Institut f¨ur theoretische Physik Universit¨at zu K¨oln
Prof. Dr. Martin Zirnbauer Charles Guggenheim
Klassische Theoretische Physik 2 – ¨ Ubungsblatt 13
Abgabe bis 2.2.2016
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~cg/ktp2
Aufgabe 13.1. Freies Teilchen auf der Sph¨are
Betrachten Sie ein ansonsten freies Teilchen, welches durch Zwangskr¨afte auf die Oberfl¨ache einer Sph¨are mit RadiusR gebunden ist.
a. Bestimmen Sie die holonomen Zwangsbedingungen und w¨ahlen Sie geeignete Koordina- ten f¨ur den Ort q des Teilchens.
b. Wie sieht die Zwangskraft Z aus? Wie sieht der Tangentialraum TNSR2 am Nordpol aus?
c. Formulieren Sie die Lagrange-Funktion in diesen Koordinaten.
d. Gibt es zyklische Koordinaten? Wie sehen Teilchenbahnen q(t) aus?
Hinweis: Sie m¨ussen die Bahnen nicht explizit ausrechnen.
Aufgabe 13.2. Kleine Schwingung
Mit welcher Frequenz schwingt ein Teilchen in einer Dimension mit der Massembei kleiner Auslenkung aus einer stabilen Gleichgewichtslagex0 in einem Potential U(x)?
Aufgabe 13.3. Hamilton-Funktionen
Bestimmen Sie f¨ur die Systeme aus Aufgabe 12.2 die Hamilton-Funktion H(q, p) als Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion.
Aufgabe 13.4. Hamiltonsche Mechanik
Zeigen Sie die folgenden Aussagen ¨uber die Hamilton-FunktionH(q, p, t) =pq−L(q,˙ q, t)|˙ q=h(p)˙ . a. F¨ur ein autonomes System, d.h. H ist nicht explizit zeitabh¨angig, gilt
d
dtH(q(t), p(t)) = 0. b. F¨ur einen kinetischen Term der FormT(q,q, t) =˙ P
k,lakl(q, t) ˙qkq˙l gilt:
H =T+U .
Die Hamilton-Funktion ist also gleich der Gesamtenergie des Systems und nach Teilaufgabe a) erhalten.
1
