Lösungen Buch Systemanalyse 1.1

Lösungen Buch Systemanalyse

1.1 Modellbildung

a) Systemgrenze = Landesgrenze äussere Relationen: Einwanderung

innere Relationen: Geburtsrate, Sterberate, Abwanderung b) Systemgrenze = Erde

äussere Relationen: keine

innere Relationen:Geburtsrate, Sterberate

c) Systemgrenze = Erdoberfläche und obere Atmosphäre

äussere Relationen: Input vom Ozean, Mineralisation / Respiration der Biosphäre, Verbrennung fossiler Brennstoffe

innere Relationen: Photosynthese, Transfer ins Meer (siehe auch Abb. 5.12)

d) Systemgrenze = Wasseroberfläche und Grenze zum „inerten“ Sediment äussere Relationen: Pb-Gehalt der sedimentierenden Partikel

innere Relationen: Rücklösung von Pb via Porenwasser in den See, Transfer ins inerte (Tiefen-) Sediment

1.2 Sonnensystem

a) Gravitationskräfte zwischen den Planeten und der Sonne b) keine

c) Gravitationskräfte zwischen Sonnensystem und andern Fixsternen (äussere Relation)

1.3 Von den chemischen Elementen zur Atomphysik

1. Sammeln: Suche nach chemischen Elementen und deren Unterscheidung von Molekülen

2. Ordnen: Elemente mit verwandten Eigenschaften, z. B. Edelgase, Alkalimetalle, Erdalkalimetalle etc.

3. Verstehen: Bohr’sches Atommodell, Elektronenschalen

4. Verallgemeinern: Quantenmechanik, Pauli-Prinzip für Elektronen

5. Prognosen: Vervollständigung des periodischen Systems, Transurane

2.1 Massenbilanz a) d

d M

t = (Input aus Fabrik) – (Transfer in Atmosphäre) – (chemischer Abbau im See) – (Abfluss)

b) d d

M

t = (Transfer in Atmosphäre) – (Sorption und Sedimentation) – (chemischer Abbau) – (Abfluss)

Bemerkung: Die Stoffmenge, welche durch den Unfall in den See gelangt, wird durch die Anfangsbedingung M(t=0) beschrieben.

2.2 Dimensionsbestimmung von Parametern

[ ] k

1

= ML T ;

^{−3 −1}

[ ] k

2

= L T ;

^{2 −1}

[ ] k

3

= L T ;

⁻¹

[ ] k

4

= M L T

^{−1 3 −1}

2.3 Phosphorsedimentation

10 ma

⁻1

, mittlere „Sinkgeschwindigkeit“ des Phosphors

2.4 Nagelbrett

Achtung Fehler in Aufgabenstellung: Für die Ebene n = 8 erstreckt sich der Bereich der Boxen von m = − 10 (nicht 12) − bis m = +10 (nicht +12).

Bernoulli-Zahlen für n = 8:

1 8 28 56 70 56 28 8 1

, , , , , , , , 256 256 256 256 256 256 256 256 256 Wahrscheinlichkeit für Box m = 0: 70

= 0.273 256

3.1 Dimensionsbehafteter Henrykoeffizient

[ ] K

_H

= L T , Einheiten z.B. (atm L mol ) oder (bar m kg )

^{2 −2 −1 3 −1}

/

K

L W

= K

^H

RT ( R : Gaskonstante, T : absolute Temperatur)

3.2 Henrykoeffizient von Methylbromid (6.5 0.5) atm L mol

1

K

H

= ±

⁻

1 1

/ L W

(6.5 0.5)

0.27 0.02 (mit 0.082 L atm mol K , = 293 K)

K = 24.0 ± = ± R =

^{− −}

q

T

3.3 Methylbromid als Ozonkiller Menge = 67.5 mol = 6.4 kg

3.4 Nichtlineare Sorptionsisotherme

Der übliche Ansatz für Sorptionsgleichgewichte hat die Form

. In doppelt logarithmischer Form entspricht dies einer linearen Regression: ln

( )

^m

min aq

C = q C

( C

_min

) = ⋅ m ln( C

_aq

) ln + .

Das Modell befriedigt nur teilweise; für höhere Konzentrationen sagt es systematisch zu grosse -Werte voraus (siehe Abbildung). Als Alternative benützen wir folgendes (Michaelis-Menten) Modell:

C

min

aq min

aq

C a C

= ⋅ b C +

Hier bedeutet der Parameter a die Sättigungskonzentration und b den Wert von C

_aq

, bei welchem halbe (Sorptions-)Sättigung erreicht wird. Das Modell gibt die Daten besser wieder.

0 10 20 30 40 50

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

C_aq [µmol⋅L^-1] Cmin [µmol⋅kg -1]

Datenpunkte_.

Potenzmodel C_min= q⋅(C_aq)^m ; q=6.87 , m=0.66 Michaelis-Menthen C_min= a⋅C_aq / (b+C_aq) ; a=9000 , b=8

3.5 Oekonomische Theorie a) Schnittpunkt der Kurven b) Preis steigt

c) Mehr Maschinen verkauft, Preis sinkt

4.1 Anpassungsverhalten Vorbild Abb. 4.3

C alt ^∞

1/2

C neu ^∞

1/2

Zeit t

4.2 Radioaktiver Zerfall

a) N

_Rn

( ) t = N

_Rn^∞

+ ( N

_Rn^°

− N

_Rn^∞

)e

^−λRnt

mit λ

_Ra

= 1.187 10 d , ×

^{−6 −1}

λ

_Rn

= 0.1824 d

⁻¹

5 10 Atome/Liter

4

N

_Rn

= ×

Ra

Rn Ra

Rn

650 Atome/Liter

N λ N

λ

∞

= =

b) , A

_i

= λ

_i

N

_i

i = Ra Rn ,

( ) ( )

Rn Rn Rn Rn

Rnt

A t = A

^∞

+ A

^°

− A

^∞

e

^−λ

mit

_{Rn Ra}

3 Rn

119 Zerfälle/Liter/d 9.12 x 10 Zerfälle/Liter/d

A A

A

∞

°

= =

=

4.3 Autos in einem Parkhaus a) 425 Plätze

b) 100 Minuten

c) 3.2 h

4.4 Phosphor im See mit Sedimentation

(d.h. aktueller Zustand des Sees entspricht dem Stationärzustand des momentanen Inputs)

( ^{10 t/a} ) ^{40 mg m}

³

C

^∞

=

⁻

( ^{6 t/a} ) ^{24 mg m}

³

C

^∞

=

⁻

5%

2.4 a τ =

4.5 Exponentielle Zuwanderung 1975: Einwanderung 0.25 x 10

⁶

a

^-1

2000: Einwanderung 1.19 x 10

⁶

a

^-1

Einwohner 35.1 x 10

⁶

4.6 Seewassertemperatur a) [ ] k

_x

= T (inverse Zeit)

⁻¹

b) Weil T

^∞

= T

_eq

ist c) [ ] k

ex

= ^{0.021 d}

⁻¹

max

19.3°C; 0.7 C

min

T = T = °

d) ^d (

^{ex w}

) (

^eq

) ^,

^ex

^{2 x 10 d}

^{3 1}

d

T k k T T k

t

− −

= + − =

Resultat ändert nicht wesentlich, da k

_ex

k

_w

4.7 Farbstoff in einem Brunnen

a) ( )

¹

4 0

d , 0.06 h

d

5 x 10 g/L

r w w

C k k C k

t

C

−

−

= − + =

= b) t

_krit

= 24.5 h

c) d

, 39 h d C = −

_{r krit}

=

k C t

t

4.8 Abbauprozesse in Kläranlage

a) d 1

¹

, 0.5 d

d

^{w in w w} _w

C k C k C R k

t τ

= − − = =

−

b) Da laut Messungen 1

, folgt 19

20

^{in w}

C

^∞

= C R = k C

^∞

c) k

_r

= 19 9.5 k

_w

= d

⁻¹

d)

_5%

3

0.15 d 3.6 h

r w

k k

τ = = =

+

e) τ =

_5%

0.15 d ( τ

_5%

ändert sich nicht, denn das System ist linear!)

4.9 Kupferakkumulation auf landwirtschaftlicher Fläche

a) d

²

: Cu pro m d

m j km m

t = −

: Input pro m und Jahr

2

j

7000 mg m

2

∞

=

−

0.006 a

1

k =

⁻

b) m

c) τ =

_5%

500 a d) k = 0.007 a

⁻¹

e) nein, da Inputwachstum β = 0.01 nicht k

4.10 Tritium im See

Um die Lösung der Aufgabe zu konkretisieren, wählen wir folgende Zahlen

1 1/ 2

1

(Tritium) = 12 a, d.h. 0.058 a 0.1 a

1 Bq/L (Bq = Becquerel) 0.44 Bq/L

w

in in

See

k k

C C

C C

λ −

−

°

°

τ =

=

≡ =

= =

a) ^d ( ) ^,

d

^{w in w w in t t w}

C k C k k C k C k C k k k

t = − +

_λ

= − = +

_λ

b) Da 0.44,

^w

0.63,

in w

k C

C k k

_λ

° =

+ = gibt es weitere Elimination.

Annahme: Diese sei 1. Ordnung mit

( ) 0.069 a , d.h.

¹

0.227 a

¹

in

r w w t w r

k k C k k k k k k

C

^{λ λ}

− −

=

°

− + = = + + =

c) ( )

( ) ( )

t 1

e mit 0.02 a

10a 0.50 Bq/L, 10a 0.54 Bq/L

in in

C t C

C t C t

β

β

° −

∞

= =

= = = =

Æ Störung durch Inputzunahme ist nahezu adiabatisch.

d) Wie c), aber mit

( )

¹

1 ln 1.2 0.182 a

β = 1 a =

⁻

( ^10a ) 1.53 Bq/L, ( 10a) 2.72 Bq/L

C t = = C

^∞

t = =

Æ stark nichtadiabatische Störung

5.1 Reaktor mit zwei Stoffen

Für Parameter von Bsp. 5.2 und 5.3, insbesondere k

_w

= 0.04 h , in h

⁻¹

t ⎡ ⎣

⁻¹

⎤ ⎦ :

( ) ( )

3 0.04

1

3 0.04

2

mol m 0.091 0.0196 e 0.0714 e mol m 0.909 0.9804 e 0.0714 e

t t

t t

C t C t

− −

− −

⎡ ⎤ = − −

⎣ ⎦

⎡ ⎤ = − +

⎣ ⎦

0.55

0.55

−

−

5.2 Seenkette

a)

¹ ₁ ^1,2 _{1 1}

1

2 1,2 2

2 1 2

1 2

d d d

d M Q

J M k M

t V

M Q Q

J M M k

t V V

λ

λ

= − −

= + − − M

₂

ergibt identische Koeffizientenmatrix wie Gl. 5.33

b)

tot

1 2 tot 2

d d

M J J k M Q C

t = + −

^λ

−

₂

„Fremde“ Variable C

₂

ist proportional zu M

_tot

falls: (1) ; (2) Das System ist im (Quasi-) Stationärzustand. Dann gilt

2

0

J =

tot 2

1 2

2

1,2 2

1 C M

V Q

V k

Q V

^λ

= ⎡ ⎛ ⎞ ⎤

+ +

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

c) Nur die gewichtete Summe der Konzentration,

^{1 1 2 2}

1 2

C V C V

C V V

= +

+ erfüllt Massenerhaltung.

5.3 Radioaktive Zerfallskette mit drei Isotopen

( )

( )

1 3

1

1

d 0.182d 7.6x10 h

d

d 1.55 h

d

d 2.10 h

d

X

X X X

Y

Y X Y Y

Z

Z Y Z Z

A A

t

A A A

t

A A A

t

− − −1

−

−

= −λ λ = =

= λ − λ =

= λ − λ =

Da

( ) ( ) ( ) ( )

^X

, gilt für Zeiten mit 1 bzw. 1:

0 e

Y Z X Y Z

t

Y Z X X

t t t

A t A t A t A

^−λ

λ λ λ λ λ

=

∼ ∼

5.4 Tritium in einer Kläranlage

( )

1

1 1 1 2

2

2 1 2 2

4 1 1

1/ 2 1

3 1 1

1 2

1 2

a) d d d

d

ln2 1.58 x 10 d , 1 d

6 x 10 d , 0.02 d

F w F

F F

w

F F

F F

A k k k A k A

t

A k A k A t

k k Q

V

Q Q

k k

V V

− − −

− − −

= − + + +

= −

= = = =

= = = =

λ

λ

τ

b) Da k

_λ

(alle andern spez. Raten) → Zerfall spielt keine Rolle c) λ

₁

∼ − k

_w

, λ

₂

∼ − k

_F2

d) A t

1

( ) = const. exp - ( k

_F2

t )

In V : τ = 100 d; τ = 20 d; τ =

tot

16.7 d 5.5 Geschichteter See mit Sedimentation

a)

_{1 w ex,1}

2 ex,2

In : V τ = 40 d

b) bis d)

b) konservativ c) radioaktiv d) konservativ + sedimentierend Stat. Konz.

3

1

mg m

C

^∞

⎡ ⎣

⁻

⎤ ⎦ C

2^∞

100 100

29 21

46 54 Eigenwerte

[ ]

1 1 2

5%

1

d d

3 d

−

⎡ ⎤ λ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ λ ⎣ ⎦

τ λ

-1

∼

-0.00305 -0.0819 980

-0.0131 -0.0919 230

-0.0063 -0.104 480

e) Beachte, dass die kleinere Sedimentationsrate im Tiefenwasser zu einer leichten Aufkonzentrierung im Volumen V

₂

führt (Fall d).

( ) ( )

5.6 Konservativer Stoff in einer Seekette

( )

w1

2 1

1 1

2

2 1

1 2

1 1 3

1 2 1

1 2 1

1 2

) e

e e

mit 1 d , 0.05 d , 2 gm

Anpassungszeiten: 5.3 d, 46 d,

w w

k t

k t k t

w

w w

w w

a C t C

C t C k

k k

Q Q M

k k C

V V V

t t

−

°

− −

°

− − ° −

° °

=

= −

−

= = = = = =

= =

max 3

2

= 0.085 gm , erreicht zum Zeitpunkt

⁻ max

= 3.2 d

1 2

0.05 d

k

w ⁻

∼

1 1

1 2

5.2 d 0.048 d

−

−

λ = − λ = −

b) C t

c) α =

d) Eigenwerte des Systems mit Pumpen:

Q

P

( V

1

+ V

2

)

Als Folge der grossen Pumpleistung kann das System

näherungsweise als vollständig durchmischt beschrieben werden mit Abflussrate

1

tot 2

1 2

0.0476 d

Q k

V V

M

°

= =

−

−λ

+ ∼

3 3

tot

1 2

und Anfangskonzentration C 0.095 gm 95 mg m V V

°

= =

−

=

−

+

Die kritische Konzentration

10 µg/L 10 mg m wird nach der Zeit

3

= 47 d unterschritten.

krit krit

C = =

⁻

t

e) Siehe d).

6.1 Bergsee mit zeitabhängiger Eliminationsrate a) System ist linear

b) Nein

c) ^j

in

( ) ^{t und k} ( t ) sind äussere Relationen

const., k =

d) Integration stückweise für Perioden mit wobei Endwert zum Anfangswert der nächsten Periode wird.

6.2 Fische in einem Teich

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf Beispiel 6.2 im Kapitel 6.1.3.

a)

max

d 1

d

^{p f}

N N

k N k N

t N

°

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟ −

⎝ ⎠

1 2 max

1 2

Fixpunkte: 0,

Falls > (siehe Frage d), ist instabil, stabil.

p f

p

p f

k k

N N N

k

k k N N

°

∞ ∞

°

° ∞ ∞

= = −

b)

für

f f p

k N k > k

^°

k N

f

logistisches Wachstum

N

2^∞

c) 1

^max

. Dann ist Fangertrag

2 2

f p f

E k N k N

° ∞

= = =

p f

°

>

2

k k

f

d) k k

6.3 Jacobi-Matrix des Lotka-Volterra-Modells

Im Kap. 6.2.1 wird die Jacobi-Matrix mit B bezeichnet. Um hier

Verwechslungen mit B = Beute zu vermeiden, wählen wir für die Jacobi- Matrix in dieser Aufgabe die Bezeichnung J.

J ( ) ( )

( )

1 3 3

3 2 3

, k k R k B

B R k R k k B

− −

⎛ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ − + ⎟ ⎟ ⎠

(

^{1 1}

)

¹

2

0, 0 0 0 B R k

k

∞ ∞

⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟

J ⎝ − ⎠

Fixpunkt ist Sattelpunkt (Abb. 6.11c) mit Stabilität in der R-Achse, Instabilität in der B-Achse.

2 1 2

2 2

1

3 3

, 0

0

k k k

B R

k

k k

∞ ∞

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

(

1 2

)

^{1/ 2}

Zentrum (Abb. 6.11f) i k k →

( )

J

Eigenwerte λ

_j

= ±

Bemerkung: Man kann zeigen, dass das Modell eine ungedämpfte Oszillation ausführt (vgl. Abb. 6.19c).

6.4 Räuber-Beute-Modell mit Selbstwechselwirkung

( )

( )

1 3 4 3

3 2 3

, k k R 2 k B k B

B R k R k k B

− − −

⎛ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ − + ⎟ ⎟ ⎠

Jacobi-Matrix J

Am Fixpunkt

₂ ² ₂ ^{1 2 4}

3 3 3 3

, mit

k k k k

B R

k k k k

ε ε

∞

=

∞

= − =

(

^{2 2}

)

²

1

, ( ) 0 B R k

k

∞ ∞

⎛ −ε − ⎞

= ⎜ ⎝ − ε ⎟ ⎠

:

J

{

^{2 2 1 2}

}

^{1/ 2}

1 4 4

j

2 k k k

λ = ^⎡ ⎣ − ε ± ε + ε − ^⎤ ⎦ Eigenwerte

2

1 2 2

k k > ε 4 + ε k

Falls k

₄

so klein, dass , sind Eigenwerte konjugiert komplex

mit negativem Realteil → Fall d) in Abb. 6.11 (siehe auch Abb. 5.11 a).

6.5 Halbtrivialer Fixpunkt des Holling-Tanner-Modells

Jacobi-Matrix J ( ^{, 0} )

0

k

k B

k

r w B B K B R

s

⎛ − − ⎞

⎜ + ⎟

= = ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠

( ^{r s , 0} )

− λ = >

Eigenwerte: λ =

₁

r ,

₂

s

Fall c) von Abb. 6.11 (Sattelpunkt)

→

B

k

B

R

6.6 Nichtlineares Biomasse-Wachstum in einem Teich

Beachte: Damit die Wachstumsfunktion sinnvoll ist, muss ihr Vorzeichen geändert werden, d.h. sie hat die Form

( ) (

0

) für 0

0

, 0

− ≤ ≤

= ⎨ ⎧⎪

⎪⎩

k N N

w

N B N N W N B

k

w

(K

>

0

N N

Zudem entspricht hier nicht wie üblich einer spez. Rate, sondern hat die Dimension ⎡ ⎣ onz.) T

^{−2 −1}

⎤ ⎦ .

Die Lösung der Aufgabe wird übersichtlicher, wenn man das Variablenpaar (N, B) durch ( ^{M = + N B N ,} ) ^ersetzt.

c) Falls Bedingung (I) der Antwort d) erfüllt ist, hat das System drei Fixpunkte:

(A)

^A

^J

^N

^,

^A

^J

^N

( ^{d.h. 0 B}

^A

)

Q Q

∞

=

∞

=

∞

=

M N

(B) (

0

)

; 1

2

N

B A B krit

M M J N N N

Q

∞

=

∞

=

∞

= −

(C) (

0

)

; 1

2

N

C A C krit

J N N N

Q

∞

=

∞

=

∞

= +

M M

1/ 2

0

4

^{a q}

,

_q

w

k k Q

mit

_krit

k

k V

⎛ + ⎞

= ⎜ − ⎟ =

⎝ ⎠

N N

Stabilität → siehe d)

d) Bedingung I: Biomasse B kann nur entstehen, falls

0

4

_krit

k

w

> k

^a

+ k

^q

, d.h. reell

N N

und

N N

B C

J J

N N

Q Q

∞ ∞

< >

Fixpunkt (A) ist stabil für

Fixpunkt (C) ist stabil für

^N

B

Q

C

N

^∞

≤ J ≤ N

^∞

Fixpunkt (B) ist instabil.

6.7 Lotka-Volterra mit zwei Beuten

1

1 1 4 1

d d

B k B B R a) t = − k

2

2 2 5 2

d

B k B k B R t = − d

4 1 5 2 3

d

R k B R k B R k R

t = + −

d

b) 3 Fixpunkte

1 2

0

B = B = = R (I) Trivialer Fixpunkt

stabil bezüglich R , instabil bezüglich B

₁

und B

₂

3 1

1 2

4 4

, 0,

k k

k R k

∞

=

∞

=

∞

=

B B

(II)

Zentrum falls

^{1 2}

4 5

k , k > k

k sonst instabil

(III)

₁

0,

₂

k

³

,

B

^∞

= B

^∞

=

²

5 5

R k

k k

∞

= Zentrum falls

^{1 2}

4 5

k < k , k k

sonst instabil

c) Art mit grösserem Wachstums- zu Fresskoeffizient

1 1

4 5

für ,

k k

₂

für

2

B B

⎛ ⎞

⎝ k k ⎟ ⎠

⎜

2

,

überlebt. Im gewählten Zahlenverhältnis überlebt B obschon B

1

die grössere Wachstumsrate hat ( k

₁

> k

₂

) .

B

2

wird vom Räuber weniger stark gefressen ( k

5

< k

4

) .

6.8 Lotka-Volterra mit Beute-Nische

( )

1

1 4 1 5 2 3 1

a) dB

d k k B k B k B R

t = − + −

( )

2

2 4 1

d

B k k B k B t =

₁

−

₅

+ d

3 1 2

R = k B R − k R

1 5

k < k d

dt

b) Für gibt es den nichttrivialen Fixpunkt

( )

( )

( )

2 2 4

1 2

1 5 1 4

3 5 1

k , k k

B B

k k k k

k k k k

R k k k

∞ ∞

∞

= =

−

= − +

−

1 5

,

k > k

3 3 5 1

( ) B

2

c) Falls würde die Beute in der Nische unbegrenzt wachsen und durch Migration aus der Nische heraus auch dem Räuber zu einem unbegrenzten Wachstum verhelfen.

Abhilfe: Ersetze das lineare Wachstum der Beute durch eine logistische Funktion:

*

1 1

i i krit

B k B

1, 2

_i

i k

B + B

= →

7.1 Elimination des inhomogenen Terms

( )

=

( )

+

0

− 1

n n

I

V V

1-dimensional: Mit a folgt V

⁽ⁿ⁺¹⁾

= a V

₀ ^{( )n}

( ^1.025 )

¹²

^{= 1.345}

q-te Ordnung: Beweise Gl. (7.17).

7.2 Kleinkredit

Jahreszins 34.5%

→

7.3 Reaktor

a) 50 kg

b) 14 Wochen

7.4 Mehrwegflaschen

a) Benütze die Methode der charakteristischen Gleichung

b) Da das System linear ist, kann man für das erste Jahr einen eigenen Ansatz wählen und mit dem Resultat von a) kombinieren, wobei sich bei letzterem der Index n um einen Monat verschiebt:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 1 2

1 1

2

mit 5'300

'150 ; 1

n n n

n n

n

n n

N N N

N

N

^{− −}

n

= +

⎡ ⎤

= λ − λ

− λ ≥

( )

( ) ( )

2 1

1 2

50 '000 48'850 1

0.822, 0.122

n

⎣ ⎦

= − λ

λ = λ = −

7.5 Fibonacci-Zahlen

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 5

1 1

5

n n

y

n

= ⎡ ⎣ λ − λ ⎤ ⎦

1 2

mit 1 5 ; 1

2 2

= + = −

λ λ

7.6 Geldspiel

( )

⁰

( )

⁰

2 Y > X a)

b) ^{( )}

⁰

= 2 ^{( )}

⁰

( ) ( )

¹

( )

¹

1ⁱ

10 '000 0.5 2

1ⁱ 2ⁱ

N N N

Y X

7.7 Anzahl Studierende im Studiengang 550

7.8 Fische im Teich

− −

= + +

b)

( ) ( )

¹

2ⁱ

0.1

1ⁱ

N = N

⁻

c) Benütze ^{( ) ( )}

( ) ( ) ( )

1 2

2 1

1 2

1 1 1

0.1

10 '000 0.5 0.2 0

i i

i i i

N N

N N N

− −

− −

=

→ − + + =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 3

1 1 1

4 5

1 1

10 '000; 15 '000; 19 '500

22 '750; 25 ' 275 N

N N

= = =

= =

d) N N

e) N

1

^{( )}

ⁱ

= N

1

^{( )}

ⁱ

− 33'333.3 macht Gleichung homogen Charakteristische Exponenten:

( )

1,2

1 0.5 1.05

2 ±

λ =

Anfangswerte: Beachte, dass N

₂

^{( )}

⁰

= 0 gleichbedeutend ist mit N

₁

^{( )}

⁻¹

= 0 N

1

^{( )}

ⁱ

= 33'333.3 31'305.3 − ( ) λ

1 ⁱ

− 2 '028.0 ( ) λ

2 ⁱ

( ) ( )

1 2

33'333.3 3'333.3 N

∞

∞

=

=

f) N

8.1 Tetrachlorethen in einem Teich a) 69 d

b) 34.5 d

8.2 Sauerstoff im See

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf Beispiel 8.2 in Kapitel 8.2.5.

Anfänglich nimmt C leicht zu (Stationärkonzentration 12.8 mg/L) und würde aber bei Erreichen eines anoxischen Tiefenwassers auf den leicht tieferen Stationärwert von 11.7 mg/L sinken.

A

8.3 Geothermischer Wärmefluss am Grund eines Sees d

1

0.175 km d

T x

=

−

0.10 Wm

2 th

(x: Tiefe im Sediment, positiv abwärts) a) Mit

ist F = −

⁻

(Fluss positiv aufwärts)

(Achtung: Die korrekten Einheiten von γ

_th

sind Wm K

^{−1 −1}

)

b) d

^{3 1}

4.8 x 10 km d

T z

− −

= + (Temp. mit Wassertiefe z zunehmend.)

8.4 Vertikale turbulente Diffusion a) K

_z

= 2.0 m d

^{2 −1}

= 2.32 x 10 m s

^{−5 2 −1}

4 2 1

b) F

_Rn

= 3.0 x 10 Bq m d

^{− −}

8.5 Peclet und Damköhler Zahl

2

/ 2 1 1

/ 2 2 Pe

diff L L

ad L

x D x v

x v D

τ = = =

a) τ

b) ( )

2

x

diff

⎛ ⎞

⎜ ⎟

2 2

2 /

2 2 Da

/

r r

ad r

D k Dk x = v k = v =

⎝ ⎠

(der Faktor 2 spielt bei dieser Art von Betrachtung keine Rolle!)

8.6 Flüchtige Substanz im Grundwasser a) + b)

a)

5.5 mg m

3

C

0

=

⁻

b) 4 m

Grundwasser

c) F = 1.4 x 10 mg m d

^{−3 −3 −1}

1143 d 3.1 a

diff

=

40 d

adv

3 1

g m d

d) τ =

e) P e = 57, also ist Transportfluss durch Advektion dominiert

τ =

− −

0.15

0

0.083 m F

adv

= ⋅ v C =

8.7 Radioaktive Edelgase in einem stehenden Rohr a) Die Lösung der stationären Transportgleichung

d

2

C

2

0

r

d k C D

− + x =

hat die Form

1/ 2

x x

, k

r

B D

λ −λ

⎛ ⎞

λ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) ^{C x} ( ) ^{= A e + e}

( 0 )

0

C x = = C Aus den Randbedingungen und

d 0 folgt für die Koeffizienten A und B:

d

_{x L}

C

x

₌

=

0 0

e e

e e ; e e

L L

L L

B C

L L

−λ λ

λ −λ λ −λ

= =

+ +

( )

A C

Eingesetzt in (1) ergibt sich (anders als fälschlicherweise in der Aufgabe behauptet):

( )

[ ]

0

cosh cosh

x L

C L

λ −

⎡ ⎤

⎣ ⎦

= λ

( ) ( )

C x

b) R = Radon, T = Tritium

0.1 m:

^R

0.028

0 T

C L

L Q

C L

= = ⋅

( ) ( )

^{19 0}

1 m:

^R

6.6 x 10

T

C L

L Q

C L

= =

−

( ^{0.1 m} ) ( ^{0.1 m} )

0.028 ; 0.998

C C

R T

R T

C L = C L =

= =

c)

8.8 Radium und Tritium im Tiefenwasser des Ozeans

F

_BWad

F

_BW^diff

F

_OW^ad

F

_OW^diff

Zerfall Summe 0

− 1.60 − 1.01 Radium 2.00 0.61 0

0

− 2.0 − 12.7

Tritium 0 0 14.7

Hinweis: Die Zahlen in der Tabelle entsprechen verallgemeinerten Transfergeschwindigkeiten in ⎡ ⎣ ma

⁻¹

⎤ ⎦

C

BW

C

_OW

⎡ ⎣ Bq m

⁻³

⎤ ⎦

2 1

Bq m a

^{− −}

. Wenn man sie mit den entsprechenden Randwerten ( für Radium, für Tritium, jeweils in )

multipliziert, erhält man die Flüsse in ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ .

8.9 Zeitabhängige Diffusions-/Advektionsgleichung

( ) ^d ( )

' mit '

x x

d

C x v t v C C C t

∂ − = − = ξ

∂ ξ

Beachte:

(

x

) ^'

C x v t C x

∂ − =

∂

8.10 Symmetrische Diffusion an einer Grenzfläche

( ) ^{, 2}

⁰

^{erfc 2} ( )

x ^{1/ 2}

C x

t

D t

⎛ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ ^{x 0}

C x , Grenze bei =

Beachte: ( ^0, )

⁰

2 t C

= = t > 0

C x (für alle Zeiten