Klausur zu Grundz¨ uge der Statistik: Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker
Wintersemester 2004/05 30.03.2005
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Matrikelnummer: ...
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlungen Statistik I und II in gehefteter Form (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze, keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher, Verteilungstabellen
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle sechs Aufgaben enth¨alt. ¨
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 P
erreichbare
Punkte 14 23 13 16 20 14 100
erreichte
Punkte
F¨ur eine Forschungsarbeit ¨uber Bev¨olkerungsstruktur, Erwerbst¨atigkeit und Einkommen der Haushalte in der Bundesrepublik und speziell in den neuen L¨andern (einschl. Ostberlin) wer- den einige deskriptive Kennzahlen ben¨otigt. Zur Bestimmung der gew¨unschten Zahlen stehen die im Folgenden dargestellten Tabellen zur Verf¨ugung, die aus statistischen Jahrb¨uchern entnommen sind.
Privathaushalte im Mai 2003 nach Haushaltsgr¨oße und monatlichem Haushaltsnettoeinkommen
Privathaushalte mit ... Person(en) Insgesamt Mit einem monatlichen Haushaltsnettoeinkommen von ... bis unter ... EUR Sonstige
unter 500 - 900 - 1 300 - 1 500 - 2 000 - 2 600 - 4 500 Haushalte
500 900 1 300 1 500 2 000 2 600 4 500 und mehr
1 000 Fr¨uheres Bundesgebiet
1 ... 11 791 846 2 664 3 172 1 356 1 701 861 520 140 531
2 ... 10 622 86 468 1 216 860 2 109 2 132 2 515 671 566
3 und mehr ... 9 318 52 162 465 383 1 341 1 986 3 335 1 073 521
Zusammen ... 31 730 984 3 295 4 853 2 598 5 151 4 979 6 369 1 885 1 618 Neue L¨ander und Berlin-Ost
1 ... 2 635 282 863 914 241 183 59 29 8 57
2 ... 2 548 17 153 390 332 806 497 263 36 54
3 und mehr ... 2 031 6 49 158 121 382 504 649 113 50
Zusammen ... 7 214 306 1 066 1 462 693 1 370 1 059 942 157 159
Deutschland
1 ... 14 426 1 128 3 528 4 086 1 596 1 884 920 548 149 587
2 ... 13 169 103 621 1 606 1 191 2 915 2 628 2 778 707 620
3 und mehr ... 11 348 58 212 623 504 1 722 2 490 3 984 1 186 570
Zusammen ... 38 944 1 289 4 360 6 315 3 291 6 521 6 038 7 311 2 041 1 777
Strukturdaten ¨uber Erwerbspersonen im Mai 2003
Gegenstand der Nachweisung Deutsche Ausl¨ander/-innen Insgesamt M¨annlich Weiblich Dar. verheiratet
1 000 % 1 000 % 1 000 % 1 000 % 1 000 % 1 000 %1)
Erwerbspersonen
Insgesamt ... 37 089 90,9 3 703 9,1 40 792 100 22 625 55,5 18 167 44,5 10 597 58,3 nach Altersgruppen
Alter von ... bis unter ... Jahren
15 - 20 ... 1 310 3,5 117 3,2 1 427 3,5 811 3,6 617 3,4 10 0,1
20 - 30 ... 6 085 16,4 893 24,1 6 978 17,1 3 774 16,7 3 204 17,6 767 7,2
30 - 40 ... 9 873 26,6 1 152 31,1 11 025 27,0 6 132 27,1 4 893 26,9 3 005 28,4 40 - 50 ... 10 458 28,2 793 21,4 11 250 27,6 6 106 27,0 5 144 28,3 3 710 35,0 50 - 60 ... 7 416 20,0 633 17,1 8 049 19,7 4 453 19,7 3 595 19,8 2 656 25,1
60 - 65 ... 1 520 4,1 98 2,6 1 619 4,0 1 070 4,7 549 3,0 364 3,4
65 und mehr ... 427 1,2 17 0,5 445 1,1 280 1,2 165 0,9 85 0,8
nach dem Familienstand
Ledig ... 12 311 33,2 885 23,9 13 196 32,3 7 863 34,8 5 332 29,3 x x
Verheiratet ... 21 230 57,2 2 541 68,6 23 771 58,3 13 174 58,2 10 597 58,3 10 597 100
Verwitwet ... 610 1,6 46 1,2 656 1,6 167 0,7 490 2,7 x x
Geschieden ... 2 937 7,9 232 6,3 3 169 7,8 1 421 6,3 1 748 9,6 x x
1) Anteil an den weiblichen Erwerbspersonen
(a) Bestimmen Sie
1. den Anteil der Privathaushalte mit 2 Personen an allen privaten Haushalten f¨ur die neuen Bundesl¨ander, (2 Punkte)
2. den Anteil, den die Privathaushalte mit 2 Personen der neuen L¨ander an allen Privathaushalten mit 2 Personen in der Bundesrepublik haben, (2 Punkte) 3. den Anteil der Privathaushalte mit 2 Personen und einem monatlichen Einkom-
men von 500 bis unter 2600 Euro an allen Privathaushalten mit 2 Personen f¨ur die neuen Bundesl¨ander. (3 Punkte)
(b) Sind die folgenden Angaben korrekt? Begr¨unden Sie jeweils Ihr Urteil.
1. 55.5% der Erwerbspersonen sind m¨annlich. (2 Punkte)
2. 67.2% der verheirateten Erwerbspersonen sind m¨annlich. (2 Punkte) 3. 23.1% der weiblichen Erwerbspersonen sind nicht verheiratet. (3 Punkte)
In einer Befragung ermittelt ein Mobilfunkunternehmen bei 200 seiner Kunden, wie hoch der Betrag der monatlichen TelefonrechnungX (in Euro) ist und wie viele HandysY der Kunde gleichzeitig nutzt. Man erhielt folgende Tabelle:
Anzahl der Handys Y
Rechnungsbetrag X 1 2 3 4 und mehr P
bis 20 14 10 5 1 30
¨
uber 20 bis 40 20 8 5 2 35
¨uber 40 bis 80 22 24 12 7 65
uber 80 16 26 16¨ 12 70
P 72 68 38 22 200
Das Mobilfunkunternehmen h¨alt einen maximalen Rechnungsbetrag von 200 Euro f¨ur m¨oglich.
(a) Das Unternehmen m¨ochte einen mittleren Rechnungsbetrag f¨ur alle 200 Kunden be- rechnen. Welchen Mittelwert k¨onnten Sie aus dem obigen Ausgangsdatenmaterial er- mitteln? (Bitte NICHT rechnen, nur kurz begr¨unden). (7 Punkte)
(b) Betrachten Sie die Gruppe derjenigen Kunden, die nur 1 Handy nutzen (Y=1). Ermit- teln Sie den mittleren Rechnungsbetrag aller Kunden in dieser Gruppe. Berechnen Sie ebenso den Rechnungsbetrag des mittleren Kunden in dieser Gruppe. (7 Punkte) (c) F¨ur die 4 Handygruppen liegen nun folgende Daten ¨uber den Rechnungsbetrag vor:
Anzahl der Handys Y
1 2 3 4 und mehr
j 1 2 3 4
xj 59.72 79.71 83.16 98.64 se2j 2158.26 2532.27 2605.82 2193.60
nj 72 68 38 22
fj 0.36 0.34 0.19 0.11
Berechnen Sie f¨ur den Rechnungsbetrag X ¨uber alle 4 Gruppen einen Gesamtmittelwert und eine Gesamtstreuung. (9 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (b) und (c) jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
An drei Lehrst¨uhlen einer nicht n¨aher bezeichneten Universit¨at gibt es jeweils ein festes Budget pro Jahr f¨ur die Besch¨aftigung studentischer Hilfskr¨afte. In den folgenden Tabellen ist f¨ur die drei Lehrst¨uhle protokolliert, wie viele studentische Hilfskr¨afte jeweils besch¨aftigt waren und welche Summen die Hilfskr¨afte dabei verdient haben (Jahresbruttoverdienst in Euro).
Lehrstuhl 1
Hilfskraft 1 2 3 4 5 6
Jahresverdienst 1 500 1 800 1 900 1 500 1 800 1 900 Lehrstuhl 2
Hilfskraft 1 2 3
Jahresverdienst 3 000 3 800 3 600 Lehrstuhl 3
Hilfskraft 1 2 3 4
Jahresverdienst 3 000 3 800 3 600 0
(a) Bestimmen Sie f¨ur jeden der drei Lehrst¨uhle eine Maßzahl f¨ur die absolute Konzentra- tion des Verdienstes. Wie h¨angen die drei Werte zusammen und warum? (9 Punkte) (b) Wie sch¨atzen Sie die relative Konzentration an Lehrstuhl 2 ein? Begr¨unden Sie anhand
der beobachteten Werte, ohne zu rechnen. Wie w¨urden Sie Ihre Vermutung ¨uberpr¨ufen (bitte nur angeben, nicht durchf¨uhren)? (4 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die allgemeine Formel an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf 4 Nachkommstellen.
In (b) bitte nicht rechnen!
Bei der Behandlung von Erkrankungen gibt es in der Regel verschiedene Therapien, die ein Arzt anwenden kann. In einer Studie soll ein Eindruck davon gewonnen werden, ob die Entscheidung f¨ur eine von mehreren m¨oglichen Therapien stark vom Arzt abh¨angt (und damit einem Patienten bei der Wahl eines Arztes eine bestimmte Therapie verordnet wird) oder ob die Entscheidung vermutlich eher von anderen Einfl¨ussen abh¨angt (z.B. Stand der medizinischen Forschung; die Verordnung einer Therapie h¨angt nicht stark von der Arztwahl ab). Dazu wurden in einer ersten Untersuchung 124 Patienten beobachtet, die sich auf zwei verschiedene ¨Arzte aufteilen. Diese Patienten hatten alle eine bestimmte Erkrankung, f¨ur die drei m¨ogliche Therapien zur Verf¨ugung standen. Die Verteilung der Patienten auf die ¨Arzte und die Therapien ist in der folgenden Kontingenztafel dargestellt.
Therapie
1 2 3
1 23 41 10 Arzt
2 16 20 14
124
(a) Stellen Sie die bedingten Verteilungen des Merkmals “Arzt” auf, gegeben das Merkmal
“Therapie”. Welchen Arzt sollte man w¨ahlen, wenn man selbst als Patient die Therapie 2 bevorzugt? Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. (6 Punkte) (b) W¨are die Verordnung einer bestimmten Therapie vom Arzt unabh¨angig, so m¨usste die
folgende Kontingenztafel beobachtet werden:
Therapie
1 2 3
1 23.27 36.40 14.32 Arzt
2 15.73 24.60 9.68
124
Wie stark h¨angt die Verordnung einer Therapie vom Arzt ab? Runden Sie Ihre Ergeb- nisse auf vier Nachkommastellen. (10 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (b) zun¨achst die ben¨otigten allgemeinen Formeln an.
Jeder kennt den Spruch, dass sich Hund und Herrchen im Laufe der Zeit immer ¨ahnlicher werden. Ein neugieriger Forscher wollte nun wissen, ob dies wohl auch auf Ehepartner im Laufe der Zeit zutreffen k¨onnte. Ein Aspekt seiner Untersuchung galt dabei der k¨orperlichen Erscheinung, festgemacht an den Konfektionsgr¨oßen der Partner. In der folgenden Tabelle sind f¨ur 10 Ehepaare, die schon l¨anger verheiratet sind, die Konfektionsgr¨oßen der beiden Partner angegeben (M¨anner: von 44 = XS bis 62 = XXL; Frauen: von 32 = XS bis 50 = XXL).
Beobachtung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gr¨oße Frau 34 40 46 50 32 36 48 42 38 44 Gr¨oße Mann 48 62 56 58 44 46 60 54 50 52
(a) Berechnen Sie einen geeigneten Korrelationskoeffizienten zur Beurteilung des Zusam- menhangs zwischen den Kleidergr¨oßen der Partner. Beachten Sie dabei das Skalenni- veau der Daten! Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. Sind die Ehe- partner sich generell ¨ahnlich? Begr¨unden Sie Ihr Urteil. (12 Punkte)
(b) Zeichnen Sie die Wertepaare in die unten vorgegebene Abbildung ein. Was f¨allt Ihnen auf? (4 Punkte)
(c) Berechnet man den Spearman’schen Korrelationskoeffizienten f¨ur die Originaldaten und f¨ur die Daten, aus denen Beobachtung Nummer 2 entfernt wurde, so ergibt sich mit den reduzierten Daten ein um 0.17 h¨oherer Wert vonrSP als mit den Originaldaten.
Wie erkl¨aren Sie diesen Effekt? (4 Punkte) Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die ben¨otigte allgemeine Formel an.
Abbildung: Konfektionsgr¨oßen
Frauen
Maenner
32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 44
46 48 50 52 54 56 58 60 62
Frauen
Maenner
32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 44
46 48 50 52 54 56 58 60 62
In einer Stadt mit 150 000 Einwohnern im Lesealter erscheinen zwei lokale Tageszeitungen, der “Generalanzeiger” und “Unsere Stadt heute”. Alle folgenden Aussagen ¨uber die Einwoh- ner beziehen sich nur auf die genannten 150 000.
Es ist bekannt, dass die Einwohner dieser Stadt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6 den Ge- neralanzeiger lesen, “Unsere Stadt heute” dagegen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie die eine oder andere von beiden oder auch beide lesen, betr¨agt 0.9.
(a) Stellen Sie eine Kontingenztabelle auf, aus der hervorgeht, wie viele Einwohner jeweils eine von beiden Tageszeitungen, beide oder keine von beiden lesen. (5 Punkte)
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1. ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Einwohner beide Lokalzeitungen liest? (2 Punkte) 2. ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Einwohner keine der beiden Zeitungen liest? (2 Punkte) 3. ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Einwohner genau eine der beiden Zeitungen liest, aber
nicht beide? (2 Punkte)
4. ein unter den Lesern des Generalanzeigers ausgew¨ahlter Einwohner auch noch
“Unsere Stadt heute” liest? (3 Punkte)
