• Keine Ergebnisse gefunden

Analysis II 4. Übungsblatt

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Aktie "Analysis II 4. Übungsblatt"

Copied!
1
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein

Martin Gubisch Sommersemester 2014

Ausgabe: Donnerstag, 15.05.2014

Abgabe: Donnerstag, 22.05.2014, 10:00 Uhr, in den Briefkästen auf F4

AAAA

AA QQ QQ

Analysis II 4. Übungsblatt

Aufgabe 13(Richtungsableitungen) (5 Punkte)

SeienM ={(x, y)∈R2 |x=yundx6= 0} undf :R2→Rgegeben durch

f(x, y) =

ex−1 (x, y)∈M 0 (x, y)∈/ M .

Zeigen Sie:

1. f ist in(x, y)∈R2 partiell differenzierbar⇔(x, y)∈/ M.

2. Für jedesν ∈R2 mit kνk= 1existiert die Richtungsableitung Dνf(0).

3. f ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Aufgabe 14(Beweisaufgabe zur Differenzierbarkeit) (5 Punkte) SeienU ⊆Rn eine offene Umgebung der Null,f, g:U →Rstetig undf in 0differenzierbar mitf(0) = 0.

Zeigen Sie, dassψ:U →Rmitψ(x) =f(x)g(x)in 0differenzierbar ist, und bestimmen Sie ∇ψ(0).

Aufgabe 15(Rotationsinvarianz des Laplace-Operators) (5 Punkte) Seienu∈ C2(Rn,R)undA∈Rn×n orthogonal, d.h. es gelteATA=Id. Zeigen Sie: (∆u)◦A= ∆(u◦A).

Aufgabe 16(Laplace-Operator in Polarkoordinaten) (5 Punkte) BezeichneΦ : (0,∞)×R→R2 mitΦ(r, ϕ) = (rcosφ, rsinφ)die Polarkoordinatentransformation.

Zeigen Sie, dass für jedesf ∈ C2(R2,R)gilt

(∆f)◦Φ = ∂2

∂r2(f ◦Φ) +1 r

∂r(f◦Φ) + 1 r2

2

∂ϕ2(f◦Φ).

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

Fachbereich Mathematik und

Aufgabe H13 (Schaltkreis zum analogen Integrieren) (1+2+2 Punkte) Experimentell wurden für Situationen wie die nachfolgende folgende Zusammenhänge zwischen Spannung und

c) Ein Würfel wird 100 mal geworfen. Dabei fällt 22 mal eine Fünf und 17 mal eine Sechs. Bestim- men Sie die relative und die absolute Häufigkeit für das Ereignis „der Würfel

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei rein zufälligem Raten einer Ziffernfolge bestehend aus drei Ziffern aus { 0 , 1 ,. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Student S.

weiss, dass aus einem befruchteten Hühnerei in 55% der Fälle eine Legehenne wird, sonst ein Masthahn!. In der Hühnerfarm von seinem Freund

Abgabe der Übung: Eine Woche nachdem das Übungsblatt zu Ihrem Übungstermin bearbeitet wurde, zu Beginn der nächsten Übung bei Ihrer Übungsgruppenleiterin oder bei Ihrem

Ein Rad mit Radius R > 0 rollt mit konstanter Geschwindigkeit v > 0 über die x-Achse..

In der L¨ osung sollten Sie allerdings strengstens darauf achten, neben logischen Schl¨ ussen nur die in der Vorlesung gegebene Definition vom Senkrechtstehen zweier Vektoren