V beträgt 510 000 m

Fachhochschule Hannover vorgezogene Wiederholungsklausur 21.03.2005 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II im WS0405 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung 1. Bei einer hydrostatischen Wägung vergleicht man (ähnlich wie Archimedes einst bei der

Prüfung des Goldgehaltes der Königskrone) die Anzeige einer Waage in Luft mit einer Anzeige, bei der der Körper vollständig in eine Flüssigkeit eintaucht.

a. Die Anzeige in Luft betrage 2,27 kg, die in Wasser 1,77 kg. Welches Volumen hat des Prüfkörpers?

b. Welche Dichte hat der Körper? (Zusatzfrage: Aus welchem Material könnte er sein?) c. Welche Anzeigen ergeben sich bei Vergleichwägungen in Benzin und Wasser?

2. Der Franzose Founier möchte mit einem Heliumballon bis in eine Höhe von ca. 40 000 m aufsteigen und von dort mit dem Fallschirm abspringen. (Das Bild zeigt den Ballon kurz vor einem Fehlversuch im Jahr 2003, bei dem die

Ballonhülle aus 16 µm Polyethylen riss). Das (pralle) Ballonvolumen VB

beträgt 510 000 m³. Rüstmasse und Nutzlast betragen jeweils 1000 kg.

a. Warum füllt man beim Start, wie auf dem Bild erkennbar, nur einen Teil des Ballons mit dem Auftriebsgas? .

b. Welches Mindestvolumen Helium VHe⁰ ist erforderlich, damit der Ballon bei einem Luftdruck von p₁ 960hPa und einer Temperatur von T₁ 10C am Startort schweben kann?

c. Der Ballon wird mit dem Doppelten des Mindestvolumes gefüllt. Welche Kraft muss den Ballon bis zum Start am Boden halten? Welche Beschleunigung hat er nach dem Start?

d. Beim Aufstieg des Ballons sinkt der äußere Luftdruck. Das Gas im Ballon dehnt sich aus und füllt in der „Prallhöhe“ hP das gesamte Ballonvolumen VB. Berechnen Sie hP unter der vereinfachten Annahme, dass die barometrische Höhenformel gilt und Luftdruck und Luftdichte proportional sind.

e. Der Ballon soll offen sein, d. h. beim Steigen oberhalb von hp kann überschüssiges Helium entweichen. Welche Maximalhöhe h^max kann der Ballon unter den angegeben Modellbedingungen erreichen?

3. Ein Stab der Länge ^L1m und der Masse ^{m 1kg} wird um einen Punkt, der 25 cm vom Rand und 25 cm vom Mittelpunkt entfernt ist, drehbar aufgehängt.

a. Wie groß ist die Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung.

b. Wie müsste eine als punktförmig angenommene Masse ^{m 0,1kg}aufgehängt werden, um die selbe Schwingungsdauer zu haben?

c. Wie ändert sich die Schwingungsdauer bei einem Stab der Masse ^m2kg, der in gleicher Weise wie in 3a. beschrieben aufgehängt wird.

d. Das Pendel aus Aufgabe 3a. soll um einen Winkel von 20° ausgelenkt werden und anschließend frei schwingen. Die Beobachtung ergibt, dass die Winkelamplitude nach 5 Schwingungen nur noch 2° beträgt. Wie groß ist die Abklingkonstante?

e. Welche Energie hat das Pendel in Aufgabe 3d. bei der Auslenkung von 20°?

f. Wie groß ist das Verhältnis der Energien zweier aufeinanderfolgender Schwingungen (also z. B.

die der Schwingung (n+1) und der Schwingung n)?

Dichten: 0^Luft 1,293kg m^3 ₀^He  0,1785kg m^3 bei Standardbedingungen von

hPa

p₀ 1013 und ^T0 ^0C . Waseer ^{1,0g cm3}, Benzin ^{0,78 g cm3}. Lösungen:

1a.Die Waage misst die Differenz zwischen Gewichtskraft Fg und Auftrieb FA:

g V g m F F

F_W  _g  _A  _K 

Anzeige M entspricht der Masse: ^{M } _g^1FW







    

 F_g A m_K V V _K M g1

Anzeige der Waage in Luft: M_L m_K _LVV



_K _L



(1) Anzeige der Waage in Wasser: MW mK WVV



K W



(2)

Einsetzen von K aus (1) in (2): _



 



 



 



 



 ^L _{L W}

W V

V M

M  



W L



L

W M V

M    

W W L L

W W

L M M M

V M







 



 

 

3

3 0,5

0 , 1

77 , 1 27 ,

2 dm

dm kg M kg

V M

W W

L    

 

1b.Dichte: ₃ ^4,54 ₃

5 , 0

27 , 2

cm g dm

kg V

M V

M _L

L L

K     



Es handelt sich um Titan.

1c. Anzeige der Waage in Wasser: M_W m_WVV



_K _W



1,77kg Anzeige der Waage in Benzin: M_B m_BVV



_K _L



1,88kg 2. Benennung der physikalischen Größen:

Luftdichte bei Standardbedingungen: ₀^Luft Heliumdichte bei Standardbedingungen: ₀^He

Luftdichte am Startort: ₁^Luft

Heliumdichte am Startort: ₁^He

He-Volumen für Schwebebedingung: V₀^He

He-Volumen beim Start: V₁^He  2 V₀^He

2a.Beim Steigen wird die Luftdichte geringer. Bei konstantem Auftriebsvolumen würde auch der Auftrieb geringer werden. Da der Druck im Innerer des Ballons gleich dem Außendruck ist, nimmt die Dichte des Gases im gleichen Verhältnis ab, wie die Dichte der Luft. Die

Auftriebskraft bleibt also solange konstant, bis das gesamte Ballonvolumen mit Gas gefüllt ist.

2b.Schwebebedingung:

 

G

He He N R Luft

He

A V g m m V g F

F  ₀ ₁    ₀ ₁  wobei ₁^Luft und ₁^He die Dichten von Luft und Helium am Startort bezeichnen.

Allgemeine Gasgleichung:

1 1

1 0

0 0

T p T

p



 ^

Luftdichte am Startort: 0 3 3

0 1

0 1

1 1,293 1,182

1013 283

273 960

m kg m

kg p

T T p _Luft

Luft 



 

 



Heliumdichte am Startort: 0 _{3 3}

0 1

0 1

1 0,1785 0,1632

1013 283

273 960

m kg m

kg p

T T p _He

He 



 

 



Kleinstes Heliumvolumen:

 

³

3

1 1

0 1963

1632 , 0 182 , 1

2000 m

kg m kg m

V^He m_Luft^{R N}_He 



 



 





2c. Auf den Ballon wirken die Gewichtskraft Fg nach unten und die entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft Fanach oben. Beim Start wird das doppelte des zum Schweben des Ballons benötigten Heliums eingefüllt: V1^He  2 V0^He 3926m³

Gewichtskraft: ^{Fg mges g}



^{mR mN 1HeV1He}



^g

Masse des Heliums: m^He ₁^HeV₁^He 0,1632kg m^33926m³641kg Gesamtmasse: mges  ^{2 1000}kg⁶⁴¹kg²⁶⁴¹kg

2641 9,81 2 25,91

g

F kg m kN

  s 

Auftriebskraft: ^{FA 1LuftV1He g 1Luft}



^2V0He



^g

3

3 2

1,182 2 1963 9,81 45,52

A

kg m

F m kN

m s

    

Resultierende Kraft nach oben: FRe_s F_AF_g 



45,52 25,91



kN 19,61kN Beschleunigung:

3 Re

2 2

19,61 10

7, 43 2641

s ges

F kg m m

a m kg s s

   

Füllt man den Ballon mit der doppelten Menge Helium, die für das Schweben benötigt wird, so wird er mit fast +g nach oben beschleunigt.

2d.Balloninnendruck ist immer gleich dem äußeren Luftdruck.

Es gilt für alle Höhen h: ^pHe ^{h  pLuft} ^h und auch am Startort gilt: p₁^He  p₁^Luft

Das Verhältnis von Druck und Dichte im Ballon ist konstant (folgt aus der allgemeinen Gasgleichung)

   

^He

He He

He p

h h p

1 1



 ^

Es folgt:

     

He He Luft He

He He

He h

h p p

h p

1 1 1

1 





 _



Am Startort gilt: 1 ^{1 1 1}

0 1

He He He

He

He He

m V

V V

   

und da die Masse des Heliums beim Aufstieg des Ballons bis auf die Höhe hP konstant bleibt, gilt in der Höhe hp ebenfalls: He

 

p ^{1He 1He 1He}

B B

m V

h V V

   

Barometrische Höhenformel:

 

_



 



  





 ^Luft _p ^{Luft Luft}_{Luft p}

p

He h

p p g

h p h p

0 0

1 exp

)

( 

Es folgt: ^{1 0}

0

exp

Luft He

Luft p B

g

V h

V p

  

   

 

Umformung nach hP: ^{0 0 0}

0 0 1

ln ln

Luft He Luft

p Luft Luft HeB

B

p V p V

h   g V   g V



3 2

1013 510000

1,293 9,81 ln2 1963

p

h hPa

kg m^ m s^

 

Prallhöhe: h_p ⁷⁹⁸⁶m4,867 38,87 km

2e.Offener Ballon: Die Masse des Füllgases m₁^He bleibt oberhalb von hp nicht mehr konstant. Es ändert sich also auch die Gesamtmasse des Ballons und damit seine Gewichtskraft Fg.

 

^h



^{m m m}

 

^h



^g

F_g  _R  _N  ^He 

Oberhalb von hP sinkt mit steigender Höhe der äußere Luftdruck und deshalb wird auch die Auftriebskraft ^FA

 

^h mit steigender Höhe geringer.

Auftriebskraft oberhalb von hP F_A

 

h ^Luft

 

h V_Bg

Die Maximalhöhe h^max ist erreicht, wenn die Auftriebskraft ^FA



^hmax



gleich der Gewichtskraft ^Fg



^hmax



ist.

Auftriebskraft:

 

^{h V g}

p h g

F _{Luft B}

Luft Luft

A 

 





 ^max

0 0 1

max exp 



Gewichtskraft:

 

^{h g}

p V g

m m h

F _Luft

Luft He

B N R

g 













 









 ^max

0 0 1

max  exp 

Bedingung für h^max: ^F_A



^hmax



^F_g



^hmax



g p h

V g m m g V p h

g

Luft Luft He

B N R Luft B

Luft

Luft 













 









 



 



 ^max

0 0 1

max 0

0

1 exp exp 

 



Es folgt: B



^{Luft He}



N R Luft

Luft

V

m h m

p g

1 1

max 0

exp 0









 



 





Lösung: max 0



^{0 0}



0

ln

Luft Luft He B

Luft

B N

p V

h g m m

 



 

  

 

max 1,182 0,1632 510000

7986 ln

h m  2000 

 

max 7986 5,560 44, 4

h  m  km

3a.Der schwingende Stab stellt ein physikalisches Pendel dar.

Trägheitsmoment: ^{2 2}

12

1 mL mh J_ges  

2 2 2

2 1 0,25

1 12 1

1 kg m kg m

J_ges     

2 2

2 2

48 7 192

28 16

1 12

1 kg m kg m kg m kg m

J_ges    



0,08333 0,0625



kgm² 0,1458kgm²

J_ges   

Eigenfrequenz: 0 2 2 4,14 ¹

4 7

1 10

48 _

 



 s

s m kg

m m kg J

d g

 m

(mit g = 9,81 m s^-2: 0 2 2 4,10 ¹

4 7

1 81 , 9

48 _

 



 s

s m kg

m m kg

J d g

 m )

Schwingungsdauer: ^{T 2 1,52s}

0

0  





(mit g = 9,81 m s^-2: ^{T 2 1,53s}

0

0  



 )

3b.Mathematisches Pendel:

l

 g

0

Pendellänge: ^m

s s m

l g 0,583

14 , 4

10

2 2

2 2

0





 ^_



3c. Es ändert sich nichts. Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Masse.

3d.Gedämpfte Schwingung:

     

_



 



 

 e^ t t

t ^t _e _e



 

 ^ sin cos

0 0

Für t 5Te gilt:      _



 



 

 ^{ T} _{e e e e}

e e T T

T ^e sin 5 cos 5

5

0 5

0  



 

 ^

Es gilt:

 

2 sin



5 2



0

5 sin 5

sin   

 



  



 



e e e

e T

und:

 

2 cos



5 2



1

5 cos 5

cos   

 



  



 



e e e

e T

Es folgt: ^



^5T_e



^₀^e5Te



Te



e ₅T_e

0

5 _



 _





_e



e T

T ln 5 5

1 ₀



  

Exakte Lösung: T_e



T_e



T_e  T_e





 

 5

10 ln 2 ln20 5

1 ln 5

5

1 ₀



 

Näherung: T_e T0



⁰₀



¹

0

303 , 2 0 ln20 52 , 1 5

1 ln 5

5

1  _





 

 s

s T

T 

 

--- Man kann die Abklingkonstante auch exakt bestimmen:

Es gilt: _e2 0²²

 

2 2

2 2

0 2 2

2

5 10 ln 4

4

e

e T T

T   

 

2 2

2 2

0 2 2

2

5 10 ln 4

4

e

e T T

T   

 

2 0

2 2

2 2 2

2 4

5 4

10 1 ln 4

T T_e





 _







 

 

2

0 2

2 0 2

2

2 1,00537

5 4

10

1 ln T T

T_e   







 

 

00268 0

,

1 T

T_e  

Näherung

T 

  

  0,9973

00268 , 1 5

10 ln

0

Der Unterschied ist aber vernachlässigbar. Für diese Lösung gibt es Sonderpunkte.

--- 3e. Die potentielle Energie entspricht der Hubarbeit für den Schwerpunkt:

 

m g h 20 E_{pot S}

mit: ₄



²⁰



_{4 (20 )}

cos 20 1

4

L h h

L L

   

   

   

(20 ) 1 cos 20 0, 25 1 0,9396 0,015 4

h   L    m   m

Potentielle Energie: Epot m g hS



²⁰ 



^0,15J

3f. Es sind verschiedene Lösungswege möglich. In vorliegenden Beispiel Fall betrachten wir die kinetischen Energien zweier aufeinanderfolgender Nulldurchgänge.

Kin. Energie n-te Schwingung: ^{2 2}

2 1 2

1

n n

n

kin J J

E    _

Kin. Energie (n+1)-te Schwingung: ²1

2 1 1

2 1 2

1





  _n  _n

n

kin J J

E  _

Es folgt:

2 1 2

2 1 1



 





 ^{ }



n n n

n n kin n kin

E E

















2 1 2

2 1 1



 





 ^{ }



n n n

n n kin n kin

E E

















 

 

2

2 0 0

1 2

0 2 0

1 1

sin sin

1





















 



 













 ^

n e e

T

n e e

T

n n n

kin n kin

T e

T e

E E

n n

 

 

 

 













 

 

2 2

1 2

1

1 1 ₁

sin

sin 



 







 







 



 ^{ }_ ^{ }_

 _{ }

n n n

n

T T

n e T

n e T

n n n

kin n kin

e e T

e

T e

E E























^e



^e

n

n ßT ßT

T T n

kin n

kin e e

e e E

E 2 ₂

1 1 2









   

 



 ^_ ^

Näherung: T_e T0 ² exp( 2 0,303 1,52) 0,398 40%

1  ^      



Te

ß n

kin n

kin e

E E

Die (n+1) Schwingung hat also nur noch 40% der Energie der n-ten Schwingung. Bei jeder Schwingung gehen also 60% der Energie verloren.