Outline. 1 Einleitung. 2 Einführung in C. 3 C - Fehler finden und vermeiden. 4 Fortgeschrittenes in C. 5 C - Binärer Suchbaum

(1)

Outline

1 Einleitung 2 Einführung in C

3 C - Fehler finden und vermeiden 4 Fortgeschrittenes in C

5 C - Binärer Suchbaum 6 Einführung in Common Lisp 7 Lisp - Beispiele

8 Einführung in Prolog 9 Formale Semantik

(2)

Formale Semantik und Verifikation - Wiederholung

• Mathematischer Nachweise über Korrektheit von Programmen

• Formale Beschreibung der Bedeutung von Programmen

• Übersetzersemantik

• Operationale Semantik

• Denotationelle Semantik

• Axiomatische Semantik

• Literatur:

Appelrath, Ludewig,Skriptum Informatik, B. G. Teubner, 2000.

(3)

Operationale Semantik

• Die Operationale Semantik definiert für eine Programmiersprache eine mathematische Maschine, welche als Programminterpreter dient.

Eine solchemathematische Maschine Mist ist ein Tupel

M = (I

,

O

,

K

, α, ω, τ, π

) mit folgenden Elementen:

I . . .EingabedatenundProgrammanweisungen O . . . Menge vonAusgabedaten

K . . . Menge vonKonfigurationen

α

:I

→

K . . .Eingabefunktion

ω

:K

→

O . . .Ausgabefunktion

τ

:K

→

K . . .Übergangsfunktion

π

:K

→ {

false

,

true

}

. . .Halteprädikat

(4)

Operationale Semantik am Beispiel Mini

• K =A

×

Z, wobeiA die Menge aller Anweisungfolgen undZ die Menge aller möglichen Programmzustände ist.

• Ein Mini-Programm terminiert genau dann, wenn die aktuelle Anweisungsfolge leer ist. Also:

π

(a

,

z) =truegdw.a=

ε

• Beispiel:Das folgende Mini-Programm liefert die Summe zweier Zahlenx undy, fallsy

≥

0 gilt. Andernfalls terminiert es nicht.

read x, y;

while y != 0 do x := x + 1; y := y - 1 end;

write x.

Im Folgenden berechnen wir schrittweise die Konfigurationsübergänge dieses Programms.

(5)

Übergangsfunktion

τ

für Mini

alter alte neuer neue

Zustand Anweisungsfolge Zustand Anweisungsfolge

z ε;hAi z hAi

z bB0;hAi zhb←0i hAi

z b1Bb2+ 1;hAi zhb1←z(b2) + 1i hAi z b1Bb2−1;hAi zhb1←z(b2)−1i hAi

z ifb= 0 thenhA1i z hA1i;hAi fallsz(b) = 0

elsehA2iend;hAi hA2i;hAi sonst

z whileb,0 dohA1i z hAi fallsz(b) = 0

end;hAi hA1i; whileb,0 sonst

dohA1iend;hAi

Hierbeizist die Abbildungz:B

→

, die jedem Bezeichner einen Wert zuweist.z

h

b

←

w

i

bezeichnet die Variablenblegung die mitz

übereinstimmt, wobei nur die Variableb den Wertw hat.

(6)

τ

für Mini

z ε;hAi z hAi

dohA1iend;hAi

(whiley,0 doxBx+ 1;y By−1 end;ε,z0) z0(x) = 3,z0(y) = 2

Hinweis: Beachten Sie, dass die Anweisungensfolge durch die leere Anweisungε ergänzt wird.

(7)

τ

für Mini

z ε;hAi z hAi

dohA1iend;hAi

(xBx+ 1;y By−1;whiley,0 doxBx+ 1;yBy−1 end;ε,z0) z0(x) = 3,z0(y) = 2

(8)

τ

für Mini

z ε;hAi z hAi

dohA1iend;hAi

(yBy−1;whiley ,0 doxBx+ 1;yBy−1 end;ε,z1) z1(x) = 4,z1(y) = 2

(9)

τ

für Mini

z ε;hAi z hAi

dohA1iend;hAi

(10)

τ

für Mini

z ε;hAi z hAi

dohA1iend;hAi

(xBx+ 1;y By−1;whiley,0 doxBx+ 1;yBy−1 end;ε,z2) z2(x) = 4,z2(y) = 1

(11)

τ

für Mini

z ε;hAi z hAi

dohA1iend;hAi

(yBy−1;whiley ,0 doxBx+ 1;yBy−1 end;ε,z3) z3(x) = 5,z3(y) = 1

(12)

τ

für Mini

z ε;hAi z hAi

dohA1iend;hAi

(13)

τ

für Mini

z ε;hAi z hAi

dohA1iend;hAi

(ε,z4)

z4(x) = 5,z4(y) = 0

(14)

Denotationelle Semantik - kurze Vorlesungswiederholung

• . . . Maschinenmodell zur Beschreibung der Zuständsänderungen aller Variablen

• SeiZ_p die Menge aller möglichen Zustände

Z_p

⊆

W(v₁)

×

W(v₂)

× . . .

W(v_n), wobeiv₁

, . . . ,

v_ndie im Programm

auftretenden Variablen undW(v_i) der jeweilige Wertebereich der Variablev_iist.

Jede Anweisung kann dann als Funktion gesehen werden, die von einem Zustand in einem anderen abbildet:

F[Anweisung] :Z_p

→

Z_p

⇒

F ist diesemantische Funktion. Sie entspricht der Abstraktion von der Wirkung von Programmen auf Variablenbelegungen, hin zu der Wirkung von Einzelanweisungen und Anweisungsfolgen auf die

(15)

Denotationelle Semantik - Beispiel

• Zur Vorbereitung auf das Übungsblatt ein kleines Beispiel zu Anweisungssequenzen:

x:=x+1; y:=y-1

Hieraus ergibt sich die folgende semantische Funktion F:

F[x:=x+ 1;y :=y

−

1](z) =F[y:=y

−

1](F[x :=x+ 1](z))

• . . . an dieser Stelle endet das Beispiel, denn die semantischen Funktion für eine Zuweisung soll im Selbststudium, dass heißt im Rahmen des aktuellen Übungsblatts, definiert werden.

(16)

Denotationelle Semantik - Beispiel

• Zur Vorbereitung auf das Übungsblatt noch ein kleines Beispiel zu Schleifen:

WHILEy! = 0 DO

h

A

i

END

Hieraus ergibt sich die folgende semantische Funktion F:

F[WHILEy! = 0 DO

h

A

i

END](z) =

(

z

∀

_z∈Z_p :z(y) = 0

F[WHILEy! = 0 DO

h

A

i

END](F[

h

A

i

]z) sonst

(17)

Axiomatische Semantik

• Meist für imperative Programmiersprachen

• Bekannteste Vertreter: wp-Kalkül, Hoare-Kalkül

• Statt konkreter Zustände: Eigenschaften von Zuständen oder Aussagen über Zustände.

(18)

Schwächste Vorbedingung

• Wenn vor der AnweisungS, die BedingungP gilt, so gilt nach ihr die BedingungQ.

{

P

}

S

{

Q

}

• Beispiel:

{

x=N

}

x :=x+ 1

{

x=N+ 1

}

(19)

• Problem: Zu einer Nachbedinung kann es viele verschiedene Vorbedingungen geben:

{

?

}

x :=x+y;

{

x

>

0

}

• Gültige Vorbedingungen:

{

x

≥ −

3

∧

y

>

3

}

{

x+y

>

0

}

{

x

>

0

∧

y

>

0

}

(20)

• Gesucht ist diejenige VorbedingungP, für die gilt: Jede Vorbedingung P⁰fürS, unter der nach Ausführung vonSdie NachbedingungQ gilt, impliziertP

• Wir schreiben auch:P⁰

→

P

• P ist schwächer alsP⁰(da spezieller) undP⁰ ist stärker alsP (da allgemeiner)

• Solch eine schwächste Vorbedingung heisst:wp(S

,

Q)

(21)

Anwendung Schwächste Vorbedingung

• Gibt es zu einem gegebenen ProgrammS, spezifizierte Vor- und NachbedingungenP_SPEC undQ_SPEC, sowie die BedingungenPund Q, so dassP_SPEC

→

P,P

{

S

}

Q, undQ

→

Q_SPEC gilt, so ist das Programm korrekt.

• Finde zu einem ProgrammSund einer NachbedingungQ_SPEC die schwächste Vorbedingungwp(S

,

Q_SPEC). Das Programm ist dann korrekt, wennP_SPEC

→

wp(S

,

Q_SPEC) gilt. StattQ_SPEC darf auch ein stärkeresQgewählt werden.

(22)

• Leere Anweisung:

wp(

ε,

Q)

≡

Q

• Sequenz:

wp(A₁;A₂

,

Q)

≡

wp(A₁

,

wp(A₂

,

Q))

• Bedingte Verzweigung:

wp(IFB THEN

h

A₁

i

ELSE

h

A₂

i

END

,

Q)

≡

(B

∧

wp(

h

A₁

i ,

Q))

∨

(

¬

B

∧

wp(

h

A₂

i ,

Q))

• Zuweisung:

wp(x

B

^V

,

Q(x))

≡

Q(x

→

V)

• Schleife:

wp(WHILEB DO

h

A

i

END

,

Q)

≡

(

¬

B

∧

Q)

∨

((B

∧

I)

∧

(

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(

h

A

i ,

I))) Inennt man die Schleifeninvariante

(23)

wp(

ε,

Q)

≡

Q

• Sequenz:

wp(A₁;A₂

,

Q)

≡

wp(A₁

,

wp(A₂

,

Q))

wp(IFB THEN

h

A₁

i

ELSE

h

A₂

i

END

,

Q)

≡

(B

∧

wp(

h

A₁

i ,

Q))

∨

(

¬

B

∧

wp(

h

A₂

i ,

Q))

• Zuweisung:

wp(x

B

^V

,

Q(x))

≡

Q(x

→

V)

• Schleife:

wp(WHILEB DO

h

A

i

END

,

Q)

≡

(

¬

B

∧

Q)

∨

((B

∧

I)

∧

(

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(

h

A

i ,

(24)

wp(

ε,

Q)

≡

Q

• Sequenz:

wp(A₁;A₂

,

Q)

≡

wp(A₁

,

wp(A₂

,

Q))

wp(IFB THEN

h

A₁

i

ELSE

h

A₂

i

END

,

Q)

≡

(B

∧

wp(

h

A₁

i ,

Q))

∨

(

¬

B

∧

wp(

h

A₂

i ,

Q))

• Zuweisung:

wp(x

B

^V

,

Q(x))

≡

Q(x

→

V)

• Schleife:

wp(WHILEB DO

h

A

i

END

,

Q)

≡

(

¬

B

∧

Q)

∨

((B

∧

I)

∧

(

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(

h

A

i ,

(25)

wp(

ε,

Q)

≡

Q

• Sequenz:

wp(A₁;A₂

,

Q)

≡

wp(A₁

,

wp(A₂

,

Q))

wp(IFB THEN

h

A₁

i

ELSE

h

A₂

i

END

,

Q)

≡

(B

∧

wp(

h

A₁

i ,

Q))

∨

(

¬

B

∧

wp(

h

A₂

i ,

Q))

• Zuweisung:

wp(x

B

^V

,

Q(x))

≡

Q(x

→

V)

• Schleife:

wp(WHILEB DO

h

A

i

END

,

Q)

≡

(

¬

B

∧

Q)

∨

((B

∧

I)

∧

(

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(

h

A

i ,

(26)

wp(

ε,

Q)

≡

Q

• Sequenz:

wp(A₁;A₂

,

Q)

≡

wp(A₁

,

wp(A₂

,

Q))

wp(IFB THEN

h

A₁

i

ELSE

h

A₂

i

END

,

Q)

≡

(B

∧

wp(

h

A₁

i ,

Q))

∨

(

¬

B

∧

wp(

h

A₂

i ,

Q))

• Zuweisung:

wp(x

B

^V

,

Q(x))

≡

Q(x

→

V)

• Schleife:

wp(WHILEBDO

h

A

i

END

,

Q)

≡

(

¬

B

∧

Q)

∨

((B

∧

I)

∧

(

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(

h

A

i ,

I))) I nennt man die Schleifeninvariante

(27)

Schwächste Vorbedingung - Beispiele

• Zuweisung:y = 2 muss vorx

B

^y+ 1 gelten, damit anschließend x = 3 gilt:

wp(x

B

^y^{+ 1}

,

x= 3)

≡

(y+ 1 = 3)

≡

(y= 2)

• Bedingte Verzweigung: Das folgende Programm liefert fürjede Variablenbelegung die Nachbedingungx=

|

y

|

.

wp(IFy

<

0 THENx

B −

yELSEx

B

^y^END

,

x=

|

y

|

)

≡

(y

<

0

∧

wp(x

B −

y

,

x =

|

y

|

))

∨

(y

≥

0

∧

wp(x

B

^y

,

x =

|

y

|

))

≡

(y

<

0

∧ −

y=

|

y

|

)

∨

(y

≥

0

∧

y=

|

y

|

)

≡

y

<

0

∨

y

≥

0

≡

true

(28)

• SeiQ

≡

x

≤

n

∧

t =xⁱ die Nachbedingung für das Programm

t := t * x; i := i + 1

:

wp(t

B

^t

∗

x;i

B

ⁱ^{+ 1}

,

i

≤

n

∧

t =xⁱ)

≡

wp(t

B

^t

∗

x

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

i

≤

n

∧

t =xⁱ))

≡

wp(t

B

^t

∗

x

,

i+ 1

≤

n

∧

t =xⁱ⁺¹)

≡

i+ 1

≤

n

∧

t

∗

x=xⁱ⁺¹

≡

i

<

n

∧

t =xⁱ

• Die Vorbedingung im zweiten Teil stimmt mit der NachbedingungQ trotz der Zuweisung überein und wird als Invariante bezeichnet.

(29)

• Auf den folgenden beiden Folien suchen wir die schwächste Vorbedingung für eine Schleife:

WHILE( i < n ) DO t := t * x i := i + 1 END

• Dazu betrachten wir zuerst nur die einzelnen Terme, ohne den gesamten logischen Ausdruck für diewpder Schleife am Ende zu notieren.

(30)

• Die Nachbedingung soll, analog zur vorletzten Folie, wie folgt lauten:

Q

≡

i =n

∧

t =xⁱ

≡

t =xⁿ

.

• kein Schleifendurchlauf

(

¬

B

∧

Q)

≡

i

≥

n

∧

t =xⁿ

≡

t =xⁿ

≡

Q

.

• vor Schleifeneintritt:

(B

∧

I)

≡

(i

<

n)

∧

(i

≤

n

∧

t =xⁱ)

≡

i

<

n

∧

t =xⁱ

(31)

• Schleifenende:

(

¬

B

∧

I)

≡

(i

≥

n)

∧

(i

≤

n

∧

t =xⁱ)

≡

i=n

∧

t =xⁱ

≡

Q

(

¬

B

∧

I) impliziert also die NachbedingungQ.

• Schleifendurchlauf (siehe vorher):

wp(t

B

^t

∗

x;i

B

ⁱ^{+ 1}

,

i

≤

n

∧

t =xⁱ)

≡

i

<

n

∧

t =xⁱ

(B

∧

I) impliziert also wieder die Vorbedingung für einen weiteren Schleifendurchlauf.

(32)

Schwächste Vorbedingung - Programmkonstruktion

• Wie aus der Vorlesung bekannt, kann man mittels axiomatischer Semantik auch Programme konstruieren. Dabei geht man von einer Nachbedingung aus und fügt sukzessive Anweisungen zum

Programm hinzu, so dass die schwächste Vorbedingung allgemeiner ist als die aktuelle Zwischenbedingung oder spezialisiert die

ZwischenbedingungenQ zuQ⁰, so dassQ⁰

→

Qgilt.

• Im Folgenden finden Sie ein Beispiel zur Programmkonstruktion, welches Ihnen als Beispiel beim weiteren Selbststudium helfen soll.

(33)

Anwendung axiomatischer Semantik - Binomialkoeffizient

Ziel:Konstruiere ein Programm, dass den Binomialkoeffizientenbausn undk berechnet:

_n

k

=

Q

_k

i=1 n−(k−i)

i .

• Q_SPEC

≡

b=

_n

k

• wähle spezielleresQ

≡

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

• Idee:löse iterativ mittels Schleife und suche nach SchleifeninvarianteI mit (

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(A

,

I))

• wähle als SchleifeninvarianteI

≡

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n und als Abbruchbedingung der while-SchleifeB

≡

i

<

k

⇒ ¬

B

∧

I

≡

(i

≥

k

∧

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

(b =

_n

i

∧

0

≤

i =k

≤

n)

→

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

≡

Q

• Suche nach AnweisungenA, so dassB

∧

I

→

wp(A

,

I)

(34)

_n

k

=

Q

_k

i=1 n−(k−i)

i .

• Q_SPEC

≡

b=

_n

k

≡

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(A

,

I))

≡

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

≡

i

<

k

⇒ ¬

B

∧

I

≡

(i

≥

k

∧

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

(b =

_n

i

∧

0

≤

i =k

≤

n)

→

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

≡

Q

∧

I

→

wp(A

,

I)

(35)

_n

k

=

Q

_k

i=1 n−(k−i)

i .

• Q_SPEC

≡

b=

_n

k

≡

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(A

,

I))

≡

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

≡

i

<

k

⇒ ¬

B

∧

I

≡

(i

≥

k

∧

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

(b =

_n

i

∧

0

≤

i =k

≤

n)

→

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

≡

Q

∧

I

→

wp(A

,

I)

(36)

_n

k

=

Q

_k

i=1 n−(k−i)

i .

• Q_SPEC

≡

b=

_n

k

≡

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(A

,

I))

≡

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

≡

i

<

k

⇒ ¬

B

∧

I

≡

(i

≥

k

∧

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

(b =

_n

i

∧

0

≤

i =k

≤

n)

→

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

≡

Q

∧

I

→

wp(A

,

I)

(37)

_n

k

=

Q

_k

i=1 n−(k−i)

i .

• Q_SPEC

≡

b=

_n

k

≡

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(A

,

I))

≡

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

≡

i

<

k

⇒ ¬

B

∧

I

≡

(i

≥

k

∧

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

(b =

_n

i

∧

0

≤

i =k

≤

n)

→

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

≡

Q

∧

I

→

wp(A

,

I)

(38)

_n

k

=

Q

_k

i=1 n−(k−i)

i .

• Q_SPEC

≡

b=

_n

k

≡

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(A

,

I))

≡

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

≡

i

<

k

⇒ ¬

B

∧

I

≡

(i

≥

k

∧

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

(b =

_n

i

∧

0

≤

i =k

≤

n)

→

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

≡

Q

∧

I

→

wp(A

,

I)

(39)

_n

k

=

Q

_k

i=1 n−(k−i)

i .

• Q_SPEC

≡

b=

_n

k

≡

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(A

,

I))

≡

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

≡

i

<

k

⇒ ¬

B

∧

I

≡

(i

≥

k

∧

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

(b =

_n

i

∧

0

≤

i =k

≤

n)

→

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

≡

Q

∧

I

→

wp(A

,

I)

(40)

_n

k

=

Q

_k

i=1 n−(k−i)

i .

• Q_SPEC

≡

b=

_n

k

≡

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

¬

B

∧

I

→

Q)

∧

(B

∧

I

→

wp(A

,

I))

≡

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

≡

i

<

k

⇒ ¬

B

∧

I

≡

(i

≥

k

∧

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

(b =

_n

i

∧

0

≤

i =k

≤

n)

→

b=

_n

k

∧

0

≤

k

≤

n

≡

Q

∧

I

→

wp(A

,

I)

(41)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(42)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(43)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(44)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(45)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(46)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(47)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(48)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(49)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(50)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

(51)

∧

I

→

wp(A

,

I) gilt.

• wähle fürA:b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

• wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1);i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n)

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

wp(i

B

ⁱ^{+ 1}

,

b =

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n))

≡

wp(b

B

^b

∗

(n

−

i)

/

(i+ 1)

,

b=

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n)

≡

bⁿ⁻ⁱ_i+1 =

_n

i+1

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i+ 1

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

• B

∧

I

≡

i

<

k

∧

b=

_n

i

∧

0

≤

i

≤

k

≤

n

≡

b =

_n

i

∧

0

≤

i

<

k

≤

n

→

b=

_n

i

∧ −

1

≤

i

<

k

≤

n

Outline. 1 Einleitung. 2 Einführung in C. 3 C - Fehler finden und vermeiden. 4 Fortgeschrittenes in C. 5 C - Binärer Suchbaum

,

,

, α, ω, τ, π

α

→

ω

→

τ

→

π

→ {

,

}

×

π

,

ε

≥

read x, y;

while y != 0 do x := x + 1; y := y - 1 end;

write x.

τ

→ 

h

←

i

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

⊆

×

× . . .

, . . . ,

→

⇒

x:=x+1; y:=y-1

−

−

h

i

h

i

(

∀

h

i

h

i

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

>

}

{

≥ −

∧

>

}

{

>

}

{

>

∧

>

}

→