Bsp. 4: Die Maxwellverteilung

Statistische Mechanik, SS21: ¨ Ubung 1

Abgabefrist: Mi., 21. April 2021, 8:00 a.m.

Besprechung: Fr., 23. April 2021

Bsp. 1: Großkanonische Zustandssumme

10 Punkte Die von Neumann Entropie ist gegeben durch

S(P_r) =−kX

r

P_rlnP_r, (1)

wobei P_r die Wahrscheinlichkeit ist, dass das System im Mikrozustandr ist.

(a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten Pr, f¨ur die S(Pr) extremal wird, unter den Nebenbe- dingungen P

rP_r = 1, P

rE_rP_r = E, P

rN_rP_r = N. Es sollen alle drei Nebenbedin- gungen gleichzeitig gelten. Ber¨ucksichtige die Nebenbedingungen unter Verwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Bestimme die drei Lagrange-Multiplikatoren mit Hilfe der Nebenbedingungen.

Hinweise: Ein Lagrange-Multiplikator ist durch die großkanonische Zustandssumme Y gegeben. Die beiden anderen erh¨alt man durch Einsetzen der L¨osung f¨ur P_r in Gl. (1), Anwendung der geeigneten Nebenbedingung, und Betrachtung der thermodynamischen Ausdr¨ucke f¨ur die partiellen Ableitungen der Entropie nach E undN.

(b) Leite mit Hilfe der Ergebnisse aus Teil (a) die Relation zwischen der großkanonischen Zustandssumme Y und dem großkanonischem Potenzial J her: J =−k_BT lnY.

Bsp. 2: Kanonische Zustandssumme und Energie-Nullpunkt

5 Punkte Wir betrachten die kanonische ZustandssummeZ =P

re^−βEr. Die Energien der Mikrozust¨ande, E_r, werden nun alle um einen konstanten Term verschoben: E_r →E_r⁰ =E_r+₀.

(a) Wie ¨andert sich Z unter dieser Transformation? BerechneZ⁰ sowie die freie Energie F⁰. (b) Zeige dass die Entropie unter dieser Transformation unver¨andert bleibt.

(c) Zeige dass verallgemeinerte Kr¨afte unver¨andert bleiben.

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Bsp. 3: Barometrische H¨ ohenformel

5 Punkte Wir betrachten ein klassisches Teilchen im Schwerefeld, mit der Hamiltonfunktion

H = p²

2m +mgz . (2)

Die Atmosph¨are stellt ein W¨armebad dar; wir nehmen an, dass die Termperatur r¨aumlich und zeitlich konstant ist. Dann k¨onnen wir das Teilchen mit Hilfe des kanonischen Ensembles beschreiben. Berechne die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einer H¨ohe zwischen z und z+dz zu finden, und davon ausgehend die Teilchendichte als Funktion vonz. Unter Annahme der Zustandsgleichung des idealen Gases folgt daraus die barometrische H¨ohenformel f¨ur den Druck, P(z).

Bemerkung: In der Realit¨at ist die Annahme der konstanten Temperatur in der Regel nicht gut erf¨ullt. Daher beschreibt die so erhaltene Formel den Atmosph¨arendruck als Funktion der H¨ohe nur sehr grob.

Bsp. 4: Die Maxwellverteilung

5 Punkte (a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨ur die x-Komponente der Geschwindigkeit,

vx, eines freien Teilchens bei gegebener Temperatur an.

(b) Berechnen Sie die Mittelwertev¯_x und ¯v_x².

(c) Berechnen Sie die Mittelwerte v¯ und v¯² f¨ur die Maxwellverteilung, wobei v der Betrag der Geschwindigkeit ist. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem Maximum vmax der Maxwellverteilung. Beziehen Sie v¯²_x aufv¯².

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