dt dt

Theorie B (SS2003) Musterlosung Ubungsblatt 6 13.06.03

1 a)

Lagrangefunktion: L= 1

2 mr_

2 a

jrj 2

,

Wirkung: S = Z

t

b

ta

dtL(r;r)_ ,

Transformation: r

=r(1+");t

=t(1+2"),

transformierte Wirkung: S

= Z

t

b

t

a dt

L(r

;r_

).

Dazu: r_

dr

dt

= dr

dt dt

dt

,

t= t

1+2"

! dt

dt

= 1

1+2"

; dr

dt

= dr

dt

(1+")r(1_ +") ! r_

=r_ 1+"

1+2"

S

soll infuhrender, linearer Ordnung " entwikelt werden. Geometrishe Reihe:

1+"

1+2"

= (1+")[1 2"+O("

2

)℄=1 "+O("

2

)

) _

r

= _

r(1 ")+O("

2

) )

(_

r

) 2

=( _

r) 2

(1 2")+O("

2

)

Genauso wird r

in das Potential eingesetzt und mit der geometrishen Reihe entwikelt:

1

jr

j 2

= 1

jrj 2

1

(1+") 2

= 1

jrj 2

1

1+2"+O("

2

)

= 1

jrj 2

(1 2"+O("

2

))

Damit ergibt die Lagrangefunktion inS

:

L(r

;r_

)=L(r;r)_ (1 2")+O("

2

)

Wirkung S

: Substitution der Integrationsvariable t

!t,

S

= Z

t

b

ta dt

dt

dt

L(r;r)(1_ 2") ; dt

dt

=1+2"

= Z

t

b

ta

dtL(r;r)(1_ +2")(1 2")

= S(1 4"

2

)=S+O("

2

)

Die fuhrende Korrekturzu S istalso "

2

, in linearer Ordnung sind S und S

identish.

b)

Das Resultat S

= S +O("

2

) kann auh ausgedrukt werden durh dS

d"

"=0

= 0. Daraus

wurdeinderVorlesungabgeleitet,daeineErhaltungsgroeexistiert(Noethertheorem),undzwar

Q= X

i L

x_

i i

+ L X

i L

x_

i _ x

i

!

| {z }

'=onst: ; i=x;y;z

Der Ausdruk in den Klammern ist oenbar ( ) die Hamiltonfunktion H. Die innitesimale

Transformationist dabeiallgemein deniert als

x

i

=x

i +"

i

; t

=t+"'

In unserem Fallgilt also

i

=x

i

;'=2t,und so

L

x_

i

=mx_

i

; H= X

i mx_

2

i

L= 1

2 mr_

2

+ a

jrj 2

1

2 m_r

2

+U(r)=E ; Energie

das heit, Q=mrr_ 2Et . Ist Qtatsahlih erhalten?!

dQ

dt

=mrr+m(_r) 2

2E 2t dE

dt

Dazu brauhen wir die Bewegungsgleihung,

d

dt L

x_

i L

x

i

=0 ) mr= rU(r)= r

a

x 2

+y 2

+z 2

= 2ar

jrj 4

F(r)

Damit folgt

dE

dt

=mr_r+rU(r)r_ =r[_ mr F(r)℄=0

Das wareh klar, Energieerhaltung.Die KonstanzvonQ istaberwenigerselbstverstandlih, diese

hangt namlih ander speziellen Form des Potentials U(r):

dQ

dt

= mrr+mr_ 2

2E

= mrr 2U(r)=F(r)r 2U(r)

= 2ar

jrj 4

r 2 a

jrj 2

=0

)

2 Teilhen, Lagrangefunktion: L = 1

2 m(_r

2

1 +r_

2

2

) U(r

1 r

2 ),

Transformation: r

i

=r

i

"vt, v= beliebiger, konstanter Vektor; i=1;2,

Transformierte Wirkung: S

= Z

t

b

t

a dt

L(r

i

;r_

i ),

Dazu brauhen wir wieder dt

=dt ; r_

i

dr

i

dt

= dr

i

dt

=r_

i

"v,

also istdie transformierte Lagrangefunktion

L(r

i

;r_

i ) =

1

2 m[(_r

1

"v) 2

+(_r

2

"v) 2

℄ U(r

1 r

2 )

= 1

2 m(_r

2

1 +r_

2

2

) U(r

1 r

2

) "mv(r_

1 +r_

2

)+O("

2

)

= L(r

i

;r_

i )+"

d

f(r

i

)+O("

2

)

mit f = mv(r

1 +r

2 ).

Die Lagrangefunktion



andertsih also um die totale Zeitableitung einer Funktion f, und furdie

transformierte Wirkung ergibt sih mit dt

=dt,

S

= Z

t

b

t

a

dtL(r

i

;r_

i )+"

Z

t

b

t

a dt

df

dt

+O("

2

)

= S+"(fj

t

b fj

ta

| {z }

=onst:

)

DieGalileitransformationlatalsodieWirkunginlinearerOrdnung"nihtinvariant,allerdings

bestehtdie



Anderung lediglih auseiner Konstanten.Die Lagrangegleihungen furr

i

entsprehen

daher denen fur die r

i

, denn die Variation der Wirkung unter einer innitesimalen Veranderung

der Bahnbeifestgehaltenen Endpunkten istgleih,

ÆS

=ÆS=0

2 a)

Angenommen, das Pendel shwingt in der x-y-Ebene, y zeigt nah unten (Rihtung der

Shwerkraft), dann ist x =lsin(');y= los ('), und die kinetishe Energie lautet (wie

 ublih)

T = 1

2 ml

2

(')_ 2

. Die potentielle Energieist U(') =mgh= mglos('). Damit

L(';')_ = T U = 1

2 ml

2

(')_ 2

U(')

E(';')_ = T +U = 1

2 ml

2

(')_ 2

+U(')

Energieerhaltung:

dE

dt

=ml 2

_ ''+

U(')

' _ '=

"

ml 2

 '+

U

'

#

_ '

Mit der Lagrangegleihung

d

dt L

'_ L

'

=0 =) ml 2

 '+

U

'

=0

folgt sofort dE

dt

=0 .

b)

Da die Gesamtenergie erhalten ist, konnen wir diese auf einen willkurlihen festen Wert

E

setzen und nah '_ auosen:

E =E(';')_ =) '_ = d'

dt

= s

2(

E U('))

ml 2

Trennung der Veranderlihen und Integration beider Seiten,

d'= s

2(

E U('))

ml 2

dt =) dt = v

u

u

t

ml 2

2(

E U('))

d' =) t t

0

= s

ml 2

2 Z

d'

q

Furkleine Auslenkungen mit os (')1 1

2 '

2

wird das Potential

U(') 1

2 mgl'

2

mgl

und wir mussen das Integral

t t

0

= s

ml 2

2 Z

d'

q

(

E+mgl) 1

2 mgl'

2

berehnen. Die Konstante mgl kann als Bezugsenergie in

E absorbiert werden, (

E +mgl) !

E

(d.h., wir messen

E relativ zu mgl; wir hatten auh shon am Anfang einen entsprehenden

Bezugspunkt im Potential wahlen konnen). Das Integral lautet dann

t t

0

= s

ml 2

2

E Z

d'

q

1 mgl

2

E '

2

Mit der Substitution x= s

mgl

2

E

' wird daraus

!

0 (t t

0 )=

Z

dx

p

1 x 2

=arsin (x) C=arsin 0

s

mgl

2

E '

1

A

C mit !

0

= r

g

l

Die beidenIntegrationskonstanten t

0

und C konnen zusammengefat werden, :=!

0 t

0 C,

'(t)= s

2E

mgl sin (!

0

t )

Furdie Energie

E wurde wiederE geshrieben.

)

Das '(t) von oben entspriht der allgemeineLosung der Bewegungsgleihung (Lagrangeglei-

hung) '+! 2

0

' = 0. Die Anfangsbedingungen '(0) und '(0)_ steken hier in der Integrations-

konstanten und der (ebenfalls konstanten) Erhaltungsgroe E:

'(0)= s

2E

mgl

sin ( ) ; '(0)_ = s

2E

mgl

!

0

os ( )

Mit diesen zwei Gleihungen konnen die Anfangsbedingungen in und E umgerehnet werden

und umgekehrt. Beispiel:

'(0)=0 ) =0 ; '(0)_ =

0 )

s

2E

mgl

=

0

!

) '(t)=

0

!

sin (!

0 t)