dt P d dt

1

5c Dynamik

Animation follows the laws of physics — unless it is funnier otherwise.

Zusammenfassung

Newton 1+2

Grundlegende Gesetzte der klassischen Mechanik werden durch die Newtonschen Gesetze beschrieben

Trägheitsprinzip, Aktionsprinzip, Reaktionsprinzip

Eine Masse widersetzt sich einer Änderung seines Bewegungszustandes.

Man nennt diese Eigenschaft Trägheit.

dt P d dt

m d a

m

F r r r r

=

=

= v

Ein Bezugssystem in dem die Newtonschen Gesetze gültig sind, nennt man Inertialsystem

Bezugssysteme, die in Bezug auf ein Inertialsystem beschleunigt bewegen, sind keine Inertialsysteme.

Das Bezugssystem Erde kann annähernd als Inertialsystem angesehen werden

Eine Kraft F wird mit Hilfe der Beschleunigung a definiert

Eine Kraft von 1 Newton (1 N) erzeugt bei einem Körper der Masse 1 kg eine Beschleunigung von 1 m/ s²

Die Masse eines Körpers kann durch einen Vergleich der Beschleunigungen bestimmt werden m

₁

: m

₂

= a

₂

:a

₁

const p

P

i

=

= ∑ ^r

ⁱ

Impulserhaltungssatz r

3

Zugkräfte

Die Zugkraft T (Seilspannung) ist eine Kraft entlang eines Mediums, z.B. die Kraft übertragen durch ein Seil, Kabel, Ketten aber auch Sehnen (engl. tendor > tension)

T

mg w

T

w T

F

_res

=

=

=

−

= 0

cht Gleichgewi

m

Wichtig: Richtung der Zugkraft ändert sich, aber nicht der Betrag

w

Seiltänzer

Kräftezerlegung

T T

W T

T T

T T

T T

T T

F

R L

R L

x R x

L

x R x

L x

=

=

=

=

=

−

=

α α cos cos

0

, ,

, ,

α α

sin 2

1 sin 2

2

0

T mg

mg T

W T

W T

T F

y y y

y

=

=

=

=

− +

=

x-Komponente

R

L α

α =

Der Einfachheit halber steht der Seiltänzer in der Mitte des Seils y-Komponente

F

g

T T

⋅

=

⇓

⋅ =

=

°

=

20

N 13720 0.05

(9.8m/s²) (70kg)

2 1

3 Winkel

kg 70 Seiltänzer

α

Seil muss das 20-fache der Gewichtskraft aushalten

L

Zugspannung in beiden Selstücken ist gleich

α α _R

5

Zusammenfassung

Reibung

2 v²

1 ⋅

= c A ρ F r

_R^t _w

Haft- und Gleitreibung

Normalkraft

Reibungskraft

Luftwiderstand Minimierung der

Reibung im Tierreich

Reibungsminderung in der turbulenten Grenzschicht

turbulent

Reibung in Strömungen

Rillenstruktur verhindert Querströmungen

laminar

Oktober 1974 nach OPEC Öl embargo Vektor der Normalkraft steht

immer senkrecht zur Oberfläche Vektor der Reibungskraft ist immer der Bewegungsrichtung entgegengesetzt

Gleit- und Haftreibungskraft werden durch Multiplikation der Normalkraft mit einer Materialkonstante (μ<1) berechnet

Bagger fahren

Stimmt auch für das Fahrrad

Auch wenn es nicht so aussieht

Der Teil der Baggerkette, die sich auf dem Boden aufliegt, befindet sich in RUHE !

Geringe Gefahr des Rutschens durch Haftreibung

Kontakt mit dem Boden Bewegungsrichtung

der Kette

7

ABS

Antiblokiersystem beim Automobil

Drücken des Bremspedals reduziert nur die Umdrehungszahl der Reifen

Übergang von Haft- nach Gleitreibung führt zu instabilem Fahrverhalten

Geschwindigkeitssensoren and den Rädern

Geschwindigkeitssensoren and den Rädern

Skifahren

Für alle Schneeverhältniss der richtige Wachs

Geeigneter Wachs für Skier

hohe Haftreibung

geringe Gleitreibung

9

Vektorkräfte

verminderte Beschleunigung durch Reibung

Newtons zweites Axiom Beschleunigung eines Objektes

setzt sich zusammen aus der Summe aller von außen

wirkenden Kräfte

f R

mg w =

F N

N

= 80 F H

x

F H _, y

F H _{, 13 ° = 0 . 7 1 2 kg}

μ

H

Normalkraft

Reibungskraft

Gewichtskraft

N H

R

F

f = μ

Reibung ist proportional zur Normalkraft

Anfangsbeschleunigung

f R

w F N

N

= 80 F r H

x

F H _, y

F H _,

F N

f R

y

F

H_,

x

F

H_,

w

° 13

Kräftediagramm

, _y = _N − + _y = 0

res F mg F

F

( y )

H

R mg F

f = μ −

kg 2

1 μ

_H

= 0 . 7

( ^{118 N 18 N} ) ^{70 N}

0.7 − =

R = f

f F

F _{res , x} = _x −

°

= _H cos 13

x F

F ^a

^x

^{= a = F}

^res,x

_m ^{− f}

^R

^{= 77.95} ₁₂ ^N _kg ^{− 70 N = 0.66 m/s²}

N 77.9 13

,_x

=

_H

cos ° =

H

F

F

N 8.0 1 13

,_y

=

_H

sin ° =

H

F

F

F r H

F r H vertikale Kraftkomponente

horizontale Kraftkomponente

Resultierende Beschleunigung

vertikal horizontal

Betrag

11

Shipping News

Höhe des Hause 9m Grundfläche 6x6 m²

Volumen 324 m³ Dichte von Holz

ρ

= 800 kg/ m³

t 26 kg

900 25

m³ m³ 324

800 kg 0.1

≈

=

⋅

=

=

HH HH

HH HH

M M

V

M βρ

abgeschätzter Holzanteil

β=10%

Shipping News

25 Personen n

_M

= 25 F

_Mensch

= 300 N

N 10 62 . 7

N 10 54 . 2

N 10 54 . 2

kg 900 25

3 4 5

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

=

=

↓

=

g G G

R

g H H

R

HH g

HH

F F

F F

g M F

M

μ μ

Masse des Hauses 25.9 t

Ski auf Eis

Haftreibungskoeffizient μ

_H

= 0.1 Gleitreibungskoeffizient μ

_G

= 0.03

Das Haus

Holzanteil des Hauses β=10%

Dichte von Holz ρ=800 kg/m³

25 85

N 10 54 .

2

⁴

≈

≈

↓

⋅

=

⋅

=

G M H M

Mensch M

g H g

n n

F n F

F

Skifahrt auf Schnee grau: T=0°

blau: keine T-Änderung

Das Haus in Bewegung setzten ist das Problem ! Gewichtskraft

Haft- Gleit-

Das könnte gehen!

13

Viskose Reibung

Öl

v 6 r F

_R

= − πη

Betrachte fallende Kugel mit Radius r in zäher Flüssigkeit wie z.B. Öl

η: Viskosität der Flüssigkeit

Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Kugel

Verhalten unter Schwerkraftbedingungen

r mg

mg r

F F

_{R G}

πη πη

v 6

v 6

=

−

=

−

=

Kugel bewegt sich

mit konstanter

Geschwindigkeit

Reibungskraft bei laminarer Strömung

Maximale Geschwindigkeit

( )

∫

∫

∑

−

=

−

=

=

−

=

=

=

=

− +

=

=

t l l l

l l

l l

l y

m dt d D

-

m dt D -

d

dx d D

m

D - mg dt

d D

m

dt mg-D m d

D mg

a D mg

ma F

0 v

0 t

t

t t

' v v'

v' 1

v v

v

v - v v

v v v v

II Newton n

Integratio v

0 :

t hwindigkei Höchstgesc

v Strömung laminare

Annahme

Bewegungsgleichung

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

=

−

−

=

m t D m t D m t D -

l l l

exp 1

v v

v exp 1 v

v v ln v

t t

t t

c c

v

t

v

t ⇒ →

Grenzen 0 bis v Grenzen 0 bis t

Lösung der Integration

∞

Entwicklung der Geschwindigkeit

→

Geschwindigkeit geht asymptotisch gegen v

_t

D

l

= mg

v

t

15

Maximale Geschwindigkeit

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

−

= t

m D

_l

exp

1 v v(t)

_t

Lösung

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

−

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

−

=

=

m t g D

a

m t D m

D D a mg

m t D m

a D

m t D dt

d dt

d dt

a d

l l l

l

l l

l

exp exp

exp v

0

exp v v

v

t

t t

Beschleunigung

verringert sich exponentiell

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

−

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

−

=

=

⇔

=

∫

∫

∫

m t D D

t m y

m t D m

dy D

m t D m

D

dt dt y

dy

l l

t l

y l

l l

1 exp v

' exp

v '

exp v

v

v v

t t 0 0

t

Entwicklung der Ortskoordinate Hier nur die Lösung

Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit

D

l

= mg

v

t

Fallschirmsprung

F L

F g

17

Fallschirmsprung

F L

F g L

g

res ma F F

F = = −

Gleichgewicht, d.h. keine weitere Beschleunigung a=0

2 v² 1

L

= c A ρ ⋅ F r

_w

ρ ρ

A c

mg A c mg

w w

v 2

2 v² 1

max

=

⋅

=

Maximal mögliche Geschwindigkeit Gleichgewicht der Kräfte

turbulente Strömung

Für große Zeiten bewegt sich der

Fallschirmspringer mit einer

konstanten Geschwindigkeit

18

Momentane Geschwindigkeit

numerische Berechnung der geschwindigkeit beim Fallschirmsprung

s 0.1 und s 1.0 t

m/s 0.0 v

kg 80

= Δ

=

= m

t s vΔ Δ =

m A g c

a

^w

v²

2

1 ⋅

−

= ρ

Δt t

t

t a +

=

Δ +

=

= Δ

v v

v

Δ v

Startwerte

Realisierung: excel oder C Programm

19

Charley "Mile-a-Minute" Murphy

1899

Schneller als jedes Automobil

1.6 km/ min 96 km/ h

26.6 m/s

Man beachte den

großen Schirm, der

den Luftwiderstand

erheblich reduziert.

Bruce Bursford (1996)

334,6 km/h (208 mph)

Weitere Versuche

21

Formfehler

cw-Wert für verschiedene Körperformen

c_w=0.40 A=3.61 m² c_wxA=1.44 m²

c_w=0.51 A=3.17 m² c_wxA=1.62 m²

c_w=0.45 A=3.11 m² c_wxA=1.40 m²

c_w=0.46 A=5.17 m² c_wxA=2.38 m²

A c

F r man _L ^t ≈ beeinfluss _w en kann

Was

Produkt ist interessant für Treibstoffverbrauch