5 Potentiale (eindimensionale)

5 Potentiale (eindimensionale)

37. Wie gehen Sie an Potentialprobleme heran ?

Lösen der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung:

d²

dx² (x) = 2m

~² (E V(x)) (x) mit

(x) =↵e^ikx+ e ^ikx für E > V(x) (x) =↵⁰e^x+ ⁰e ^x für E < V(x)

für die Wellenfunktionen gilt: stetig und stetig diffbar.

38. Beispiel für diskrete Eigenwerte

• Potentialtöpfe

• harmonischer Oszillator

• Wasserstoff-Atom

39. Bedingungen an die Wellenfunktion ?

• Überall endlich, da| (x)|²: Wahrscheinlichkeitsdichte

• (x) und (x)⁰ überall stetig. Allerdings gilt Stetigkeit von (x)⁰ nicht bei -Sprüngen.

40. Warum muss die Wellenfunktion stetig sein ? siehe Cohen Tannoudji Seite 58

41. Wann bekommt man diskrete Eigenwerte

Die Quantisierung der Energie folgt aus der Bedingung, dass die Wellenfunktion (x) überall beschränkt ist.

Zustande kommt dies, wenn zwei Umkehrpunkte existieren (Potentialtopf). Dann müssen die Wellenfunktionen stetig an die exponentiell abklingende Funktion anschließen.

42. Warum gibt es gerade bzw. ungerade Zustände bei dem endlich hohen Potentialtopf ? Der Paritätsoperator ⇧vertauscht mit dem Hamilton Operator:

[H,⇧] = 0

Damit haben beide Operatoren eine gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen. Da die Eigen- funktionen des Paritätsoperators nur gerade und ungerade Parität haben, kann man die Ei- genfunktionen des Hamiltonoperators so wählen, dass sie eine definierte Parität besitzen.

11

1 x

0 = ~² 2m

x

ˆ

1

dy [ ⁰⁰₁(y) 2(y) ⁰⁰₂(y) 1(y)] = ~² 2m

x

ˆ

1

dy@y[ ⁰₁(y) 2(y) ⁰₂(y) 1(y)]

= [ ⁰₁(y) 2(y) ⁰₂(y) 1(y)] ^x

1= ⁰₁(x) 2(x) ⁰₂(x) 1(x)

01(x)

1(x) = ⁰²(x)

2(x) ) @xlog

✓ 1(x)

2(x)

◆

= 0

x

1,2(x)

m

V(x) = (x) >0

~² 2m lim

"!0⁺[ ⁰(") ⁰( ")] = (0)

E <0

x p

x· p ~/2

x6= 0

~² 2m

00(x) =E (x) ⁰⁰(x) =q² (x)

E <0

(x) =Ae ^q|x|

( ",")

"

ˆ

"

 ~² 2m

00(x) (x) (x) E (x) dx = 0

) ~² 2m

0(x) ^✏

" (0)

✏

ˆ

"

= 0

" (x)

x = 0

~²

2mA( q q) = A q = m

~²

E =

2m 2~²

A

1 = A² ˆ1

1

dx e ^2q|x|= 2· A² 2q

A=pq

(x) = p m

~ e ^~m2|x|

(x) hxi hpi

⌦x²↵

=q ˆ1

1

dx x²e ^2q|x|= 2q 1 8q³

ˆ1

0

dy y²e ^y

| {z }

=2

= 1 2q²

⌦p²↵

= ~² ˆ1

1

dx (x) ⁰⁰(x) = ~² ˆ1

1

dx( ⁰(x))² = 2~²q³ ˆ ₁

0

dx e ^2qx

| {z }

=1/2q

=~²q²

x= ^p₂^~2_m p= _~^m

x· p=p 2~

2 > ~ 2

V(x) =

(0 x0

V0 x >0

R E < V0

R E > V0

|F|²/|A|² A F

T =

rE V0

E

|F|²

|A|² E > V0

j

E > V0

5 Potentiale (eindimensionale)

37. Wie gehen Sie an Potentialprobleme heran ?

Lösen der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung:

d²

dx² (x) = 2m

~² (E V(x)) (x) mit

(x) =↵e^ikx+ e ^ikx für E > V(x) (x) =↵⁰e^x+ ⁰e ^x für E < V(x)

für die Wellenfunktionen gilt: stetig und stetig diffbar.

38. Beispiel für diskrete Eigenwerte

• Potentialtöpfe

• harmonischer Oszillator

• Wasserstoff-Atom

39. Bedingungen an die Wellenfunktion ?

• Überall endlich, da| (x)|²: Wahrscheinlichkeitsdichte

• (x) und (x)⁰ überall stetig. Allerdings gilt Stetigkeit von (x)⁰ nicht bei -Sprüngen.

40. Warum muss die Wellenfunktion stetig sein ? siehe Cohen Tannoudji Seite 58

41. Wann bekommt man diskrete Eigenwerte

Die Quantisierung der Energie folgt aus der Bedingung, dass die Wellenfunktion (x) überall beschränkt ist.

Zustande kommt dies, wenn zwei Umkehrpunkte existieren (Potentialtopf). Dann müssen die Wellenfunktionen stetig an die exponentiell abklingende Funktion anschließen.

42. Warum gibt es gerade bzw. ungerade Zustände bei dem endlich hohen Potentialtopf ? Der Paritätsoperator ⇧vertauscht mit dem Hamilton Operator:

[H,⇧] = 0

Damit haben beide Operatoren eine gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen. Da die Eigen- funktionen des Paritätsoperators nur gerade und ungerade Parität haben, kann man die Ei- genfunktionen des Hamiltonoperators so wählen, dass sie eine definierte Parität besitzen.

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Repetitorium EQMS Dienstag, 1. M¨arz 2016

L¨ osung 2.3 Potentialtopf (a)

Wir schreiben als Linearkombination der beiden Energieeigenfunktionen ₁ und ₂: (x,0) =

r 8

5asin⇣⇡x a

⌘ h1 + cos⇣⇡x a

⌘i (1)

= r 8

5asin⇣⇡x a

⌘ +

r 8

5asin⇣⇡x a

⌘·cos⇣⇡x a

⌘

(2)

= r4

5· r2

asin⇣⇡x a

⌘+ r4

5 1 2 ·

r2 asin⇣

2· ⇡x a

⌘ (3)

= r4

5 ¹+ r1

5 ², (4)

wobei in der dritten Zeile das Additionstheorem sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) verwendet wurde Wir wir wissen, gilt f¨ur die Zeitentwicklung einer Energieeigenfunktion mit der Energie- eigenwert E im Allgemeinen

(x, t) = (x)·e^~iEt,

bzw. hier im speziellen

n(x, t) = _n(x)·e^~iEnt.

Aufgrund des Superpositionsprinzips k¨onnen wir dies nun auf die Summanden in (4) einzeln anwenden und erhalten

(x, t) = r4

5 ¹ ·e^~iE1t+ r1

5 ²·e^~iE2t. Dies kann man nun in die gew¨unschte Form ¨uberf¨uhren.

(b)

eigenfunktionen zerlegt hat:

E(t) =hHi= Z

⇤(x, t) ˆH (x, t)dx

= Z

dx r4

5

⇤1+ r1

5

⇤2

! Hˆ

r4 5 ¹+

r1 5 ²

!

= Z

dx r4

5

⇤1+ r1

5

⇤2

! E1·

r4

5 ¹+E2

r1 5 ²

!

= r4

5

2

E1

Z

dx ^⇤₁ 1+E2

r1 5

2Z

dx ^⇤₂ 2+ r1

5 4 5E1

Z

dx ^⇤₂ 1+ r4

5 1 5E2

Z

dx ^⇤₁ 2

= 4

5E1+1 5E2

= 4 5

~²⇡² ma²

In der zweiten Zeile wurde ausgenutzt, dass n Eigenfunktionen von ˆH sind und in der f¨unften Zeile, dass die Eigenfunktionen eine Orthonormalbasis bilden.

(c)

Hierzu nehmen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte | (x, t)|² und integrieren sie ¨uber das ent- sprechende Intervall. (Anmerkung: Im Folgenden h¨atte man auch ganz analog die Darstellung von in Eigenfunktionen verwenden k¨onnen).

Z a/2 0

dx| (x, t)|² = Z a/2

0

dx 8

5asin²⇣⇡x a

⌘ + 8

5asin²⇣⇡x a

⌘

cos²⇣⇡x a

⌘

+ 8

5asin²⇣⇡x a

⌘

cos⇣⇡x a

⌘ ⇣

e ^{~i(E1 E2)t}+e ^{~i(E2 E1)t}⌘

= 8 5a

a

⇡ 1 2

⇣⇡x

a sin⇣⇡x a

⌘cos⇣⇡x a

⌘⌘ ^a/2

0

+ 8 5a

a

⇡ 1 32

⇣4⇡x

a sin⇣ 4⇡x

a

⌘⌘ ^a/2

0

+ 2·cos

✓

(E2 E1)t

~

◆

· 8 5a

1

3sin³(⇡x a )a

⇡

a/2

0

= 8 5a

⇣a 4 + a

16

⌘+ 2·cos

✓

(E2 E1)t

~

◆

· 8 5a

a 3⇡

= 1 2+ 16

15⇡cos

✓

(E2 E1)t

~

◆