Fachbereich Mathematik Prof. Dr. R. Farwig Annett Keller Sergiy Nesenenko
TECHNISCHE UNIVERSIT¨AT DARMSTADT
16.05.2006
Mathematik II f¨ ur ET, WI(ET), ET(LAB), SpoInf, IKT, CE, EPE, IST
6. ¨ Ubung
Gruppen¨ubung
G 16 Gauß-Algorithmus, Gleichungssystem
(i) F¨ur welcheλ∈Rbesitzt das folgende homogene Gleichungssystem nichttriviale L¨osun- gen? Geben Sie diese an und bestimmen Sie zus¨atzlich den Rang der Matrix und die Dimension des Kernes
λ 1 −1
1 λ 1
1 2 −λ
x1
x2
x3
=
0 0 0
.
(ii) Geben Sie die L¨osungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystemes in Abh¨angig- keit vont∈R und in der Form{~x∈R3 : ~x= ˆx+~y}an.
2 4 2
2 12 7 1 10 6
y1
y2
y3
=
12t 12t+ 7
7t+ 8
, t∈R.
G 17 Gauß-Algorithmus, Gleichungssysteme L¨osen Sie die folgenden Gleichungssysteme
(i)
−6x1+ 6x2+ 2x3−2x4 = 2
−9x1+ 8x2+ 3x3−2x4 = 3
−3x1+ 2x2+x3 = 7 (ii)
1 6 −1 3 2 2 4 1 5
y1
y2
y3
=
3
−1
−6
.
(iii)
0 2 1 −3
1 0 2 1
−2 8 3 −9
−4 14 5 −15
−2 6 2 −6
z1
z2
z3
z4
−
1 2 3 5 2
=
0 0 0 0 0
.
G 18 Gauß-Algorithmus, Inverse Berechnen Sie mittels des Gauß-Algorithmuses die Inverse der Matrix Aund bestimmen Sie anschließend die L¨osung des Gleichungssystemes Ax=b.
A=
1 0 3 2
−1 2 1 −2
2 1 0 4
3 −2 1 2
, b=
1 1 1
−1
.
