Beweisen Sie dann bitte (i) f∈C∞(Ω) 2 (ii) f stetig in K⊂Ω,K kompakt

Ubungen zur Funktionalanalysis¨ Blatt 1

1 SeiΩ⊂Rⁿ offen. Beweisen Sie bitte, daßC^k,α( ¯Ω) ein Banachraum ist. 4 2 Sei Ω beschr¨ankt, offen und konvex. Sei (ui) eine Folge in C^k,α( ¯Ω) mit |ui|k,α ≤ c

gleichm¨aßig in i. Dann existiert eine Teilfolge, die in C^k( ¯Ω) konvergiert. Der Limesu

liegt wieder inC^k,α( ¯Ω). 4

3 Sei η ein Friedrichsscher Mollifier und η = ⁻ⁿη(^x) die zugeh¨orige Diracfolge. Sei f ∈L¹_loc(Ω) undf=R

Ωη(x−y)f(y). Beweisen Sie dann bitte

(i) f∈C^∞(Ω) 2

(ii) f stetig in K⊂Ω,K kompakt =⇒ f⇒f in K. 2

(iii) suppf⊂suppf+ 2

(iv) f ∈C^m(Ω) =⇒ D^αf= (D^αf) ∀ |α| ≤m und

|f−f|m,Ω⁰ →0 ∀Ω⁰ bΩ 2

(v) f ∈L^p(Rⁿ) , 1≤p <∞ =⇒ kf−fkp→0 2

(vi) f ∈L^∞(Ω) =⇒ kfk_∞≤ kfk_∞ 2

4 Beweisen Sie, daßC_c^∞(Ω) inL^p(Ω), 1≤p <∞, dicht liegt. 12 5 Sei ΩbRⁿ konvex und 0 < α≤1, dann existiert zu jedem >0 eine Konstante c,

so daß

|u|2,0≤|u|2,α+c|u|0 ∀u∈C^2,α( ¯Ω).

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