Algorithmische Kryptographie Kapitel 13 Zero-Knowledge

Algorithmische Kryptographie Kapitel 13

Zero-Knowledge

Walter Unger

Lehrstuhl f¨ur Informatik 1

30. Januar 2009

Einf¨uhrung

Anschauliches Beispiel

Zero-Knowledge-Proof f¨ur die 3-F¨arbung eines Graphen Weitere Beispiele

Kenntnis der Faktoren, 3-F¨arbung

Graphenisomorphismus und Graphennichtisomorphismus Unabh¨angige Mengen und Hamilton-Kreis

3-SAT

Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Idee zur Beweisf¨uhrung

Definition von Zero-Knowledge Verfahren von Shamir

Verfahren von Shamir ist Zero-Knowledge Protokolle

Aussagen und Anwendungen

Zero-Knowledge-Proof und Komplexit¨atsklassen Komposition von Zero-Knowledge-Proofs Identifikation mit Zero-Knowledge-Proofs Unterschriften mit Zero-Knowledge-Proofs

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

(13:1) Walter Unger Z

Einleitung

I Beteiligt sindP und V.

I P, der Prover, m¨ochte Behauptung beweisen.

I V, der Verifizierer, will Beweis sehen.

I P m¨ochte keine Information preisgeben.

I V m¨ochte aber trotzdem ¨uberzeugt werden.

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

(13:1) Walter Unger Z

Einleitung

I Beteiligt sindP und V.

I P, der Prover, m¨ochte Behauptung beweisen.

I V, der Verifizierer, will Beweis sehen.

I P m¨ochte keine Information preisgeben.

I V m¨ochte aber trotzdem ¨uberzeugt werden.

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

(13:1) Walter Unger Z

Einleitung

I Beteiligt sindP und V.

I P, der Prover, m¨ochte Behauptung beweisen.

I V, der Verifizierer, will Beweis sehen.

I P m¨ochte keine Information preisgeben.

I V m¨ochte aber trotzdem ¨uberzeugt werden.

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

(13:1) Walter Unger Z

Einleitung

I Beteiligt sindP und V.

I P, der Prover, m¨ochte Behauptung beweisen.

I V, der Verifizierer, will Beweis sehen.

I P m¨ochte keine Information preisgeben.

I V m¨ochte aber trotzdem ¨uberzeugt werden.

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

(13:1) Walter Unger Z

Einleitung

I Beteiligt sindP und V.

I P, der Prover, m¨ochte Behauptung beweisen.

I V, der Verifizierer, will Beweis sehen.

I P m¨ochte keine Information preisgeben.

I V m¨ochte aber trotzdem ¨uberzeugt werden.

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel Physik/Chemie

Bekanntlich gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel Mathematik

Bekanntlich gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel Biologie/Chemie

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel Informatik

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel Physik/Chemie

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel Mathematik

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel Biologie/Chemie

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel Informatik

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

Nun muss Peter seine Behauptung beweisen.

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

Nun muss Peter seine Behauptung beweisen.

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

Nun muss Peter seine Behauptung beweisen.

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

Nun muss Peter seine Behauptung beweisen.

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:2) Walter Unger Z

Einfaches Beispiel

”Bekanntlich“ gibt es nur

I 6 Edelgase

I 3 Wilson-Primzahlen

I 20 Aminos¨auren

I 4 Farben

Jemand (Peter) behauptet: Es gibt

I ein weiteres Edelgas

I eine weitere Wilson-Primzahl

I eine weitere Aminos¨aure

I eine weitere Farbe

Nun muss Peter seine Behauptung beweisen.

I Wenn Peter ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen.

I Eine L¨uge von Peter soll erkannt werden.

I Peter will aber keine weitere Information preisgeben.

I L¨osung: Zero-Knowledge-Proof

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:3) Walter Unger Z

Idee

I Vera und Peter haben viele Kugeln mit 4 Farben. ^vvvv

I Peter hat Kugel mit weiterer Farbe. ^v

I Vorhanden sind zwei verschließbare K¨asten mit Trichter.

I Nur Peter hat den Schl¨ussel zu den K¨asten.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:3) Walter Unger Z

Idee

I Vera und Peter haben viele Kugeln mit 4 Farben. ^vvvv

I Peter hat Kugel mit weiterer Farbe. ^v

I Vorhanden sind zwei verschließbare K¨asten mit Trichter.

I Nur Peter hat den Schl¨ussel zu den K¨asten.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:3) Walter Unger Z

Idee

I Vera und Peter haben viele Kugeln mit 4 Farben. ^vvvv

I Peter hat Kugel mit weiterer Farbe. ^v

I Vorhanden sind zwei verschließbare K¨asten mit Trichter.

I Nur Peter hat den Schl¨ussel zu den K¨asten.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:3) Walter Unger Z

Idee

I Vera und Peter haben viele Kugeln mit 4 Farben. ^vvvv

I Peter hat Kugel mit weiterer Farbe. ^v

I Vorhanden sind zwei verschließbare K¨asten mit Trichter.

I Nur Peter hat den Schl¨ussel zu den K¨asten.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und , ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und , ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und , ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und , ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und sagt, ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll (Betrugsversuch)

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und , ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll (Betrugsversuch)

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und , ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll (Betrugsversuch)

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und , ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Anschauliches Beispiel (13:4) Walter Unger Z

Das Protokoll (Betrugsversuch)

1. Peter verschließt K¨asten und f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

2. Vera f¨ullt verdeckt Kugeln ein.

3. Verdeckt vertauscht Vera ggf. die K¨asten.

4. Peter ¨offnet die K¨asten und r¨at, ob ein Austausch vorliegt.

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Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Zero-Knowledge-Proof f¨ur die 3-F¨arbung eines Graphen (13:5) Walter Unger Z

Muster beim Zero-Knowledge-Proof

Phase 1:

Commitment (Hinterlegung)

Phase 2:

Challenge (Herausforderung)

Phase 3:

Response (Antwort)

P:kenntW und x V:kenntW

w¨ahlt Co Co _-

a w¨ahlt a bestimmt Re_Co,a ReCo,a

-

Testet (Co,a,Re_Co,a,W) Wiederhole zum Verkleinern der Betrugswahrscheinlichkeit.

Einf¨uhrung Weitere Beispiele Formale Definition, Varianten und Beweisstruktur Aussagen und Anwendungen

Zero-Knowledge-Proof f¨ur die 3-F¨arbung eines Graphen (13:5) Walter Unger Z

Muster beim Zero-Knowledge-Proof

Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2:

Challenge (Herausforderung)

Phase 3:

Response (Antwort)

P:kenntW und x V:kenntW

w¨ahlt Co Co _-

a w¨ahlt a bestimmt Re_Co,a ReCo,a

-

Testet (Co,a,Re_Co,a,W) Wiederhole zum Verkleinern der Betrugswahrscheinlichkeit.