Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein
Martin Gubisch Sommersemester 2014
Ausgabe: Donnerstag, 15.05.2014
Abgabe: Donnerstag, 22.05.2014, 10:00 Uhr, in den Briefkästen auf F4
AAAA
AA QQ QQ
Analysis II 4. Übungsblatt
Aufgabe 13(Richtungsableitungen) (5 Punkte)
SeienM ={(x, y)∈R2 |x=yundx6= 0} undf :R2→Rgegeben durch
f(x, y) =
ex−1 (x, y)∈M 0 (x, y)∈/ M .
Zeigen Sie:
1. f ist in(x, y)∈R2 partiell differenzierbar⇔(x, y)∈/ M.
2. Für jedesν ∈R2 mit kνk= 1existiert die Richtungsableitung Dνf(0).
3. f ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Aufgabe 14(Beweisaufgabe zur Differenzierbarkeit) (5 Punkte) SeienU ⊆Rn eine offene Umgebung der Null,f, g:U →Rstetig undf in 0differenzierbar mitf(0) = 0.
Zeigen Sie, dassψ:U →Rmitψ(x) =f(x)g(x)in 0differenzierbar ist, und bestimmen Sie ∇ψ(0).
Aufgabe 15(Rotationsinvarianz des Laplace-Operators) (5 Punkte) Seienu∈ C2(Rn,R)undA∈Rn×n orthogonal, d.h. es gelteATA=Id. Zeigen Sie: (∆u)◦A= ∆(u◦A).
Aufgabe 16(Laplace-Operator in Polarkoordinaten) (5 Punkte) BezeichneΦ : (0,∞)×R→R2 mitΦ(r, ϕ) = (rcosφ, rsinφ)die Polarkoordinatentransformation.
Zeigen Sie, dass für jedesf ∈ C2(R2,R)gilt
(∆f)◦Φ = ∂2
∂r2(f ◦Φ) +1 r
∂
∂r(f◦Φ) + 1 r2
∂2
∂ϕ2(f◦Φ).
