Lösungen zu den Lernzielen Band 4. II Reelle Zahlen. 1. Natürliche Zahlen ganze Zahlen rationale Zahlen

−15

10 0,2

−3,25 |−2,9|

−4, 6̇

Lösungen zu den Lernzielen Band 4 II Reelle Zahlen

1. Natürliche Zahlen – ganze Zahlen – rationale Zahlen

67) a) … Grundrechnungsarten …

b) … Klammern … Potenzen … Punktrechnung … Strichrechnung.

c) … Vertauschungsgesetz … Addition … Multiplikation … Assoziativgesetz … Klammern … Subtraktion … Division … Verteilungsgesetz … Strichrechnungen …

68)

69) Bei einer Funktion wird jedem Wert der einen Größe genau ein Wert der anderen Größe zugeordnet. Es handelt sich um keine Funktion, da der Gleichung „0,8 ∙ (−2)³− 6,4“ sowohl die Vorrangregel als auch die Vorzeichenregel zugeordnet werden kann.

70) a) b)

71) a) b) richtig | falsch (0 hat keinen Vorgänger) | richtig | falsch (auf einer Zahlengeraden) | richtig

72) a) b)

73) a) 13 b) −17 c) 12 d) −21 e) 1,5 f) ⁴

3

74) a) 0 b) −1 c) 0,8 d) 0,2 e)

−

²

5 f)

−0,81

ℤ ℕ

ℚ ℕ

ℤ ℚ

−3,2

8 4

0,1 1,0

0

−4 8

−100

25 |−100

20|

−100 15

−100

−5² 100 100

−4 −2,5

≪

<

−0,5

≪

<

2

≪

<

3,8

≪

<

4,9

≪

<

x x x x x

0

−1 −0,81 ⁻²₅ 0,2 0,8

3,2

1 3

(−2)⁴ 𝜋

3 3

ξ20 −ξ25

2. Die reellen Zahlen – rationale und irrationale Zahlen

75) … Bruch … rationale … Bruchzahl …

… endlichen … periodischen … ganze …

… ℚ … Quotient …

… natürliche … 76) a) ⁴

10

=

²

5

|

−¹

4

|

−²¹¹

100 b) −¹¹

10

|

²³

10

|

−²⁶ 10= −¹³

5

c)

77) Jede Zahl, die als Bruch angeschrieben werden kann, wird als rationale Zahl bezeichnet. Die Menge der rationalen Zahlen wird als ℚ (ℚ steht für Quotient) bezeichnet. Zähler und Nenner des Quotienten sind aus der Menge der ganzen Zahlen. Der Nenner darf nicht null sein.

78) a) −1,6 b) −3,72 c) 6,95

79) a) ¹

3 b) −¹

4 c) 2³

4

80) a) 2⁶= 64 b) 10²= 100 c) (5 ∙ 2)²= 10²= 100

81) a) 15 b) −0,5 c) 2,3125

82) a) „…“ bedeutet, dass die Zahl endlos viele Dezimalstellen hat. Da sich zwischen den Einsern die Anzahl der Nuller immer um eine erhöht, ist die Zahl nicht periodisch.

b) z.B.: 1,112123123412345 … oder 1,121221222122221 … 83)     

84)

3. Wurzeln

85) Musteraufgabe

86) a) 𝑎 = 6 cm b) 𝑎 = 9 cm c) 𝑎 = 5 000 m d) 𝑎 = 3 000 km 87) a) 𝑎 ≈ 7,1 m b) 𝑎 ≈ 3,5 cm c) 𝑎 ≈ 54,4 m d) 𝑎 ≈ 70,7 km 88) Musteraufgabe

89) a) 𝑎 = 3 m b) 𝑎 = 10 mm c) 𝑎 = 100 km d) 𝑎 = 80 dm 90) a) 5 | 9 | 11 | 20

b) 0,5 | 0,9 | 0,11 | 1,2 c) 3 | 8 | 5 | 20

91) a) 11, da 11²= 81 b) 10, da 10³= 1 000 c) 5, da 5³= 125 d) 2, da 2⁴= 16 e) 3, da 3⁵= 243

92) a) ≈ 1,41 b) ≈ 2,65 c) ≈ 6,73 d) ≈ 3,72 e) ≈ 561,25

f) ≈ 1,22 g) ≈ 1,13 h) ≈ 2,03 i) ≈ 0,02 j) ≈ 3,49 x

x

x x x

x

93) a) ξ1 = 1 ∈ ℕ b) ξ10 = 3,16 … ∈ 𝕝 c) ξ100 = 10 ∈ ℕ d) ξ0,1 = 0,31 … ∈ 𝕝 e) ξ0,01 = 0,1 ∈ ℝ f) ξ30 = 5,47 … ∈ 𝕝 g) ξ30²= 30 ∈ ℕ h) √0,125 = 0,35 … ∈ 𝕝 i) ξ0,04 = 0,2 ∈ ℝ j) ξ0,4 = 0,63 … ∈ 𝕝…

94)       95)      

96) a) 20 b) 30 c) 20 d) 77

97) a) ⁵

2

= 2,5

b) ²

5

= 0,4

c)

3

d) ²

25

= 0,08

98) ξ9 + 16 = ξ25 = 5 , ξ9 + ξ16 = 3 + 4 = 7

99) a) 3 ∙ ξ2 b) 4 ∙ ξ2 c) 3 ∙ ξ6 d) 5 ∙ ξ6 e) 2 ∙ ξ3³ f) 5 ∙ ξ2³ g) 2 ∙ ξ2⁴ h) 10 ∙ ξ5⁴

100) a) −23 b) −60 c) −7 ∙ ξ3 d) 4 ∙ ξ5 e) 2 ∙ ξ3³ f) 2

101) a) 6 ∙ ξ5 b) 22 ∙ ξ2 c) 140 d) 66 ∙ ξ6 e) 6 ∙ ξ5³ f) 15 ∙ ξ3³ 102) Musteraufgabe

103) a) Hinweis: ξ4 = ξ2²+ 0² lässt sich nicht mit ganzzahligen Seitenlängen als Rechteck bzw. Quadrat konstruieren; nur als Strecke.

b) ξ4 = ξ2²+ 1² c) ξ10 = ξ3²+ 1²

d) ξ13 = ξ3²+ 2² e) 3 ∙ ξ2 = ξ18 = ξ3²+ 3²

104) ξ8 = ξ2²+ 2² , ξ25 = ξ3²+ 4² , ξ200 = ξ10²+ 10² , ….

105) Musteraufgabe 106)

Konstruktion nicht maßstabsgetreu!

107) a) Nico hat die Wurzel aus 12 konstruiert.

1. Schritt: ξ3²+ 1²= ξ9 + 1 = ξ10 2. Schritt: √ξ10²+ 1²= ξ10 + 1 = ξ11 2. Schritt: √ξ11²+ 1²= ξ11 + 1 = ξ12 b) ξ15 = ξ9 + 4 + 1 + 1

Konstruktion nicht maßstabsgetreu!

108) Konstruktionen nicht maßstabsgetreu!

a) ξ13 = ξ9 + 4 b) ξ8 = ξ4 + 4 c) ξ17 = ξ16 + 1

d) ξ30 = ξ25 + 4 + 1 e) ξ41 = ξ36 + 4 + 1

4. Schranken von Quadratwurzeln

109) a) Wenn du eine natürliche Zahl quadrierst, erhältst du eine Quadratwurzel.

b) 0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 110) a) 6 < ξ40 < 7, weil 6²< 40 < 7² bzw. 36 < 40 < 49

b) 11 < ξ130 < 12, weil 11²< 130 < 12² bzw. 121 < 130 < 144 c) 14 < ξ200 < 15, weil 14²< 200 < 15² bzw. 196 < 200 < 225 111) Musteraufgabe

112) ξ70 liegt zwischen 8 und 9, da 8²= 64 < 70 < 9²= 81

Finn ermittelt 8,1²= 65,61, 8,2²= 67,24, 8,3²= 68,89 und 8,4²= 70,56.

Da 8,3² kleiner als 70 𝑢𝑛𝑑 8,3⁴ größer als 70 ist, liegt ξ70 zwischen 8,3 und 8,4.

Finn ermittelt 8,31²= 69,0561, 8,32²= 69,7225.

Da 69,7225 𝑠chon sehr nahe bei 70 liegt, vermutet Finn, dass ξ70 ≈ 8,32.

1 ≈ 1,4 ≈ 1,4 2 ≈ 2,2 ≈ 2,4 ≈ 2,6 ≈ 2,8 3 ≈ 3,2

113) a) … ξ20 liegt zwischen 4,47 und 4,48 b) … ξ60 liegt zwischen 7,74 und 7,75 c) … ξ500 liegt zwischen 22,3 und 22,4 d) … ξ1000 liegt zwischen 31,6 und 31,7 114) Musteraufgabe

115) a) 2 < ξ5 < 3 , da 2²= 4 < 5 < 9 = 3² → 𝑆tartwert: 2 ξ5 ≈ 2,2361 b) 8 < ξ65 < 9 , da 8²= 64 < 65 < 81 = 9² → 𝑆tartwert: 8 ξ65 ≈ 8,0623 c) 15 < ξ233 < 16 , da 15²= 225 < 233 < 256 = 16² → 𝑆tartwert: 15 ξ233 ≈ 15,2643 d) 40 < ξ2000 < 50 , da 40²= 1 600 < 2 000 < 2 500 = 50² → 𝑆tartwert: 45 ξ2 000 ≈ 44,7214 116) Das Heron’sche Näherungsverfahren wird auch Babylonisches Wurzelziehen genannt. Mithilfe

dieses Verfahrens kann eine Quadratwurzel auch ohne Taschenrechner oder Computer näherungsweise ermittelt werden.

In der Formel 𝑥_𝑛+1=^{𝑥𝑛 +}

𝑎 𝑥𝑛

2 wird der nächste (genauere) Näherungswert 𝑥_𝑛+1 aus dem arithmetischen Mittel zwischen 𝑥_𝑛 und ^𝑎

𝑥_𝑛 ermittelt. Dabei ist 𝑎 die Zahl unter der Wurzel (Radiant) und 𝑥_𝑛 der Startwert bzw. der zuletzt ermittelte Wert.

5. Kompetenztraining

117) Die Menge der reellen Zahlen (ℝ) setzt sich aus der Menge der rationalen Zahlen (ℚ) und der Menge der irrationalen Zahlen (𝕀) zusammen. Jede rationale Zahle lässt sich als Bruch anschreiben.

Irrationale Zahlen können nicht als Bruch angeschrieben werden;

diese Zahlen sind nicht periodisch und haben unendlich viele Dezimalstellen. Eine reelle Zahl ist entweder rational oder irrational.

118) richtig (z. B. 4, −2,³

2, … ) falsch

richtig (z. B. ξ2 und |ξ−2|) richtig (z. B. ξ2 ∙ ξ8 = ξ16 = 4) falsch

119)

120) a) Eine reelle Zahl kann entweder rational oder irrational sein.

b) Bei keiner Zahlenmenge, da jede reelle Zahl entweder rational oder irrational ist.

c) Bei allen Zahlenmengen, da jede reelle Zahl entweder rational oder irrational ist.

121) Der Taschenrechner kann nur eine endliche Anzahl an Stellen anzeigen. In Wirklichkeit hat jede Wurzel aus einer natürlichen Zahl, wenn diese keine Quadratzahl ist, unendlich viele nicht periodische Dezimalstellen.

122) Primzahlen sind natürliche Zahlen. Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist irrational, wenn die Zahl keine Quadratzahl ist. Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar, das heißt, sie hat genau zwei Teiler. Eine Quadratzahl (außer 1) hat aber mindestens drei Teiler. So hat die Zahl neun die Teiler 1, 3 und 9.

ℝ

𝕀 ℚ

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x

x x x

123) Jonas hat die vierte Wurzel aus 50 berechnet, da die Wurzel aus einer Wurzel einer Zahl der vierten Wurzel einer Zahl entspricht.

Beispiel: ξ16 = 4 , ξ4 = 2 , ξ16⁴ = 2 , aber ξ16³ ≈ 2,52

124) a) 7 9 15 30

b) 2 5 0 20

125) a) … ξ36 = 6 b) … ξ400 = 20 c) … ξ144 = 12 d) … ξ25 = 5 e) … ξ0,04 = 0,2 126) a) … ξ4 = 2 b) … ξ25 = 5 c) … ξ100 = 10 d) … ξ9 = 3 e) … ξ49 = 7 127) a) 3 ∙ ξ3 b) 6 ∙ ξ2 c) 11 ∙ ξ2 d) 25 ∙ ξ2

e) 21 ∙ ξ2 f) 10 ∙ ξ7 g) 3 ∙ ξ4³ h) 2 ∙ ξ25⁴

128) a) 7 ∙ ξ2 b) ξ3 c) 3 ∙ ξ5 d) 5 ∙ ξ6

129) ξ100 ∙ 1 = 10 24 − 2 ∙ 4 − 2 = 14 ξ196 − 6 = 8 ξ36 − 5 = 1 ξ225 ∶ ξ25 = 3 130) ℚ | 𝕀 𝕀 | ℚ

131) Eine Behauptung gilt solange als richtig, bis ein Gegenbeispiel gefunden wird.

Gegenbeispiel: ξ2 ∙ ξ8 = ξ16 = 4 ∈ ℕ , daher ist Eminas Behauptung nicht allgemein gültig.

132) falsch (ξ130) | richtig | richtig | falsch (4 ∶ 5 = 0,8) | falsch (5 ∙ ξ6 − 5 ∙ ξ3 133) a)

b) Die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen erhöht sich jeweils um 2.

Beispiel: 5²− 4²= 𝟗 , 6²− 5²= 𝟏𝟏 → 6²+ 𝟏𝟑 = 49 = 7² c)

134) a) 𝑂 = 6 ∙ 𝑎² → 𝑎 = √^𝑂

6 𝑎→ 𝑎 = 3,4

Die Seitenlänge beträgt 3,4 cm.

b) Ein Würfel besteht aus 12 gleich langen Kanten.

12 ∙ 3,4 = 40,8 𝑐𝑚 > 40 𝑐𝑚 → Nein, der Draht ist zu kurz.

135) a) 𝑉 = 𝑎³ → 𝑎_{𝑔𝑟𝑜ß}= 6 cm , 𝑎_{𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛}= 6 ∶ 5 = 1,2

Die Seitenlänge eines kleinen Würfels beträgt 1,2 cm.

b) 𝑂 = 125 ∙ 6 ∙ 1,2²= 1 080

Die Summe der Oberfläche aller 125 Würfel beträgt 1 080 𝑐𝑚

²

𝑏𝑧𝑤. 1,08 𝑑𝑚

². c) 11 + 6 + 1 = 18

Aus dem großen Würfel sind 18 kleine Würfel herausgebrochen.

136) a) 𝑉 = 𝐺 ∙ ℎ = 𝑎²∙ ℎ → 𝑎 = √^𝑉

ℎ → 𝑎 ≈ 70,7dm = 7,07 m (Hinweis: 1 l = 1dm²

)

Die Länge des Pools beträt 7 m 7 cm.

b) 80 000 ∶ 2 = 40 000 sek = 11 ℎ 6 min 40 sek

Es dauert 11 Stunden 6 Minuten und 40 Sekunden bis der Pool gefüllt ist.

c)

80 000 l = 80 m

³

→ 80 ∙ 4,2 ∙ 1,2 = 403,2

Eine Poolfüllung kostet 403 € 20 c.

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

+61 +63 +65 +67 +69 1024 1089 1156 1225

137)

138) 𝑎 = −ξ2 ≈ −1,4

, da

1²+ 1²= 2 𝑏 = −ξ13 ≈ −3,6

, da

3²+ 2²= 13 𝑐 = −ξ20 ≈ −4,5

, da

4²+ 2²= 20 𝑑 = ξ8 ≈ 2,8

, da

2²+ 2²= 8 𝑒 = ξ10 ≈ 3,2

, da

3²+ 1²= 10 𝑓 = ξ34 ≈ 5,8

, da

5²+ 3²= 34

139) Die Zahl 7 kann nicht als Summe zweier Quadratzahlen ermittelt werden.

140) a) Es wurde die Wurzel aus 26 konstruiert.

1. Schritt: ξ4²+ 1²= ξ16 + 1 = ξ17 2. Schritt: ξ17 + 3²= ξ17 + 9 = ξ26

b) Mit Ausnahme der Quadratzahlen ist jede Quadratwurzel einer natürlichen Zahl irrational.

141) a) 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …

b) Die Seitenlänge der Quadrate entspricht der Fibonacci-Folge: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 c)

d) ¹ 1= 1 , ²

1= 2 , ³

2= 1,5 , ⁵

3= 1,6667 , ⁸

5= 1,6 , ¹³

8 = 1,6250 , ²¹

13= 1,6154 … , ³⁴

21= 1,6190 … Der Quotient nähert sich dem Goldenen Schnitt (1,61803 … )

142) a) Major zu Minor = 1 ∶ 1,61803 ≈ 61,8 % ∶ 38,3 % b) Da ξ5 eine irrationale Zahl ist, ist auch ^{1 + ξ5}

2 eine irrationale Zahl. Die Verhältniszahl ist nicht periodisch und hat unendlich viele Nachkommastellen.

143) bis 151): siehe Lösungen Lernziele

Mehrfach Geschichte – Zahlen, Zahlen, Zahlen ...

152) a) 243 b) 247 c) 261 312

153) a) ... 753 ... b) ... 27 ... 14 ... c) ... 115 ...

154) a) ... Pythagoras ... Verhältnisse ...

b) ... irrationalen ...

c) ... unendlich .... Primzahlen ...

155) a) ... Stellenwertsystem ... 10 ... addiert ...

b) ... Indien ... Arabern ...

c) ... Fibonacci .... arabischen ...

156) a) ... 10¹⁰⁰ ... Gogool ... Edward Kasner ...

b) ... google ... Suchergebnissen ...

c) ... Gogoolplex .... gogoolplex.

157) a) Teiler: 1 , 2 , 3 , 6 → 1 + 2 + 3 = 6 → 6 ist eine vollkommene Zahl.

b) Teiler: 1 , 5 , 25 → ⋯ = 6 → 25 ist eine arme Zahl.

c) Teiler: 1 , 2 , 4 , 7, 14, 28 → ⋯ = 28 → 28 ist eine vollkommene Zahl.

d) Teiler: 1 , 2 , 3 , 4, 6, 9, 12, 18, 36 → ⋯ = 55 → 36 ist eine reiche Zahl.

e) Teiler: 1 , 2 , 3 , 6, 9, 18, 27, 54 → ⋯ = 66 → 54 ist eine reiche Zahl.

f) Teiler: 1 , 73 → ⋯ = 1 → 73 ist eine arme Zahl.

g) Teiler: 1 , 2 , 4 , 5, 10, 20, 25, 50, 100 → ⋯ = 117 → 100 ist eine reiche Zahl.

158) a)

b) Weil 2⁵=32 und 32 keine Primzahl ist.

159) a) fröhlich b) fröhlich c) traurig d) fröhlich e) fröhlich k Mersenne-Primzahl Vollkommene Zahl

2 3 6

3 7 28

5 31 496

7 127 8128

13 8191 33550336