Durch V={1,2,3}und E ist der folgende Graph gegeben: 2 1 3 Definition2

U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen TU Kaiserslautern

Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach

Abgabetermin:14.12.2018, 13 Uhr WS 2018/19

— Blatt 7 —

Aufgabe1 (6 Punkte).

Definition 1. Ein Graph ist ein Tupel (V,E) bestehend aus einer Menge V und einer TeilmengeE⊂ ^V

2

. Dabei bezeichnet ^V₂

die Menge der zweielementigen Teilmengen von V. Wir nennenVdie Menge derEckenundEdie Menge derKantendes Graphen.

Beispiel. Durch V={1,2,3}und E={{1,2},{2,3}}ist der folgende Graph gegeben:

2

1 3

Definition2. Zwei Graphen (V₁,E₁) und (V₂,E₂) heißen isomorph, wenn eine bijektive Abbildungϕ:V₁→V₂existiert, sodass

{v,w} ∈E₁⇔ {ϕ(v), ϕ(w)} ∈E₂

(a) Zeigen Sie, dass es genau 2(ⁿ²) Graphen mitnEcken gibt.

(b) Zeigen Sie, dass jeder Graph mit 3 Ecken zu einem der 4 (paarweise nicht isomorphen) Graphen

2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1 3

isomorph ist, mithilfe der folgenden Anleitung:

SeiV={1,2,3}und seiMdie Menge aller Graphen mit EckenmengeV. Die Gruppe S₃operiert offenbar aufMdurch Permutation der Ecken.

1. Begr ¨unden Sie warum die 4 Graphen nicht isomorph sind.

2. Sei (V,E)∈M. Zeigen Sie, dassσ.(V,E) isomorph zu (V,E) ist f ¨ur alleσ∈S₃. 3. Bestimmen Sie f ¨ur jeden der obigen 4 Graphen den Stabilisator unter der Oper-

ation vonS3

4. Nutzen Sie nun die Bahnformel und Aufgabenteil (a).

Aufgabe2 (2 Punkte).

SeiGeine Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung

G×G→G, (g,h)7→g◦h◦g⁻¹ eine Operation vonGaufGist.

Aufgabe3 (4 Punkte). (a) Bestimmen Sie die Normalteiler der Gruppe D₆. Nutzen Sie dazu die Liste der Untergruppen aus Aufgabe 2 (a) von Blatt 5.

(b) Zeigen Sie, dass die Kleinsche Vierergruppe

V₄={(),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}

ein Normalteiler vonS₄ist. (Hinweis: ¨Uberpr ¨ufen Sie Bedingung (b’) aus Anmerkung 3.2.14 zuerst f ¨ur Transpositionen und verwenden Sie danach, dass jede Permutation als Komposition von Transpositionen geschrieben werden kann.)

Aufgabe4 (4 Punkte). (a) Sei H ≤Geine Untergruppe der GruppeG. Zeigen Sie, dass die Abbildung

H→H◦g, h7→h◦g

bijektiv ist. In anderen Worten, jede Rechtsnebenklasse vonGnach Hhat genauso viele Elemente wieH.

(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung aus Satz 3.2.11 (a) wohldefiniert ist.