H11.1 - Eindimensionales klassisches Gas aus harten “Kugeln” [2P]

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 11 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am 17.01.2018

Haus¨ ubungen

H11.1 - Eindimensionales klassisches Gas aus harten “Kugeln” [2P]

N klassische Teilchen, die sich in einer Dimension bewegen k¨ onnen und einer internen Wechsel- wirkung W unterliegen, befinden sich in einem “Kasten” der L¨ ange L. Die Hamiltonfunktion des Systems lautet:

H =

N

X

i=1

p

2m + U (x

)

+ X

i6=j

W (|x

− x

|),

U(x) =

0 :

< x < L −

∞ : sonst , W (x) =

∞ : x < b 0 : sonst Zeigen Sie, dass

p (L − N b) = N kT

gilt. Machen Sie sich hierbei Gedanken zur Frage der Unterscheidbarkeit dieser eindimensionaler harten “Kugeln”!

H11.2 - Virialentwicklung der kalorischen Zustandsgleichung [1P]

Berechnen Sie die erste Korrektur zur kalorischen Zustandsgleichung in der Virialentwicklung.

Hinweis: Starten Sie von der Beziehung E ¯ = hHi = −

∂ log Z

∂β

z=const

H11.3 - Zweiter Virialkoeffizient [2P]

a) Bestimmen Sie den zweiten klassischen Virialkoeffizienten B(T ) f¨ ur das Potential v(~ y) = α

|~ y|

, mit n > 3, α = konstant .

Achtung: Die Nomenkaltur hier ist etwas verwirrend, da der zweite Virialkoeffizient die Form der ersten Virialkorrektur zum freien Fall beschreibt. Warum muss n > 3 gelten?

Hinweis: ¨ Uber eine geeignete Substitution l¨ asst sich das Integral auf eine Gammafunktion abbilden. Ergebnis: B(T ) =

(

)

Γ(1 − 3/n).

b) Wie lautet dann die thermische Zustandsgleichung in der Virialentwicklung bis zu dieser Ordnung?

c) Wie lautet dann die kalorische Zustandgleichung in der Virialentwicklung bis zu dieser Ord- nung (vergleich Aufgabe oben)?

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