Analysis auf Mannigfaltigkeiten II (SS 2007)

Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 17. 04. 2007 Dr. J. Ruppenthal

Analysis auf Mannigfaltigkeiten II (SS 2007)

Ubungsblatt 1¨

Aufgabe 1 (Lokale Formel f¨ur den Hodge-∗-Operator).

Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit undx₁, ...,x_n lokale Koordianten auf einer offenen Menge U ⊂M,

g =

n

X

i,j=1

g_ijdx_i⊗dx_j

aufU und (g^kl) die zu (g_ij) inverse Matrix. F¨urω ∈Λ^p(M), ω|_U = X

i1<...<ip

f_i1···i_pdx_i1 ∧...∧dx_ip,

ist dann

(∗ω)|U = X

j1<...<jn−p

hj1···jn−pdxj1∧...∧dxjn−p,

wobei die Koeffizientenh_j1···jn−p unter Verwendung der Inversen des metrischen Ten- sors wie folgt berechnet werden:

h_j1···jn−p = q

det(g_ij)

n

X

r1,...,rp=1

sign

1 2 · · ·(n−1)n r1· · ·rp j1· · ·jn−p

X

k1<...<kp

g^r1k1· · ·g^rpkpf_k1···k_p.

Aufgabe 2.

Es seiG⊂⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mitC¹-Rand und definierender Randfunk- tion r∈C¹(Rⁿ), d.h.

i. G={x∈Rⁿ :r(x)<0}, ii. dr(x)6= 0 ∀x∈∂G.

Dann heißt

ν(x) := ∇r(x) k∇r(x)k

¨außeres Einheitsnormalenfeld an∂G. Das Fl¨achenelement dS auf ∂G ist durch dS = ι^∗(∗dr)

kdrk =

n

X

j=1

(−1)^jν_j ι^∗(dx₁∧...dxj−1∧dx_j+1∧...dx_n)

gegeben, wobeiι:∂G ,→Rⁿ die kanonische Einbettung bezeichnet. Zeigen Sie:

νkdS = (−1)^k−1ι^∗(dx1∧...dxk−1∧dxk+1∧...dxn).

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Aufgabe 3 (Satz von Gauß).

Unter den Voraussetzungen von Aufgabe 2 sei

F ∈C¹(G,Rⁿ)∩C⁰(G,Rⁿ)

ein differenzierbares Vektorfeld mit stetiger Fortsetzung auf den Rand. Verwenden Sie den Satz von Stokes und Aufgabe 2, um den Satz von Gauß zu beweisen:

Z

G

divF dV = Z

∂G

hF, νidS.

Dabei ist dV = dx₁ ∧ ...∧ dx_n das Volumenelement und divF = Pn j=1

∂Fj

∂xj die Divergenz des VektorfeldesF.

Aufgabe 4 (Greensche Formeln).

Unter den Voraussetzungen von Aufgabe 3 und 4 seienf, g∈C²(G). Verwenden Sie den Satz von Gauß, um die Greenschen Formeln zu beweisen:

Z

G

h∇f,∇gidV = Z

∂G

f ∂_νg dS+ Z

G

f∆g dV, Z

G

(f∆g−g∆f)dV = − Z

∂G

(f ∂_νg−g∂_νf)dS.

Dabei ist ∂_νg = hν,∇gi die Ableitung von g in Richtung des ¨außeren Einheitsnor- malenfeldes ν an G. (Man beachte: ∆ =−div∇.)

Aufgabe 5 (Fundamentall¨osung des ∆).

F¨urn ≥2 sei Γ_n∈C^∞(Rⁿ\ {0}) gegeben durch Γ_n(x) :=

( ₍₋₁₎

(2−n)σn−1kxk²⁻ⁿ f¨urn ≥3,

(−1)

2π logkxk f¨ur n= 2.

Dabei ist

σn−1 = Z

∂Sⁿ⁻¹

dS =nωn= Z

B1(0)⊂Rⁿ

dV.

Γn heißt Fundamentall¨osung der Laplacegleichung. Sei nun allgemein f ∈ C²(Rⁿ) eine rotationssymmetrische Funktion, alsof(x) =f(r) mit r=kxk. Zeigen Sie:

∆f =− r¹⁻ⁿ ∂

∂r

rⁿ⁻¹∂f

∂r

und folgern Sie ∆Γ_n = 0 aufRⁿ\ {0}. Es seiu∈C₀^∞(G). Verwenden Sie die zweite Greensche Formel, um die Greensche Darstellungsformel

u(x) = Z

G

Γ_n(x−y)∆u(y)dV(y) f¨ur alle x∈G zu beweisen. Das heißt, es ist

∆Γ_n=δ₀

im Distributionssinne, was die Bezeichnung von Γ_n rechtfertigt.

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