Das Verfahren als Algorithmus

(1)

Multiplikation

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐Logik und Arithmetik 79

(2)

Multiplikation nach der Schulmethode

Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a * b? Beispiel:

Multiplikand A: 1 1 0 1 0 Multiplikator B: * 1 1 0 1 ---

Produkt:

(3)

Maximale Länge des Ergebnisses

Beobachtung: Multiplikand der Länge n Bits und Multiplikator der Länge m Bits ergibt Produkt einer Länge mit maximal n+m Bits.

(4)

Das Verfahren als Algorithmus

Beispiel 1001*0101:

1 0 0 1

* 0 1 0 1 --- 1 0 0 1 + 0 0 0 0 ---

1 0 0 1 + 1 0 0 1

--- 1 0 1 1 0 1 + 0 0 0 0

--- 0 1 0 1 1 0 1

Start Teste erstes Multiplikator

‐Bit

Shifte Multiplikand ein Bit nach Links

Shifte Multiplikator ein Bit nach Rechts Addiere Multiplikand

zum Produkt

5ter Durch‐

lauf?

Ende

0 1

ja

nein Beispiel für

4‐Bit‐Zahlen

(5)

Das Verfahren in Hardware

8‐Bit Multiplikand

8‐Bit ALU

8‐Bit Produkt Control

Test

4‐Bit Multiplikator

Beispiel für 4‐Bit‐Zahlen Rechts‐Shift

Links‐Shift Demonstration mit

1001 * 0110 = 110110

1. Produkt = Produkt + Multiplikand, wenn Bit 0 des Multiplikators = 1

2.Links‐Shift

3.Rechts‐Shift

4. Anzahl Durch‐

läufe = 5Ende

(6)

Vorzeichenbehaftete Multiplikation

• Möglichkeit 2:

Tausche im Verfahren der vorigen Folie das Produkt‐

register mit einem vor‐

zeichenbehafteten Rechts‐

Shift‐Register aus.

‐ Betrachte Multiplikand x und Multiplikator y.

‐ Sei x‘ = x wenn x nicht‐negativ bzw. x‘ = ‐x sonst.

‐ Sei y‘ = y wenn y nicht‐negativ bzw. y‘ = ‐y sonst.

‐ Berechne z‘ = x‘ * y‘.

‐ Ergebnis z = z‘ wenn x und y nicht‐negativ oder x und y negativ, ansonsten ist z = ‐z‘.

(7)

Weitere Beschleunigungen

Beobachtung:

1 0 1 1 (Y)

* 1 1 1 0 (X) ---

0 0 0 0 + 1 0 1 1 ---

= 1 0 1 1 + 1 0 1 1 ---

= 1 0 0 0 0 + 1 0 1 1

---

=1 0 0 1 1 0 1 0 (Z) 4‐Bit‐ALU

c s₃ s₂ s₁ s₀

Eine ALU für jede Summation

4‐Bit‐ALU

c s₃ s₂ s₁ s₀

4‐Bit‐ALU

c s₃ s₂ s₁ s₀

x₀*y₀ x₀*y₃y₂y₁

x₁*y x₂*y

x₃*y

z₇z₆z₅z₄z₃ z₂ z₁ z₀ Beispiel für 4‐Bit‐Zahlen

(8)

Weitere Beschleunigungen

Jede ALU‐Operation verbrauche einen Taktzyklus. Wie viele Taktzyklen dauert die Multiplikation von 32‐Bit‐Zahlen?

Parallele Organisation der ALUs in einen Binärbaum (keine weiteren Details hier)

(9)

Division

(10)

Division nach der Schulmethode

Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a : b? Beispiel:

Dividend Divisor Quotient 1 0 0 1 0 1 0 : 1 0 0 0 =

Rest:

(11)

Das Verfahren als Algorithmus

Beispiel 1001 : 10:

Dvdt :Dvsr= Qtnt 001001 : 10 = 00100 -000000 100000

--- 01001

-00000 10000 ---

1001

-1000 1000 ----

001

-000 100 ---

01

-00 10 --

1 Rest Start

Teste Rest

Shifte Divisor ein Bit nach Rechts Shifte Quotient nach

Links und setze dessen LSB=1.

6ter Durch‐

lauf?

Ende

<0

≥0

ja

nein Subtrahiere

Divisor vom Rest

Restauriere den alten Rest. Shifte Quotient

nach Links und setze dessen LSB=0.

Beispiel für 4‐Bit‐Zahlen

(12)

Das Verfahren in Hardware

8‐Bit Divisor

8‐Bit ALU

8‐Bit Rest Control

Test

4‐Bit Quotient

Beispiel für 4‐Bit‐Zahlen Links‐Shift

Rechts‐Shift Demonstration mit

1001 : 0010 = 100 Rest 1

1. Rest=Rest‐Divisor, wenn Divisor < Rest

2. Links‐Shift; LSB=Rest wurde verändert 3. Rechts‐Shift

4. Anzahl Durch‐

läufe = 6Ende

(13)

Vorzeichenbehaftete Division

• Umgang mit dem Quotienten (analog wie für Multiplikation):

‐ Betrachte Divisor x und Dividend y (also: Quotient z von y:x).

‐ Sei x‘ = x wenn x nicht‐negativ bzw. x‘ = ‐x sonst.

‐ Sei y‘ = y wenn y nicht‐negativ bzw. y‘ = ‐y sonst.

‐ Berechne Quotient z‘ von y‘ : x‘.

‐ Ergebnis z = z‘ wenn x und y nicht‐negativ oder x und y negativ, ansonsten ist z = ‐z‘.

• Und was ist das Vorzeichen des Rests? Beispiel:

•Also: Vorzeichen des Rests ist Vorzeichen des Dividend.

Dividend : Divisor Quotient Rest Quotient * Divisor + Rest = Dividend

7 : 2 3 1 3 * 2 + 1 = 7

-7 : 2 -3 -1 -3 * 2 – 1 = -7

7 : -2 -3 1 -3 * -2 + 1 = 7

-7 : -2 3 -1 3 * -2 – 1 = -7

(14)

Gleitkommazahlen

(15)

Reelle Gleitkommazahlen

Kleine Zahl Große Zahl Beispiel

Wissenschaftliche Darstellung

(eine Ziffer links des Kommas) Normalisierte Darstellung

(keine führende Null)

(16)

Binäre Gleitkommazahlen

Was ist der Dezimalwert der binären Gleitkommazahl 101,1001?

Was bedeutet 11,011 * 2²?

Also: mit 2ⁱ multiplizieren verschiebt das Komma um i Stellen nach rechts.

Analog: mit 2^‐i multiplizieren verschiebt das Komma um i Stellen nach links.

(17)

Binäre Gleitkommazahlen

Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625?