Peter Dörsam
Oberstufenmathematik leicht gemacht
Band 2:
Lineare Algebra/Analytische Geometrie
mit zahlreichen Abbildungen und Beispielaufgaben 5. überarbeitete Auflage
PD-Verlag Heidenau
Inhaltsverzeichnis
1 Lineare Gleichungssysteme 11
1.1 Grundlagen aus der Mittelstufe 12
1.1.1 Einzelne lineare Gleichungen 12
1.1.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen 13 1.1.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen 15 1.2 Einführungsbeispiel zum Gauß- Algorithmus 16
1.3 Grundlagen des Gauß-Algorithmus 21
1.3.1 Addition von Vielfachen 21
1.3.2 Addition von Vielfachen mit vorheriger Veränderung
der oberen Gleichung 22
1.3.3 Schema 24
1.3.4 Übungsaufgaben 26
1.4 Unlösbare und unterbestimmte lineare Gleichungssysteme 29 1.4.1 Unlösbare lineare Gleichungssysteme 29 1.4.2 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme 33
1.4.2.1 Grundlagen 33
1.4.2.2 Der Gauß-Algorithmus bei unterbestimmten
Gleichungssystemen 36
1.4.3 Schema für den Gauß-Algorithmus (Fortsetzung) 39
1.5 Weitere Zusammenhänge 41
1.6 Umgehen von Brüchen 42
1.7 Gleichungssysteme mit Konstanten 46
1.8 Berechnung mittels Matrizen 49
1.8.1 Grundlagen 49
1.8.2 Zusammenfassung zum Lösen mit Matrizen 52
1.8.3 Übungsaufgaben mit Matrizen 55
2 Vektorrechnung im Anschauungsraum 57
2.1 Grundlagen 57
2.2 Addition und S- Multiplikation 59
2.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren 59
2.2.2 S-Multiplikation 64
2.2.3 Linearkombinationen , 65
2.3 Lineare Abhängigkeit 66
2.3.1 Zwei Vektoren 66
2.3.2 Drei Vektoren 68
2.3.3 Allgemeine Bedingung für lineare Abhängigkeit 74
2.4 Vektorraum (Teil 1) 77
2.4.1 Grundlagen 77
2.4.2 Basis und Dimension 82
2.5 Vektorraum (Teil 2: formale Betrachtung) 84
2.5.1 Definition 84
2.5.2 Abstraktere Vektorräume als der Anschauungsraum 87
2.5.3 Unterräume 91
2.6 Teilungsverhältnisse 93
2.6.1 Vektorzüge 93
2.6.2 Bestimmung von Teilungsverhältnissen 94 2.7 Vektoren in Koordinatenschreibweise 101
2.7.1 Grundlagen 101
2.7.2 Addition und S-Multiplikation in Koordinaten
schreibweise 106
2.7.3 Lineare Abhängigkeit 109
3 Die Parameterform der Geraden
und der Ebene 113
3.1 Grundlagen 113
v 3.2 Geradengleichung 114
3.3 Rechnen mit Geraden 118
3.3.1 Liegt ein Punkt auf einer Geraden? 118 3.3.2 Schnittpunkte von Geraden im Zweidimensionalen 122 3.3.3 Schnittpunkte von Geraden im Dreidimensionalen 129
3.4 Parametergleichung der Ebene 131
3.5 Rechnen mit Ebenen 132
3.5.1 Punkte auf Ebenen 132
3.5.2 Schnittpunkte: Gerade - Ebene 134
3.5.2.1 Grundlagen 134
3.5.2.2 Lösung mittels Gleichsetzen 135
3.5.2.3 Parallelität zwischen Ebene und Gerade 140
I
3.5.2.4 Spurpunkte 144
3.5.3 Schnittgerade: Ebene - Ebene 146
3.5.3.1 Grundlagen 146
3.5.3.2 Lösung mittels Gleichsetzen 147
3.5.3.3 Parallelität zwischen Ebenen 151
3.5.3.4 Spurgeraden 155
4 Koordinatenform 156
4.1 Koordinatenform der Geraden 156
4.2 Koordinatenform der Ebene 161
5 Metrischer Raum (Normalenform) 165
5.1 Skalarprodukt 165
5.1.1 Definition des Skalarproduktes 165 5.1.2 Wesentliche Eigenschaften des Skalarproduktes 168 5.1.3 Skalarprodukt für Vektoren in Koordinaten
schreibweise 171
5.1.4 Erzeugung von orthogonalen Vektoren 174
5.1.5 Die Länge eines Vektors 176
5.1.6 Der Winkel zwischen zwei Vektoren 178
5.1.7 Übungsaufgaben 179
5.2 Normalenform der Geraden 183
5.2.1 Grundlagen 183
5.2.2 Punkt-Normalenform und allgemeine Normalenform 185 5.2.3 Zusammenhang zwischen Koordinaten-, Normalen-
und Parameterform der Geraden 188
5.3 Normalenform der Ebene 190
5.3.1 Grundlagen 190
5.3.2 Punkt-Normalenform und allgemeine Normalenform 192 5.3.3 Zusammenhang zwischen Koordinaten- und
Normalenform der Ebene 193
I
5.4 Schmttaengen-Berechnung für (üeNonnalenform 195
5.4.1 Grundlagen 195
5.4.2 Schnitt zwischen Normalenform und Parameterform 195
5.4.2.1 Schnittpunkt zweier Geraden im Zweidimensionalen 195 5.4.2.2 Schnittmengen im Dreidimensionalen 196
5.4.3 Schnitt zwischen zwei Normalenformen 199
5.4.3.1 Schnittpunkt zweier Geraden in Normalenform 199 5.4.3.2 Schnittpunkt zweier Ebenen in Normalenform 200
5.5 Schnittwinkel 203
5.5.1 Schnittwinkel zwischen Geraden 203
5.5.1.1 Beide Geraden in Parameterform 203 5.5.1.2 Beide Geraden in Normalenform 206 5.5.1.3 Eine Gerade in Parameterform und eine in
Normalenform 207
5.5.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene 210 5.5.3 Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen 211
5.6 Hessesche Normalenform 212
5.6.1 Grundlagen 212
5.6.2 Beispiele zur Aufstellung der Hesseschen
Normalenform 217
5.6.3 Abstandsberechnungen zu einem Punkt 219 5.6.4 Abstandsberechnungen zwischen Geraden und Ebenen 222
5.6.4.1 Abstand zwischen zwei Geraden im
Zweidimensionalen 222
5.6.4.2 Abstand zwischen zwei Ebenen 226 5.6.4.3 Abstand zwischen Ebene und Gerade 227 5.6.4.4 Abstand zwischen zwei Geraden im Dreidimensionalen 227
5.6.5 Abstandsberechnungen eines Punktes zu einer
Geraden im Dreidimensionalen 231
6 Vektorprodukt 235
6.1 Grundlagen 235
6.2 Vektorprodukt und Normalenvektor 237
6.3 Vektorprodukt und Flächenberechnung 240 6.4 Zusammenfassung der Eigenschaften des Vektorproduktes 245
6.5 Volumenberechnung 246
6.6 Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden 251
7 Kreis und Kugel 253
7.1 Kreis- und Kugelgleichung 253
7.2 Schnittmengen mit Punkten, Geraden und Ebenen 256
7.2.1 Lage von Punkten 256
7.2.2 Schnittmenge mit Geraden und Ebenen 258 7.2.3 Koordinatenform für Kreis und Kugel 263
7.3 Tangente und Tangentialebene 266
8 Matrizen 268
8.1 Definition einer Matrix 268
8.2 Elementare Rechenregeln für Matrizen 270
8.2.1 Addition von Matrizen 270
8.2.2 Multiplikation einer Matrix mit einer
reellen Zahl 271
8.2.3 Transposition von Matrizen 271
8.3 Multiplikation von Matrizen mit Matrizen 273
9 Determinanten 277
9.1 Grundlagen zur Berechnung 277
9.2 Determinanten und lineare Abhängigkeit 281
9.2.1 Grundlagen 281
9.2.2 Anwendung auf Aufgaben zur linearen Abhängigkeit 283 9.2.3 Parallelität von Gerade und Ebene 285
9.2.3 Parallelität von Ebenen 287
9.3 Die Cramer'sche Regel 289
9.3.1 Eindeutig lösbare Gleichungssysteme 289 9.3.2 Anwendung auf den Schnitt zwischen Gerade und
Ebene 291
9.3.3 Anwendung auf den Schnitt zwischen zwei Ebenen 294
9.4 Flächen- und Volumenbestimmung 298
9.5 Determinanten und Vektorprodukt 300
10 Anhang 301
10.1 Anhang aus Band 1 301
10.2 Schema zum Gauß-Algorithmus 302
10.3 Lineare Abhängigkeit 304
10.4 Skalarprodukt 305
10.5 Vektorprodukt 306
10.6 Geraden- und Ebenengleichungen 307
10.7 Schnittwinkel 308
10.8 Schnitt von Geraden/Ebenen 309
10.9 Flächen- und Volumenberechnung 310
10.10 Kreis und Kugel 310
10.11 Typische Fehler 311
10.12 Mathematische Zeichen 312
10.13 Griechisches Alphabet 313
