Klausur zu Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker
Wintersemester 2008/09 03.04.2009
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlung Statistik vom WS 08/09 in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter)
Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle sechs Aufgaben enth¨alt. ¨
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 P
erreichbare
Punkte 15 19 15 18 19 14 100
erreichte
Punkte
Aufgabe 1 (15 Punkte)
Markieren Sie, ob die folgenden f¨unf Aussagen jeweils zutreffen oder nicht, und kennzeichnen Sie die passende Begr¨undung (jeweils 3 Punkte). Eine Wertung erfolgt nur, wenn korrekt markiert ist, ob die Aussage zutrifft oder nicht.
1. Der Modus zeigt, welcher Beobachtungswert am h¨aufigsten vorkommt. (3 Punkte) Richtig
Falsch Begr¨undung:
Die am h¨aufigsten vorkommende Auspr¨agung ist der Median.
Die am h¨aufigsten vorkommende Auspr¨agung ist der Modus.
Die am h¨aufigsten vorkommende Auspr¨agung ist das arithmetische Mittel.
2. Beim Histogramm stoßen die Rechtecke unmittelbar aneinander. (3 Punkte) Richtig
Falsch Begr¨undung:
Beim S¨aulendiagramm stoßen die Rechtecke unmittelbar aneinander, beim Histogramm bleiben Zwischenr¨aume.
Da die zur Konstruktion eines Histogramms verwendeten Klassen aneinanderstoßen, stoßen auch die Rechtecke aneinander.
Da die zur Konstruktion eines Histogramms verwendeten Klassen nicht aneinanderstoßen, stoßen auch die Rechtecke nicht aneinander.
3. Das Kreisdiagramm wird nach dem Prinzip der Fl¨achentreue konstruiert. (3 Punkte) Richtig
Falsch Begr¨undung:
Nur das Histogramm wird nach dem Prinzip der Fl¨achentreue konstruiert.
Die Kreisabschnitte werden so konstruiert, dass ihre Fl¨achen proportional zu den relativen H¨aufigkeiten sind.
Das Kreisdiagramm folgt dem Prinzip der H¨ohentreue.
4. Die Berechnung des arithmetischen Mittels bei klassierten Daten mit Hilfe von Klas- senmitten f¨uhrt immer zum selben Ergebnis wie die Berechnung mit Hilfe der Klas- senmittelwerte. (3 Punkte)
Richtig Falsch Begr¨undung:
Die Berechnung des arithmetischen Mittels bei klassierten Daten mit Hilfe von Klassenmitten ist nur eine Approximation des Rechnens ¨uber Klassenmittelwerte.
Die Klassenmitten und Klassenmittelwerte stimmen immer ¨uberein.
Bei klassierten Daten darf f¨ur das arithmetische Mittel nicht ¨uber die Klassenmitten gerechnet werden.
Richtig Falsch Begr¨undung:
Das obere Quantil entspricht dem 0.5-Quartil.
Das untere Quantil ist das 0.25-Quartil, daher entspricht das obere Quantil dem 0.75-Quartil.
Das obere Quartil entspricht dem 0.75-Quantil.
Aufgabe 2 (19 Punkte)
Die Bank “GQD” bietet ihren Anlegern neben den konventionellen Inhaberschuldverschrei- bungen (A) auch moderne Investitionsm¨oglichkeiten, etwa das Innovationszertifikat. Die St¨uckelung betr¨agt bei beiden Investitionsformen 10 000 Anteile. Das Innovationszertifikat (B) ist aus drei verschiedenen Anlagen (B1, B2, B3) zusammengesetzt. Um die Renditen der beiden Anlagem¨oglichkeiten zu vergleichen, werden zu verschiedenen Zeitpunkten jeweils 10 000 Anteile f¨ur ein Jahr angelegt. Das interessierende Merkmal ist der Gewinn X, der nach Abzug der Anfangsinvestition (Kosten f¨ur die 10 000 urspr¨unglich gekauften Anteile) erzielt wird.
In der folgenden Tabelle sind die mittleren Gewinne der verschiedenen Anlageformen, die Anzahl n der jeweils erworbenen Anteile und zus¨atzlich die Variationskoeffizienten v ange- geben.
Anlageform n x v
A 10 000 550 0.5
Anlageform nj xj vj B1 2 500 200 0.7 B2 3 500 400 0.8 B3 4 000 900 0.6
(a) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Gewinn des Innovationszertifikats und verglei- chen Sie ihn mit dem durchschnittlichen Gewinn der Inhaberschuldverschreibung. Wel- che Anlageform ist in dieser Hinsicht vorteilhafter? (3 Punkte)
(b) Bestimmen Sie die empirischen Varianzen des Gewinns f¨ur alle vier Anlageformen.
Ber¨ucksichtigen Sie dabei die Definition des Variationskoeffizienten. (7 Punkte) (c) Das Risiko einer Anlage wird h¨aufig durch die Volatilit¨at bzw. die Standardabweichung
ausgedr¨uckt. Vergleichen Sie das Risiko der Anlageform “Inhaberschuldverschreibung”
(A) mit dem der Anlageform “Innovationszertifikat” (zusammengesetzt aus B1, B2 und B3 wie in der obigen Tabelle angegeben). Gehen Sie hierzu davon aus, dass die Standardabweichung der Inhaberschuldverschreibung seA= 280 betr¨agt, die drei Stan- dardabweichungen es1, se2, se3 der Anlageformen B1, B2 und B3 als se1 = 150, se2 = 300 und se3 = 550 gegeben sind und dass der mittlere Gewinn des Innovationszertifikats 550 Euro betr¨agt. (9 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a), (b) und (c) jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Aufgabe 3 (15 Punkte)
Um die Abwrackpr¨amie auch f¨ur Autobesitzer attraktiv zu machen, deren Altauto derzeit noch einen h¨oheren Verkehrswert besitzt, ¨uberlegt die Bundesregierung, eine Staffelung der Pr¨amie in Abh¨angigkeit vom Wert des Altautos einzuf¨uhren. Der Verkehrswert des Altautos muss allerdings auf jeden Fall unterhalb von 5 000 Euro liegen. Um einen Eindruck von der Verteilung der Verkehrswerte von Altautos zu bekommen, werden von 500 000 zuf¨allig ausgew¨ahlten Besitzern solcher Autos die Verkehrswerte der Wagen (in Euro) erhoben. In der folgenden Tabelle sind die klassierten Ergebnisse der Erhebung zusammengestellt.
Verkehrswertklasse Anzahl Autobesitzer (in Euro)
[0; 500) 200 000
[500; 1 000) 200 000
[1 000; 2 000) 60 000
[2 000; 5 000) 40 000
(a) Beurteilen Sie die Konzentration des Verkehrswerts auf die Altautobesitzer anhand der Lorenzkurve. Nutzen Sie f¨ur die Zeichnung das unten vorgegebene Koordinatensystem.
(9 Punkte)
(b) Bestimmen Sie außerdem den Wert des normierten Gini-Koeffizienten G∗. Wie beur- teilen Sie die Konzentration anhand dieses Maßes?(6 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (b) jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommstellen.
Abbildung: Lorenzkurve des Verkehrswerts von Altautos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
00.20.40.60.81
In einer Studie zur Risikobereitschaft bei Geldanlagen wurden 280 ausgew¨ahlte Personen danach befragt, ob sie bei Geldanlagen eher ein geringes, ein mittleres oder ein hohes Risiko eingehen. Zus¨atzlich wurde das Alter der Befragten erhoben, eingeteilt in die Kategorien “bis 50 Jahre” und “¨alter als 50 Jahre”. Die folgende Tabelle zeigt das Ergebnis der Befragung.
Alter (Y) bis 50 uber 50¨
Risiko- gering 35 93
bereitschaft (X) mittel 42 34
hoch 38 38
280
(a) Unterscheiden sich j¨ungere und ¨altere Befragte in ihrer Risikobereitschaft bei Geldan- lagen? Beantworten Sie diese Frage an Hand der geeigneten bedingten Verteilungen.
(7 Punkte)
(b) Wieviel Prozent derjenigen, die Geldanlagen mit geringem Risiko bevorzugen, sind j¨unger (bis 50)? Aus welcher Verteilung ist dieser Wert abzulesen? (3 Punkte)
(c) Der Kontingenzkoeffizient K f¨ur diese Tafel betr¨agt K = 0.2508. Wie groß ist der χ2-Wert? (8 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (c) zun¨achst die allgemeine Formel an. Beachten Sie, dass Sie den χ2-Wert aus der Kenntnis von K bestimmen k¨onnen.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen.
Aufgabe 5 (19 Punkte)
F¨ur die Bestimmung des Gesch¨aftsklimaindex spielt die Zuversicht der Unternehmen ¨uber die wirtschaftliche Zukunft eine Rolle. In der folgenden Tabelle ist die Erhebung dieser Zuversicht f¨ur 10 Unternehmen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten dargestellt. Dabei konnte die Zuversicht auf einer Skala von 0 (= ganz pessimistisch) bis 100 (= sehr optimistisch) angegeben werden.
Beobachtung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zuversicht Zeitpunkt 1 48 65 56 59 44 46 60 55 50 52 Zuversicht Zeitpunkt 2 33 40 46 49 32 36 48 42 39 44
(a) Berechnen Sie einen geeigneten Korrelationskoeffizienten zur Beurteilung des Zusam- menhangs zwischen der Zuversicht zum ersten und zum zweiten Zeitpunkt. Beachten Sie dabei das Skalenniveau der Daten. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkomma- stellen. Interpretieren Sie das Ergebnis formal und inhaltlich. (12 Punkte)
(b) Zeichnen Sie die Wertepaare in die unten vorgegebene Abbildung ein. Was f¨allt Ihnen auf? (4 Punkte)
(c) ¨Uberlegen Sie, was passiert, wenn man den Spearman’schen Korrelationskoeffizienten f¨ur die Originaldaten und f¨ur die Daten berechnet, aus denen Beobachtung Nummer 2 entfernt wurde. Welchen Effekt erwarten Sie und warum? Bitte nicht rechnen, nur argumentieren. (3 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die ben¨otigte allgemeine Formel an.
Abbildung: Zuversicht von Unternehmen
Zuversicht, Zeitpunkt 1
Zuversicht, Zeitpunkt 2
40 45 50 55 60 65 70
3035404550
Ein Anleger interessiert sich daf¨ur, Aktien eines Unternehmens zu erwerben. Nat¨urlich m¨ochte er dazu einen g¨unstigen Zeitpunkt zum Kauf identifizieren. Zun¨achst beobachtet er daher die Aktienkurse ¨uber einen Zeitraum von zehn Tagen, jeweils zur selben Tageszeit.
Die entsprechenden Kurswerte sind in der folgenden Tabelle zusammengetragen und in der anschließenden Abbildung dargestellt.
Tag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aktienkurs 25 40 35 60 45 80 85 60 72 90
Tag
Kurswert
2 4 6 8 10
020406080100
(a) Bestimmen Sie die gleitenden Durchschnitte aus jeweils 3 Werten, um einen generellen Eindruck von der Entwicklung des Aktienkurses zu gewinnen. Tragen Sie die Kurve der von Ihnen berechneten Werte in die Abbildung ein (skizzenhaft, bitte nicht aus- messen!). (9 Punkte)
(b) Wie hat sich der Aktienkurs in diesen 10 Tagen entwickelt? (2 Punkte)
(c) Warum kann der Anleger diese Art der Betrachtung nicht nutzen, um einen g¨unstigen Kaufzeitpunkt zu identifizieren? (3 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die allgemeine Formel an.
Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf zwei Nachkommastellen.
