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Phasen¨ubergang 2

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Academic year: 2022

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Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 08

Prof. Dr. P. W¨olfle Blatt 11

Dr. M. Greiter Besprechung 01.07.08

1. Phasen¨ubergang 2. Ordnung (3 Punkte)

Im ¨Ubungsblatt 10 wurde die Molekularfeldtheorie eines antiferromagnetischen Heisenberg- Modells f¨ur N Spins der L¨ange S gerechnet. Aus den Ergebnissen folgt das freie Ener- giefunktional f¨ur den Ordnungsparameter m

F(m) =N 1

2zJ(m)2−kBT ln(Z1)

, Z1 =

S

X

m=S

exp

zJm kBT m

.

z ist die Koordinationszahl des Gitters,J die Wechselwirkungsenergie.

(a) In der N¨ahe des Phasen¨ubergangs ist m ≃ 0. Zeigen Sie durch Reihenentwicklung bis zur Ordnung ∼m4, daß man f¨ur T ≃TN ein Landau-Funktional erh¨alt,

F(m) =N zJ 1

2

T −TN

TN

(m)2+1

4b(m)4− S(S+ 1)

3 ln(2S+ 1)

und bestimmen Sie die Konstanten TN und b. (2 Punkte)

(b) Skizzieren Sie F(m) f¨ur T > TN und T < TN, und berechnen Sie m(T).

(1 Punkt)

2. Phasen¨ubergang 1. Ordnung (4 Punkte)

In einem ferroelektrischen Kristall entsteht unterhalb einer ¨Ubergangstemperatur Tc

eine spontane Verzerrung γ der Einheitszelle, verbunden mit einem Dipolmoment P.

Das Landau-Funktional f¨ur die beiden Ordnungsparameter η=|P|2 und γ lautet F(η, γ) =a(T −T0)η+bη2+cη3+dγη+g

2 wobeiT0, a, b, c, d, g >0, ˜b= (d2

2g −b)>0.

(a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtswert γ = γ(η) und damit das Funktional F(η).

Skizzieren Sie den Verlauf von F(η) f¨ur verschiedene Temperaturen T, und be- gr¨unden Sie, daß ein Phasen¨ubergang 1. Ordnung auftreten kann. (1 Punkt) (b) Berechnen Sie die kritische Temperatur Tc, bei der dieser ¨Ubergang stattfindet.

Bestimmen Sie n¨aherungsweise η(T) und γ(T) in der N¨ahe von Tc. (2 Punkte)

Seite 1 von 2

(2)

(c) Berechnen Sie die Entropie

S=− ∂F

∂T

T0,a,b,...

f¨ur T unmittelbar oberhalb bzw. unterhalb Tc. Bestimmen Sie die latente W¨arme Ql=T∆S des Phasen¨ubergangs. (1 Punkt)

3. Gas harter Kugeln in einer Dimension (3 Punkte) N harte Kugeln der Masse m mit Radius r k¨onnen sich auf der x-Achse im Intervall [−r, L+r] frei bewegen, aber nicht durchdringen. Die klassische Hamiltonfunktion lautet

H({pi, xi}) =

N

X

i=1

p2i

2m +V(x1, x2, . . . , xN) mit

V =

∞ falls∃i, j mit |xi−xj| ≤2r

∞ falls∃i mit xi <0 oder xi > L (Begrenzung durch “Volumen”) 0 sonst

Die xi bezeichnen die Kugelmittelpunkte.

(a) Berechnen Sie die kanonische ZustandssummeZKkl(T, L, N) im klassischen Grenzfall.

(Das PotentialV f¨uhrt auf eine Einschr¨ankung der Integrationsgrenzen in denR dxi. Die Integrale dxi k¨onnen durch geeignete Substitutionen gel¨ost werden.) (2 Punkte) (b) Berechnen Sie nun die freie Energie F(T, L, N) und den Druck

p=− ∂F

∂L

T,N

Wie lautet die Zustandsgleichung? (Stirling-Formel.) (1 Punkt)

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