UEBER DEN BEGRIFF DER BINDUNG IN DER MATHEMATISCHEN SPRACHE

UEBER DEN BEGRIFF DER BINDUNG IN DER MATHEMATISCHEN SPRACHE

Von ROB NEDERPELT* in Eindhoven

In der halb-formalen Sprache, die Mathematiker normalerweise verwenden um mit einander zu kommunizieren, der mathernatischen

Sprache

also, spielt die Bindung von Variablen eine wichtige Rolle. In dieser Arbeit wird die Trag- weite des Begriffs 'Bindung' gezeigt: nicht nur in Formeln trifft man Bin- dung an, sondern auch in grosseren Textteilen.

Bindung in ihrer reinsten Form findet man in Funktionen. Wir diskutieren, wie man Funktionen einwandfrei beschreiben kann und welche Vorteile eine derartige einheitliche Notation hat. Eine kompliziertere Art von Bindung trifft man bei logischen Deduktionen an. Wir werden die zutreffenden Regeln im Zusammenhang mit den Begriffen 'Variablenintroduktion' und 'Voraus- setzung' besprechen. Auch der Begriff 'Definition' wird hierbei zur Sprache kommen. Beispiele aus der alltaglichen Mathematik werden die Auseinander- setzung erlautern.

Zum Schluss dieser Arbeit werden wir demonstrieren, wie die mathematische Sprache mit Hilfe von abstrakten Funktionen

-

also mit wesentlicher Aus- nutzung der Bindung

-

zu einem streng formalen mathematischen Sprachsystem umgewandelt werden kann.

1. Bindung in Formeln 1.1. Koreferenz

Wenn in einer Mitteilung an mehreren Stellen auf dasselbe Objekt verwiesen wird, dann gibt es eine gemeinsame Referenz: wir sprechen dann von

*

Der Autor dieses Aufsatzes dankt Herrn Priv.-Doz. Dr. M. Stein aus Miinster fur seine Hilfe in bezug auf die einwandfreie Verwendung der deutschen Sprache

.

Koreferenz.

In der naturlichen Sprache verwendet man dafur zuweilen das- selbe Wort in einem Satz ('Gib dem Kaiser was des Kaisers ist'), ublicher ist jedoch, "Verweisungsworter" zu benutzen ('Marie wusch

sich

die Hande').

Hierfur steht ein festes Arsenal von Wortern zur Verfugung, die man je nach ihrer Funktion klassifizieren kann, z.B. als reflexive oder relative Pro- nomina.

Auch in der mathematischen Sprache ist Koreferenz ein wichtiges Hilfsmittel.

In der Formel 'a(a+ b) = a2 + ab' ist es von wesentlicher Bedeutung, dass der Buchstabe 'a' an allen vier Stellen dasselbe Objekt vorstellt, ebenso wie 'b' and den zwei Stellen seines Vorkommens dasselbe Object darstellt.

Gleiche Worter verweisen im Algemeinen auf dasselbe Objekt innerhalb einer Formel. (Wir betrachten Variablen hier als sprachliche Objekte, das heisst:

Worter.) Dagegen ist es nicht notwendig dass verschiedene Worter (wie 'a' und 'b' in diesem Beispiel) auch auf verschiedene Objekte verweisen: ge- gebenenfalls konnen 'a' und 'b' beide dasselbe Objekt darstellen. Solange die Bedeutung der Worter in einer Formel nicht bekannt ist (und nur dann), sind sie gegen andere austauschbar, vorausgesetzt, dass man sie konsequent vertauscht

.

Zum Beispiel: die Formel

'

a(a + b) = a2

+

ab' tragt ohne weitere Angaben die- selbe Information wie 'k(k +

L)

= k2 + kk', oder sogar: ' & ( &

+

8 ) = & 2

+

&%'

.

Die Koreferenz kann man ohne Bedenken auch nur grafisch darstellen und da- bei sogar auf eine weitere Unterscheidung zwischen den verschiedenen Wortern verzichten:

Wir konnen Variablen also als Leerstellen auffassen. In Zusammenhang hiermit erwahnen wir den Aufsatz von Griesel [5], der eine interessante Auseinander- setzung uber die Platzhalterauffassung gegenuber der Bedarfsnamenauffassung von Variablen enthalt. Auch ein Beitrag von Vredenduin [lo] ist in dieser Beziehung erwahnenswert.

1.2. Bindung

Oft will man in einer Formel oder einem anderen Textteil auch den

Typus

(die Kategorie, die Menge) erwahnen, zu dem ein mathematisches Wort gehort. Zum

B e i s p i e l : ' F u r a l l e r e e l l e n Z a h l e n a und b g i l t : a ( a + b ) = a 2

+

a b ' . J e t z t g i b t e s mehr a l s n u r d i e K o r e f e r e n z z w i s c h e n den j e w e i l i g e n a ' s , bzw. d e n b ' s : z u s a t z l i c h h a t man a u c h a u s g e d r u c k t , d a s s e s s i c h un r e e l l e Z a h l e n h a n d e l t . Wenn d i e B e d e u t u n g von V a r i a b l e n i n d i e s e r Weise f e s t g e l e g t i s t , s p r i c h t man von Bindung: d i e V a r i a b l e n ' a ' und ' b ' t r e t e n i m l e t z t e n B e i - s p i e l a l s g e b u n d e n e V a r i a b l e n a u f .

Manchmal k e n z e i c h n e t man Bindung d u r c h d i e E i g e n s c h a f t , d a s s f u r d i e V a r i a b l e urn w e l c h e e s h a n d e l t n i c h t e i n k o n k r e t e r "Wert" s u b s t i t u i e r t werden d a r f , ohne d a s s d i e B e d e u t u n g d e r Formel v e r l o r e n g e h t . Der S a t z : ' F u r a l l e r e - e l l e n Z a h l e n 7 und 9 g i l t : 7 ( 1

+

9 ) = 7 2

+

7 * 9 '

,

zum B e i s p i e l , i s t ohne S i n n .

E i n e V a r i a b l e , d i e i n e i n e m g e w i s s e n T e x t t e i l n i c h t gebunden i s t , h e i s s t d a r i n f r e i : i n dem f r i i h e r g e g e b e n e n B e i s p i e l ' a ( a

+

b ) = a 2

+

a b ' waren ' a ' und ' b ' n o c h f r e i e V a r i a b l e n . Es w i r d k l a r s e i n , d a s s G e b u n d e n h e i t bzw.

F r e i h e i t e i n e r V a r i a b l e r e l a t i v e B e g r i f f e s i n d , w e i l e i n e V a r i a b l e n u r f r e i o d e r gebunden s e i n k a n n m i t Bezug a u f e i n e g e g e b e n e F o r m e l , bzw. e i n e n S a t z o d e r T e x t .

B e i Bindung g i b t e s immer e i n e B i n d u n g s s t e l l e , n a m l i c h d i e S t e l l e i m T e x t , a n d e r d e r V a r i a b l e n e i n Typus v o r g e s c h r i e b e n w i r d , und deswegen h a t d i e K o r e f e r e n z b e i Bindung e i n e R i c h t u n g . I n dem e b e n g e g e b e n e n S a t z kann man d a s s o m i t P f e i l e n a u s d r u c k e n :

' F u r a l l e r e e l l e n Z a h l e n a und

D i e a k t u e l l e n Namen f u r d i e V a r i a b l e n s i n d a b e r m a l s i r r e l e v a n t : man kann d i e Namen ' a ' und ' b ' g e g e n a n d e r e a u s t a u s c h e n , o d e r s i c h s o g a r w i e d e r a u f

P f e i l e und L e e r s t e l l e n b e s c h r a n k e n .

E s g i b t i n d e r m a t h e m a t i s c h e n S p r a c h e v i e l e B e i s p i e l e von B i n d u n g e n , von d e n e n w i r e i n i g e e r w a h n e n ; w i r f u g e n d i e P f e i l e n h i n z u , urn d i e j e w e i l i g e Bindung und d i e B i n d u n g s r i c h t u n g d e u t l i c h z u machen.

B e i d e n l e t z t e n z w e i B e i s p i e l e n w i r d wie a l l g e m e i n u b l i c h k e i n Typus f u r d i e gebundenen V a r i a b l e n ' x ' a n g e g e b e n . D i e Menge d e r r e e l l e n Z a h l e n muss d a b e i j e d o c h a l s i m p l i z i t e r Typus " m i t g e d a c h t " w e r d e n .

1 . 3 . Bindung m i t Bezug a u f g r a m m a t i k a l i s c h e K a t e g o r i e e n

M a t h e m a t i s c h e Formeln h a b e n i n e i n e m T e x t e n t w e d e r d i e F u n k t i o n e i n e s

W o r t e s , o d e r d i e e i n e s S a t z e s . Man s t e l l e z . B . ' x + 5 ' g e g e n u b e r ' x + 5 = y ' . W i r werden i n d i e s e m Zusammenhang von Termen bzw. Aussagen s p r e c h e n .

B i n d u n g s o p e r a t o r e n f u h r e n e i n e Formel a u s e i n e r d i e s e r g r a m m a t i k a l i s c h e n K a t e g o r i e e n i n d i e s e l b e o d e r d i e a n d e r e K a t e g o r i e u b e r . W i r nennen d i e f o l g e n d e n B e i s p i e l e .

n ^m

O p e r a t o r e n w i e l i m , U o d e r

1

f i i h r e n e i n e m Term i i b e r i n e i n e n a n d e r e n

x+O i=l n= 1

Term. Z . B . : von ' s i n ( x ) / x r z u ' l i m s i n ( x ) / x 1 . I m G e g e n s a t z d a z u t r a n s f o r - fl

m i e r e n Mengenbinder Aussagen i n Terme: v e r g l e i c h e ' x

<

^{1' und}

' { x E R

I

^x

<

^{1 )} '

.

Q u a n t o r e n wie

'

VxEBt und '

3 x ~ I R

'

w i r k e n a u f Aussagen und l i e f e r n w i e d e r A u s s a g e n . E s g i b t k e i n e i i b l i c h e n B i n d u n g s o p e r a t o r e n , d i e Terme i n Aussagen v e r w a n d e l n .

1 . 4 . Bindung b e i i d e n t i f i z i e r e n d e n und g e n e r i e r e n d e n Namen

I n d e r m a t h e m a t i s c h e n S p r a c h e f i n d e n s i c h manchmal B i n d u n g e n , d i e m i t e i n e r i d e n t i f i z i e r e n d e n Redewendung v e r b u n d e n s i n d , z . B . : ' D i e j e n i g e r e e l l e Z a h l

x

m i t e X

+ x

₌ 0'. E i n e und n u r e i n e Z a h l x e r f i i l l t d i e B e d i n g u n g , des-

wegen w i r d i n d i e s e r W o r t g r u p p e e i n s p e z i f i s c h e s x f e s t g e l e g t : ' x ' i s t e i n i d e n t i f i z i e r e n d e r Name. E s i s t k l a r , d a s s a u c h b e i d i e s e m B e i s p i e l w i e d e r e i n e Bindung vorkommt: ' x ' i s t e i n e gebundene V a r i a b l e .

E i n e a n d e r e S i t u a t i o n t r i f f t man an i n : ' E i n e n a t u r l i c h e Z a h l n , f u r d i e n 2

+

n g r o s s e r i s t a l s 1 0 0 0 ' . H i e r z e i g t man n i c h t e i n e g e w i s s e Z a h l a n , s o n d e r n e i n e u n b e s t i m m t e Z a h l , f u r d i e n u r d i e K a t e g o r i e f e s t g e l e g t i s t , n a m l i c h : { n E N

/

ⁿ 2

⁺

ⁿ

>

1 0 0 0 ) . Man e r z e u g t g e w i s s e r m a s s e n e i n Element n a u s d i e s e r Menge, a b e r man w i l l ( o d e r k a n n ) s i c h n i c h t u b e r d i e I d e n t i - t a t d i e s e s E l e m e n t s a u s s e r n . Das ' n ' h a t h i e r d i e F u n k t i o n e i n e s g e n e - r i e r e n d e n Namens f u r e i n s o l c h e s E l e m e n t . Auch h i e r g i b t e s e i n e gebundene V a r i a b l e : ' n ' .

1 . 5 . F u n k t i o n s b i n d u n g

D i e u b l i c h e N o t a t i o n von F u n k t i o n e n i s t n o c h immer u n g e n a u . Man s a g t ' d i e F u n k t i o n x2

+

x

+

I f , w l h r e n d x2

+

x

+

¹ h o c h s t e n s a l s e i n F u n k t i o n s W e r t b e z e i c h n e t werden k a n n . Auch s a g t man ' d i e F u n k t i o n f ( x ) = x2

+

x

+

1' ; a b e r

' f ( x ) = x 2

+

x

+

1' i s t e i n e GZeichung, d i e man n i c h t ohne w e i t e r e s a l s F u n k t i o n b e z e i c h n e n k a n n .

E s w i r d dem L e s e r k l a r s e i n , d a s s e s s i c h b e i F u n k t i o n e n w i e d e r um e i n e Bindung h a n d e l t . Wenn w i r d a s A-Zeichen von Alonzo Church ubernehmen, kann man d i e o b e n g e n a n n t e F u n k t i o n g u t m i t

'

2

R ( x + x + l ) ' d a r s t e l l e n . D i e D e f i n i t i o n s m e n g e (IR) i s t a l s K a t e g o r i e d e r gebundenen V a r i a b l e ' x ' r e c h t s u n t e n am A n o t i e r t , und d e r F u n k t i o n s w e r t x 2

+

x

+

1 f u r e i n e u n b e s t i m m t e x f o l g t a l s W o r t f o r m e l a u f d a s

A.

Man k a n n m i t d i e s e r N o t a t i o n a u c h F u n k t i o n e n m e h r e r e r V a r i a b l e n a u f s c h r e i b e n , zum B e i s p i e l : ' g =

A

2 ( X + x y ) ' . Wenn man i n e i n e r d e r a r t i g e n Funk- ²

(x,y)EIR

t i o n d i e z w e i t e K o o r d i n a t e " f e s t h a l t e n " w i l l , zum B e i s p i e l um e i n e p a r - t i e l l e h b l e i t u n g z u b e r e c h n e n , d a n g e s c h i e h t d i e s w i e f o l g t :

' h = X ( X + x y ) ' . A l s o ² i s t man i m s t a n d e , i n k l a r e r Weise z w i s c h e n xE R

' x 2

+

xy a l s F u n k t i o n von x und y ' und ' x 2

+

xy a l s F u n k t i o n von x ' z u u n t e r s c h e i d e n .

D i e Bindung m i t H i l f e d e s A-Zeichens kann man a l s u n i v e r s e ~ ~ e Bindung a u f - f a s s e n . Dann i s t

' ax^^

( f ( x ) ) ' d i e F o r m e l , m i t w e l c h e r d i e f r e i e V a r i a b l e

' x ' i n d e r Formel ' f ( x ) ' gebunden w i r d m i t Typus V . Andere B i n d u n g s o p e r a - t o r e n kann man z u n a c h s t m i t H i l f e e i n e r neu f e s t g e l e g t e n K o n s t a n t e und

5

d e s A-Zeichens a u s d r i i c k e n ; zum B e i s p i e l :

' 1

n 3 ' , w i r d ' ³ ' n ~ 1 1 , .

. .

, 5 1 ( n 1 1 , n= 1

u n t e r Verwendung e i n e r K o n s t a n t e n I S ' . D i e B e g r i f f e ' u n i v e r s e l l e B i n d u n g ' und ' F u n k t i o n s b i n d u n g ' s i n d i n d i e s e m F a l l g l e i c h g e s e t z t . I m f o l g e n d e n werden w i r a u c h d i e B e g r i f f e ' F u n k t i o n ' und ' A b b i l d u n g ' g l e i c h s e t z e n . Wenn w i r von F u n k t i o n e n s p r e c h e n , g e s c h i e h t d i e s s t e t s i n d i e s e r a l l g e m e i n e n Be- d e u t u n g

.

1 . 6 . S p e z i e l l e F u n k t i o n e n

D i f f e r e n t i a t i o n i s t a u f z u f a s s e n a l s e i n e O p e r a t i o n auf e i n e r K l a s s e von F u n k t i o n e n . I n d e r N o t a t i o n ^I-' ( x ) i s t d a s ' x ' w i e d e r e i n e gebundene

dx

f ( x ) e b e n - V a r i a b l e , a u s t a u s c h b a r f u r a n d e r e . Deswegen konnen w i r s t a t t ^'---I

d x s o g u t ' D ( f ) ' s c h r e i b e n , m i t H i l f e d e r K o n s t a n t e n ' D l . I n d i e s e r N o t a t i o n

g i l t 2 . B . : 2

' D ( A x ~ ~ ( X ) ) = hxEW ( 2 ~ ) ' . D i e p a r t i e l l e A b l e i t u n g

'3

a ( x a + x y ) kann d a n n g e s c h r i e b e n werden a l s 2

' D ( A x € * ( x + x y ) ) ' , was n a c h

a

x

B e r e c h n u n g A ( 2 x + y ) e r g i b t . xE lR

Der I n t e g r a l o p e r a t o r f u h r t e i n e i n t e g r i e r b a r e F u n k t i o n f u b e r i n e i n e K l a s s e von F u n k t i o n e n , d i e " b i s a u f e i n e K o n s t a n t e " g l e i c h s i n d . Man v e r w e n d e t

2 1 3

h i e r b e i e i n e f r a g w i i r d i g e N o t a t i o n , w i e :

' /

^{x dx =}

^-

^x

⁺

^{c '}

^.

( V g l . w i e d e r 3

[9].) E i n e e i n w a n d f r e i e B e s c h r e i b u n g k o n n t e s e i n : man d e f i n i e r e z u j e d e r F u n k t i o n g d i e K l a s s e K(g) a l s {A ( g ( x )

+

c )

I

^{c E IR)} und s t a t t

2 xE R

'!

x dx = x3

+

c ' s c h r e i b e man ' ^{2 1 3}

3 I ( X 1 ) = K(A _{xER 3} (-x

) I 7 .

Wenn man e i n e F o l g e a l s F u n k t i o n a u f f a s s e n w i l l , dann i s t d i e s w i e d e r e i n - f a c h : man s c h r e i b e ' An€m ( a n )

'

s t a t t ' ( a n ) n E N ' . E i n e F o l g e von F u n k t i o n e n i s t e b e n f a l l s g u t d a r z u s t e l l e n , z . B . : ' ( i x E R ( X ) ) n E N ' , o d e r a u c h n

n

lAn€lN ( A ~(x € ) ) ' . ~ Das e r s t e Element d i e s e r F o l g e i s t A

xE R (x), d a s z w e i t e : 2

'XE R ^{( x ) , usw.}

Zum S c h l u s s w o l l e n w i r e r w a h n e n , d a s s a u c h P r a d i k a t e m i t d e r A-Notation g e s c h r i e b e n werden k o n n e n . Zum B e i s p i e l : ' P a r i t a t s p r a d i k a t = A ( n i s t

nE Z

e i n e g e r a d e Z a h l ) ' . So e t w a s f u h r t s e l b s t v e r s t a n d l i c h z u e i n e r w e s e n t l i c h e n E r w e i t e r u n g d e r Verwendung d e s A - Z e i c h e n s , w e i l d e r A-Operator j e t z t n i c h t n u r a u f Terme, s o n d e r n a u c h a u f Aussagen w i r k t .

1 . 7 . K l a s s e n von F u n k t i o n e n

ES i s t m o g l i c h , d i e K l a s s e B~ d e r F u n k t i o n e n von A i n B d u r c h e i n e Bin- d u n g s f o r m e l d a r z u s t e l l e n . W i r verwenden h i e r f u r d e n s p e z i e l l e n b i n d e n d e n O p e r a t o r

' n ' ,

und s c h r e i b e n :

' nxEA

^(B) '

.

D i e s e s V e r f a h r e n i s t a u f den e r s t e n B l i c k u n n o t i g a l l g e m e i n , w e i l man i n d i e s e r S c h r e i b a r t B von x a b h a n g e n l a s s e n d a r f . Dennoch kann g e r a d e d a s g e w i s s e V o r t e i l e h a b e n . (Wenn d i e Menge B t a t s a c h l i c h von x abhangen k a n n , s p r i c h t man von e i n e m

g e n e r a l i s i e r t e n Produkt.

Fiir e i n Element ( x , y ) e i n e s d e r a r t i g e n P r o d u k t e s g i l t a l s o : x E A und y E B ( x ) . E s f i i h r t a n d i e s e r S t e l l e z u w e i t , h i e r f i i r B e i s p i e l e z u g e b e n . )

I m P a r a g r a p h 4 . 3 werden w i r s e h e n , d a s s d i e N o t a t i o n

'n

^(B)' f u r 'B A ^I xE A

a u c h g e e i g n e t i s t f u r g e w i s s e f o r m a l e S y s t e m e

2. Bindung i n T e x t e n 2 . 1 . N a m e n s i n t r o d u k t i o n e n

Bindung kann s i c h a u c h u b e r e i n e e i n z i g e Formel h i n a u s ( s e i e s e i n e Wort- g r u p p e o d e r e i n S a t z ) e r s t r e c k e n . Es g i b t h i e r b e i d r e i c h a r a k t e r i s t i s c h e F a l l e :

1) E i n e Bindung kann s t a t t f i n d e n , wenn man e i n u n b e s t i m m t e s Element a u s e i n e r K l a s s e (Sammlung u s w . ) b e t r a c h t e t .

2 ) V o r a u s s e t z u n g e n konnen e i n e b e s t i m m t e A r t von Bindung v e r u r s a c h e n . 3 ) B e i D e f i n i t i o n e n konnen B i n d u n g s a s p e k t e i d e n t i f i z i e r t w e r d e n .

W i r e r l a u t e r n d i e s e d r e i M o g l i c h k e i t e n und s t e l l e n i n d i e s e m und d e n b e i d e n f o l g e n d e n P a r a g r a p h e n e i n i g e B e i s p i e l e v o r . ( S i e h e a u c h

[ s ] . )

H a u f i g b e s t e h t B e d a r f n a c h e i n e m Namen f u r e i n u n b e s t i m m t e s Element e i n e r Menge, wobei man d i e s e n Namen i n e i n e m g e w i s s e n T e x t t e i l z u r V e r f u g u n g h a b e n w i l l . M a n b e n u t z t d a n n Redewendungen w i e : ' E s s e i n e i n e n a t u r l i c h e Z a h l

. . . ' .

D i e s e s ' n ' i s t dann e i n g e n e r i e r e n d e r Name ( s i e h e 1 . 4 ) . I n dem a u f d i e s e I n t r o d u k t i o n von ' n ' f o l g e n d e n T e x t v e r w e n d e t man I n ' , a l s wgre e s e i n e g e w i s s e n a t u r l i c h e Z a h l , obwohl man n u r d e n Typus von n w e i s s und n i c h t s mehr. E s i s t zum B e i s p i e l u n e n t s c h e i d b a r , o b d i e s e s n v i e l l e i c h t g r o s s e r a l s

l o 6

i s t .

D e r a r t i g e N a m e n s i n t r o d u k t i o n e n s i n d i n d e r m a t h e m a t i s c h e n S p r a c h e s e h r ge- b r a u c h l i c h . S i e s o l l e n i . a . e i n e A r g u m e n t a t i o n e i n l e i t e n d i e m i t e i n e r G e n e r a l i s a t i o n e n d e t : ' f u r aZle n a t u r l i c h e n Z a h l e n n g i l t . . . ' . S o b a l d d i e s e S c h l u s s f s l g e r u n g g e z o g e n i s t , i s t d i e i n t r o d u z i e r t e V a r i a b l e ' n ' u b e r f l u s s i g geworden: s i e w i r d s t i l l s c h w e i g e n d ' a b g e f u h r t ' .

I n d i e s e m A u f s a t z werden w i r d e n s p e z i e l l e n C h a r a k t e r d i e s e r N a m e n s i n t r o - d u k t i o n e n m i t einem t y p o g r a f i s c h e n H i l f s m i t t e l b e t o n e n : w i r s t e l l e n d i e e i n s c h l a g i g e n S a t z e i n e i n e p u n k t i e r t e ' F l a g g e ' , und f u g e n e i n e n F l a g g e n - s t o c k h i n z u , um d e n G u l t i g k e i t s b e r e i c h d i e s e s Namens a n z u g e b e n .

Zum B e i s p i e l :

' E S i i n e n a t i i r l i c h e Z a h l

>

/

Dann g i l t : n 2

-

n + 1 = ( , - I ) ' + n > ( n - ~ ) ~

2 0 .

A l s o : f u r a l l e n a t i i r l i c h e Z a h l e n n i s t n2

-

n

+

1 p o s i t i v .

'

2 . 2 . V o r a u s s e t z u n g e n

Was w i r h i e r von I n t r o d u k t i o n e n und Abfuhr von Namen g e s a g t h a b e n , g i l t a u c h b e i V o r a u s s e t z u n g e n . Man s c h r e i b t zum B e i s p i e l : 'Nehme a n , d a s s e s n u r end- l i c h v i e l e P r i m z a h l e n g e b e ' . D a r a u f a r g u m e n t i e r t man, b i s d a s g e w u n s c h t e R e s u l t a t e r r e i c h t i s t : d e r W i d e r s p r u c h . Dann d a r f man d i e S c h l u s s f o l g e r u n g machen: ' E s g i b t u n e n d l i c h v i e l e P r i m z a h l e n . ' Auch h i e r i s t d e r v o r a u s g e - s e t z t e S a t z n u r i n e i n e m g e w i s s e n T e x t t e i l v e r w e n d b a r . Das werden w i r d i e s - ma1 m i t H i l f e e i n e r r e c h t e c k i g e n F l a g g e n , w i e d e r m i t F l a g g e n s t o c k , d a r s t e l l e n :

I

dnnahme: Es gebe e n d l i c h v i e l e P r i m z a h l e n

1

'

W i d e r s p r u c h

I

A l s o g i b t es u n e n d l i c h v i e l e P r i m z a h l e n . '

Dass e s h i e r g e w i s s e r m a s s e n a u c h un e i n e A r t von Bindung g e h t , kann man e i n s e h e n , wenn man d e r V o r a u s s e t z u n g e i n e n Namen g i b t :

' a : Es gebe n u r e n d l i c h v i e l e P r i m z a h l e n '

D i e V a r i a b l e ' a ' h a t dann i n d e r F l a g g e e i n e B e d e u t u n g bekommen. R e c h t s von dem F l a g g e n s t o c k kann man i n d e r A r g u m e n t a t i o n a verwenden ( ' a u f Grund von a

. . . ' ) ,

g e n a u w i e e s b e i e i n e r ' o r d e n t l i c h e n ' N a m e n s i n t r o d u k t i o n d e r F a l l i s t .

M i t H i l f e d e r F l a g g e n l a s s e n s i c h A r g u m e n t a t i o n e n b e s s e r s t r u k t u r i e r e n . w i e w i r j e t z t an einem e i n f a c h e n B e i s p i e l z e i g e n w o l l e n . W i r geben den Beweisrahmen d e r T h e s e : 'Wenn e i n e n a t u r l i c h e Z a h l g e r a d e i s t , dann i s t a u c h i h r Q u a d r a t g e r a d e ' . (Den

ewei is kern

l a s s e n w i r h i e r weg.)

Es s e i a E Z

I

Dann g i b t e s e i n n E Z d e r a r t , d a s s a = 2 n .

. . .

A l s o g i b t e s a u c h e i n m E Z d e r a r t , d a s s a 2 = 2m Es f o l g t , d a s s a 2 g e r a d e i s t .

a i s t g e r a d e a 2 i s t g e r a d e ( s i e h e 3 . 2 f i i r d i e s e S c h l u s s f o l g e r u n g ) 2

' ~ E Z ( a i s t g e r a d e

*

^a i s t g e r a d e ) . '

I m d r i t t e n A b s c h n i t t werden w i r u n s mehr m i t den F l a g g e n b e s c h a f t i g e n .

2 . 3 . D e f i n i t i o n e n

Zum S c h l u s s d i e s e s A b s c h n i t t e s e r l a u t e r n w i r , wie d i e Bindung b e i D e f i n i t i - onen e r f o l g t . E i n e D e f i n i t i o n g i b t e i n e F e s t l e g u n g e i n e s neuen Namens f u r e i n e n g e w i s s e n B e g r i f f . Es kann s i c h d a b e i um e i n S u b s t a n t i v h a n d e l n , a b e r a u c h um e i n A d j e k t i v o d e r e i n e n ganzen S a t z .

W i r geben e i n i g e B e i s p i e l e : ' e := l i m ( l + l / n ) ' , ' W i r d e f i n i e r e n e i n e n K r e i s n-

a l s d i e Menge a l l e r P u n k t e , d i e von einem v o r g e g e b e n e n P u n k t e i n e n b e s t i m m t e n

-

f e s t g e w a h l t e n

-

Abstand h a b e n . ' , ' E i n e n a t u r l i c h e Z a h l h e i s s t g e r a d e , wenn s i e d a s Z w e i f a c h e e i n e r a n d e r e n n a t u r l i c h e n Z a h l i s t . ' , ' W i r s a g e n , d a s s zwei K r e i s e e i n a n d e r b e r u h r e n , wenn s i e genau e i n e n S c h n i t t p u n k t h a b e n . '

I n a l l d i e s e n F a l l e n t r e t e n Bindungen i n s o f e r n a u f , d a s s d i e Bedeutung d e f i n i e r t e r Namen f i x i e r t i s t , und d i e e i n g e f u h r t e n Namen f u r k u r z e r e o d e r l a n g e r e Z e i t verwendbar s i n d . Dennoch i s t b e i d i e s e r A r t von Bindung n i r g e n d - wo e i n Typus z u z u w e i s e n ; i n d i e s e r H i n s i c h t w e i c h t d i e Bindung h i e r a b vom Vorgehen b e i F u n k t i o n e n wie 1 ( x n ) , g e r a d e s o wie d i e s b e i V o r a u s s e t z u n g e n

xE lR ( s i e h e o b e n ) d e r F a l l i s t .

3. Bindung i m Bezug a u f Logik

3 . 1 . I n t r o d u k t i o n s - und E l i m i n a t i o n s r e g e l n

Urn d i e F r u c h t b a r k e i t d e s B e g r i f f s 'Bindung' f u r d i e Mathematik zu d e m o n s t r i e - r e n , b e s p r e c h e n w i r e i n i g e l o g i s c h e R e g e l n , d i e o f t i n H e r l e i t u n g e n angewandt werden. W i r s t e l l e n d i e Regeln i n e i n e r f o r m a l e n G e s t a l t d a r , obwohl s i e m e i s t e n s n u r i n t u i t i v und i m p l i z i t i n e i n e r A r g u m e n t a t i o n e i n e R o l l e s p i e l e n . W i r werden, um d i e S t r u k t u r e n d e u t l i c h zu z e i g e n , d i e N o t a t i o n m i t F l a g g e n verwenden, und p a s s e n d i e Regeln dementsprechend a n .

Wie u b l i c h i n dem System d e r n a t u r l i c h e n H e r l e i t u n g e n ( e n t w o r f e n von Gentzen [ 4 ] ) , u n t e r s c h e i d e n w i r zwischen I n t r o d u k t i o n s r e g e l n und E l i m i n a t i o n s r e g e l n . Die e r s t e K l a s s e von Regeln kann angewandt werden, wenn e i n e Aussage o d e r e i n O b j e k t von e i n e r g e w i s s e n A r t i n t r o d u z i e r t , d a s h e i s s t a b g e l e i t e t o d e r e i n g e f u h r t werden s o l l . I n t r o d u k t i o n s r e g e l n l i e f e r n uns g e w i s s e r m a s s e n d a s , was w i r noch n i c h t h a b e n . E l i m i n a t i o n s r e g e l n konnen verwandt werden, wenn a u s e i n e r Aussage o d e r einem O b j e k t e i n e r g e w i s s e n A r t e i n S c h l u s s gezogen werden s o l l . S i e e r m o g l i c h e n u n s , d a s , was w i r schon haben o d e r w i s s e n , zu verwenden ("e Z i m i n i e r e n " )

.

Um den U n t e r s c h i e d zwischen b e i d e n K l a s s e n von Regeln z u z e i g e n , geben w i r h i e r d i e I n t r o d u k t i o n s - und E l i m i n a t i o n s r e g e l n f u r u n i v e r s e l l e Bindungs- f o r m e l n d e r Form '

X x( f ( x ) ) ' , wobei w i r ' f ( x ) ' s e l b s t a l s Formel ~ ~ m i t

f r e i e r V a r i a b l e ' x ' l e s e n mussen. I n P a r a g r a p h 1 . 5 s a h e n w i r , d a s s man d i e s e Formeln a l s B e s c h r e i b u n g von F u n k t i o n e n a u f f a s s e n k a n n .

Wie kann man e i n e F u n k t i o n d e r Form

'

X x( f ( x ) ) ' k o n s t r u i e r e n ? Dazu mussen ~ ~ w i r f u r j e d e s x i n S u b e r e i n O b j e k t f ( x ) v e r f u g e n . A l s o , n a c h einem T e x t - t e i l d e r Form

E s s e i x E S

'P ^{. . .}

f ( x ) i s t e i n O b j e k t . '

d a r f man h i n z u f u g e n :

' A ( f ( x ) ) i s t e i n e F u n k t i o n ' . xE S

D i e s e l e t z t e F e s t s t e l l u n g " i n t r o d u z i e r t " a l s o e i n e F o r m e l , d i e e i n e F u n k t i o n b e s c h r e i b t . Das V e r f a h r e n , i n d i e s e r Weise e i n e F u n k t i o n z u k o n s t r u i e r e n , werden w i r d i e I N

Funk-Regel

n e n n e n .

Wenn w i r a n d e r e r s e i t s s c h o n w i s s e n , d a s s 1 ( f ( x ) ) e i n e F u n k t i o n i s t , dann xES

d u r f e n w i r s i e auf j e d e s Element a i n S anwenden. A l s R e g e l f o r m u l i e r t : n a c h e i n e m T e x t t e i l d e r Form:

ax^^

( f ( x ) ) i s t e i n e F u n k t i o n und a i s t e i n E l e - ment von S ' , d a r f d i e F o l g e r u n g s e i n : ' f ( a ) i s t e i n O b j e k t ' . D i e s e R e g e l n e n n e n w i r d i e EL

Funk-Regel.

H i e r " e l i m i n i e r e n " w i r u n s e r e K e n n t n i s s e u b e r

( f ( x ) ) und a

Es i s t k l a r s i c h t b a r , d a s s d i e e r s t e R e g e l , d i e I n t r o d u k t i o n s r e g e l , von e i n e r Bindung i n e i n e m T e x t

-

m a r k i e r t von d e r F l a g g e

-

z u e i n e r Bindung i n e i n e r Formel f u h r t . D i e z w e i t e , d i e E l i m i n a t i o n s r e g e l , d a g e g e n , l o s t d i e i n e i n e r Formel vorkommende Bindung a u f .

3 . 2 . E i n i g e l o g i s c h e D e d u k t i o n s r e g e l n

W i r werden h i e r n i c h t d a s g a n z e S y s t e m d e r n a t u r l i c h e n H e r l e i t u n g e n b e s p r e c h e n (man s i e h e d a f u r z . B . [ 4 ] , [ s ] o d e r a u c h [ 7 ] ) , s o n d e r n b e h a n d e l n l e d i g l i c h e i n i g e R e g e l n , anhand d e r e r w i r u n s e r e A b s i c h t e n b e s o n d e r s d e u t l i c h machen k o n n e n . W i r werden a l s e r s t e s d i e I n t r o d u k t i o n s - und E l i m i n a t i o n s r e g e l n f u r e i n e I m p l i k a t i o n (von d e r Form ' A

*

B ' ) b e h a n d e l n . D i e I n t r o d u k t i o n s r e g e l f u r e i n e I m p l i k a t i o n (IN *) l a u t e t : n a c h e i n e m T e x t w i e

' 1

^{Annahme: A}

1

wobei an d e r S t e l l e d e r P u n k t e e i n e l o g i s c h k o r r e k t e A r g u m e n t a t i o n s t e h t , d a r f d i e S c h l u s s f o l g e r u n g s e i n : ' A

*

B ' .

D i e e n t s p r e c h e n d e E l i m i n a t i o n s r e g e l (EL ³⁾ i s t : wenn ' A

*

B' g i l t und ' A ' , dann a u c h ' B ' . Man s i e h t k l a r , d a s s d i e I n t r o d u k t i o n s r e g e l z u r I m p l i k a t i o n

f i i h r t ,

und d a s s d i e E l i m i n a t i o n s r e g e l a u s d r u c k t , w i e man e i n e s c h o n z u r V e r f u g u n g s t e h e n d e I m p l i k a t i o n

v e m e n d e t .

Die Bindung

-

d a s Thema d i e s e s A u f s a t z e s

-

t r i t t d a b e i i n den H i n t e r g r u n d , obwohl man i n d i e s e m Zusammen- hang an d i e Bemerkungen i n P a r a g r a p h 2 . 2 u b e r V o r a u s s e t z u n g e n e r i n n e r n k a n n . I n P a r a g r a p h 4 . 2 werden w i r d i e R e g e l f u r d i e I m p l i k a t i o n j e d o c h e r n e u t be- t r a c h t e n , dann a b e r m i t einem d e u t l i c h e n B i n d u n g s a s p e k t .

D i e R o l l e d e r Bindung i s t u n u b e r s e h b a r i n den n a c h s t e n R e g e l n , d i e All-Aus- s a g e n w i e

'

VxES ( P ( x ) ) ' und E x i s t e n z - A u s s a g e n w i e '

'XE

s

( P ( x ) ) ' b e t r e f f e n . Dabei i s t S e i n e Menge und P e i n P r a d i k a t u b e r S .

D i e I n t r o d u k t i o n s r e g e l f u r Aussagen m i t einem A l l - Q u a n t o r a l s H a u p t z e i c h e n (IN V) l a u t e t : n a c h e i n e m l o g i s c h k o r r e k t z u s t a n d e gekommenen T e x t w i e

E s s e i x E S

'i---,

n a t i o n s d u r f e n w i r f o l g e r n :

'

V x P~X~)'

.

Die b e t r e f f e nde E l i m i r e g e l (EL V) i s t : wenn w i r w i s s e n , d a s s '

Vx€

s

( P ( x ) ) ' g i l t , und wenn a Element von S i s t , dann d a r f man ' P ( a ) ' f o l g e r n .

A l l e b i s j e t z t e r w a h n t e n R e g e l n s c h e i n e n s e h r p l a u s i b e l , s o g a r t r i v i a l , und d a s i s t e s g e r a d e , was den K a l k u l d e r n a t i i r l i c h e n H e r l e i t u n g e n a l s l o g i s c h e s S y s t e m s o a t t r a k t i v m a c h t .

Auch d i e I n t r o d u k t i o n s r e g e l f u r Aussagen rnit einem E x i s t e n z - Q u a n t o r a l s H a u p t z e i c h e n (IN 3 ) i s t s e h r l e i c h t z u v e r s t e h e n : wenn e i n g e w i s s e s a E l e - ment von S i s t und ' P ( a ) ' g i l t , dann d a r f man f o l g e r n :

'

3xEs ( P ( x )

' .

D i e E l i m i n a t i o n s r e g e l f u r s o l c h e Aussagen (EL 3) i s t n i c h t s o e i n f a c h : wenn ' ~ E S ( P ( a ) ) und V ( P ( a )

*

Q )

,

dann g i l t ' Q ' ohne w e i t e r e s . ( I n d e r Formel

a € S

'VaES ( P ( a )

*

Q ) ' d a r f d i e V a r i a b e l e ' a ' n i c h t f r e i i n ' Q ' vorkommen.) W i r bemerken, d a s s d i e l e t z t e R e g e l n i c h t m i t dem u b l i c h e n V e r f a h r e n u b e r e i n -

s t i m m t . O e f t e r s , wenn man w e i s s , d a s s

'

3 a ( P ( a ) ) ' g i l t , v e r w e n d e t man ~ ~ ' d i e s e l V a r i a b l e ' a ' a l s o b s i e w i r k l i c h i n t r o d u z i e r t w a r e . Man s c h r e i b t z . B . : l k R V x E R ( f ( x )

<

^M); e s f o l g t i n b e s o n d e r e d a s s f ( 0 )

<

M . I m l e t z t e n S a t z t e i l i s t ' M ' j e d o c h n i c h t mehr g e b u n d e n , s o n d e r n f r e i . O f f e n - b a r i s t d i e s e s 'M' e i n a n d e r e s a l s d a s ' M ' i n d e r E x i s t e n z f o r m e l , wo d i e V a r i a b l e ' M ' gebunden i s t . D a r a u s f o l g t , d a s s d i e l e t z t e V a r i a b l e ' M ' n i c h t s o a u f g e f u h r t i s t , w i e e s k o r r e k t wPre.

Auch i n t u i t i v i s t d a s l e t z t e V e r f a h r e n f e h l e r h a f t :

e s gibt

M i n R f u r w e l c h e n g i l t :

' v x ~

R ( f ( x )

<

M ) ' , a b e r e s g i b t

v i e l e

M m i t d i e s e r E i g e n - s c h a f t und e s i s t n a c h l a s s i g , s t i l l s c h w e i g e n d e i n e n Wert von M z u f i x i e r e n und d a m i t w e i t e r z u r e c h n e n .

D i e o b e n g e n a n n t e E l i m i n a t i o n s r e g e l f u r E x i s t e n z - A u s s a g e n i s t i n d i e s e r Be- z i e h u n g v i e 1 b e s s e r g e e i g n e t , a u c h wenn d i e k o n s e q u e n t e Verwendung d i e s e r R e g e l n i c h t g a n z d e r T r a d i t i o n e n t s p r i c h t und u n s e r e Beweise manchmal e t w a s l a n g e r m a c h t . W i r u b e r l a s s e n e s dem L e s e r , s i c h von d e r i n t u i t i v e n P l a u s i - b i l i t a t d e r E L 3-Regel z u u b e r z e u g e n . E i n B e i s p i e l f u r d i e Verwendung von EL 3 geben w i r i m P a r a g r a p h 3 . 4 .

3 . 3 . Anwendung: d a s B e w e i s v e r f a h r e n b e i G r e n z w e r t e n

W i r f u h r e n e i n B e i s p i e l v o r , d a s z e i g t , w i e man d i e Fundamente e i n e s Be- w e i s e s von ' l i m a = R ' , a u c h f u r k o n k r e t e F o l g e n ( a n ) n E N ,

n m i t H i l f e d e r

n-

D e d u k t i o n s r e g e l n a u f b a u e n k a n n . Zu b e w e i s e n i s t i n d i e s e m F a l l : ' l i m a = R ' , n-fco n

o d e r , wenn man d e r D e f i n i t i o n d e s G r e n z w e r t e s f o l g t :

H i e r b e i i s t R+ d i e Menge d e r p o s i t i v e n r e e l l e n Z a h l e n u n d , f u r j e d e s N E N , NN d i e hlenge a l l e r n a t i i r l i c h e n Z a h l e n g r o s s e r a l s N .

Um d i e l e t z t g e n a n n t e Formel a b l e i t e n zu k o n n e n , i s t i n e r s t e r I n s t a n z d i e I N V-Regel g e e i g n e t , d e n n ' V ' i s t d a s H a u p t z e i c h e n . Das f u h r t u n s zum f o l - genden Beweisrahmen:

ES s e i E E R+

>

(wegen I N V)

. '

In die durch Punkte markierte Lccke, muss ein Beweis von

V (

1

^an

^{- a (} <

^E)' eingefiigt werden. Die Regel IN 3 weist uns den

1 3 n ~ ~ n E N N

Weg:

suche

ein N E N mit der Eigenschaft dass V

n E N N ( an

- a 1 < €1.

Hier fangt die schwere Arbeit an, fur welche in konkreten Fallen vielleicht vie1 Konzeptpapier benotigt wird. Aber wenn es uns gelingt, ein derartiges N zu finden, dann besteht der Rest des Beweises nur daraus, fur dieses

N

zu beweisen, dass 'V

n E N N ( an

- R J <

€1' gilt.

Bei diesem letzten Ziel hilft uns IN V zum zweiten Mal. Insgesammt entsteht der folgende Beweisrahmen, mit zwei Lucken, die der Beweiskonstrukteur noch fullen muss:

I

^Lucke

^I

Es sei n E

NN

i-

(wegen IN V) (wegen IN 3) (wegen IN

v)

mitunter: lim a =

. '

n- n

An diesem Beispiel sieht man, wie die Deduktionsregeln uns helfen, einen Beweisrahmen zu bauen. Durch diesen Beweisrahmen wird die Struktur des Be- weises klarer sichtbar gemacht. Im Kern (das sind die Lucken) muss die wirk- liche Arbeit geleistet werden,

aber die Situation: was wir wissen und was wir wissen wollen, ist deutlich dargestellt.

Dieser wichtige Vorteil for- malisierter Deduktionsregeln kann in vielen Gebieten fur die mathematische

Bildung fruchtbar sein, wie die Praxis mit Mathematik- und Informatikstu- denten an der Technischen Universitat in Eindhoven (Niederlande) bewiesen hat.

E s s e i noch e i n m a l b e t o n t , d a s s d i e Bindung b e i d i e s e r A r t von Deduktionen e i n e w i c h t i g e R o l l e s p i e l t , w i e s i c h auch i n dem v o r g e f u h r t e n B e i s p i e l z e i g t

( s i e h e d i e F l a g g e n und d i e F o r m e l n ) .

3 . 4 . E i n B e i s p i e l a u s d e r L o g i k

A l s z w e i t e s B e i s p i e l f u r d a s Vorgehen i m K a l k u l d e r n a t u r l i c h e n H e r l e i t u n g e n geben w i r i m f o l g e n d e n den Beweis d e r l o g i s c h e n T a u t o l o g i e :

H i e r i s t S e i n e Menge und P und Q s i n d P r a d i k a t e u b e r S . W i r b e t o n e n , d a s s u n t e n n u r d i e " f e r t i g e " A b l e i t u n g gegeben i s t ; b e i d e r t a t s a c h l i c h e n Kon- s t r u k t i o n d e s B e w e i s e s w i r d von zwei S e i t e n h e r a b g e b a u t : von oben

nach

u n t e n , wenn v e r w a n d t w i r d , was man s c h o n w e i s s , und von u n t e n n a c h o b e n , wenn man d a s , was e r r e i c h t werden s o l l , v e r e i n f a c h e n w i l l . D i e s e s z w e i s e i - t i g e V e r f a h r e n i s t k e n n z e i c h n e n d f u r d i e H e u r i s t i k d i e s e r A r t von A b l e i t u n g e n .

Annahme :

v x ~ ~

-

1

( P ( x )

*

^{Q ( x )}

1

Annahme: 3 ( P ( y ) ) YES

Es s e i y E S

u I

I

Annahme: P ( y )

I I

a l s o a u c h Q ( y )

Es f o l g t : gZEs ( & ( z ) )

(wegen EL V)

(wegen EL a)

(wegen I N 3 ) (wegen I N a ) (wegen I N V)

(wegen EL 3) (wegen I N a ) (wegen IN *)

.

Bemerkenswert ist hier, dass die EL 3-Regel 'nach dem Buchstaben des Ge- setzes' verwendet worden ist. Das gibt etwas mehr Arbeit als ublich, aber eine klare, konsequente Beweisstruktur ist dafur die Belohnung.

3.5. Beispiel: Beweis mit vollstandiger Induktion

Auch die Struktur eines Beweises mit vollstandiger Induktion kann mit dem vorgefuhrten Kalkul, einschliesslich der Flaggen und Flaggenstocke, ver- deutlicht werden. Dieses Prinzip der Induktion kann so ausgedruckt werden:

Es sei P ein Pradikat uber

N.

Wenn man beweisen kann (erstens) 'P(1)' und (zweitens)

'

^{P n} P n + l , dann ist die Schlussfolgerung gestattet, dass 'VnEN (P(n))

'

gilt.

Als Beispiel beweisen wir, dass t/ ( k * (k!)) = (n+1)!

-

^{1). D,s}

geeignete Pradikat P ist hier: P :=

A ~ ~ ~ (

^{(ke(k!)) = (n+l)!}

^-

^{1). Der}

k= 1 Beweis verlauft wie folgt:

1

(1) 'P(1)' gilt, weil

1

^{(k0(k!)) = lm(l!) = 1 = 2 - 1 = (1+1)!}

-

¹

.

k= 1 (2)

1

^{ES sei n}

^E

^N

>

Annahme : P (n)

I---!

(k!)) = (n+l)!

-

¹

.

n+ 1 n

Es folgt, dass (k*(k!)) =

1

^{( k - (k!))}

⁺

(n+1) *(n+l)! = k= 1 k= 1

= (n+1)!

-

¹

+

(n+l)!(n+l) = (n+l)!(n+2)

-

^{1 = (n+2)!}

-

¹

.

Also gilt 'P(n+ 1)'.

P(n)

*

^P(n

+

^{1) (wegen IN *)}

Schlussfolgerung:

vnE-

^(p(n)) (wegen des Prinzips der vollstandigen Induktion).

Die gebundene Variable 'n' findet so einen naturlichen Platz in dem Beweis und der Unterschied zwischen Induktionshypothese P(n) und Induktionsfolgerung P(n+ 1) ist in anschaulicher Weise verdeutlicht,

4. Die universelle Bindung und die Deduktion 4.1. Aussagen als Typen

Man betrachtet Aussagen und Beweise normalerweise als

Meta-Objekte,

^das heisst als Objekte aus der Sprache, in der man

iiber

die mathematischen Objekte redet. Seit Curry und Feys

[I],

de Bruijn [2] und Howard [6] hat man jedoch versucht, Aussagen auch selber als Objekte aufzufassen, und zwar als Typen. Auch Beweise betrachtet man dann als Objekte und zwar derart, dass ein Beweis

a h Element

zum Typus derjenigen Aussage gehort, die er beweist

.

Anders gesagt: wenn a ein Beweis ist fur die Aussage A, dann schreibt man:

'a E A'. Diese Auffassung von Aussagen als Typen und Beweisen als Objekten ('Propositions as Types, Proofs as Objects') ist voll ausgenutzt von z.B.

de Bruijn und Martin-Lof. Der erstgenannte hat auf Grund dieser Idee eine formale Sprache fur die Mathematik entwickelt, 'Automath' genannt, in der man mathematische Texte (inbesondere: Beweise) derartig genau aufschreiben kann, dass ein Computer den Inhalt kontrollieren und bestatigen kann. Diese mathematische Sprache Automath existiert heute in einer arbeitsfahigen Form, mit einem verwendbaren Computerprogramm (siehe [3]). Wir zeigen jetzt, wie man mit Hilfe dieses Verstandnisses von 'Aussagen als Typen' die Deduktions- regeln der naturlichen Herleitungen vereinheitlichen kann.

4.2. Vereinheitlichung der Deduktionsregeln

Statt 'Annahme: A' konnen wir in der 'Aussagen als Typent-Auffassung ebenso- gut sagen: 'Es sei a E A'. Auf diese Weise haben wir vorausgesetzt, dass wir uber einen Beweis (genannt 'a') der Aussage

A

verfugen. Diese Uebersetzung identifiziert Voraussetzungen mit Variablenintroduktionen, weil durch den Satz 'Es sei a E A' die Variable 'a' eingefuhrt wird. Die Variable 'a' muss hier als "Beweisvariable" betrachtet werden und der Typus von a ist hier die Aussage A.

Die Introduktionsregel fur die Implikation ist in dieser neuen Auffassung ein Spezialfall der Introduktionsregel fur Bindungsformeln (siehe Paragraph 3.1), wie wir im folgenden zeigen werden. Wir wiederholen, dass es sich bei der Introduktionsregel IN

*

^wn die folgende Situation handelt: unter der Voraussetzung 'A' sind wir imstande, 'B' abzuleiten; die Schlussfolgerung mittels IN

*

ist, dass die Implikation 'A

*

^{B' gilt.}

I n d e r ' A u s s a g e n a l s T y p e n 1 - A u f f a s s u n g i s t d i e S i t u a t i o n e i n w e n i g a n d e r s : w i r gehen davon a u s , d a s s d i e V a r i a b l e n i n t r o d u k t i o n ' a E A ' z u r F e s t s t e l l u n g

' b E B' f u h r e n k a n n , d a s h e i s s t : angenommen d a s s a e i n Beweis f u r A i s t , k a n n e i n Beweis b f u r B k o n s t r u i e r t w e r d e n . D i e F o l g e r u n g ' A i m p l i z i e r t B' k a n n j e t z t a l s F u n k t i o n a u f g e f a s s t und a u c h s o g e s c h r i e b e n w e r d e n ; denn o f f e n b a r kann d a s R e s u l t a t , d a s s ' a E A ' z u ' b E B' f u h r t , a l s F u n k t i o n

" ~ E A ^{( b ) '} z u s a m m e n g e f a s s t w e r d e n , wobei b E B . D i e s e F u n k t i o n , d i e d i e S c h l u s s f o l g e r u n g " k o d i e r t " , kann m o t i v i e r t werden m i t d e r I N Funk-Regel

( s i e h e 3 . 1 ) , a l s o konnen w i r i n d e r ' A u s s a g e n a l s T y p e n 1 - A u f f a s s u n g a u f I N

*

v e r z i c h t e n .

Man kann d i e I m p l i k a t i o n ' A

*

B ' s e l b e r k o d i e r e n a l s

' naEA

( B ) ' ( s i e h e 1 . 7 ) , m i t d e r I n t e r p r e t a t i o n : d i e K l a s s e d e r F u n k t i o n e n von A i n B. D i e obenge- n a n n t e F u n k t i o n

'

A aEA ( b ) ' beweist d i e I m p l i k a t i o n

' naEA

^(B)

' ,

a l s o :

~ E A ^{( b )} E

naEA

( B ) . D i e s e s i s t e i n B e i s p i e l d e r s o g e n a n n t e n M o n o t o n i e r e g e Z :

und s o w e i t e r .

4 . 3 B e i s p i e l : e i n e T a u t o l o g i e

D i e F o r m e l ' ( A

*

(B

*

C ) ) =+ (B

*

^(A

*

C ) ) ' k a n n , i n a h n l i c h e r Weise w i e e r w a h n t , k o d i e r t werden a l s K l a s s e von F u n k t i o n e n :

D i e Formel i s t e i n e T a u t o l o g i e . E i n Beweis d a f u r i s t i n dem v o r g e f u h r t e n S y s t e m l e i c h t z u f i n d e n ; e s i s t d i e F u n k t i o n :

d e n n a u s ' p E

naEA

(%EB ( C ) ) ' und ' u E A ' f o l g t ' p ( u ) E

n

(C) ' ; a u s s e r - bEB

dem: v E B, a l s o p ( u ) ( v ) E C . Die S c h l u s s f o l g e r u n g i s t : ( 2 ) E ( I ) , a u f

.

Grunde d e r M o n o t o n i e r e g e l ( g a n z e n t s p r e c h e n d u n s e r e n U e b e r l e g u n g e n am

S c h l u s s d e s v o r i g e n P a r a g r a p h e n ) , a l s o ( 1 ) i s t " b e w i e s e n " m i t "Beweis" ( 2 ) .

4.4. Weitere Bemerkungen uber Beweissysteme mit Lambdakalkul

Ebenso wie IN

*,

sind die anderen Introduktionsregeln fur logische Konnek- tiven in Beweissystemen der vorgefuhrten Art uberflussig geworden: in allen Falle liefert IN Funk das Gewunschte, wenn wir geeignete Vorkehrungen tref- fen, auf welche wir hier nicht eingehen wollen. In analoger Weise kann man sich auf EL Funk als einzige Eliminationsregel beschranken.

Mittels der 'Aussagen als Typen'-Auffassung kann man viele mathematische Begriffe mit Hilfe von Funktionen ausdrucken. In der schon genannten mathe- matischen Sprache Automath wird dieses Prinzip ausgenutzt. Die Sprache Automath ist im wesentlichen eine sogenannte polymorpher, getypter Lambda- kalkul, das heisst ein allgemeines System von verallgemeinerten Funktionen, in dem die Typen eine essentielle Rolle spielen. In dieser Automath-Sprache kann man die Funktionenstruktur zur Kodierung der logischen Deduktionsregeln verwenden, ahnlich wie dies zu Beginn dieses Abschnitts demonstriert wurde.

Es ist jedoch moglich, darin auch andere Begriffe in einer einheitlichen Weise aufzunehmen, wie: Axiome, Voraussetzungen, Definitionen, mathematische Satze, und Beweise.

Es ist klar, dass die Bindung auch in einer formalen Sprache ein sehr wich- tiger Begriff ist: alle Variablen, die in Automath verwendet werden, sind in irgendeiner Weise gebunden. Dabei besitzen die Variablen eine ganze Skala von moglichen Interpretationen, in Abhangigkeit von den Interpretationen ihrer jeweiligen Typen. Wir haben zum Beispiel schon gesehen, dass 'a E A' sowohl ausdrucken kann, dass a ein Element der Menge A ist, als auch, dass a ein Beweis fur die Aussage A ist.

Mit diesem Beispiel eines "reinen" Bindungssystems wollen wir diesen Aufsatz, der eine Lehrfahrt in die Welt der Bindungen war, beenden.

Literaturverzeichnis

[I] CURRY, H.B., FEYS, R.: Combinatory Logic, Vol. 1. Amsterdam 1958.

[2] DE BRUIJN, N.G.: AUTOMATH, a language for mathematics. In: SIEKMANN, J., WRIGHTSON, G. (Hrsg.): Automation of Reasoning, Vol. 2, Classical Papers on Computational Logic 1967-1970, S. 159-200. Berlin 1983.

[3] DE BRUIJN, N.G.: A survey of the project AUTOMATH. In: SELDIN, J.P., HINDLEY, J.R. (Hrsg.): To H.B. Curry: Essays in Combinatory Logic, Lambda Calculus and Formalism, S. 579-606. London 1980.

[4] GENTZEN, G.: Untersuchungen uber das logische Schliessen. Math. Zeit- schr.

-

39, 176-210, 405-431 (1935).

[5] GRIESEL, H.: Leerstellenbezeichnung oder Bedarfsname

-

Anmerkungen zur Didaktik des Variablenbegriffs. Math. Sem.-Berichte

29,

68-81 (1982).

[6] HOWARD, W.A.: The formulae-as-types notion of construction. In: SELDIN, J.P., HINDLEY, J.R. (Hrsg.): To H.B. Curry: Essays in Combinatory Logic, Lambda Calculus and Formalism, S. 479-490. London 1980. (Manuscript:

1969. )

[7] NEDERPELT, R.P.: Presentation of Natural Deduction. Rec. des Trav, de 1'Inst. Math., Nouv. SGr.,

2,

115-126 (1977).

181 NEDERPELT, R.P.: Sentences in the language of reasoning. J. of Math.

Educ. in Sc. and Techn. 14, 225-232 (1983).

-

[9] VAN DALEN, D.: Logic and Structure. Berlin 1980.

[lo] VREDENDUIN, P.G.J.: Gebrauch und Missbrauch von Variablen. Math. Sem.- Berichte

-

29, 230-257 (1982).