Wintersemester 2017/18

Wintersemester 2017/18

Theorie A - Blatt 11

Prof. Dr. M. M¨uhlleitner, Dr. S. Liebler

Gesamtpunktzahl: 20P Ubungsbetreuung: Stefan Liebler (stefan.liebler@kit.edu) (Raum: 12/03)¨ Beratungstutorium: Max Stadelmaier (maximilian.stadelmaier@student.kit.edu) (Raum: 12/12)

Aufgabe 1: Harmonischer Oszillator - Schwingung mit D¨ampfung 4P Gegeben sei die Schwingungsgleichung

¨

y(t) + 2by(t) + 16y(t) = 0˙ mit b >0.

(a) 2P Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung durch einen Exponentialansatz. F¨ur welche Werte vonberhalten Sie eine schwach ged¨ampfte Schwingung, wann eine starke D¨ampfung ohne Schwingung? F¨ur welchen Wert erhalten Sie den aperiodischen Grenzfall?

(b) 2P Wie lautet die L¨osung im aperiodischen Grenzfall f¨ur die Anfangswerte y(0) = 1 und ˙y(0) =−1? Skizzieren Sie auch den zeitlichen Verlauf der Bewegung. Hinweis: Da beim aperiodischen Grenzfall die Nullstelle zweiter Ordnung ist, braucht es einen leicht modifizierten Ansatz der allgemeinen L¨osung, siehe Vorlesung.

Aufgabe 2: Harmonischer Oszillator - Eisw¨urfel im Gin Tonic 5P Ein homogener quaderf¨ormiger Eisw¨urfel der Masse m mit Quer-

schnittsfl¨acheAund H¨ohehtaucht in einen Gin Tonic der Dichte ρ zu zwei Drittel ein. Zur Zeit t = 0 wird der Eisw¨urfel kurz mit der Geschwindigkeit v0 senkrecht nach unten angestoßen und schwingt sodann um die Gleichgewichtslage. Hinweis: Der Eisw¨urfel mit Lufteinschluss rotiere nicht und verliere weder an Masse noch an Form.

A h

v0

FA Gin Tinoc

∆V

(a) 2P Stellen Sie die Differentialgleichung der Bewegung des Schwerpunkts in geeigneten Koordinaten auf, wobei die R¨uckstellkraft durch die Auftriebskraft F_A=−ρg∆V und die schwache Reibungskraft durch FR = −kv gegeben ist. Geben Sie außerdem die Anfangsbedingungen an. Hinweis: Die Gravitationskraft ist bereits Teil von FA, welche je nach Lage des Eisw¨urfels das Vorzeichen ¨andert.

(b) 3P L¨osen Sie die DGL und bestimmen Sie die Anfangsgeschwindigkeit des Eisw¨urfels so, dass er beim folgenden ersten Eintauchen komplett im Gin Tonic untertaucht. Die Reibung sei schwach, d.h. k <2ρgA. Hinweis: sin(arctanx) =x/√

1 +x² ist hilfreich.

Aufgabe 3: Differentialgleichung - Partikul¨are L¨osung 5P Finden Sie die allgemeinen L¨osungen der nachfolgenden inhomogenen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Machen Sie zuerst einen Exponentialansatz f¨ur die homogene Gleichung (mit verschwindender rechter Seite) und machen Sie dann einen Ansatz f¨ur eine spezielle/partikul¨are L¨osung. Die allgemeine L¨osung ist die Summe der L¨osung der homogenen Gleichung und

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der partikul¨aren L¨osung. Hinweise: Nutzen Sie die Erl¨auterungen nach Aufgabe 4. Da keine Anfangsbedingungen gegeben sind, verbleiben unbestimmte Konstanten in der homogenen L¨osung. Konstanten der speziellen L¨osung folgen durch Koeffizientenvergleich nach Einsetzen.

(a) 1P y⁰⁰(x) + 4y⁰(x) + 8y(x) = 4x² −36x−11 (b) 2P y⁰⁰(x) + 4y(x) = 4 sin(2x)

(c) 2P y⁰⁰(x) + 2y⁰(x)−8y(x) = 4e^2x+ 4x+ 7

Aufgabe 4: Bahnkurve - Ballwurf mit Reibung 6P

Sehr ¨ahnlich zu den Aufgaben 2 auf Blatt 1 und auf Blatt 5 betrachten wir wieder einen Wurf. Ein Ball mit Masse m wird mit Geschwindigkeit v0 unter einem Winkel α vom Ursprung des zweidimensionalen Koordinatensystems geworfen und fliegt entlang der Bahnkurve~r(t) = (x(t), y(t))^T. Diesmal wirkt aber neben der Erdbeschleunigung F~g = −mg~ey auch noch die

zus¨atzliche Reibung F~_R(t) =−k~r.˙

(a) 1P Stellen Sie die Differentialgleichungen der Bewegung auf. Hinweis: Die Gleichung iny-Richtung ist eine inhomogene DGL.

(b) 3P L¨osen Sie die DGLen unter Beachtung der Anfangsbedingungen. Hinweis: Verfahren Sie wie in Aufgabe 3.

(c) 2P Wie hoch fliegt der Ball? Entwickeln Sie die maximale H¨ohe f¨ur kleine Werte vonk und vergleichen Sie mit dem Wurf ohne Reibung.

F¨ur eine inhomogene Differentialgleichung der Form

y⁽ⁿ⁾(x) +an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +. . .+a1y⁰(x) +a0y(x) =s(x)

mit einer St¨orfunktions(x) empfehlen sich nachfolgende Ans¨atze f¨ur eine spezielle L¨osungyp(x).

Sollte das charakteristische Polynom der homogenen Gleichung eine m-fache Nullstelle haben, die mit dem Problemwert ˆλ der Tabelle ¨ubereinstimmt, so ist der erweiterte Ansatz ˆyp(x) zu nutzen. Sollte die St¨orfunktion verschiedene Beitr¨age haben, lassen sich die nachfolgenden Ans¨atze addieren.

Beispiel f¨ur die Notwendigkeit von ˆyp(x): F¨ur y⁰(x) = 5 ist die homogene Gleichung y⁰(x) = 0.

Der Ansatz y(x) =e^λx liefert das charakteristische Polynom λ= 0, also ist λ= 0 eine einfache Nullstelle am Problemwert der Tabelle. Daher liefert nur der Ansatz ˆyp(x) =Cx nach Einsetzen in die inhomogene DGL (C = 5) die triviale spezielle L¨osung ˆyp(x) = 5x.

s(x) Ansatz y_p(x) ˆλ Ansatz ˆy_p(x)

Konstante bzgl. x C 0 Cx^m

Polynom in x vom Grad k Pk

j=0Cjx^j 0 x^mPk

j=0Cjx^j

e^ax Ce^ax a Cx^me^ax

sin(bx) oder cos(bx) C₁sin(bx) +C₂cos(bx) bi x^m(C₁sin(bx) +C₂cos(bx)) e^axsin(bx) oder e^axcos(bx) e^ax(C1sin(bx) +C2cos(bx)) a+bi x^me^ax(C1sin(bx) +C2cos(bx))

Wenn der Limes der Motivation gegen Null zu gehen scheint, der Student voller Anstrengung fast weint,

wenn die Wut einem schon zu Kopfe steigt, das Theo A-Blatt wieder seine volle H¨arte zeigt.

Jeden Montag gibt’s ein neues Blatt.

Und große Frustration ¨uber Theo A.

Doch irgendwann l¨os ich es glatt.

Und merke, dass es doch ganz einfach war.

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