2G
!
G (A
1
;::: ;A
n );
5. ZUSAMMENHANGENDE FUNKTIONEN 97
wob ei G
G die Teilmenge der zusammenhangenden Graphen b e-
zeihnet.Dann gilt
!(A
1 :::A
n )=
X
P2Part(f1;:::;ng) Y
I2P
!
(A
i
;i2I): (IV.1)
Wirb enutzendieseFormeljetztauhimFall,indemkeineEntwik-
lung nah Graphen gegeb en ist, und b etrahten sie als eine implizite
Denition der zusammenhangenden Funktionen !
als multilinearen
Funktionalen auf A. Tatsahlih lasst sih die obige Gleihung nah
den zusammenhangendenFunktionenauosen,z.B.gilt!
(A)=!(A),
!
(A
1
;A
2
)=!(A
1 A
2
) !(A
1 )!(A
2
),undesgiltdieRekursionsrelation
!
(A
1
;::: ;A
n
)=!(A
1 A
n )
X
℄(P)>1 Y
I2P
!
(A
i
;i2I) ;
wob ei℄(P)die Zahl der Elementeder PartitionP angibt.
Es gibt auh geshlossene Formeln fur die zusammenhangenden
Funktionen.MultilineareFunktionaleaufVektorraumenlassensihim-
mer als lineare Funktionale auf demTensorpro dukt der Vektorraume
auassen. In unserem Fall b etrahten wir die Algebra A als Vektor-
raum. DiezusammenhangendenFunktionenbildeneinSystemmultili-
nearer Abbildungen und lassen sih formalals ein lineares Funktional
auf der Tensoralgebra
TA= 1
M
n=0 A
n
auassen (mit!
(1)=0).Auf der Menge der linearenFunktionaleauf
TA kann das folgende assoziative Pro dukt eingefuhrt werden,
(FG)(A
1
A
n )=
X
If1;:::;ng F(
O
i2I A
i )G(
O
j2I
A
j
) ; (IV.2)
wob eiI
das KomplementvonI inf1;::: ;ngb ezeihnet.Das Einsele-
mentfurdieses Pro dukt istdas lineareFunktional
1(A
1
A
n )=Æ
n0 :
Die denierende Gleihung (IV.1) fur die zusammenhangenden Funk-
tionenlasstsihmitHilfediesesPro duktsinderfolgendenFormshrei-
b en,
!m =e
!
= 1
X
n=0
! n
n!
: (IV.3)
(Hierb ei hab en wir die Multiplikationin der Algebra A zur Denition
einer linearen Abbildung
m:
TA ! A
A A 7! A A
b enutzt.)Denn es gilt
! k
(A
1
A
n )=
X
I
1
;:::;I
k
f1;:::;ng Y
j
!
(
O
i2I
j A
j ) :
Hierb eisinddieIndexmengenpaarweisedisjunkt,undihreVereinigung
ergibt f1;::: ;ng.DieBeitragederleerenMengenvershwindenwegen
!
(1) = 0, daher wird ub er alle Permutationen P 2 Part (f1;:::;ng
summiert.JedePartitiontritt k!malauf,entsprehendder Anzahlder
Nummerierungsmoglihkeiten der Indexmengen. Nah Division durh
k! und Summation
ub erk ergibtsihGleihung(IV.1).
Aus(IV.3)erhaltmandurhUmkehrungderPotenzreihederExp o-
nentialfunktiondiegesuhtegeshlosseneFormelfurdiezusammenhangen-
den Funktionen,
!
=log!m= 1
X
k =1 ( 1)
k
k
(!m 1) k
: (IV.4)
Dieangegeb eneReihekonvergiert,da (!m 1)(1)=0.Ausgeshrieb en
ergibt sih
!
(A
1
;::: ;A
n )=
X
P2Part(f1;:::;ng) ( 1)
℄(P)
(℄(P) 1)!
Y
I2P
!(
Y
i2I A
i ) :
Wir wollen die Formelanwenden auf Elementeder Form
exp
A =
1
X
k =0 1
k!
A k
; A2A :
Wertet man lineare Funktionaleauf TA auf diesen Elementenaus, so
geht das Pro dukt der Funktionale indas Pro dukt der Werteub er,
(FG)(exp
A)=
1
X
n=0 n
X
k =0
n
k
F(A k
)G(A (n k )
)=F(exp
A)G(exp
A) :
Daher gilt
!
(exp
A)=log (!(e A
)) :
(Wir hab en dab ei b enutzt, dass m(exp
A)=e A
gilt.)
Bei diesen Formeln istzu b eahten, dass
ub er dieKonvergenz der
auftretendenReihennihtsgesagtwird.StattdessenwerdensieimSin-
ne formaler Potenzreihen inA interpretiert.
Fur die harakteristishe Funktion des Wahrsheinlihkeitsmaes
der wehselwirkendenTheorie ergibtsihdamit
(f)=
0 (e
i'(f)
e R
V
)
(e R
V
)
=e
(0)((exp
i'(f) 1)exp
(
R
V))
:
Setzen wir V =(g=4!) :' 4
:,so erhalten wir furdie zusammenhangen-
den Korrelationsfunktionendie folgendeEntwiklung nah Graphen,
('(x
1
);::: ;'(x
n ))=
1
X
k =0 ( g)
k
k!
Z
d 4k
(x
n+1
;::: ;x
n+k )
X
G2G
(n1;k 4) Y
1i<jn+k S
2 (x
i x
j )
l
ij
l
ij
!
:
(IV.5)
In dieser Entwiklung nennenwir dieersten n Vertizes,
ub erdie niht
integriertwird,
auere Vertizes, und dieanderen innere Vertizes.
Praktish dieselb e Formelgiltfur die zusammenhangenden zeitge-
ordnetenFunktionender' 4
-Theorie.Manersetztlediglih gdurhig
undS
2
durhi
F
.AusdiesenkannmandannnahdenLSZ-Relationen
die zusammenhangendenS-Matrix-Elementeb estimmen.
Esgibtno heineandereFormel,mitdersihdiezusammenhangen-
de n-Punkt-Funktion b erehnenlasst. Furdie 2-Punkt-Funktion gilt
!
(A
1
;A
2 )=
1
2
(!!)(
~
A
1
~
A
2 )
mit
~
A=A1 1A, wob eiAA alsAlgebra aufgefasst wird mit
dem Pro dukt
(A
1 A
2 )(B
1 B
2 )=A
1 B
1 A
2 B
2 :
Entsprehend ndet man fur dien-Punkt-Funktion
!
(A
1
;::: ;A
n )=
1
n
! n
(
~
A
1
~
A
n
) (IV.6)
mit
~
A= n
X
k =1 e
2 i(k 1)=n
1 A
k -teStelle
1 : (IV.7)
Diese Formelistvor allemdann nutzlih,wennman Positivitatseigen-
shaften von ! verwenden will (!
ist i.a. kein p ositives Funktional).
Ist z.B. ! ein Wahrsheinlihkeitsma , so kann (!
)
n
mit Hilfe des
Pro duktmaes b erehnetwerden.
6. Einteilhenirreduzible Funktionen (Vertexfunktionen)
Die Korrelationsfunktionen einer translationsinvarianten Theorie
hangennurvondenrelativenKo ordinatenab.Diesfuhrtzueinerweite-
renFaktorisierungseigenshaft.SeiGeinGraph,derauszweiUntergra-
phenG
1
undG
2
b esteht,diedurheineLiniel
0
miteinanderverbunden
sind. SeienS
G
1
undS
G
2
diejeweiligenBeitragezurShwingerfunktion.
Dann gilt
S
G (x
i
;i2V(G))=S
G
1 (x
i
;i2V(G
1 ))S
2 (x
j
;j 2l
0 )S
G
2 (x
i
;i2V(G
2 )):
Diese Formel bleibt sinnvoll, auh wenn die Faktoren Distributionen
sind. Denn seien v ;v dieEndpunkteder Liniel inden Graphen G ,
bzw. G
2
. Dann hangen wegen der angenommenen Translationsinvari-
anz S
G
1
nurvon denRelativko ordinateny
i
=x
i x
v
1
,i2V(G
1 )nfv
1 g
und S
G
2
nurvondenRelativko ordinateny
i
=x
i x
v
2
,i2V(G
2 )nfv
2 g
ab. Zusammen mity
l
0
= x
v
1 x
v
2
erhalt man ein System unabhangi-
ger Relativko ordinaten, und man erkennt,dass das obige Pro dukt ein
Tensorpro dukt ist.
WirzerlegendaherzusammenhangendeGraphennahsogenannten
einteilhenirreduziblen (1PI) (b esser: einlinienirreduziblen) Untergra-
phen. Hierb eiheit einzusammenhangenderGraph1PI, wenner niht
durh Weglassen einer LinieinZusammenhangskomp onenten zerfallt.
Zur Durhfuhrung dieserZerlegung fuhren wirzunahst eine
Aqui-
valenzrelationaufderMengederVertizesein.WirnennendieVertizesi
undjdesGraphenGstarkverbunden,wennsieinjedemdurhWeglas-
sen einerLinieaus G entstandenenGraphen durheinen Wegverbun-
den sind. Jede
Aquivalenklasse stark verbundener Vertizes bildet zu-
sammen mitihreninnerenLinien einenmaximalen1PI-Untergraphen.
Zieht man die maximalen1PI-Untergraphen zu einemVertex zusam-
men,so bleibt einBaumgraph(
"
tree\) (d.h. ein Graphohne Shleifen
(
"
lo ops\))
ubrig.
Wir nehmen im folgenden an, dass der Beitrag aller Graphen mit
einem
auerenVertexvershwindet.Diesb edeutet,dass dieEinpunkt-
FunktionNullist.Wirkonnendaherdie1PI-Graphenmiteiner
aueren
Linie weglassen.
Im Fall, dass nur zwei
auere Vertizes vorkommen (dies sind die
Graphen, diezur Zwei-Punkt-Funktionb eitragen), b esitzt der siher-
geb ende Baumgraph dann keineVerzweigungen, und an den Vertizes
der Ordnung 2 sitzen 1PI-Untergraphen, die durh 2 Linien mit dem
ubrigenGraphverbunden sind. Wirintegrierenjetztub er alleVertizes
eines solhen 1PI-Graphen, an denen keine auere Linie ansetzt, und
summieren
ub er die Beitrage aller 1PI-Graphen mit2
aueren Linien.
Wir erhalten eine Funktion (x;y) (im Fall, dass die
aueren Lini-
en am selb en Vertex ankommen,multiplizieren wir den entstehenden
Beitrag mitÆ(x y)).Die storungstheoretishe Formelfurdie zusam-
menhangende Zwei-Punkt-Funktion G
2
der wehselwirkendenTheorie
lautet nun
G
2
(x;y)=S
2
(x y)+
1
X
n=1 Z
d 4n
zS
2 (x z
1 )(z
1
;z
2 )S
2 (z
2 z
3
)(z
n 1
;z
n )S
2 (z
n y):
(IV.8)
Wir b etrahten jetzt die Funktionen G
2
, und S
2
als Integralkerne
2 4
