Musterlösung Frühling 2002 Aufgabe 1 6 Punkte a)

a)

Jaus=15% × 300 Autos/h

k=0.01 min^-1 N

Jin=300 Autos/h

Dynamische Gleichung:

N k J N k J dt J

dN

netto aus

in− − ⋅ = − ⋅

=

b)

Anzahl der Parkplätze entspricht dem Stationärzustand N^∞:

⋅ ∞

−

=

= J k N

dt dN

netto

0 k N^∞ = J^netto

Jnetto = 300 Autos/h − 0.15 × 300 Autos/h = 255 Autos/h k = 0.01 min^-1 = 0.6 h^-1

6 . 0

= 255

N∞ Autos = 425 Autos

c)

Für die mittlere Aufenthaltszeit τ gilt:

6 . 0

1 1=

= k

τ h = 1.67 h = 100 Minuten

d)

Hierfür wird die Anpassungszeit auf 5% berechnet:

6 . 0

3 05 . 0 ln

%

5 =− ≈

τ k h = 5 h

Folglich sind um 21 Uhr nur noch 5% der Parkplätze belegt.

Aufgabe 2 7 Punkte

a)

Da System im Stationärzustand und Behälter vollständig durchmischt, gilt für den Sauerstofffluss durch Gasaustausch:

Fg = vg (C1 − Cs) = vg C1 − vg Cs ⇒

g s g g

v C v

C F +

1 =

mit vg = 1 m d^-1 und Cs = 14 mg L^-1 = 14 g m^-3

und Gasaustausch 3 g d^-1 von Luft ins Wasser durch Querschnittsfläche A:

Fg = −3 g d^-1 / 2 m² = −1.5 g d^-1 m^-2

c1

c2 ergibt sich

1 14 5 . 1

1

+

=−

C g m^-3 = 12.5 g m^-3 = 12.5 g L^-1

b)

Sauerstoffprofil im Rohr für stationäre Verhältnisse durch reine Diffusion:

c)

Im Stationärzustand gilt für Behälter (1) Input = Output. Der Input ist der Gasaustausch über die Querschnittsfläche A, der Output der diffusive Fluss über die Querschnittsfläche B. Für die Massenbilanz gilt daher:

s C DC

B F F A F B F A

F_g ⋅ = _g^*⋅ ⇒ _g^* = _g⋅ = _dif ≈− ² − ¹

⇒ D≈

1

2 C

C s B F_g A

⋅ − = 1.5 g m^-2 d^-1 5 . 11 10 1

2 m g^-1 m³ = 5 . 11

30 m² d^-1≈ 2.6 m² d^-1

d)

Konzentrationsprofil im Rohr bei Sauerstoffzehrung:

c2

e)

Durch die Pumpe werden in einer Stunde 3600 L durch das Rohr gepumpt. Das Volumen des Rohres ist aber V = B s = 10 m³ = 10 000 L. Daher ist nach einer Stunde das ganze Rohr noch nicht durchspült. Der Sauerstoffgehalt beträgt am Anfang des Rohres konstant

11 mg L^-1. Am Ende des Rohres fällt das Konzentrationsprofil nach wie vor steil gegen C2 ab.

Die Advektionsfront hat das Rohrende noch nicht erreicht!

Zusätzlich dazu könnte man auch die Peclet-Zahl Pe berechnen. Die

Strömungsgeschwindigkeit im Rohr beträgt nämlich v = Q/B = 3.6 m/h. Somit ist die Pecletzahl:

/h 1 m 0.11

m/h 6 . 3 m 10

2 >>

= ×

= ⋅ D

v Pe s

Daraus folgt, dass die Diffusion gegenüber der Advektion keine Rolle spielt und die Konzentration überall 11 mg/L beträgt, wenn einmal die Front das Rohrende erreicht hat.

(fakultativ für das Erreichen der Punktzahl)

Aufgabe 3 7 Punkte

a)

MB

MA

Jin = QCin

Jaus = QCA Jaus = QCB

b)

Massenbilanz:

A B B A A in aus B B A A

A Jin k M k M J QC k M k M QC

t

M = − + − = − + −

d d

B B B A A aus B B A

B kAM k M J k M k M QC

t

M = − − = − −

d d

dynamische Gleichungen für die Konzentrationen: (kw = Q/V)

B B A w A in w A B

B A A

A in C k C k k C k C

V C Q k C k V C Q t

C = − + − = −( + ) +

d d

B w B A A B B

B A

A C k C k k C

V C Q k C t k

C ( )

d

d ^B = − − = − +

c)

Die Bedingung für den Durchfluss ist:

1 . 0

9 .

≥0

∞

∞ A B

C

C = 9 (1)

Aus der Differentialgleichung für CB, erhält man für den Stationärzustand:

w B

A A

B

k k

k C

C

= +

∞

∞ (2)

Indem man (1) = (2) setzt, kann man dann die obere Grenze von kw = Q/V und schliesslich von Q berechnen.

11 . / ≤0 +

A B

k V Q k

A

B k

V k +Q ≤0.11

V k k

Q≤(0.11 _A− _B) = (0.11 × 0.5 h^-1-0.01 h^-1) 10 m³

d)

Berechnung der Koeffizientenmatrix P:

P _ mit k



 





−

= −

02 . 0 5 . 0

01 . 0 51 . 0

w = Q/V = 0.1/ 10 h^-1 = 0.01 h^-1

Unter Vernachlässigung des betragsmässig kleinsten Matrixelementes:

P _



 





−

≈ −

02 . 0 5 . 0

0 51 . 0

Damit Abschätzung der Eigenwerte:

(−0.51 −λ1)( −0.02 − λ2) = 0 λ1≈ 0.51 h^-1

λ2≈ 0.02 h^-1

Der betragsmässig kleinste Eigenwert bestimmt das Gesamtsystem, also λ2≈ 0.02 h^-1 Damit ergibt sich für Anpassungszeit τ5%:

h 150 02h

. 0

3 05 . 0 ln

2

%

5 ≈− = =

τ λ

Andere Lösung:

Der Durchfluss ist der limitierende Faktor und nicht das Gleichgewicht zwischen A und B, das sich ja wie 1/(kA+kB) einstellt. Somit wäre die Anpassungszeit sogar wie 3/kw = 300 h.