Seminararbeit aus Analysis
TU Wien - WS 2009/10
Invariante Maße auf eingebetteten Lie-Gruppen
Raphael Pruckner 21.06.2010
Inhaltsverzeichnis
1 Das Haarsche Maß auf lokalkompakten topologischen Gruppen 2 2 Das Haarsche Maß auf eingebetteten Lie-Gruppen 5 2.1 Über stetig differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten . . . 5 2.2 Eingebettete Lie-Gruppen . . . 8 2.3 Eine Verallgemeinerung der Transformationsregel . . . 10 2.4 Radon-Nikodym-Ableitung vom Haarmaß bzgl. des Oberflächenmaßes . . 13
1 Das Haarsche Maß auf lokalkompakten topologischen Gruppen
Definition 1.1 (topologische Gruppe). Ein Paar (G,T), bestehend aus einer Gruppe (G,·) und einer TopologieTauf G, heißttopologische Gruppe, falls
• die Inversenbildung(.)−1 :x7→x−1, G→Gund
• die Gruppenmultiplikation·: (x, y)7→xy, G×G→G
stetig Abbildungen sind, wobei G×Gmit der Produkttopologie versehen wird.
Eine topologische Gruppe(G,T)heißtlokalkompakt, falls der topologische Raum(G,T) lokalkompakt ist. Eine lokalkompakte topologische Gruppe wollen wir im Folgenden auch kurz eine lokalkompakte Gruppe nennen und des Weiteren setzen wir stets voraus, dass (G,T)Hausdorffsch ist.
Definition 1.2. Ein Maßµauf einer topologischen Gruppe (genauer, auf dem Messraum (G,B(G)) wobei B(G) = Aσ(T)) heißt linksinvariant, falls µ(B) = µ(sB) für alle B ∈B(G) und für alles∈G.
Folgenden tiefliegenden Satz über die Existenz und Eindeutigkeit eines speziellen Ma- ßes wollen wir ohne den langen Beweis importieren. Für Interessierte sei auf [1, Kapitel VIII, §3, 3.], oder auch auf [2] verwiesen.
Satz 1.3. Sei(G,T)eine lokalkompakte Gruppe. So existiert immer ein linksinvariantes, positives, nicht verschwindendes, Riesz-reguläres Borelmaß µ : B(G) → [0,+∞], das sogenannte linke Haarsche Maß oder kurz linke Haarmaß.
Es ist bis auf eine multiplikative, positive Konstante eindeutig.
Bemerkung 1.4. Statt linksinvarianten Maßen können wir auch rechtsinvariante Maße betrachten. Dass sich die Theorie dabei nicht ändert, gewährleistet uns folgende einfach zu beweisende Beobachtung:
Ist µ ein linksinvariantes (rechtsinvariantes), positives, Riesz-reguläres Bo- relmaß, so ist µb ein rechtsinvariantes (linksinvariantes), positives, Riesz- reguläres Borelmaß, wobeiµ(B) :=b µ(B−1), B ∈B(G).
Wir können uns also getrost auf die Linksinvarianz beschränken. In einer abelschen to- pologischen Gruppe sind diese Begriffe klarerweise äquivalent.
Beispiel. Betrachten wir die Gruppe(Rp,+). Versieht man denRp mit der Euklidischen TopologieEp so wird(Rp,Ep) offensichtlich zu einer lokalkompakten Gruppe. Laut Satz 1.3 existiert also ein, bis auf eine multiplikative Konstante eindeutiges, linkes Haarsches Maßµ welches insbesondereµ(B) =µ(s+B) für alles∈Rp und für alle B∈B(Rp) = Bp erfüllt.
In der Maßtheorie haben wir schon ein spezielles Maß auf (Rp,Ep) kennengelernt, das Lebesgue-Maß λp. Wir haben gesehen, dass für je zwei translationsinvariante, nicht
verschwindende Maßeν1, ν2aufBpbereitsν1=cν2, c >0gilt. Das Lebesgue-Maß haben wir aus jenen durch die Normierungsbedingung λp((0,1]p) = 1 eindeutig bestimmt.
Wir sehen also, dass in diesem Fall das linke Haarmaß genau (bis auf multiplikative Konstanten) das Lebesgue-Maß λp ist. Satz 1.3 kann also als Verallgemeinerung der Tatsache angesehen werden, dass es aufBp ein ausgezeichnetes Maßλp gibt.
Beispiel. Versieht man die Gruppe(R+,·)mit der Spurtopologie der euklidischen Topo- logie, so erhält man, wie man sich leicht überzeugt, wiederum eine lokalkompakte Gruppe.
Hier ist es ad hoc nicht offensichtlich wie das linke Haarmaß, dessen Existenz aus Satz 1.3folgt, aussieht.
Das nächste Lemma gibt, in einem Spezialfall, eine konkrete Darstellung des Haarschen Maßes, nämlich die Dichtefunktion bezüglich des Lebesgue-Maßes, an.
Lemma 1.5. Sei (G,T) eine lokalkompakte Gruppe, wobei G ⊆ Rp offen ist für ein gewisses p ∈ N, und die Topologie genau die Spurtopologie der euklidischen Topologie, T =Ep|G ist. Des Weiteren sei die Gruppenmultiplikation ·: (x, y)7→ xy als Abbildung zwischen den offenen Mengen G×G→G stetig differenzierbar. Dann ist (B ∈B(G))
µ:B7→
Z
B
1
|detdlt(e)|dλp(t),
ein linkes Haarmaß, dabei ist lx:y7→xy, G→G ein Diffeomorphismus, und x7→dlx(e), G→Rp×p stetig.
Entsprechend ist
µ:B 7→
Z
B
1
|detdrt(e)|dλp(t), ein rechtes Haarmaß, wobei rx:y7→yx.
Beweis. Wegenlx(y1) =lx(y2)⇒xy1 =xy2⇒y1 =y2 ist die Abbildunglxinjektiv und weil für jedesy∈G lx(x−1y) =y ist sie auch surjektiv, also bijektiv.
Nun gilt offensichtlich lx=· ◦πx mit πx :y7→(x, y), G→G×Gund somit ist lx als Zusammensetzung von (laut Voraussetzung) stetig differenzierbarer Funktionen wieder stetig differenzierbar für jedes beliebiges x∈G. Aufgrund von(lx)−1=lx−1 folgt schon, dass die Abbildung lx für jedes x ∈ G ein Diffeomorphismus ist. Klarerweise ist damit diep×p Matrixdlx(t) für allet∈Gregulär, d.h. detdlx(t)6= 0
Genauso sieht man, dassx7→lx(t)als Zusammensetzung zweier stetig differenzierbarer Funktionen wieder stetig differenzierbar ist, und deshalb ist x 7→ dlx(t) für alle t ∈ G stetig. Weil det :A7→detA,Rp×p →Rstetig ist, istx7→detdlt(e)stetig und bildet nie auf Null ab. Damit ergibt sich die Stetigkeit vonx7→ |detdlt(e)|und schließlich die von x7→ |detdl1
t(e)|.
Folglich ist die angegebene Dichtefunktion positiv und messbar. Aus der Maßtheorie wissen wir, dass µein Maß ist.
Offensichtlich gilt lx1x2 =lx1 ◦lx2 und mit der Kettenregeld(lst)(e) =d(ls◦lt)(e) = d(ls)(t)d(lt)(e). Nun gilt für ein messbares f :G→ R und ein s∈ G wegen der Trans- formationsregel angewandt auf den Diffeomorphismusls:G→G
Z
G
f(t)· 1
|detdlt(e)|dλp(t) = Z
G
f(st)· 1
|detdlst(e)|· |detdls(t)|dλp(t) =
= Z
G
f(st)· 1
|detdls(t)| · |detdlt(e)||detdls(t)|dλp(t) = Z
G
f(st)· 1
|detdlt(e)|dλp(t).
Wählt man nun speziell f = 1B für ein beliebiges B ∈ B(G), so erhält man µ(B) = µ(s−1B) für alles∈G, also die Linksinvarianz von µ.
Genauso zeigt man die Rechtsinvarianz des anderen Maßes.
Beispiel. Betrachte die lokalkompakte Gruppe(R+,·). Klarerweise ist(x, y)7→xy stetig differenzierbar und auch alle anderen Bedingungen in Lemma 1.5 sind erfüllt. Für die Abbildung lt :y 7→ ty giltdlt(y) = t. Demnach ist µ: B 7→ R
B 1
tdλ(t) für B ∈B(R+) das Haarsche Maß auf (R+,·).
Ziel dieser Seminararbeit ist es Lemma 1.5 zu verallgemeinern. Statt der Forderung, dass die lokalkompakte Gruppe(G,T)eine offene Teilmenge eines gewissenRpist, werden wir nur verlangen, dass es sich um eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit im Rp, mit gewissen Eigenschaften, handelt. Wir werden sehen, dass unter diesen Voraussetzungen ein sehr ähnliches Resultat (Satz 2.18) gilt.
2 Das Haarsche Maß auf eingebetteten Lie-Gruppen
2.1 Über stetig differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Damit sichergestellt ist, dass wir von denselben Begriffen reden, möchte ich folgende Definitionen angeben.
Definition 2.1. Eine nichtleere Teilmenge M ⊆ Rp heißt d-dimensionale Mannigfal- tigkeit im Rp (0 < d ≤ p), falls es zu jedem x ∈ M eine d-dimensionale Einbettung φ:D→M mit x∈φ(D) gibt.
Definition 2.2. Für M ⊆ Rp, p ≥ 1, heißt eine Abbildung φ :D → M mit D ⊆Rd, 0< d≤p eined-dimensionaleEinbettung inM, wenn
• ∅ 6=Doffene Teilmenge von Rd ist,
• φ(D) offene Teilmenge von M bezgl. der Spurtopologie ist, dh. φ(D) =M ∩U für eine inRp offene Teilmenge U,
• φ:D→ φ(D) ein Homöomorphismus ist, wobei φ(D) mit der Spurtopologie ver- sehen wird,
• φals Abbildung von D nach Rp stetig differenzierbar ist,
• dφ(s) für alle s∈D injektiv ist, d.h.dφ(s) maximalen Rang d hat Im Folgenden ist Mi immer einedi-dimensionale Mannigfaltigkeit im Rpi.
Definition 2.3. Eine Funktion f :M1 → M2 heißt stetig differenzierbar, falls für be- liebige Einbettungen φ :D → M1 und φ˜: ˜D→ M2 die nur O := (f ◦φ)−1( ˜φ( ˜D))6= ∅ erfüllen, gilt
• O⊆Dist offen
• die Abbildungφ˜−1◦f◦φ|O:O→D˜ ist (im klassischen Sinne) stetig differenzierbar Eine Bijektion f : M1 → M2 heißt Diffeomorphismus, falls f und f−1 im obigen Sinn stetig differenzierbar sind.
Dieses Korollar wird in den Beweisen nachfolgender Lemmata verwendet. Einen Beweis findet man in [AnaIII, 15.3.3].
Korollar 2.4. Sei M ⊆ Rp, und seien φ1 : D1 → M sowie φ2 : D2 → M zwei d- dimensionale Einbettungen in M mitφ1(D1)∩φ2(D2)6=∅. Dann ist die Abbildung
φ−12 ◦φ1|B
1 :B1 →B2, mit Bj :=φ−1j (φ1(D1)∩φ2(D2)), j = 1,2
ein Diffeomorphismus von der offenen MengeB1 (⊆Rd) auf die offene MengeB2(⊆Rd).
Im nächsten Lemma lernen wir eine äquivalente Formulierung von Definition 2.3 ken- nen.
Lemma 2.5. Eine Funktion f : M1 → M2 ist genau dann stetig differenzierbar, wenn es zu jedem x∈M1 eine Einbettung φ1:D1 →M1 mitx∈φ1(D1) und eine Einbettung φ2 :D2 → M2 mit f(x) ∈ φ2(D2) gibt, sodass f(φ1(D1)) ⊆φ2(D2) und φ−12 ◦f ◦φ1 : D1 →D2 stetig differenzierbar (im klassischen Sinne) ist.
Beweis. ⇒) Sei f stetig differenzierbar und x∈M1. Wir finden sicherlich Einbettungen φ:D→M1 mit φ(s) =x für eins∈Dund φ2:D2 →M2 mit f(x)∈φ2(D2). Weil die MengeD1 :=O:= (f ◦φ)−1(φ2(D2))nicht leer ist, da ja s∈D1, folgt wegen Definition 2.3, dass sie eine offene Teilmenge von Dist, und, dass
φ−12 ◦f ◦φ|O:O→D2 (1) stetig differenzierbar ist. Die Abbildung φ1 := φ|D
1 : D1 → M1 ist als Einschrän- kung einer Einbettung auf eine offene Teilmenge des ursprünglichen Definitionsbereichs wieder eine Einbettung, wie man leicht überprüft. Nun gilt klarerweise f(φ1(D1)) = f(φ(φ−1(f−1(φ2(D2))))) = f(f−1(φ2(D2))) ⊆φ2(D2) und in 1 steht bereits die nötige Differenzierbarkeitseigenschaft.
⇐)
Nun gelte die in Lemma 2.5 behauptete Tatsache. Seien uns irgendwelche Einbettungen φ : D → M1 und φe : De → M2 mit O := (f ◦φ)−1(φ(e D))e 6= ∅ gegeben. Wir werden zeigen, dass O eine offene Teilmenge von Dist, und dass φe−1◦f ◦ φ|O :O → De stetig differenzierbar ist.
Sei s ∈ O beliebig und x := φ(s). Es gibt sicher Einbettungen φ1 : D1 → M1 mit x∈φ1(D1) und φ2 :D2 → M2 mit f(x) ∈φ2(D2), so dassf(φ1(D1))⊆φ2(D2) und so dassφ−12 ◦f◦φ1:D1→D2 stetig differenzierbar ist.
Die Mengen
C1:=φ1(D1)∩φ(D) und C2:=φ2(D2)∩φ(e D)e
sind als Schnitt zweier offenen Mengen offen inM1 bzw.M2, und enthaltenxbzw.f(x).
Nach Korollar 2.4 sind die beiden Abbildungen φ−11 ◦φ|φ−1(C1) :φ−1(C1)→φ−11 (C1), φ−12 ◦φe
φe−1(C2):φe−1(C2)→φ−12 (C2) Diffeomorphismen, wobei alle 4 Mengen klarerweise offen sind.
Da φ−12 ◦f ◦φ1 : D1 → D2 insbesondere stetig ist, ist das Urbild von der offenen Menge φ−12 (C2) ⊆ D2 unter dieser Abbildung offen in D1. Außerdem stimmt es mit (f ◦φ1)−1(C2) überein. Damit ist auchφ−1(C1)∩(f◦φ1)−1(C2) offen in D1. Daφ−11 ◦
φ|φ−1(C1) insbesondere ein Homöomorphismus ist, muss auch
P := (φ−1◦φ1)(φ−11 (C1)∩(f◦φ1)−1(C2)) =φ−1(C1∩f−1(C2)) offen in D sein und enthälts=φ−1(x). Außerdem gilt
f(φ(P)) =f(C1∩f−1(C2))⊆C2 ⊆φ(eD).e
Damit gilts∈P ⊆O, und φe−1◦f ◦φ|O :O→De eingeschränkt aufP stimmt mit (φ−12 ◦φ)e−1◦φ−12 ◦f ◦φ1◦(φ−11 ◦φ)
P
überein. Diese Abbildung ist aber, als Zusammensetzung dreier stetig differenzierbarer Abbildungen, lokal bei s stetig differenzierbar. Da s∈ O beliebig war, sieht man, dass O als Vereinigung der jeweils offenen Mengen P selber offen ist, und dass φe−1◦f◦ φ|O auch überall stetig differenzierbar ist.
Im nächsten Lemma wollen wir uns von einigen grundlegenden Eigenschaften des neuen Begriffes vergewissern.
Lemma 2.6. Seien f : M1 → M2 und h : M2 → M3 beliebige stetig differenzierbare Funktionen im Sinne von Definition 2.3, so gilt:
1. f ist stetig bezüglich der Spurtopologien, also als Abbildung von (M1,Ep1|M1) nach (M2,Ep2|M2).
2. Die Hintereinanderausführung h◦f :M1 →M3 ist wieder stetig differenzierbar.
Beweis. ad 1.
Für einx∈M1 gilt wegen Lemma 2.5, dassφ−12 ◦f◦φ1:D1 →D2stetig differenzierbar im klassischem Sinne, also insbesondere stetig ist, für gewisse Einbettungen φi : Di → Mi i ∈ {1,2}. Setzt man diese stetige Funktion mit der ebenfalls stetigen Funktion φ2 : D2 → φ2(D2) zusammen so erhält man die Stetigkeit von f ◦φ1 : D1 → φ2(D2).
Setzt man ein weiteres Mal mitφ−11 :φ1(D1)→D1zusammen so folgt, dassf :φ1(D1)→ φ2(D2) stetig ist, wobei φ1(D1) und φ2(D2) jeweils mit der Spurtopologie versehen ist.
Daraus folgt elementar die Behauptung.
ad 2.
Zu jedem x∈M1 gibt es, nach Lemma 2.5 angewandt auff, Einbettungenφ1:D1 → M1 mit x∈φ1(D1)und φ2 :D2→M2 mit f(x)∈φ2(D2), so dass f(φ1(D1))⊆φ2(D2).
Das Lemma angewandt auf h liefert die Existenz von Einbettungen φe2 :De2 → M2 mit f(x) ∈φe2(De2) und φ3 :D3 →M3 mit h(f(x))∈φ3(D3), so dassh(φe2(De2))⊆φ3(D3).
Und zwar so, dass
φ−12 ◦f◦φ1:D1 →D2 und φ−13 ◦h◦φe2:De2 →D3
stetig differenzierbar sind. Wegen der Stetigkeit von f ist φ−11 (f−1(φe2(De2))) offen in D1. Indem wir φ1 auf diese Menge einschränken, können wir o.B.d.A. zusätzlich noch f(φ1(D1))⊆φe2(De2) annehmen. Also gilt sogar
f(φ1(D1))⊆φ2(D2)∩φe2(De2) (2) Nach Korollar 2.4 ist
φe−12 ◦φ2:B2 →Be2
mit B2 :=φ−12 (φ2(D2)∩φe2(De2)),Be2 :=φe−12 (φ2(D2)∩φe2(De2))ein Diffeomorphismus.
Damit ist diese Abbildung
φ−13 ◦h◦φe2◦(φe−12 ◦φ2)◦φ−12 ◦f◦φ1:D1 →D3
wegen (2) wohldefiniert und als Hintereinanderausführung dreier stetig differenzierbarer Abbildungen (im klassischen Sinne) selbst stetig differenzierbar. Außerdem stimmt sie mit φ−13 ◦h◦f ◦φ1 :D1 → D3 überein. Weil auch h(f(φ1(D1)))⊆ φ3(D3) gilt, haben wir nach Lemma 2.5 gezeigt, dassh◦f stetig differenzierbar ist.
2.2 Eingebettete Lie-Gruppen
Bemerkung 2.7. Behauptung:M1×M2 ist eined1+d2-dimensionale Mannigfaltigkeit im Rp1+p2.
Um das zu zeigen muss nur bemerkt werden, dass es zu einem (s, t) ∈ M1 ×M2
sicherlich Einbettungenφ1:D1 →M1 mits∈φ1(D1)undφ2 :D2 →M2mitt∈φ2(D2) gibt. Nun betrachte man die Abbildung φ1×φ2 : (x, y) 7→ (φ1(x), φ2(y)), D1 ×D2 → M1 ×M2. Wie man leicht überprüft ist dies wieder eine Einbettung die klarerweise (s, t)∈φ1×φ2(D1×D2) erfüllt.
Mit diesem Wissen macht folgende Definition Sinn.
Definition 2.8. Ist(G,·)eine Gruppe undG⊆Rpeined-dimensionale Mannigfaltigkeit imRp und die Gruppenmultiplikation·: (x, y)7→xy, G×G→G stetig differenzierbar, so heißt GeineLie-Gruppe.
Beispiel. Typische Beispiele für Lie-Gruppen sind die allgemeine lineare GruppeGL(n,R) oder auch abgeschlossene Untergruppen davon, wie zum Beispiel die spezielle lineare Gruppe SL(n,R), die orthogonale Gruppe O(n) und die spezielle orthogonale Gruppe SO(n). Andere Beispiele wären (Rp,+)oder auch(T,·).
Lemma 2.9. SeiGeine Lie-Gruppe. Für jedesx∈Gist die Abbildunglx :y7→xy, G→ G ein Diffeomorphismus. Das gleiche gilt fürrx:y 7→yx, G→G.
Beweis. Wie wir schon im Beweis von Lemma 1.5 gesehen haben, istlx bijektiv. Wegen (lx)−1 =lx−1 reicht es also zu zeigen, dass lx stetig differenzierbar ist, für ein beliebiges x∈G.
Sei y ∈ G beliebig, φ1 : D1 → G eine Einbettung mit φ1(s1) = x für s1 ∈ D1 und φ2 :D2→ Geine Einbettung mit φ2(s2) =y für s2 ∈D2. Weiters sei φ3:D3 →G eine Einbettung mit φ3(s3) = xy,s3 ∈ D3. Die Gruppenmultiplikation in G bezeichnen wir mit Γ : (x, y)7→xy, G×G→G.
Weil Γ stetig differenzierbar und φ1×φ2 : D1 ×D2 → G×G eine Einbettung ist, gilt, dass Ψ := φ−13 ◦Γ◦(φ1×φ2) : O → D3 klassisch stetig differenzierbar ist, wobei O:= (Γ◦(φ1×φ2))−1(φ3(D3))3(s1, s2) offen inR2d ist (vergleiche Definition 2.3).
Die Menge Os1 := {t ∈ Rd : (s1, t) ∈ O} ist offen in Rd. Die Einbettungsabbildung ι : t 7→ (s1, t), Os1 → O ist klarerweise stetig differenzierbar. Betrachte nun folgende stetig differenzierbare Abbildung:
Ψ◦ι:t7→Ψ (s1, t) =φ−13 (φ1(s1)·φ2(t)) =φ−13 (lx(φ2(t))) t∈Os1
Wir haben zu einem beliebigen y ∈ G eine Einbettung φ2 : Os1 ⊆ D2 → G mit y ∈ φ2(Os1) und eine Einbettung φ3 :D3 → G mit lx(y) =xy ∈ φ3(D3) gefunden, so dass alle Voraussetzungen von Lemma 2.5 erfüllt sind. Also ist lx ein Diffeomorphismus.
Genauso zeigt man, dassrx ein Diffeomorphismus ist.
Bemerkung 2.10. In einer Lie-Gruppe G gilt immer, dass die Inversenbildung (.)−1 : x 7→ x−1, G → G stetig differenzierbar ist, wie sich mit dem Hauptsatz über implizite Funktionen zeigen lässt:
Bezeichne Γ : G×G → G die stetig differenzierbare Gruppenmultiplikation und sei x ∈ G beliebig. Wir finden sicher Einbettungen φ1 : D1 → G mit φ1(s1) = x für ein s1 ∈ D1, φ2 : D2 → G mit φ2(s2) = x−1 für ein s2 ∈ D2 sowie φ3 : D3 → G mit φ3(s3) =e für ein s3 ∈D3. Außerdem lässt sich durch Verkleinern der MengenD1, D2
o.B.d.A. Γ(φ1 ×φ2(D1×D2)) ⊆ φ3(D3) erreichen, indem man ausnutzt, dass Γ nach dem 1. Punkt von Lemma 2.6 stetig ist. Nun liefert die stetige Differenzierbarkeit vonΓ, dass
φ−13 ◦Γ◦(φ1×φ2) :D1×D2 →D3
(klassisch) stetig differenzierbar ist. Aus technischen Gründen setzten wir diese Abbil- dung noch mit folgender Translation T : s 7→ s−s3, D3 → T(D3) zusammen, und erhalten folgende stetig differenzierbare Funktion:
F :=T ◦φ−13 ◦Γ◦(φ1×φ2) :D1×D2⊆R2d→T(D3)⊆Rd
Für(s1, s2)∈D1×D2giltF(s1, s2) =T(φ−13 (φ1(s1)·φ2(s2)) =T(φ−13 (e)) =T(s3) = 0.
Wenn wir also zeigen können, dass die d×d Matrix dF2(s1, s2), bestehend aus den hinteren dSpalten von dF(s1, s2) ∈ Rd×2d, invertierbar ist, können wir den Hauptsatz über implizite Funktionen anwenden.
Die Abbildung t 7→ dF2(s1, t) ist nichts anderes als die Ableitung der Funktion t 7→
F(s1, t) als Funktion vont∈D2. Nun giltF(s1, t) =T(φ−13 (φ1(s1)·φ2(t))) =T(φ−13 (x· φ2(t))) = T(φ−13 (lx(φ2(t)))). Nach Lemma 2.9 wissen wir, dass lx : G → G ein Diffeo- morphismus ist. Daraus schließt man elementar, dasst7→F(s1, t)als Abbildung vonD2 nachT(φ−13 (lx(φ2(D2))))ein Diffeomorphismus ist. Die Ableitung davon, alsodF2(s1, t), ist daher für allet∈D2, also insbesondere für s2 invertierbar.
Der Hauptsatz über implizite Funktionen liefert uns nun die Existenz zweier offene Kugeln, U =Uδ(s1) mit U ⊆D1 sowieso V =Uρ(s2) mit V ⊆ D2. Außerdem existiert eine stetig differenzierbare Funktion g : U → V mit F(s, g(s)) = 0 für alle s ∈ U. Wenn man in die Definition von F einsetzt sieht man, dass die letzte Identität auch folgendermaßen angeschrieben werden kann:
φ2(g(s)) = (φ1(s))−1 für alle s∈U (3) Indem wir D1 und D2 notfalls weiter verkleinern gelte D1 =U und D2 =V. Definiere nun eine neue Funktion h :φ1(D1)→ φ2(D2), z 7→ φ2◦g◦φ−11
(z). Unter Benutzung von (3) zeigt die kurze Rechnung
h(z) =φ2(g(φ−11 (z))) = (φ1(φ−11 (z)))−1=z−1 z∈φ1(D1)⊆G,
dass die Funktionh lokal aufφ1(D1)genau dem Invertieren (.)−1 entspricht.
Nun haben wir alles in der Hand um Lemma 2.5 anwenden zu können: Zu einem beliebigem x ∈ G haben wir Einbettungen φ1 und φ2 gefunden, sodass die im Lemma gewünschte Inklusion (.)−1(φ1(D1)) =h(φ1(D1)) =φ2(g(D1))⊆φ2(D2) gilt. Außerdem ist φ−12 ◦(.)−1◦φ1 : D1 → D2 im klassischem Sinn stetig differenzierbar, denn es gilt φ−12 ◦(.)−1◦φ1=φ−12 ◦h◦φ1 =gundg ist stetig differenzierbar als Abbildung zwischen D1 und D2.
Mit Lemma 2.5 folgt also, dass die Inversenbildung in jeder Lie-Gruppe eine stetig differenzierbare Abbildung ist.
Bemerkung 2.11. Versieht man eine Lie-Gruppe Gmit der Spurtopologie T := Ep|G so wird(G,T)zu einer lokalkompakten Gruppe.
Um das einzusehen, sei zunächst bemerkt, dass die Gruppenmultiplikation laut Defi- nition 2.8 und die Inversenbildung laut Bemerkung 2.10 stetig differenzierbar sind und demnach laut Lemma 2.6 stetig bezüglich den jeweiligen Spurtopologien sind. Die Spur- topologie aufGentspricht ja genau unserer TopologieT, womit die Stetigkeit der Inver- senbildung gezeigt wäre. Die Spurtopologie auf G×G entspricht der Produkttopologie der Spurtopologien aufG, in ZeichenE2p|G×G=Ep|G× Ep|G=T × T, weil die Spurto- polgie ebenso wie die Produkttopologie über die Initiale Topologie definiert sind, und die Konstruktion der Initialen Topologie assoziativ ist. Wir erhalten also, dass (G,T) eine topologische Gruppe ist.
Wieso handelt es sich um eine lokalkompakte Gruppe? Dazu müssen wir zu einem beliebigen x∈G eine kompakte Umgebung K finden, also eine kompakte Menge K, so dass es eine offene MengeO gibt, so dassx∈O⊆K gilt.
Sei also x ∈ G. Weil G eine Mannigfaltigkeit ist, existiert sicherlich eine Einbettung φ : D → G mit x = φ(s) für ein s ∈ D. Weil D offen ist, können wir > 0 so klein wählen, dass die abgeschlossene-Kugel ums,K(s), noch ganz inDenthalten ist.K(s) ist abgeschlossen und beschränkt also nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Nun ist K := φ(K(s)) als stetiges Bild einer kompakten Menge wieder kompakt. Klarerweise enthält sie x, und als O können wir zum Beispiel das Bild der offene Kugel um s, O:=φ(U(s)), wählen.
2.3 Eine Verallgemeinerung der Transformationsregel
Definition 2.12. Sei M eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit im Rp und f :M →Rq stetig differenzierbar. Istx ∈M und φ:D→ M irgendeine Einbettung mit x ∈φ(D), so definieren wir mitx=φ(s)
Ξ(f)(x) :=
s
detd(f ◦φ)(s)Td(f◦φ)(s)
detdφ(s)Tdφ(s) ∈[0,+∞). Ist dieses Objekt wohldefiniert?
Die Funktion f ist stetig differenzierbar, wobei man hier denRq formal alsq - dimen- sionale Mannigfaltigkeit imRq, also als offene Teilmenge vomRq, auffassen kann, und als Einbettung immer die identische Abbildung id:x7→x,Rq→Rqgenommen werden kann.
Für jede Einbettungφist damit nach Lemma 2.5 die Abbildung id◦f◦φ=f◦φ:D→Rq stetig differenzierbar im klassischen Sinne. Damit machen Ausdrücke wied(f◦φ)(s)Sinn.
Weil dφ(s) immer vollen Rang hat, istdφ(s)Tdφ(s) symmetrisch, positiv definit, und hat demnach eine Determinante strikt größer als Null. Für die Matrix im Zähler, d(f ◦ φ)(s)Td(f ◦ φ)(s), gilt immerhin, dass ihre Determinante größer gleich Null ist, weil sie symmetrisch positiv semidefinit ist. Wir dividieren also nicht durch Null, ziehen die Wurzel aus einer nicht negativen Zahl, und damit ist Ξ(f)(x) immer größer gleich Null.
Schlussendlich wollen wir uns noch überlegen, dass die Funktion Ξ(f)(x) unabhängig von der konkret gewählten Einbettungφ ist:
Sei also φ˜ : ˜D → M eine weitere Einbettung mit x ∈ φ( ˜˜ D) also x = ˜φ(˜s) für ein
˜
s ∈ D. Nach Korollar 2.4 ist˜ φ˜−1◦φ|B1 :B1 → B2 mit B1 := φ−1(φ(D)∩φ( ˜˜ D)) und B2 := ˜φ−1(φ(D)∩φ( ˜˜ D))ein klassischer Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen B1, B2 ⊆ Rd. Klarerweise ist damit T := d( ˜φ−1 ◦φ)(s) ∈ Rd×d regulär. Nun gilt für beliebigeC ∈Rq×d:
|detT|
√
detCTC =
√
detTT detCTCdetT = q
det(CT)T(CT) (4) Wählen wir speziell C:=d(f◦φ)(˜˜ s), so gilt wegen der Kettenregel
CT =d(f ◦φ)(˜˜ s)d( ˜φ−1◦φ)(s) =d(f ◦φ)(s), und Gleichung (4) liefert
|detT| q
detd(f◦φ)(˜˜ s)Td(f ◦φ)(˜˜ s) = q
detd(f◦φ)(s)Td(f ◦φ)(s)
Wählen wirC:=dφ(˜˜ s)so folgt analogCT =dφ(˜˜ s)d( ˜φ−1◦φ)(s) =dφ(s) und mit (4)
|detT| q
detdφ(˜˜s)Tdφ(˜˜ s) = q
detdφ(s)Tdφ(s)
Wir sehen also, dass sich der neue Nenner vom alten Nenner genau um den gleichen konstanten Faktor|detT|>0unterscheidet wie der neue Zähler vom alten Zähler. Damit ist die Definition unabhängig von der konkret gewählten Einbettung.
Bemerkung 2.13. Wenn wir irgendeine Einbettung φ:D→ M in eine Mannigfaltigkeit M haben und einen klassischen Diffeomorphismus T : O → D zwischen zwei offenen MengenO, D⊆Rd, so ist es keine große Weisheit, dass dannφ◦T :O→M wieder eine Einbettung inM ist.
Genauso einfach sieht man ein, dass für eine Einbettung φ:D→M und einen klassi- schen Diffeomorphismus T, die Abbildunge Te◦φ:D→Te(M) wieder eine Einbettung in Te(M)ist. Dabei reicht im Allgemeinen nicht, dass dom(Te) =M, weilM im Allgemeinen nicht offen sein muss. Der Diffeomorphismus muss also auf einer echt größeren offenen MengeO ⊆Rp definiert sein, also Te:O → P mit O, P ⊆Rp offen und M ⊆O. In der nächsten Bemerkung wird die gleiche Frage behandelt, wobei wir statt diesem klassischen Diffeomorphismus einen Diffeomorphismus zwischen Mannigfaltigkeiten voraussetzen.
Bemerkung 2.14. Sei φ : D → M1 eine Einbettung und f : M1 → M2 ein Diffeomor- phismus zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Ziel dieser Bemerkung ist zu zeigen, dass f◦φ:D→M2 eine Einbettung in M2 ist.
Sei s∈ D beliebig, so existiert zu f(φ(s))∈ M2 sicher eine Einbettung φe:De → M2 mit f(φ(s))∈ φ(e D). Weil nune Os := (f ◦φ)−1(φ(eD))e nicht leer ist, weil jas ∈Os, gilt nach Definition 2.3, dass Os als Teilmenge von D offen im Rd1 ist. Nun ist φ1 := φ|O
s
erneut eine Einbettung.
Weilφ1(Os)⊆M1offen bezüglich der Spurtopologie ist undf−1 als stetig differenzier- bare Funktion nach Lemma 2.6 stetig ist, ist die Mengef(φ1(Os))⊆M2 offen bezüglich der Spurtopologie. Schließlich ergibt sich, dassPs :=φe−1(f(φ1(Os))) als Teilmenge von De im Rd2 offen ist. Wie zuvor istφ2:= φ|eP
s eine Einbettung.
Mit dieser Konstruktion haben wir
f(φ1(Os)) =φ2(Ps) oder dazu äquivalent φ1(Os) =f−1(φ2(Ps)) (5) erreicht. Weilf undf−1 stetig differenzierbar sind, können wir in beiden Fällen in Defi- nition 2.3φ1 und φ2 als Einbettungen wählen, und erhalten mit 5, dass
g:=φ−12 ◦f◦φ1 :Os→Ps undh:=φ−11 ◦f−1◦φ2 :Ps→Os
stetig differenzierbare Abbildungen im klassischen Sinne sind. Außerdem sind g und h als Hintereinanderausführung bijektiver Abbildungen bijektiv und es giltg=h−1. Nach der Kettenregel folgt (s∈Os, t∈Ps, t=g(s))
idRd1 =didOs(s) =d(h◦g)(s) =dh(t)dg(s), id
Rd2 =didPs(t) =d(g◦h)(t) =dg(s)dh(t) Aus der linearen Algebra folgt d1 =d2. Also muss die Dimension zweier diffeomorpher Mannigfaltigkeiten gleich sein. Damit sehen wir auch, dassg undhklassische Diffeomor- phismen sind.
Nun ist φ2 ◦g : Os → M2, wie schon in Bemerkung 2.13 beobachtet, wieder eine Einbettung inM2. Diese Abbildung stimmt jedoch mit f◦φ1 :Os→M2 überein.
Wir haben nun gezeigt, dass es für jedes s ∈ D eine s-enthaltende, offene Menge Os ⊆D gibt, so dassf ◦ φ|O
s :Os→M2 eine Einbettung in M2 ist. Gewissermaßen ist also f ◦φ :D → M2 lokal um jedes s eine Einbettung. Wie man leicht überprüft folgt daraus schon, dassf ◦φ:D→M2 eine Einbettung ist.
Satz 2.15. Seien M1, M2 zwei d-dimensionale Mannigfaltigkeiten 1 im Rp1,Rp2 und bezeichnenσ1, σ2 die Oberflächenmaße auf M1, M2. Ist T :M1 →M2 ein Diffeomorphis- mus, so gilt für ein messbares f :M2→C
Z
M2
f dσ2= Z
M1
f(T(t))·Ξ(T)(t)dσ1(t).2
Beweis. Seiφj :Dj →M1, j ∈N, eine Folge von Einbettungen so, dass S
j∈Nφj(Dj) = M1. MitNj :=φj(Dj)\(φj−1(Dj−1)∪. . .∪φ1(D1))erhalten wir eine Partition vonM1.
1Man beachte, dass die Mannigfaltigkeiten gleiche Dimension haben müssen, wenn es einen Diffeomor- phismusT :M1→M2 geben soll; siehe Bemerkung 2.14
2Aufgrund der Definition vonΞmüsste hier eigentlichΞ(ι◦T)stattΞ(T)stehen, wobeiι:M2→Rp2 die Einbettungsabbildung ist.
Wie aus Analysis III bekannt, gilt dann Z
M2
f(T(t))·Ξ(T)(t)dσ1(t) =
=X
j∈N
Z
φ−1j (Nj)
(f ◦T◦φj)(s)·Ξ(T)(φj(s))· q
detdφj(s)Tdφj(s)dλd(s) =
Wir schreiben das um zu
=X
j∈N
Z
φ−1j (Nj)
(f◦T ◦φj)(s)·
s
detd(T ◦φj)(s)Td(T ◦φj)(s) detdφj(s)Tdφj(s) ·
q
detdφj(s)Tdφj(s)dλd(s) =
=X
j∈N
Z
(T◦φj)−1(T(Nj))
(f◦(T ◦φj))(s)· q
detd(T◦φj)(s)Td(T◦φj)(s)dλd(s) (6)
Nun sind wegen Bemerkung 2.14 die AbbildungenT◦φj :Dj →M2 auch Einbettungen.
WegenS
j∈N(T ◦φj)(Dj) =T S
j∈Nφj(Dj)
=T(M1) =M2 und
T(Nj) = (T ◦φj)(Dj)\((T◦φj−1)(Dj−1)∪. . .∪(T◦φ1)(D1)) sind dieT(Nj), j∈Neine Partition vonM2. Demnach ist (6) nichts anderes alsR
M2f dσ2.
2.4 Radon-Nikodym-Ableitung vom Haarmaß bzgl. des Oberflächenmaßes Bemerkung 2.16. Ziel dieser technischen Bemerkung wird eine Stetigkeitsaussage sein, die für den nächsten Satz von Bedeutung sein wird.
Bezeichne Γ : G×G→ G wieder die (stetig differenzierbare) Gruppenmultiplikation und seiι:x7→x, G→Rp die Einbettung, die, wie man einfach einsieht, ebenfalls stetig differenzierbar ist. Nach Lemma 2.6 ist die HintereinanderausführungΓ :=e ι◦Γ :G×G→ Rp wieder stetig differenzierbar.
Sind φi :Di → G i ∈ {1,2} beliebige Einbettungen, dann ist, wie wir schon einmal festgestellt haben, φ1×φ2 eine Einbettung in G×G, und daher Ψ := Γe◦(φ1×φ2) : D1×D2 →Rp eine stetig differenzierbare Abbildung im klassischen Sinn. Daher ist
(s, t)7→dΨ(s, t), D1×D2 →Rp×2d stetig. (7) Schreiben wir(s, t) = (ξ1, . . . , ξd, η1, . . . , ηd)∈D1×D2 so gilt
∂Ψ
∂ηj(s, t) = ∂
∂ηj(φ1(s)·φ2(t)) = ∂
∂ηj(lφ1(s)◦φ2)(t) und ∂Ψ
∂ξj(s, t) = ∂
∂ξj(rφ2(t)◦φ1)(s) insbesondere also dΨ(s, t) = (d(rφ2(t)◦φ1)(s), d(lφ1(s)◦φ2)(t))
Halten wir etwa t ∈ D2 fest, so ist, wie in (7) ersichtlich, s 7→ dΨ(s, t) stetig, also insbesondere auchs7→d(lφ1(s)◦φ2)(t) s∈D1.
Nun folgt die Stetigkeit vonx7→d(lx◦φ2)(t)auf ganzG, und zwar für jede Einbettung φ2:D2 →Gund jedes t∈D2.
Um das einzusehen, sei uns ein xe∈G gegeben. Wir finden sicherlich eine Einbettung φ1 : D1 → G mit φ1(s) = xe für ein s ∈ D1. Für jede beliebige, also auch für diese Einbettung ists7→d(lφ1(s)◦φ2)(t)stetig aufD1. Weilφ1 :D1 →φ1(D1)ein Homöomor- phismus ist, ist insbesondereφ−11 stetig. Die obige Funktion kann man nun auch schreiben alsx7→φ−11 (x)7→d(lφ
1(φ−11 (x))◦φ2)(t) x∈φ1(D1) und ist somit lokal umex stetig.
Bemerkung 2.17. Wir erkennen nun auch, dass zur Kartierung einer Lie-Gruppe G als Mannigfaltigkeit eigentlich nur eine Einbettungφ:D→Gmit e∈φ(D) nötig ist.
Ist nämlich x ∈ G beliebig, so ist φx := lx ◦φ : D → G wegen Lemma 2.9 und Bemerkung 2.14 wieder eine Einbettung mitx∈φx(D).
Satz 2.18. SeiGeine Lie-Gruppe und bezeichneσ das Oberflächenmaß aufG. Dann ist (B∈B(G))
µ:B7→
Z
B
1
Ξ(lx)(e)dσ(x)
ein linkes Haarmaß, wobei lx :y7→xy. Dabei ist x7→Ξ(lx)(e), G→(0,∞) stetig.
Entsprechend ist
µ:B 7→
Z
B
1
Ξ(rx)(e)dσ(x) ein rechtes Haarmaß, wobei rx:y7→yx.
Beweis. Zunächst gilt
Ξ(lyx)(e) = Ξ(lx)(e)·Ξ(ly)(x) für allex, y∈G
Um das einzusehen, sei φ :D → G eine Einbettung mit φ(s) = e für ein s∈ D. Nach Bemerkung 2.17 ist auch lx◦φ : D → G eine Einbettung mit lx ◦φ(s) = x. Da Ξ(ly) unabhängig von der gewählten Einbettung ist, gilt
Ξ(ly)(x) = s
detd(ly◦(lx◦φ))(s)Td(ly◦(lx◦φ))(s) detd(lx◦φ)(s)Td(lx◦φ)(s)
und klarerweise
Ξ(lx)(e) = s
detd(lx◦φ)(s)Td(lx◦φ)(s)
detdφ(s)Tdφ(s) (8)
Multiplizieren liefert
Ξ(lx)(e)·Ξ(ly)(x) = s
detd(ly◦(lx◦φ))(s)Td(ly◦(lx◦φ))(s) detdφ(s)Tdφ(s)
Dieser Ausdruck stimmt aber wegenly◦lx=lyx mit Ξ(lyx)(e) überein.
Die Stetigkeit von x 7→Ξ(lx)(e) folgt wegen Bemerkung 2.16 aus Zeile (8). Die reelle Zahl Ξ(lx)(e) ist, wie behauptet, strikt größer als Null, weil nicht nur die Matrix im Nenner, sondern auch jene im Zähler eine symmetrisch positiv definite Matrix ist, und demnach eine Determinante strikt größer als Null hat.
Die Dichtefunktion ist also stetig, daher messbar, und positiv. Damit ist klar, dass durch µein Maß definiert wird.
Nun gilt für ein y ∈ G und ein messbares f : G → R wegen der verallgemeiner- ten Transformationsregel 2.15 angewandt auf den Diffeomorphismus ly :G → G (siehe Lemma 2.9)
Z
G
f(x) 1
Ξ(lx)(e)dσ(x) = Z
G
f(yx) 1
Ξ(lyx)(e)Ξ(ly)(x)dσ(x) = Z
G
f(yx) 1
Ξ(lx)(e)dσ(x) Die Transformationsregel durften wir anwenden, weil der Integrand als Produkt zweier messbarer Funktionen wieder messbar ist.
Wählt man nun speziell f =1B für ein beliebiges B ∈ B(G) so erhält man µ(B) = µ(y−1B) für alley ∈G, also die Linksinvarianz von µ.
Genauso zeigt man die Rechtsinvarianz des anderen Maßes.
Beispiel. Betrachte die Lie-GruppeO(n). Man kann sich überlegen, dass hierΞ(lx)(e) = 1 für alle x ∈ O(n) gilt. Nach Satz 2.18 stimmt hier also das Oberflächenmaß mit dem Haarschen Maß überein.
Literatur
[1] Jürgen Elstrodt:Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag Berlin Hei- delberg, 6. Auflage
[AnaIII] Michael Kaltenbäck: Analysis 3 für technische Mathematik, Vorlesungs- skript, Wien, Juni 2010
[2] Michael Feischl:Das Haarsche Maß, Seminararbeit aus Analysis SS 2009