Übungsblatt 2 zur Zahlentheorie

Universität Konstanz Tom-Lukas Kriel Fachbereich Mathematik und Statistik Markus Schweighofer Sommersemester 2015

Übungsblatt 2 zur Zahlentheorie

Aufgabe 1. (6P) (Verhalten sich Moduln wie Vektorräume?) Welche der folgenden Aussagen stimmen für einen beliebigen Ring R und beliebige R-Moduln M und N?

Finde jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Bearbeite 6 von 8 Teilaufgaben.

Wenn du mehr bearbeitest, werden diebesten6 gewertet.

(a) Sei A ein Erzeugendensystem von M und f: A

→

N eine Abbildung. Dann gibt es höchstens einen Homomorphismusg: M

→

N, der f fortsetzt.

(b) M ist inNeinbettbar oder Nist in M einbettbar.

(c) Sei A

⊆

Mlinear unabhängig und f: A

→

Neine Abbildung. Dann gibt es einen Homomorphismus g: M

→

N, der f fortsetzt.

(d)

(

M

×

N

)

/

(

M

× {

0

}) ∼ =

N

(e) SeiN ein Untermodul von M. Dann gibt es einen Endomorphismus f von Mmit ker f

=

N.

(f) Ist f: M

→

Mein Endomorphismus, so M

∼ =

ker f

×

imf.

(g) IstMendlich erzeugt undNein Untermodul vonM, so ist auchNendlich erzeugt.

(h) Ist sowohlM inN als auch Nin Meinbettbar, so sind M

∼ =

N.

Bemerkung: Man kann zeigen, dass im Vektorraumfall (d.h. falls RKörper) alle obi- gen Aussagen richtig sind. Für endlichdimensionale Vektorräume wurde das in der Linearen Algebra I zumindest implizit bewiesen.

Aufgabe 2. (5P)(Untermoduln, Basen - ein praktisches Beispiel)

(a) Zeige, dass die abelsche Gruppe Rⁿ (mit der komponentenweisen Addition) zu einemRⁿ-Modul wird vermöge der durch





 λ₁

... λ_n











 x₁

... x_n





 :

=





 λ₁x₁

... λ_nx_n







(

λ₁, . . . ,λn,a₁, . . . ,an

∈

_R

)

gegebenen Skalarmultiplikation. Zur Unterscheidung vomR-VektorraumRⁿnen- nen wir diesenRⁿ-Modul M.

1

(b) Bestimme alle Untermoduln vonMund überprüfe jeweils, ob sie frei sind. Welche sind isomorph zueinander?

(c) Für welche MatrizenA

∈

_R^n×n ist die Abbildung M

→

M,x

7→

Axein Modulen- domorphismus?

Definition: Sei Rein Integritätsring und Mein R-Modul. Es heißtM

(a) divisibel, wenn es für allex

∈

Mund a

∈

R

\ {

0

}

einy

∈

M gibt mitx

=

ay, (b) torsionsfrei, wenn für allex

∈

Mund a

∈

R

\ {

0

}

ausax

=

0 schon x

=

0 folgt.

Da abelsche Gruppen nichts anderes alsZ-Moduln sind, sind die beiden Begriffe da- mit auch für abelsche Gruppen definiert.

Aufgabe 3. (5P)

(a) SeiRein Integritätsring,S:

=

R

\ {

0

}

undK:

=

S⁻¹R

=

qf

(

R

)

der Quotientenkör- per vonR. Sei Mein torsionsfreier R-Modul. Zeige:

• Auf M

×

Swird durch

(

x,a

) ∼ (

b,y

)

:

⇐⇒

bx

=

ay

(

x,y

∈

M, a,b

∈

S

)

eine Äquivalenzrelation

∼

definiert.

• Zeige, dass

(

M

×

S

)

/

∼

mittels der folgenden Addition und Skalarmultipli- kation zu einemK-Vektorraum wird:

( ]

x,a

) + ( ]

y,b

)

:

= (

bx

^ +

ay,ab

)

fürx,y

∈

M, a,b

∈

S a

b

· ( ]

y,c

)

_:

= ( ^

ay,bc

)

_fürx

∈

M, a

∈

R, b,c

∈

S

• M

→ (

M

×

S

)

_/

∼

_, x

7→ ( ]

x, 1

)

ist eine Moduleinbettung.

(b) Zeige: Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist Untergruppe einer divisiblen torsi- onsfreien abelschen Gruppe.

Abgabebis Dienstag, den 28. April, um 12:00 Uhr in die Zettelkästen neben F411 (Fach 2a).

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